13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
1.下列几何体中是棱柱的有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是（ ）
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.四棱柱
3.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ）
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
4.一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为（ ）
A.6 B.8
C.10 D.12
5.（多选）给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B.有的棱台的侧棱长相等
C.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
6.（多选）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）
7.一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，有 条棱.
8.如图所示的几何体，下列描述正确的有 （填序号）.
①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
9.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是 .
10.分别画出六面体：（1）使它是一个四棱柱；（2）使它由两个三棱锥组成；（3）使它是五棱锥.
11.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
A.至多有一个是直角三角形
B.至多有两个是直角三角形
C.可能都是直角三角形
D.必然都是非直角三角形
12.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
13.（2024·苏州月考）如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为 .
14.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
（3）每个面的三角形面积为多少？
15.如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
1.C 由棱柱的定义，观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个.故选C.
2.B 余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选B.
3.B 根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.
4.D 因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥.又正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60，可知每条侧棱长为12.
5.BCD A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；易知B正确；C正确，因为过两个相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形.故选B、C、D.
6.BC A图还原成正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；B图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；C图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；D图还原成正方体后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面.综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是B、C.
7.5 6 9 解析：三棱台的面数、顶点数、棱数最少.
8.①③④⑤ 解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图（1）（2）.
9. 解析：设长方体长、宽、高分别为x，y，z，则yz＝，xz＝，yx＝，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝，解得x＝，y＝，z＝1，所以＝＝.
10.解：如图所示.图①是一个四棱柱；图②是一个由两个三棱锥组成的几何体；图③是一个五棱锥.
11.C 在如图所示的长方体中，三棱锥A A1C1D1的三个侧面都是直角三角形.故选C.
12.D 正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三角形构成.设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面正六边形的边、侧棱构成直角三角形得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D.
13.4 解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周长的最小值为4 .
14.解：（1）如图，折起后形成的几何体是三棱锥.
（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
（3）S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2.
15.解：（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.
（2）不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对.
2 / 213.1.1 棱柱、棱锥和棱台
新课程标准解读 核心素养
利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 数学抽象、直观想象
观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
【问题】 你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？
知识点一 棱柱的结构特征
类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作： 棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
【想一想】
棱柱的侧棱是否都互相平行且相等？
知识点二 棱锥的结构特征
类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共顶点的三角形； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
【想一想】
各个面都是三角形的几何体是棱锥吗？
知识点三 棱台的结构特征
类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 台 用一个 的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
提醒 （1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱台、三棱锥为例）
（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系
【想一想】
棱台的侧棱延长后是否会相交于一点？
知识点四 多面体
定义 由若干个 围成的空间图形
图形
相关 概念 面：围成多面体的各个 ； 棱：相邻两个面的 ； 顶点：棱与棱的公共点
分类 按平面多边形的个数分为四面体、五面体、六面体……
1.（2024·南京金陵中学期中）下列几何体中，棱数最多的是（ ）
A.五棱锥 B.三棱台
C.三棱柱 D.四棱锥
2.（多选）下面多面体中，是棱锥的为（ ）
3.下列几何体中，是棱台的为（ ）
题型一 棱柱的结构特征
【例1】 （1）（多选）下列关于棱柱的说法中正确的是（ ）
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
通性通法
棱柱结构特征的辨析方法
判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征：
（1）有两个面互相平行；
（2）其余各面都是平行四边形；
（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
提醒 （1）以上三个本质特征缺一不可；（2）在概念辨析时，也可用举反例法直接判断（否定）.
【跟踪训练】
下列命题中正确的是（ ）
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的空间图形叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
题型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 （1）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
（2）下列说法中正确的是（ ）
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
通性通法
判断棱锥、棱台的方法
（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法；
（2）直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
【跟踪训练】
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 .
题型三 棱柱、棱台、棱锥的画法
【例3】 （链接教科书第153页例1）画一个三棱柱和四棱台.
通性通法
棱柱、棱锥、棱台的画法步骤
（1）画棱柱：①画上底面：画出上底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画侧棱：从上底面多边形的每一个顶点画平行且相等的线段；③画下底面：顺次连接这些线段的另一个端点.
（2）画棱锥：①画底面：画出底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画顶点：在底面的上方取一个符合要求的空间点；③画侧棱：顺次连接底面多边形的顶点与棱锥的顶点.
（3）画棱台：首先画一个棱锥，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去.
