第1课时 复数的加法、减法、乘法运算
1.若复数满足（a＋3i）－（2－i）＝5＋bi（a，b∈R），则a＋b＝（ ）
A.－4 B.11
C.－8 D.5
2.（2024·盐城联盟校期中）复数z＝（1－i）（2＋i）的实部为（ ）
A.3i B.3
C.－i D.－1
3.（1－i）（1＋i）＝（ ）
A.1＋i B.－＋i
C.＋i D.－1＋i
4.已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2
C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2
5.（多选）已知i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝－4＋3i，z3＝1－i，则（ ）
A.z1＋z3＝4＋3i
B.z1与z2互为共轭复数
C.z1＋z2＋z3为纯虚数
D.（z1－z2）z3＝8－6i
6.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A.纯虚数z的共轭复数是－z
B.若z1－z2＝0，则z1＝
C.若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D.若z1－z2＝0，则z1与互为共轭复数
7.若复数z满足z＋（5－6i）＝3，则z的虚部为 .
8.已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位），则a2＋b2＝ ，ab＝ .
9.（2024·淮安月考）已知复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝ .
10.计算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；
（2）（＋i）＋（2－i）－（－i）；
（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2，z1z2.
11.据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数1和0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z＝的共轭复数为，则＝（ ）
A.－－i B.－＋i
C.＋i D.－i
12.（多选）若复数z满足z＋2＝9＋4i（i为虚数单位），则（ ）
A.z＝25 B.z＝3＋4i
C.z＝3－4i D.＝3＋4i
13.（2024·扬州月考）已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝ ，b＝ .
14.已知复数z＝（1－i）2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i（a，b∈R），求b＋ai的共轭复数.
15.已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2bz＝（a＋2z）2成立，求a，b的值.
第1课时 复数的加法、减法、乘法运算
1.B （a＋3i）－（2－i）＝（a－2）＋4i＝5＋bi.故即所以a＋b＝11.故选B.
2.B 复数z＝（1－i）（2＋i）＝3－i，其实部为3.故选B.
3.D （1－i）（1＋i）＝（1－i）（1＋i）（－＋i）＝（1－i2）（－＋i）＝2（－＋i）＝－1＋i.故选D.
4.A 由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选A.
5.ACD 对于A，z1＋z3＝3＋4i＋（1－i）＝4＋3i，故A正确；对于B，复数z1＝3＋4i的共轭复数为＝3－4i，故B错误；对于C，z1＋z2＋z3＝3＋4i－4＋3i＋1－i＝6i，故C正确；对于D，因z1－z2＝7＋i，则（z1－z2）z3＝（7＋i）（1－i）＝8－6i，故D正确.故选A、C、D.
6.AD 选项A中，根据共轭复数的定义知是真命题，故A正确；选项B中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝，当z1，z2均为虚数时，z1≠，故B错误；选项C中，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，故C错误；选项D中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与互为共轭复数，故D正确.故选A、D.
7.6 解析：由z＋（5－6i）＝3，得z＝3－（5－6i）＝－2＋6i，故z的虚部为6.
8.5 2 解析：由已知（a＋bi）2＝3＋4i，即a2－b2＋2abi＝3＋4i，得解得则a2＋b2＝5，ab＝2.
9.2 解析：z1＋z2＝（－2mi）＋（－m＋m2i）＝（－m）＋（m2－2m）i.因为z1＋z2＞0，所以z1＋z2为实数且大于0，所以解得m＝2.
10.解：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i
＝－1－i.
（2）（＋i）＋（2－i）－（－i）
＝＋i＋2－i－＋i
＝（＋2－）＋（－1＋）i
＝1＋i.
（3）z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）
＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.
z1z2＝（2＋3i）（－1＋2i）
＝－2＋4i－3i＋6i2
＝－2＋i－6
＝－8＋i.
11.A 由欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R），得z＝＝cos＋isin＝－＋i，根据共轭复数定义可知＝－－i.故选A.
12.ACD 设z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2＝9＋4i，∴x＋yi＋2（x－yi）＝9＋4i，即3x－yi＝9＋4i，∴∴∴z＝3－4i，＝3＋4i，∴z＝（3＋4i）（3－4i）＝9－16i2＝9＋16＝25.故选A、C、D.
