12.3 复数的几何意义
1.复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i（a∈R）对应的点在虚轴上，则（ ）
A.a≠2或a≠1 B.a≠2或a≠－1
C.a＝2或a＝0 D.a＝0
2.（2024·常州月考）在复平面内，复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，已知z1＝1＋i，则z1z2＝（ ）
A.－2 B.2
C.－2－i D.－2＋i
3.若z＝1＋i，则｜z2－2z｜＝（ ）
A.0 B.1
C. D.2
4.设复数z满足｜z－i｜＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A.（x＋1）2＋y2＝1 B.（x－1）2＋y2＝1
C.x2＋（y－1）2＝1 D.x2＋（y＋1）2＝1
5.（多选）（2024·连云港月考）设复数z满足z（1－i）＝2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.｜z｜＝
B.复数z的虚部是i
C.＝－1＋i
D.复数z在复平面内所对应的点在第一象限
6.（多选）已知复数z＝，则（ ）
A.z2 024是纯虚数
B.｜z＋i｜＝2
C.z的共轭复数为－i
D.若复数ω满足｜ω－z｜＝，则｜ω｜max＝1
7.i是虚数单位，设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝ ，｜x＋yi｜＝ .
8.已知i为虚数单位，复数z＝，则｜z｜＝ ，复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 .
9.若复数z＝（a－2）＋（a＋1）i，a∈R对应的点位于第二象限，则｜z｜的取值范围是 .
10.（2024·苏州期中）已知复数z在复平面上对应的点在第一象限，且｜z｜＝，z2的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设复数z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求·的值.
11.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的（ ）
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
12.（多选）已知复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的是（ ）
A.P0点的坐标为（2，1）
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点P在一条直线上
D.P0与z对应的点P间的距离的最小值为
13.（2024·镇江月考）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝ .
14.已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且·（3＋i）为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）设复数z1＝，求｜z1｜；
（2）设复数z2＝，且复数z2在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
15.已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
（2）平行四边形ABCD的面积.
12.3 复数的几何意义
1.C 由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
2.A 因为复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，z1＝1＋i，所以z2＝－1＋i，所以z1z2＝（1＋i）（－1＋i）＝－2.故选A.
3.D 法一 ∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜（1＋i）2－2（1＋i）｜＝｜2i－2i－2｜＝｜－2｜＝2.故选D.
法二 ∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜z｜｜z－2｜＝×｜－1＋i｜＝×＝2.故选D.
4.C 依题意z＝x＋yi，代入｜z－i｜＝1，得｜x＋（y－1）i｜＝1，∴＝1，即x2＋（y－1）2＝1.故选C.
5.AD 因为z（1－i）＝2，所以z＝＝＝1＋i，所以｜z｜＝＝，所以A正确；z＝1＋i的虚部为1，所以B错误；z＝1＋i的共轭复数为＝1－i，所以C错误；z＝1＋i在复平面内所对应的点为（1，1），在第一象限，所以D正确.故选A、D.
6.BC z＝＝＝＝i.对于A，z2 024＝i2 024＝1，故A错误；对于B，｜z＋i｜＝｜i＋i｜＝2，故B正确；对于C，z的共轭复数为－i，故C正确；对于D，｜ω－z｜＝｜ω－i｜＝的几何意义为ω在复平面内对应的点A到点（0，1）的距离为，故｜ω｜max＝1＋＝，故D错误.故选B、C.
7.1 解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴xy＝1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝.
8. 解析：由题意得，z＝＝＝＝＋i，所以｜z｜＝＝，＝－i，所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为.
9.［，3） 解析：复数z＝（a－2）＋（a＋1）i对应的点的坐标为（a－2，a＋1），因为该点位于第二象限，所以解得－1＜a＜2.由条件得｜z｜＝＝＝＝.因为－1＜a＜2，所以｜z｜∈［，3）.
10.解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z｜＝，z2＝（a＋bi）2＝（a2－b2）＋2abi，
因为｜z｜＝，z2的虚部为2，所以
解得或
又复数z在复平面上对应的点在第一象限，所以故z＝1＋i.
（2）因为z＝1＋i，所以z2＝（1＋i）2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
·＝（－1，1）·（0，－2）＝－2.
11.A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心.故选A.
