13.2.1 平面的基本性质
1.下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A.三角形 B.菱形
C.圆 D.四边相等的四边形
2.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作（ ）
A.A∈b，b∈β B.A∈b，b β
C.A b，b β D.A b，b∈β
3.下列说法正确的是（ ）
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
4.已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有（ ）
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
5.（多选）如图所示，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A.点A B.点B
C.点C D.点M
6.（多选）已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，则下列推理正确的是（ ）
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
7.由四条平行直线最多可以确定 个平面，由四条相交于一点的直线最多可以确定 个平面.
8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝ ；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝ ；
（3）平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝ ；
（4）平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为 .
9.若直线l与平面α交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
10.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是（ ）
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
12.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
13.（2024·莱芜质检）一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成 部分.
14.定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P 直线AB，P α，若直线AP，BP与平面α分别相交于A'，B'.试问，如果点P任意移动，直线A'B'是否恒过一定点？请说明理由.
15.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
（1）直线EF，GH，DC能交于一点吗？
（2）若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？
13.2.1 平面的基本性质
1.D
2.B 由直线和平面都是由点组成的集合，所以A∈b，b β.
3.D A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，经过一条直线和这条直线外一点可以确定唯一一个平面；C错误，四边形不一定是平面图形；D正确，两条相交直线可以确定一个平面.故选D.
4.D 当三个平面两两相交且过同一条直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线.故选D.
5.CD ∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.故选C、D.
6.ABD 由基本事实2知A正确；由基本事实3知B正确；由基本事实1知D正确；对于C，因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A，且α∩β＝A的写法错误.故选A、B、D.
7.6 6 解析：要使四条平行直线确定的平面最多，只需这四条直线中任意两条直线所确定的平面互不相同，故由四条平行直线最多可以确定6个平面.由平面的基本事实的推论2知，四条相交于一点的直线最多可以确定6个平面.
8.（1）A1B1 （2）AC （3）OO1 （4）B1
9.证明：如图，∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线.
10.证明：不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形，
∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可证，S∈平面ACC1A1，
∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三线共点.
11.C 如图所示，延长C1M交CD延长线于点P，延长C1N交CB延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C.
12.ABC 连接A1C1，AC（图略），则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确.故选A、B、C.
13.21 解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝21部分.
14.解：随着点P移动，直线A'B'恒过定点O.理由如下：
由直线AB和直线外一点P可确定平面β，
因为AP∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A'B'上，即直线A'B'恒过定点O.
15.解：（1）如图所示，能交于一点.
理由如下：因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P.
由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB.
同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB.
所以P1与P重合，因此直线EF，GH，DC能交于一点.
（2）如图所示，延长HG，DD1相交于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，则点R，Q是截面与侧面ADD1A1的公共点，连接RQ与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图中的阴影部分所示.
2 / 213.2.1 平面的基本性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念 数学抽象、直观想象
2.了解基本事实和确定平面的推论 逻辑推理
在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.将一把尺子置于桌面上 ，通过是否漏光就能检查桌面是否平整.
【问题】 你知道如此做的原理吗？
知识点一 平面的概念及表示
1.概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有 ，是 的.
2.平面的表示方法
（1）图形表示：平面通常用 来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的 的直观图作为平面的直观图；
（2）字母表示：平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等（如图所示）.
知识点二 点、线、面之间的位置关系
空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示，例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
位置关系 符号表示
点P在直线AB上 P AB
点C不在直线AB上 C AB
点M在平面AC内 M 平面AC
点A1不在平面AC内 A1 平面AC
直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝
直线AB在平面AC内 AB 平面AC
直线AA1不在平面AC内 AA1 平面AC
提醒 （1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示.【想一想】
我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.这种说法对吗？为什么？
知识点三 平面的基本事实及推论
1.与平面有关的三个基本事实
文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点， 一个平面，简称为不共线的三点 一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 AB α
基本 事实3 如果两个不重合的平面 ，那么它们 一条过该点的 α∩β＝l且P∈l
提醒 三个基本事实的作用：基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.2.三个推论
推 论 1 经过一条直线和这条直线 的一点，有且只有一个平面 A l A和l确定一个平面α
推 论 2 经过两条 直线，有且只有一个平面 a∩b＝A a，b确定一个平面α
推 论 3 经过两条 直线，有且只有一个平面 a∥b a，b确定一个平面α
提醒 三个推论的作用：①确定一个平面；②证明平面重合；③证明点、线共面.
1.（多选）已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的是（ ）
A.A∈a，a α A α
B.A∈a，a α A∈α
C.A a，a α A α
D.A∈a，a α A α
2.如图，填入相应的符号：A 平面ABC，A 平面BCD，BD 平面ABC，平面ABC 平面ACD＝AC.
3.生活经验：“两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才稳定”，可以解释该经验的数学公理是 .
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
（1）A∈α，B α；
（2）l α，m α，m∩α＝A，A l；
（3）P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
通性通法
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
提醒 根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【跟踪训练】
如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n α，A∈m，A∈n
题型二 点、线共面问题
【例2】 （链接教科书第165页例1）如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
通性通法
证明点、线共面的方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
（1）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合；
（2）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.
【跟踪训练】
如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面.
题型三 点共线、线共点问题
【例3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.