13.1 － 解析：把＋i代入方程，得a＋b＋1＝0，即＋i＝0，所以即解得
14.解：z＝（1－i）2＋1＋3i
＝－2i＋1＋3i
＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，
得（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i，
∴a＋b＋i（a＋2）＝1－i（a，b∈R），
∴解得
∴b＋ai＝4－3i，
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
15.解：az＋2bz＝（a＋2b）＋（a＋2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i
＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
∴（a＋2b）＋（a＋2b）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i.
∴
解得或
∴所求实数a＝－2，b＝4－3或a＝2，b＝4＋3.
2 / 2第1课时 复数的加法、减法、乘法运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的加、减运算 数学运算
2.理解复数乘法的运算法则，能进行复数的乘法运算 数学抽象、数学运算
3.掌握共轭复数的概念及应用 数学抽象、数学运算
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.
【问题】 复数中的加法满足交换律与结合律吗？
知识点一 复数的加法运算及运算律
1.复数的加法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则（a＋bi）＋（c＋di）＝ .
即两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加.
2.复数加法满足的运算律
对任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交换律：z1＋z2＝ ；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
知识点二 复数的减法运算
1.复数的差
把满足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的复数x＋yi（x，y∈R）叫作复数a＋bi减去c＋di所得的差，记作 .
2.复数的减法法则
（a＋bi）－（c＋di）＝ .
即两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.
提醒 复数的减法是加法的逆运算.
【想一想】
对于多个复数相加（减）应该如何运算呢？
知识点三 复数的乘法运算
1.复数的乘法法则
（a＋bi）（c＋di）＝ .
2.复数乘法的运算律
对任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交换律：z1z2＝ ；
（2）结合律：（z1z2）z3＝ ；
（3）分配律：z1（z2＋z3）＝ .
提醒 （1）两个复数的积仍是一个复数；（2）复数的乘法法则与多项式的乘法法则类似.
【想一想】
1.复数的乘法与多项式乘法有何不同？
2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
知识点四 共轭复数
1.共轭复数的定义
（1）把实部 、虚部 的两个复数叫作互为共轭复数；
（2）记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数记作，即＝ .
2.共轭数的性质
当复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数是 .
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.复数与复数相加减后结果只能是实数
B.在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减
C.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部
D.复数的减法不满足结合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（ ）
A.8i B.6
C.6＋8i D.6－8i
3.已知z＝3＋2i，则＝ ，z·＝ .
题型一 复数的加、减运算
【例1】 （1）（链接教科书第123页例1）计算：（5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝ ；
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝ .
通性通法
复数加（减）运算的法则
（1）复数代数形式的加（减）运算实质就是将实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；
（2）复数的加（减）运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】
1.－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝ .
2.（2024·常州月考）已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝ .
题型二 复数的乘法运算
【例2】 （链接教科书第124页例2、例3）（1）设a∈R，（a＋i）（1－ai）＞0，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
（2）计算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝ .
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1.计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（ ）
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
2.（2024·无锡月考）若复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m＝ .
题型三 共轭复数及其应用
【例3】 复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数.
通性通法
1.有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝a2＋b2；（2）z∈R z＝.
2.紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础.
【跟踪训练】
已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
1.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（ ）
A.5 B.1
C.0 D.－3
2.已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共轭复数的虚部是（ ）
A.1 B.i
C.－1 D.－i
3.（2024·南通月考）定义一种运算：＝ad－bc.则复数的共轭复数是 .
4.若复数z满足（1＋2i）＝4＋3i，则z＝ .
第1课时 复数的加法、减法、乘法运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（a＋c）＋（b＋d）i 2.（1）z2＋z1 （2）z1＋（z2＋z3）
知识点二
1.（a＋bi）－（c＋di） 2.（a－c）＋（b－d）i
想一想
提示：实部与虚部分别相加（减）.
知识点三
1.（ac－bd）＋（bc＋ad）i 2.（1）z2z1 （2）z1（z2z3） （3）z1z2＋z1z3
想一想
1.提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
2.提示：仍然成立，乘法公式也适用.
知识点四
1.（1）相等 互为相反数 （2）a－bi
2.它本身
自我诊断
1.BC 对于A，复数与复数相加减后结果为确定的复数，故A错误；B、C正确；对于D，根据复数的运算法则可知（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）是成立的，故D错误.故选B、C.