12.ACD 复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0（2，1），因此A正确；复数z0的共轭复数2－i对应的点（2，－1）与点P0（2，1）关于虚轴不对称，因此B不正确；设点A（1，0），B（0，1），由复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，结合复数的几何意义，可知复数z对应的点P到点（1，0）与点（0，1）的距离相等，则复数z对应的点P在线段AB的垂直平分线y＝x上，因此C正确；P0（2，1）与z对应的点P间的距离的最小值为点P0到直线x－y＝0的距离d＝＝，因此D正确.故选A、C、D.
13.2 解析：法一 设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得＋＝＋＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝＋＋＋＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝（）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝
＝＝＝2.
法二 设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝－a＋（1－b）i，则即所以｜z1－z2｜2＝（2a－）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（a＋b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2.
法三 设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面内对应的点为P（，1），所以｜z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知四边形OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2××2＝2.
14.解：∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.
∴·（3＋i）＝（1－mi）（3＋i）＝（3＋m）＋（1－3m）i.
又∵·（3＋i）为纯虚数，
∴解得m＝－3.
∴z＝1－3i.
（1）z1＝＝－－i，
∴｜z1｜＝.
（2）∵z＝1－3i，i2 025＝i2024·i＝i，
∴z2＝＝.
又∵复数z2在复平面内所对应的点在第一象限，
∴解得a＞.
即实数a的取值范围是.
15.解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝（3，－1）.设D（x，y），
则＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴点D对应的复数为5.
（2）∵·＝｜｜｜｜cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0＜B＜π，∴sin B＝，
∴S四边形ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
2 / 212.3 复数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模的概念 数学抽象
2.理解复数的代数表示及其几何意义 直观想象
3.了解复数加、减运算的几何意义 直观想象
19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础.
复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.
【问题】 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
知识点一 复平面及复数的几何意义
1.复平面：把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 ， 轴叫作实轴， 轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
3.复数的模
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则向量的模叫作复数z＝a＋bi的模（或绝对值），记作 或 .由模的定义知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .
提醒 复数模的运算性质：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜｜＝；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z＝｜z｜2；③｜z1｜－｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜.
知识点二 复数加、减法的几何意义
1.复数加、减法的几何意义
设向量，分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）对应，且，不共线.
复数加法的几何意义 以，为两条邻边画 OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量
复数减法的几何意义 从向量的终点指向向量的终点的向量就是复数z1－z2对应的向量
提醒 （1）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则；（2）复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
2.复数的差的模
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则｜z1－z2｜＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的 .
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数
B.若一个数是实数，则其存在虚部
C.复数z＝－i在复平面内对应点Z的坐标为（0，－1）
D.复数的模一定是正实数
2.（2024·扬州中学期中）复数z＝，其中i为虚数单位，则z在复平面对应的点的坐标为（ ）
A.（0，－1） B.（0，1） C.（－1，0） D.（1，0）
3.已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数的模为 .
题型一 复数与复平面内的点、向量的关系
【例1】 （1）（链接教科书第130页例1）在复平面内，复数5＋6i，3－2i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则向量对应的复数是（ ）
A.8＋4i B.2＋8i
C.4＋2i D.1＋4i
（2）（链接教科书第131页练习3题）在复平面内，实数x分别取什么值时，复数z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应的点Z在：
①第三象限；
②直线x－y－3＝0上.
通性通法
1.利用复数与点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；
（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
2.复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；
（2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
【跟踪训练】
1.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是 .
2.求当实数m为何值时，复数z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－28）i在复平面内的对应点分别满足下列条件：
（1）位于第四象限；
（2）位于x轴的负半轴上.
题型二 复数的模及其几何意义的应用
【例2】 （链接教科书第130页例2、例3）已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
（1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小；
（2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？
【母题探究】
（变条件，变设问）若本例（2）改为：设z∈C，满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？
通性通法
1.在计算复数的模时，应先把复数表示成标准的代数形式，找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
2.解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：（1）复数z的模｜z｜表示复数在复平面内对应的点Z到原点的距离，可依据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.
【跟踪训练】
1.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ）
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
2.已知复数z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其中m∈R.
（1）若复数z1为实数，求实数m的值；
（2）求｜z1＋z2｜的最小值.
题型三 复数加、减法的几何意义
【例3】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.
求：（1）及对应的复数；
（2）对应的复数及｜｜.
通性通法
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）.