提醒 在画棱柱、棱锥和棱台时，要特别注意被遮挡的线要画成虚线，未被遮挡的线要画成实线.这样不仅虚实分明，还使得空间图形更加富有立体感.
【跟踪训练】
画一个四面体（三棱锥）.
题型四 多面体的侧面展开图
【例4】 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（ ）
通性通法
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养.
【跟踪训练】
如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？
1.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ）
A.四棱柱 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱锥
2.下列说法错误的是（ ）
A.多面体至少有六条棱
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
3.如图中的几何体叫作 （填“棱柱”“棱锥”“棱台”），PA，PB是它的 ，△PBC，△PCD是它的 ，四边形ABCD是它的 .
4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是 .
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
【基础知识·重落实】
知识点一
想一想
提示：由棱柱的定义及特点可知，棱柱的侧棱都互相平行且相等.
知识点二
公共边
想一想
提示：不一定是棱锥.如图所示的几何体不是棱锥.
知识点三
平行于棱锥底面
想一想
提示：由棱台的特点知棱台的侧棱延长后都相交于一点.
知识点四
平面多边形 平面多边形 交线
自我诊断
1.A 因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥.故选A.
2.ABD 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A、B、D是棱锥，C不是棱锥，故选A、B、D.
3.D A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义；D符合棱台的定义.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）CD 棱柱的侧面是平行四边形，上下底面可以是三角形，也可以是四边形及多边形，故A错误，B错误；由棱柱的定义易知C正确；对于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，故D正确.故选C、D.
（2）解：①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
跟踪训练
D 由棱柱的定义知D正确.
【例2】 （1）AB （2）D 解析：（1）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错.
（2）对于A，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间部分是棱台，A中的平面不一定平行于底面，故A错误；对于选项B、C，可以用反例验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；对于D，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选D.
跟踪训练
①② 解析：①正确，棱台的侧棱延长后必交于一点，故侧面一定不是平行四边形，而是梯形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体（三棱锥）；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
【例3】 解：（1）画三棱柱可分以下三步完成：
第一步，画上底面——画一个三角形；
第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.
（2）画四棱台可分以下三步完成：
第一步，画一个四棱锥；
第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；
第三步，将多余的线段擦去（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.
跟踪训练
解：画四面体可分以下两步完成：
第一步，画底面——画一个△ABC；
第二步，画侧棱——在底面上方任取一点P，顺次连接PA，PB，PC，三棱锥P-ABC即为所画的四面体（如图所示）.
【例4】 A 其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.
跟踪训练
解：在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
随堂检测
1.B 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
2.D 由棱柱的定义知D不正确.故选D.
3.棱锥 侧棱 侧面 底面
4.1∶4 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方.
6 / 6(共69张PPT)
13.1.1
棱柱、棱锥和棱台
新课程标准解读 核心素养
利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱
锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中
简单物体的结构 数学抽象、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装
饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、
埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的
建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
【问题】 你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数
学知识？
知识点一 棱柱的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 柱 由一个平面多边形沿某一方
向平移形成的空间图形叫作
棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF-
A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共点 底面为三角
形、四边
形、五边
形……的棱
柱分别称为
三棱柱、四
棱柱、五棱
柱……
【想一想】
棱柱的侧棱是否都互相平行且相等？
提示：由棱柱的定义及特点可知，棱柱的侧棱都互相平行且相等.
知识点二 棱锥的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 锥 当棱柱的一
个底面收缩
为一个点
时，得到的
空间图形叫
作棱锥 如图可记作：棱
锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共
顶点的三角形； 侧棱：相邻侧面
的 ； 顶点：由棱柱的一
个底面收缩而成 按底面
多边形
的边数
分：三
棱锥、
四棱
锥……
公共边
【想一想】
各个面都是三角形的几何体是棱锥吗？
提示：不一定是棱锥.如图所示的几何体不是棱锥.
知识点三 棱台的结构特征
类
别 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 台 用一
的平面去截棱
锥，截面和底
面之间的部分
称为棱台 如图可记作：棱台
ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥
的截面； 下底面：原棱锥
的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面
的公共边； 顶点：侧面与上
（下）底面的公
共点 由三棱锥、四棱锥、
五棱锥……
截得的棱台分别叫作
三棱台、四
棱台、五棱
台……
平行于棱
锥底面
提醒 （1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱台、三棱锥
为例）
（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系
【想一想】
棱台的侧棱延长后是否会相交于一点？
提示：由棱台的特点知棱台的侧棱延长后都相交于一点.