2.B 根据复数的加法法则得z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝6.故选B.
3.3－2i 13 解析：＝3－2i，z·＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）－10i （2）－1＋10i
解析：（1）（5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－3）＋[－5＋（－2）－3]i＝－10i.
（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，所以 所以 所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.
跟踪训练
1.－2－8i 解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝－i＋1－5i－2－3i＋i－1＝－2－8i.
2.3 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.
【例2】 （1）C （2）53＋23i
解析：（1）∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＞0，则复数2a＋（1－a2）i为实数，∴2a＞0且1－a2＝0，解得a＝1.故选C.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
跟踪训练
1.D （1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i.故选D.
2.－1 解析：∵（m2＋i）（1＋mi）＝m2－m＋（m3＋1）i是实数，∴m3＋1＝0，则m＝－1.
【例3】 解：设z＝x＋yi（x，y∈R），则＝x－yi.
∵z·＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i（x＋yi）＝4＋2i，
∴（x2＋y2－2y）＋2xi＝4＋2i.
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
∴z的共轭复数为＝1－3i或＝1＋i.
跟踪训练
解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.
由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
随堂检测
1.B 因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.
2.A z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－i，则＝i，复数的虚部为1.故选A.
3.－1－3i 解析：∵＝3i（1＋i）＋2＝－1＋3i，∴其共轭复数为－1－3i.
4.2＋i 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.∴（1＋2i）（a－bi）＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，∴解得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i.
3 / 3(共54张PPT)
第1课时
复数的加法、减法、乘法运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的加、减运算 数学运算
2.理解复数乘法的运算法则，能进行
复数的乘法运算 数学抽象、数学运算
3.掌握共轭复数的概念及应用 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还
满足交换律与结合律.
【问题】 复数中的加法满足交换律与结合律吗？
知识点一 复数的加法运算及运算律
1. 复数的加法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则（a＋bi）＋
（c＋di）＝ .
即两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加.
（a＋c）＋（b＋d）i
2. 复数加法满足的运算律
对任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交换律：z1＋z2＝ ；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
z2＋z1
z1＋（z2＋z3）
知识点二 复数的减法运算
1. 复数的差
把满足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的复数x＋yi（x，y∈R）
叫作复数a＋bi减去c＋di所得的差，记作
.
2. 复数的减法法则
（a＋bi）－（c＋di）＝ .
即两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.
提醒 复数的减法是加法的逆运算.
（a＋bi）－（c＋
di）
（a－c）＋（b－d）i
【想一想】
对于多个复数相加（减）应该如何运算呢？
提示：实部与虚部分别相加（减）.
知识点三 复数的乘法运算
1. 复数的乘法法则
（a＋bi）（c＋di）＝ .
2. 复数乘法的运算律
对任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交换律：z1z2＝ ；
（2）结合律：（z1z2）z3＝ ；
（3）分配律：z1（z2＋z3）＝ .
提醒 （1）两个复数的积仍是一个复数；（2）复数的乘法
法则与多项式的乘法法则类似.
（ac－bd）＋（bc＋ad）i
z2z1
z1（z2z3）
z1z2＋z1z3
【想一想】
1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？
提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所
得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也适用.
知识点四 共轭复数
1. 共轭复数的定义
（1）把实部 、虚部 的两个复数叫作互为
共轭复数；
（2）记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数记作 ，即
＝ .
2. 共轭数的性质
当复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部b＝0时，z＝ ，也就是
说，实数的共轭复数是 .
相等
互为相反数
a－bi
它本身
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 复数与复数相加减后结果只能是实数
B. 在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减
C. 在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加
得虚部
D. 复数的减法不满足结合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可
能不成立
√
√
解析： 对于A，复数与复数相加减后结果为确定的复数，故A
错误；B、C正确；对于D，根据复数的运算法则可知（z1－z2）－
z3＝z1－（z2＋z3）是成立的，故D错误.故选B、C.
2. 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（ ）
A. 8i B. 6
C. 6＋8i D. 6－8i
解析： 根据复数的加法法则得z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝
6.故选B.