【跟踪训练】
已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数.
题型四 复数差的模的几何意义
【例4】 复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，则｜z｜的最大值是（ ）
A.7 B.9
C.3 D.5
通性通法
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
【跟踪训练】
1.若z1＝－1－2i，复数z满足方程｜z－z1｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为（ ）
A.以（－1，－2）为圆心，4为半径的圆
B.以（－1，－2）为圆心，2为半径的圆
C.以（1，2）为圆心，4为半径的圆
D.以（1，2）为圆心，2为半径的圆
2.已知｜z｜＝1且z∈C，求｜z－2－2i｜（i为虚数单位）的最小值.
1.（2024·苏州期中）i是虚数单位，则复数（3－i）（4－i）在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若O为复平面的原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（ ）
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
3.若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝时，点Z与点（1，2）的距离为 .
4.（2024·盐城南阳中学期中）已知方程z2－2z＋4＝0的两根为z1，z2，对应点为Z1，Z2，求△OZ1Z2的面积.
12.3 复数的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点一
1.复平面 x y 3.｜z｜ ｜a＋bi｜
知识点二
2.距离
自我诊断
1.BC 对于A，原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故A错误；对于B，若一个数是实数，则其虚部存在且为0，故B正确；对于C，复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1），故C正确；对于D，复数的模可以为0，故D错误.故选B、C.
2.B z＝＝＝i，z在复平面对应的点的坐标为（0，1）.故选B.
3. 解析：＝－＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.则｜｜＝｜1－i｜＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C 复数5＋6i表示的点为A（5，6），复数3－2i表示的点为B（3，－2），因为C为线段AB的中点，所以C（4，2），故向量对应的复数为4＋2i.故选C.
（2）解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.
①当实数x满足
即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限.
②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应点的坐标为Z（x2＋x－6，x2－2x－15），
当实数x满足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
跟踪训练
1.－6－8i 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝（4，3），＝（－2，－5）.又＝－＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量表示的复数是－6－8i.
2.解：（1）由题意，知
解得
即－7＜m＜3.
故当－7＜m＜3时，复数z的对应点位于第四象限.
（2）由题意，知
由②得m＝－7或m＝4.
因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①，
所以m＝4.
故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上.
【例2】 解：（1）因为｜z1｜＝｜＋i｜＝＝2，
｜z2｜＝－＋i＝ ＝1，
所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）法一 设z＝x＋yi（x，y∈R），则点Z的坐标为（x，y）.
由｜z｜＝｜z1｜＝2，得＝2，即x2＋y2＝4.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆.
法二 由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜｜＝2（O为坐标原点），
所以Z到原点的距离为2.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆.
母题探究
解：因为｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜≤2，可化为不等式组
设z＝x＋yi（x，y∈R），
因为不等式｜z｜≥1的解集是圆x2＋y2＝1上和该圆外部所有点组成的集合，
不等式｜z｜≤2的解集是圆x2＋y2＝4上和该圆内部所有点组成的集合，
这两个集合的交集，就是满足条件1≤｜z｜≤2的点的集合.
所以满足条件1≤｜z｜≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示.
跟踪训练
1.A 由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1，因为｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆.故选A.
2.解：（1）由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0，
即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0.
（2）因为z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i，
所以｜z1＋z2｜＝＝，
故｜z1＋z2｜的最小值为，此时m＝0.
【例3】 解：因为点A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义知与对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
（1）因为＝－＝－（3＋2i）＝－3－2i，
＝＋＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，
所以及对应的复数分别为－3－2i，1＋6i.
（2）因为＝－＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i，
所以｜｜＝｜5－2i｜＝＝.
跟踪训练
解：（1）由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，
于是＝－，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.
（2）由于＝－，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以对应的复数是5.
【例4】 A 由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即复数z在复平面内对应的点与复数－3－4i在复平面内对应的点的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆Q，数形结合可知｜z｜的最大值在点P处取得，则其最大值为＋2＝7.故选A.
跟踪训练
1.A 设z＝x＋yi，x，y∈R，由｜z－z1｜＝4，得｜（x＋1）＋（y＋2）i｜＝4，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝42＝16，故复数z在复平面内对应的点P组成的图形是以（－1，－2）为圆心，4为半径的圆.故选A.