知识点四 多面体
定义 由若干个 围成的空间图形
图形
相关 概念 面：围成多面体的各个 ；
棱：相邻两个面的 ；
顶点：棱与棱的公共点
分类 按平面多边形的个数分为四面体、五面体、六面
体……
平面多边形
平面多边形
交线
1. （2024·南京金陵中学期中）下列几何体中，棱数最多的是
（ ）
A. 五棱锥 B. 三棱台
C. 三棱柱 D. 四棱锥
解析： 因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9
条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱
锥.故选A.
√
2. （多选）下面多面体中，是棱锥的为（ ）
解析： 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A、B、D是
棱锥，C不是棱锥，故选A、B、D.
√
√
√
3. 下列几何体中，是棱台的为（ ）
√
解析： A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义；B中的截
面不平行于底面，不符合棱台的定义；D符合棱台的定义.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 棱柱的结构特征
【例1】 （1）（多选）下列关于棱柱的说法中正确的是（ ）
A. 所有的面都是平行四边形
B. 每一个面都不会是三角形
C. 两底面平行，并且各侧棱也平行
D. 被平面截成的两部分可以都是棱柱
√
√
解析： 棱柱的侧面是平行四边形，上下底面可以是三角
形，也可以是四边形及多边形，故A错误，B错误；由棱柱的定
义易知C正确；对于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个
棱柱，故D正确.故选C、D.
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱
A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间
图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不
是，请说明理由.
解：①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面
作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相
平行，符合棱柱的定义.
②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下
方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
通性通法
棱柱结构特征的辨析方法
判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质
特征：
（1）有两个面互相平行；
（2）其余各面都是平行四边形；
（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
提醒 （1）以上三个本质特征缺一不可；（2）在概念辨析
时，也可用举反例法直接判断（否定）.
【跟踪训练】
下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的空间图形叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
解析： 由棱柱的定义知D正确.
√
题型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 （1）（多选）下列说法中正确的有（ AB ）
A. 棱锥的各个侧面都是三角形
B. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C. 棱锥的侧棱平行
D. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
AB
解析： 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故
A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体
的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱
交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三
角形，故D错.
（2）下列说法中正确的是（ D ）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
D
解析：对于A，用一个平行于棱锥底面的平面去
截棱锥，截面和底面之间部分是棱台，A中的
平面不一定平行于底面，故A错误；对于选项
B、C，可以用反例验证，如图所示，侧棱延长
线不能相交于一点，故B、C错误；对于D，由
棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一
点，故D正确.故选D.
通性通法
判断棱锥、棱台的方法
（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、
棱台结构特征的某些不正确的说法；
（2）直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面
即为底面 两个互相平行的面，即为
底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
【跟踪训练】
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 .
解析：①正确，棱台的侧棱延长后必交于一点，故侧面一定
不是平行四边形，而是梯形；②正确，由四个平面围成的封
闭图形是四面体（三棱锥）；③错误，如图所示的四棱锥被
平面截成的两部分都是棱锥.
①②
题型三 棱柱、棱台、棱锥的画法
【例3】 （链接教科书第153页例1）画一个三棱柱和四棱台.
解：（1）画三棱柱可分以下三步完成：
第一步，画上底面——画一个三角形；
第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.
（2）画四棱台可分以下三步完成：
第一步，画一个四棱锥；
第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.
通性通法
棱柱、棱锥、棱台的画法步骤
（1）画棱柱：①画上底面：画出上底面多边形（要注意与平面图形
有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画侧棱：从上底面
多边形的每一个顶点画平行且相等的线段；③画下底面：顺次
连接这些线段的另一个端点.
（2）画棱锥：①画底面：画出底面多边形（要注意与平面图形有所
区别，这里的多边形是直观图形）；②画顶点：在底面的上方
取一个符合要求的空间点；③画侧棱：顺次连接底面多边形的
顶点与棱锥的顶点.
（3）画棱台：首先画一个棱锥，在它的一条侧棱上取一点，然后从
这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，
最后将多余的线段擦去.
提醒 在画棱柱、棱锥和棱台时，要特别注意被遮挡的线要画
成虚线，未被遮挡的线要画成实线.这样不仅虚实分明，还使得
空间图形更加富有立体感.