3. 已知z＝3＋2i，则 ＝ ，z· ＝ .
解析： ＝3－2i，z· ＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13.
3－2i
13
√
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的加、减运算
【例1】 （1）（链接教科书第123页例1）计算：（5－5i）＋（－2
－2i）－（3＋3i）＝ ；
解析： （5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－
3）＋[－5＋（－2）－3]i＝－10i.
－10i
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，则z1
－z2＝ .
解析： 因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以
（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，所以 所以
所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－
（－8）]i＝－1＋10i.
－1＋10i
通性通法
复数加（减）运算的法则
（1）复数代数形式的加（减）运算实质就是将实部与实部相加
（减），虚部与虚部相加（减）之后分别作为结果的实部与虚
部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；
（2）复数的加（减）运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类
项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进
行计算.
【跟踪训练】
1. －i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝ .
解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝－i＋1－5i－2
－3i＋i－1＝－2－8i.
2. （2024·常州月考）已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1
＋z2是纯虚数，则实数a＝ .
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是纯虚
数，所以解得a＝3.
－2－8i
3
题型二 复数的乘法运算
【例2】 （链接教科书第124页例2、例3）（1）设a∈R，（a＋i）
（1－ai）＞0，则a＝（ C ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1
－a2）i＞0，则复数2a＋（1－a2）i为实数，∴2a＞0且1－a2
＝0，解得a＝1.故选C.
C
（2）计算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝ .
解析： （2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i
－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋
33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
53＋23i
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注
意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更
简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1. 计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（ ）
A. 2－13i B. 13＋2i
C. 13－13i D. －13－2i
解析： （1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）
＝－13－2i.故选D.
√
2. （2024·无锡月考）若复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m
＝ .
解析：∵（m2＋i）（1＋mi）＝m2－m＋（m3＋1）i是实数，
∴m3＋1＝0，则m＝－1.
－1
题型三 共轭复数及其应用
【例3】 复数z满足z· ＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数.
解：设z＝x＋yi（x，y∈R），则 ＝x－yi.
∵z· ＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i（x＋yi）＝4＋2i，
∴（x2＋y2－2y）＋2xi＝4＋2i.
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
∴z的共轭复数为 ＝1－3i或 ＝1＋i.
通性通法
1. 有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：（1）设z
＝a＋bi（a，b∈R），则z· ＝a2＋b2；（2）z∈R z＝ .
2. 紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解题
的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础.
【跟踪训练】
已知z∈C， 为z的共轭复数，若z· －3i ＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi.
由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
1. 若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则
a－b＝（ ）
A. 5 B. 1
C. 0 D. －3
解析： 因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，
所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.
√
2. 已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共轭复数的
虚部是（ ）
A. 1 B. i
C. －1 D. －i
解析： z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－
i，则 ＝i，复数 的虚部为1.故选A.
√
3. （2024·南通月考）定义一种运算： ＝ad－bc.则复数
的共轭复数是 .
解析：∵ ＝3i（1＋i）＋2＝－1＋3i，∴其共轭复数
为－1－3i.
－1－3i
4. 若复数z满足（1＋2i） ＝4＋3i，则z＝ .
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi.∴（1＋2i）（a
－bi）＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即（a＋2b）＋
（2a－b）i＝4＋3i，∴解得a＝2，b＝1.∴z＝2
＋i.
2＋i
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若复数满足（a＋3i）－（2－i）＝5＋bi（a，b∈R），则a＋b
＝（ ）
A. －4 B. 11
C. －8 D. 5
解析： （a＋3i）－（2－i）＝（a－2）＋4i＝5＋bi.
故即所以a＋b＝11.故选B.
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2. （2024·盐城联盟校期中）复数z＝（1－i）（2＋i）的实部为
（ ）
A. 3i B. 3
C. －i D. －1
解析： 复数z＝（1－i）（2＋i）＝3－i，其实部为3.故选B.
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3. （1－i） （1＋i）＝（ ）
解析： （1－i） （1＋i）＝（1－i）（1＋i）（－
＋ i）＝（1－i2） ＝2（－ ＋ i）＝－1＋ i.故
选D.
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4. 已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2
C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2
解析： 由题意知 ＝1＋2i，所以z＋a ＋b＝1－2i＋a（1＋
2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a ＋b＝0，所以a＋b＋
1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选
A.