2.解：因为｜z｜＝1且z∈C，作图如图，
所以｜z－2－2i｜的几何意义为单位圆上的点M到复平面内的点P（2，2）的距离，
所以｜z－2－2i｜的最小值为｜OP｜－1＝2－1.
随堂检测
1.D z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i在复平面内对应的点为（11，－7），它位于第四象限.故选D.
2.C 由复数的几何意义，可得＝（5，－4），＝（－5，4），所以＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以＋对应的复数为0.
3.1或 解析：∵｜z｜＝＝，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），两点间的距离为＝.
4.解：因为z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即（）2＝－1，
又因为i2＝－1，所以（）2＝i2，所以＝±i，即z＝1±i.
即方程z2－2z＋4＝0的两根为z1＝1＋i，z2＝1－i，对应点为Z1（1，），Z2（1，－），
所以△OZ1Z2的面积为×1×2＝.
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12.3 复数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模的概念 数学抽象
2.理解复数的代数表示及其几何意义 直观想象
3.了解复数加、减运算的几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础.
复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在
性”，为进一步研究复数奠定了基础.
【问题】 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来
表示呢？
知识点一 复平面及复数的几何意义
1. 复平面：把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作
， 轴叫作实轴， 轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实
数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复平
面
x
y
2. 复数的几何意义
3. 复数的模
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为 ，则向量 的模叫
作复数z＝a＋bi的模（或绝对值），记作 或
.由模的定义知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .
提醒 复数模的运算性质：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜ ｜＝
；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z ＝｜z｜2；③｜z1｜
－｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜.
｜z｜
｜a＋
bi｜
知识点二 复数加、减法的几何意义
1. 复数加、减法的几何意义
设向量 ， 分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c，
d∈R）对应，且 ， 不共线.
复数加法的
几何意义
复数减法的
几何意义
提醒 （1）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法
则；（2）复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
2. 复数的差的模
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则｜z1－z2｜＝
，即两个复数的差的模就是复平面内与
这两个复数对应的两点间的 .
距离
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数
B. 若一个数是实数，则其存在虚部
C. 复数z＝－i在复平面内对应点Z的坐标为（0，－1）
D. 复数的模一定是正实数
√
√
解析： 对于A，原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故
A错误；对于B，若一个数是实数，则其虚部存在且为0，故B正确；对于C，复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1），故C正确；对于D，复数的模可以为0，故D错误.故选B、C.
2. （2024·扬州中学期中）复数z＝ ，其中i为虚数单位，则z在复
平面对应的点的坐标为（ ）
A. （0，－1） B. （0，1）
C. （－1，0） D. （1，0）
解析： z＝ ＝ ＝i，z在复平面对应的点的坐标为
（0，1）.故选B.
√
3. 已知向量 对应的复数为2－3i，向量 对应的复数为3－4i，
则向量 对应的复数的模为 .
解析： ＝ － ＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.则｜
｜＝｜1－i｜＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数与复平面内的点、向量的关系
【例1】 （1）（链接教科书第130页例1）在复平面内，复数5＋6i，
3－2i对应的点分别为A，B. 若C为线段AB的中点，则向量 对应
的复数是（ ）
A. 8＋4i B. 2＋8i
√
解析： 复数5＋6i表示的点为A（5，6），复数3－2i表示的
点为B（3，－2），因为C为线段AB的中点，所以C（4，
2），故向量 对应的复数为4＋2i.故选C.
C. 4＋2i D. 1＋4i
（2）（链接教科书第131页练习3题）在复平面内，实数x分别取
什么值时，复数z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应的点
Z在：
①第三象限；
②直线x－y－3＝0上.
解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.
①当实数x满足
即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限.
②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应点的坐标为Z（x2
＋x－6，x2－2x－15），
当实数x满足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
通性通法
1. 利用复数与点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，
b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决
此类问题的根据；
（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条
件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
2. 复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在
原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反
之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线
段，即为复数对应的向量；
（2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平
面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量
之间的转化.
【跟踪训练】
1. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，则向量 表示的复
数是 .
解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，所以
＝（4，3）， ＝（－2，－5）.又 ＝ － ＝（－2，－
5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量 表示的复数是－6－
8i.
－6－8i
2. 求当实数m为何值时，复数z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－
28）i在复平面内的对应点分别满足下列条件：
（1）位于第四象限；
解： 由题意，知
解得
即－7＜m＜3.