【跟踪训练】
画一个四面体（三棱锥）.
解：画四面体可分以下两步完成：
第一步，画底面——画一个△ABC；
第二步，画侧棱——在底面上方任取一点
P，顺次连接PA，PB，PC，三棱锥P-ABC即为所画的四面体（如图所示）.
题型四 多面体的侧面展开图
【例4】 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图
所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（ ）
√
解析： 其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的
相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相
邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.
通性通法
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想
象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的
形状，借助展开图，培养直观想象素养.
【跟踪训练】
如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？
解：在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，
符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形且具有共同的顶点，还有一
个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线
交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开
图还原为原空间图形，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
1. 有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几
何体为（ ）
A. 四棱柱 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 三棱锥
解析： 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
√
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 多面体至少有六条棱
B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C. 长方体、正方体都是棱柱
D. 三棱柱的侧面为三角形
解析： 由棱柱的定义知D不正确.故选D.
√
3. 如图中的几何体叫作 （填“棱柱”“棱锥”“棱
台”），PA，PB是它的 ，△PBC，△PCD是它的
，四边形ABCD是它的 .
棱锥
侧棱
侧
面
底面
4. 若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比
是 .
解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积
之比为对应边之比的平方.
1∶4
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列几何体中是棱柱的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
√
解析： 由棱柱的定义，观察图形满足棱柱概念的几何体有①③
⑤，共3个.故选C.
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2. 如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余
部分是（ ）
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 四棱柱
解析： 余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选B.
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3. 设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝
{正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ）
A. P N M Q B. Q M N P
C. P M N Q D. Q N M P
解析： 根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特
殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱
柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.
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4. 一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为
（ ）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
解析： 因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥.又
正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60，可知每条侧棱长为
12.
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5. （多选）给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B. 有的棱台的侧棱长相等
C. 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱
柱为直四棱柱
D. 存在每个面都是直角三角形的四面体
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解析： A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的
各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；易知B
正确；C正确，因为过两个相对侧棱的截面的交线
平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方
体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面
都是直角三角形.故选B、C、D.
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6. （多选）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两
个完全一样的是（ ）
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解析： A图还原成正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对
面；B图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；C图
还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；D图还原成正
方体后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面.综上可得，还原成正方
体后，正方体完全一样的是B、C.
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7. 一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，
有 条棱.
解析：三棱台的面数、顶点数、棱数最少.
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①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
解析：①正确，因为有六个面，属于六面
体；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一
点，所以不正确；③正确，如果把几何体中
两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；
④⑤都正确，如图（1）（2）.
8. 如图所示的几何体，下列描述正确的有 （填序号）.
①③④⑤
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9. 一个长方体共顶点的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个
长方体对角线的长是 .
解析：设长方体长、宽、高分别为x，y，z，则yz＝ ，xz＝
，yx＝ ，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝ ，解得x＝
，y＝ ，z＝1，所以 ＝ ＝ .
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10. 分别画出六面体：（1）使它是一个四棱柱；（2）使它由两个三
棱锥组成；（3）使它是五棱锥.
解：如图所示.图①是一个四棱柱；图②是一个由两个三棱锥组成的几何体；图③是一个五棱锥.
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11. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面
（ ）
A. 至多有一个是直角三角形
B. 至多有两个是直角三角形
C. 可能都是直角三角形
D. 必然都是非直角三角形
解析： 在如图所示的长方体中，三棱锥
A A1C1D1的三个侧面都是直角三角形.故选C.
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12. 一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 五棱锥 D. 六棱锥
解析： 正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三
角形构成.设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正
六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面正六边形的边、侧棱
构成直角三角形得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长
r不可能相等.故选D.
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解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开
平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求
△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝
∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1
＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周长的最小值为
4 .
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14. 如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
解： 如图，折起后形成的几何体是三棱锥.
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（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
解： 这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
（3）每个面的三角形面积为多少？
解： S△PEF＝ a2，S△DPF＝S△DPE＝ ×2a·a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－
a2－a2－a2＝ a2.
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15. 如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部
的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的
平行四边形，对吗？
解： 不对.水面的形状就是用一个与
棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行
的平面截长方体时截面的形状，因而可以
是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.
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（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱
锥，对吗？
解： 不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何
体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
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（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个
顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？
解： 用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角
形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对.
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谢 谢 观 看！