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5. （多选）已知i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝－4＋3i，z3＝1－
i，则（ ）
A. z1＋z3＝4＋3i
B. z1与z2互为共轭复数
C. z1＋z2＋z3为纯虚数
D. （z1－z2）z3＝8－6i
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解析： 对于A，z1＋z3＝3＋4i＋（1－i）＝4＋3i，故A正
确；对于B，复数z1＝3＋4i的共轭复数为 ＝3－4i，故B错误；对
于C，z1＋z2＋z3＝3＋4i－4＋3i＋1－i＝6i，故C正确；对于D，因
z1－z2＝7＋i，则（z1－z2）z3＝（7＋i）（1－i）＝8－6i，故D正
确.故选A、C、D.
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6. （多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 纯虚数z的共轭复数是－z
C. 若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
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解析： 选项A中，根据共轭复数的定义知是真命题，故A
正确；选项B中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数
时，则有z1＝ ，当z1，z2均为虚数时，z1≠ ，故B错误；选
项C中，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，
或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，故C错误；选
项D中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与 互为共轭复数，故
D正确.故选A、D.
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7. 若复数z满足z＋（5－6i）＝3，则z的虚部为 .
解析：由z＋（5－6i）＝3，得z＝3－（5－6i）＝－2＋6i，故z的
虚部为6.
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8. 已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位），则a2＋b2
＝ ，ab＝ .
解析：由已知（a＋bi）2＝3＋4i，即a2－b2＋2abi＝3＋4i，得
解得则a2＋b2＝5，ab＝2.
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9. （2024·淮安月考）已知复数z1＝ －2mi，z2＝－m＋
m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝ .
解析：z1＋z2＝（ －2mi）＋（－m＋m2i）＝（
－m）＋（m2－2m）i.因为z1＋z2＞0，所以z1＋z2为实数且大于
0，所以解得m＝2.
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10. 计算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；
解： （－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i
＝－1－i.
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（2）（ ＋ i）＋（2－i）－（ － i）；
解： （ ＋ i）＋（2－i）－（ － i）
＝ ＋ i＋2－i－ ＋ i
＝（ ＋2－ ）＋（ －1＋ ）i
＝1＋i.
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（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2，z1z2.
解： z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）
＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.
z1z2＝（2＋3i）（－1＋2i）
＝－2＋4i－3i＋6i2
＝－2＋i－6
＝－8＋i.
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11. 据记载，欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R）是由瑞士著名数学
家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π
时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个
重要的数（自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数1和
0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据
欧拉公式，若复数z＝ 的共轭复数为 ，则 ＝（ ）
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解析： 由欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R），得z＝ ＝
cos ＋i sin ＝－ ＋ i，根据共轭复数定义可知 ＝－ －
i.故选A.
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12. （多选）若复数z满足z＋2 ＝9＋4i（i为虚数单位），则
（ ）
B. z＝3＋4i
C. z＝3－4i
解析： 设z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2 ＝9＋4i，∴x
＋yi＋2（x－yi）＝9＋4i，即3x－yi＝9＋4i，
∴∴∴z＝3－4i， ＝3＋4i，∴z ＝（3＋
4i）（3－4i）＝9－16i2＝9＋16＝25.故选A、C、D.
√
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解析：把 ＋ i代入方程，得a ＋b ＋1＝0，
即 ＋ i＝0，所以
即解得
13. （2024·扬州月考）已知 ＋ i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1
＝0的一个根，则a＝ ，b＝ .
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14. 已知复数z＝（1－i）2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i（a，
b∈R），求b＋ai的共轭复数.
解：z＝（1－i）2＋1＋3i
＝－2i＋1＋3i
＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，
得（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i，
∴a＋b＋i（a＋2）＝1－i（a，b∈R），
∴解得
∴b＋ai＝4－3i，
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
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15. 已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2bz＝（a＋2z）2成立，
求a，b的值.
解：az＋2bz＝（a＋2b）＋（a＋2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i
＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
∴（a＋2b）＋（a＋2b）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i.
∴
解得或
∴所求实数a＝－2 ，b＝4－3 或a＝2 ，b＝4＋3 .
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谢 谢 观 看！