故当－7＜m＜3时，复数z的对应点位于第四象限.
（2）位于x轴的负半轴上.
解： 由题意，知
由②得m＝－7或m＝4.
因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①，
所以m＝4.
故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上.
题型二 复数的模及其几何意义的应用
【例2】 （链接教科书第130页例2、例3）已知复数z1＝ ＋i，z2
＝－ ＋ i.
（1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小；
解： 因为｜z1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2，
｜z2｜＝ － ＋ i ＝ ＝1，
所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是
什么图形？
解： 法一 设z＝x＋yi（x，y∈R），则点Z的坐标为
（x，y）.
由｜z｜＝｜z1｜＝2，得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆.
法二 由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜ ｜＝2（O为坐标原点），
所以Z到原点的距离为2.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆.
【母题探究】
（变条件，变设问）若本例（2）改为：设z∈C，满足｜z2｜≤｜
z｜≤｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？
解：因为｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜
≤2，可化为不等式组
设z＝x＋yi（x，y∈R），
因为不等式｜z｜≥1的解集是圆x2＋y2＝1上和该圆外部所有点组成的集合，
不等式｜z｜≤2的解集是圆x2＋y2＝4上和该圆内部所有点组成的集合，
这两个集合的交集，就是满足条件1≤｜z｜≤2的点的集合.
所以满足条件1≤｜z｜≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示.
通性通法
1. 在计算复数的模时，应先把复数表示成标准的代数形式，找出复数
的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较
大小，但它们的模可以比较大小.
2. 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：（1）复数
z的模｜z｜表示复数在复平面内对应的点Z到原点的距离，可依
据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数的
模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.
【跟踪训练】
1. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z在复平面内对应
点的集合是（ ）
A. 1个圆 B. 线段
C. 2个点 D. 2个圆
解析： 由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3
或｜z｜＝－1，因为｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以复数z在复平
面内对应点的集合是1个圆.故选A.
√
2. 已知复数z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其
中m∈R.
（1）若复数z1为实数，求实数m的值；
解： 由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m
＝0，
即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0.
（2）求｜z1＋z2｜的最小值.
解： 因为z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i，
所以｜z1＋z2｜＝ ＝ ，
故｜z1＋z2｜的最小值为 ，此时m＝0.
题型三 复数加、减法的几何意义
【例3】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，
A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.
求：（1） 及 对应的复数；
解：因为点A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义知 与 对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
（1）因为 ＝－ ＝－（3＋2i）＝－3－2i，
＝ ＋ ＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，
所以 及 对应的复数分别为－3－2i，1＋6i.
（2） 对应的复数及｜ ｜.
解：因为 ＝ － ＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i，
所以｜ ｜＝｜5－2i｜＝ ＝ .
通性通法
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加
法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减
数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向
量 对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）.
【跟踪训练】
已知平行四边形ABCD中， 与 对应的复数分别是3＋2i与1＋
4i，两对角线AC与BD相交于O点.
（1）求 对应的复数；
解： 由于四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ＋ ，
于是 ＝ － ，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即
对应的复数是－2＋2i.
（2）求 对应的复数.
解： 由于 ＝ － ，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝
5，所以 对应的复数是5.
题型四 复数差的模的几何意义
【例4】 复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，则｜z｜的最大值是（ ）
A. 7 B. 9
C. 3 D. 5
√
解析： 由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即
复数z在复平面内对应的点与复数－3－4i在复平面
内对应的点的距离为2，复数z在复平面内对应的点
在复平面内的轨迹为如图所示的圆Q，数形结合可
知｜z｜的最大值在点P处取得，则其最大值为 ＋2＝7.故选A.
通性通法
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要
把绝对值号内变为两复数差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离
公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进
行求解.
【跟踪训练】
1. 若z1＝－1－2i，复数z满足方程｜z－z1｜＝4，那么复数z在复平
面内对应的点P组成的图形为（ ）
A. 以（－1，－2）为圆心，4为半径的圆
B. 以（－1，－2）为圆心，2为半径的圆
C. 以（1，2）为圆心，4为半径的圆
D. 以（1，2）为圆心，2为半径的圆
√
解析： 设z＝x＋yi，x，y∈R，由｜z－z1｜＝4，得｜（x＋
1）＋（y＋2）i｜＝4，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝42＝16，故复
数z在复平面内对应的点P组成的图形是以（－1，－2）为圆心，4
为半径的圆.故选A.
2. 已知｜z｜＝1且z∈C，求｜z－2－2i｜（i为虚数单位）的最小
值.
解：因为｜z｜＝1且z∈C，作图如图，
所以｜z－2－2i｜的几何意义为单位圆上的点M
到复平面内的点P（2，2）的距离，
所以｜z－2－2i｜的最小值为｜OP｜－1＝2
－1.
1. （2024·苏州期中）i是虚数单位，则复数（3－i）（4－i）在复平
面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i
在复平面内对应的点为（11，－7），它位于第四象限.故选D.
√
2. 若O为复平面的原点，向量 对应的复数是5－4i，向量 对
应的复数是－5＋4i，则 ＋ 对应的复数是（ ）
A. －10＋8i B. 10－8i
C. 0 D. 10＋8i
解析： 由复数的几何意义，可得 ＝（5，－4）， ＝
（－5，4），所以 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，
0），所以 ＋ 对应的复数为0.
√
3. 若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝ 时，
点Z与点（1，2）的距离为 .
解析：∵｜z｜＝ ＝ ，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1
＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为
＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），
两点间的距离为 ＝ .
1或
4. （2024·盐城南阳中学期中）已知方程z2－2z＋4＝0的两根为z1，
z2，对应点为Z1，Z2，求△OZ1Z2的面积.
解：因为z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即
（ ）2＝－1，
又因为i2＝－1，所以（ ）2＝i2，所以 ＝±i，即z＝1± i.
即方程z2－2z＋4＝0的两根为z1＝1＋ i，z2＝1－ i，对应点
为Z1（1， ），Z2（1，－ ），
所以△OZ1Z2的面积为 ×1×2 ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i（a∈R）对应的点在虚轴
上，则（ ）
A. a≠2或a≠1 B. a≠2或a≠－1
C. a＝2或a＝0 D. a＝0
解析： 由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
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√
2. （2024·常州月考）在复平面内，复数z1，z2对应的两个点关于虚轴
对称，已知z1＝1＋i，则z1z2＝（ ）
A. －2 B. 2
C. －2－i D. －2＋i
解析： 因为复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，z1＝1＋i，
所以z2＝－1＋i，所以z1z2＝（1＋i）（－1＋i）＝－2.故选A.
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3. 若z＝1＋i，则｜z2－2z｜＝（ ）
A. 0 B. 1
D. 2
解析： 法一 ∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜（1＋i）2－2（1
＋i）｜＝｜2i－2i－2｜＝｜－2｜＝2.故选D.
√
法二 ∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜z｜｜z－2｜＝ ×｜－1＋
i｜＝ × ＝2.故选D.
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4. 设复数z满足｜z－i｜＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），
则（ ）
A. （x＋1）2＋y2＝1 B. （x－1）2＋y2＝1
C. x2＋（y－1）2＝1 D. x2＋（y＋1）2＝1
解析： 依题意z＝x＋yi，代入｜z－i｜＝1，得｜x＋（y－
1）i｜＝1，∴ ＝1，即x2＋（y－1）2＝1.故
选C.
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5. （多选）（2024·连云港月考）设复数z满足z（1－i）＝2（其中i
为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
B. 复数z的虚部是i
D. 复数z在复平面内所对应的点在第一象限
√
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解析： 因为z（1－i）＝2，所以z＝ ＝ ＝1＋
i，所以｜z｜＝ ＝ ，所以A正确；z＝1＋i的虚部为1，
所以B错误；z＝1＋i的共轭复数为 ＝1－i，所以C错误；z＝1＋i
在复平面内所对应的点为（1，1），在第一象限，所以D正确.故
选A、D.
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6. （多选）已知复数z＝ ，则（ ）
A. z2 024是纯虚数
B. ｜z＋i｜＝2
C. z的共轭复数为－i
√
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解析： z＝ ＝ ＝ ＝i.对于A，z2 024＝i2 024＝
1，故A错误；对于B，｜z＋i｜＝｜i＋i｜＝2，故B正确；对于
C，z的共轭复数为－i，故C正确；对于D，｜ω－z｜＝｜ω－i｜
＝ 的几何意义为ω在复平面内对应的点A到点（0，1）的距离为
，故｜ω｜max＝1＋ ＝ ，故D错误.故选B、C.
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解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，
∴xy＝1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝ .
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8. 已知i为虚数单位，复数z＝ ，则｜z｜＝ ，复数z的共轭
复数 在复平面内对应的点的坐标为 .
解析：由题意得，z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以｜
z｜＝ ＝ ， ＝ － i，所以复数z的共轭复数 在
复平面内对应的点的坐标为 .
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解析：复数z＝（a－2）＋（a＋1）i对应的点的坐标为（a－2，
a＋1），因为该点位于第二象限，所以解得－1＜a
＜2.由条件得｜z｜＝ ＝
＝ ＝ .因为－1＜a＜2，所
以｜z｜∈［ ，3）.
［ ，3）
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10. （2024·苏州期中）已知复数z在复平面上对应的点在第一象限，
且｜z｜＝ ，z2的虚部为2.
（1）求复数z；
解： 设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z｜＝
，z2＝（a＋bi）2＝（a2－b2）＋2abi，
因为｜z｜＝ ，z2的虚部为2，所以
解得或
又复数z在复平面上对应的点在第一象限，所以故
z＝1＋i.
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（2）设复数z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，
求 · 的值.
解： 因为z＝1＋i，所以z2＝（1＋i）2＝2i，z－z2＝1
＋i－2i＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
· ＝（－1，1）·（0，－2）＝－2.
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11. △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜
z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的
（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析： 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知
复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为
△ABC的外心.故选A.
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12. （多选）已知复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点
为P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的是
（ ）
A. P0点的坐标为（2，1）
B. 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C. 复数z对应的点P在一条直线上
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解析： 复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点
为P0（2，1），因此A正确；复数z0的共轭复数2－i对应的点
（2，－1）与点P0（2，1）关于虚轴不对称，因此B不正确；设
点A（1，0），B（0，1），由复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，
结合复数的几何意义，可知复数z对应的点P到点（1，0）与点
（0，1）的距离相等，则复数z对应的点P在线段AB的垂直平分
线y＝x上，因此C正确；P0（2，1）与z对应的点P间的距离的
最小值为点P0到直线x－y＝0的距离d＝ ＝ ，因此D正
确.故选A、C、D.
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13. （2024·镇江月考）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2
＝ ＋i，则｜z1－z2｜＝ 2 .
解析：法一 设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，
y2∈R），则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得 ＋ ＝ ＋ ＝4.因
为z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝ ＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1
＋x2）2＋（y1＋y2）2＝ ＋ ＋ ＋ ＋2x1x2＋2y1y2＝8＋
2x1x2＋2y1y2＝（ ）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所
以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝
＝
＝ ＝2 .
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法二 设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝ －a＋（1－b）i，则
即所以｜
z1－z2｜2＝（2a－ ）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（ a＋
b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2 .
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法三 设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z1
＋z2＝z＝ ＋i，则z在复平面内对应的点为P（ ，1），所以｜
z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知四边形OAPB是边长为2，
一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2×
×2＝2 .
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14. 已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且 ·（3＋i）为纯
虚数（ 是z的共轭复数）.
（1）设复数z1＝ ，求｜z1｜；
解：∵z＝1＋mi，∴ ＝1－mi.
∴ ·（3＋i）＝（1－mi）（3＋i）＝（3＋m）＋（1－
3m）i.
又∵ ·（3＋i）为纯虚数，
∴解得m＝－3.∴z＝1－3i.
（1）z1＝ ＝－ － i，∴｜z1｜＝ .
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（2）设复数z2＝ ，且复数z2在复平面内所对应的点在第一
象限，求实数a的取值范围.
解： ∵z＝1－3i，i2 025＝i2024·i＝i，
∴z2＝ ＝ .
又∵复数z2在复平面内所对应的点在第一象限，
∴解得a＞ .
即实数a的取值范围是 .
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15. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向
量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
解： ∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，
∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵ ＝ ＋ ，∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵ ＝ ，∴向量 对应的复数为3－i，
即 ＝（3，－1）.设D（x，y），
则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得∴点D对应的复数为5.
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（2）平行四边形ABCD的面积.
解： ∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B，
∴ cos B＝ ＝ ＝ .
∵0＜B＜π，∴ sin B＝ ，
∴S四边形ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝
7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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