通性通法
1.证明三点共线的方法
2.证明三线共点的步骤
【跟踪训练】
1.如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线.
2.已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点.
题型四 几何体截面的画法
【例4】 （链接教科书第166页例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.
通性通法
作截面的三种常用方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；
（2）延长线法：同一个平面内有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法.
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
2.如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（ ）
A.l α B.l α
C.l∩α＝M D.l∩α＝N
3.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作 .
4.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为 .
13.2.1 平面的基本性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.厚薄 无限延展 2.（1）平行四边形 正方形
知识点二
∈ ∈ B
想一想
提示：不对.数学中的平面是无限延展的，是没有厚薄的.
知识点三
1.有且只有 确定 两个点 有一个公共点 有且只有 公共直线 2.外 相交 平行
自我诊断
1.ACD 对于A，如a∩α＝A时，满足A∈a，a α，此时A∈α可以成立，故A错误；易知B正确；对于C，如图所示，A a，a α，但A∈α，故C错误；对于D，“A α”表述错误，故D错误.故选A、C、D.
2.∈ ∩
3.不共线的三点确定一个平面
解析：类比三脚架知，支撑点形成一个平面才会保持稳定，因此加上一个支撑脚后，两个轮子加支撑脚与地面接触点形成了不共线的三点，确定了一个平面.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①所示.
（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②所示.
（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③所示.
跟踪训练
A 由图可知α∩β＝m，n α，且m∩n＝A，A∈m，A∈n.
【例2】 证明：法一（纳入平面法） ∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1和l2确定一个平面，设为α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又B∈l3，C∈l3，由基本事实2，知l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二（辅助平面法） ∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1，l2确定一个平面，设为α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面，设为β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，由基本事实1，知平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
跟踪训练
证明：法一（纳入平面法）
∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内.
同理可证c在a，l确定的平面内.
∵过a与l只能确定一个平面，∴直线a，b，c和l共面.
法二（辅助平面法） ∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l α.
∵点C∈l，∴点C∈α，∴a与点C同在平面α内.
又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β.
∵点C∈c，c β，
∴点C∈β，即a与点C同在平面β内.
∴平面α和平面β重合，则c α，∴直线a，b，c和l共面.
【例3】 证明：因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN 平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF 平面ADD1A1.
所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.
跟踪训练
1.证明：法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
故P，Q，R三点共线.
法二 ∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
2.证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因为直线a与直线b不平行，
所以a，b必相交.
如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
因为a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P，
所以，a，b，c三条直线必过同一点.
【例4】 解：延长D1E和DC交于点N，延长D1F和DA交于点M，连接MN，则MN为平面BED1F与平面ABCD的交线，且MN经过点B，如图.
理由如下：
因为N∈D1E，N∈DC，D1E 平面BED1F，DC 平面ABCD，
所以N为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
同理M为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
所以MN为平面BED1F与平面ABCD的交线，显然B也为平面BED1F与平面ABCD的公共点，所以B∈MN.
跟踪训练
解：如图所示，五边形DQMFN即为所求截面.
作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，
连接ME交B1C1于点F，延长EM交D1A1的延长线于点H，
连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，
所得五边形DQMFN即为所求截面.
随堂检测
1.AB 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A、B两种说法是正确的；C、D两种说法是错误的.故选A、B.
2.A 因为M∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l α.故选A.
3.Q∈b α 解析：因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以Q∈b.又因为直线b（集合）在平面α（集合）内，所以b α.所以Q∈b α.
4.a 解析：连接DM并延长交D1A1的延长线于点G，连接GN（图略），则GN与A1B1的交点即为点P.由M，N分别为AA1，C1D1的中点，知P为A1B1的四等分点（靠近点A1），故线段PB1的长为a.
5 / 5(共66张PPT)
13.2.1
平面的基本性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，在直观认识空间点、直
线、平面的基础上，抽象出空间点、直
线、平面的概念 数学抽象、直观想象
2.了解基本事实和确定平面的推论 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.将一把尺
子置于桌面上 ，通过是否漏光就能检查桌面是否平整.
【问题】 你知道如此做的原理吗？
知识点一 平面的概念及表示
1. 概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有
，是 的.
厚
薄
无限延展
（1）图形表示：平面通常用 来表示，当平面水平
放置的时候，一般用水平放置的 的直观图作为平
面的直观图；
（2）字母表示：平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可
以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平
面AC等（如图所示）.
平行四边形
正方形
2. 平面的表示方法
知识点二 点、线、面之间的位置关系
空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表
示，例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
位置关系 符号表示
点P在直线AB上 P AB
点C不在直线AB上 C AB
点M在平面AC内 M 平面AC
点A1不在平面AC内 A1 平面AC
直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝
直线AB在平面AC内 AB 平面AC
直线AA1不在平面AC内 AA1 平面AC
∈
∈
B
提醒 （1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系
是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；（2）平面也可以看成
点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”
表示；（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集
合的关系，故用“ ”或“ ”表示.
【想一想】
我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.这种
说法对吗？为什么？
提示：不对.数学中的平面是无限延展的，是没有厚薄的.
知识点三 平面的基本事实及推论
1. 与平面有关的三个基本事实
文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实
1 过不在一条直线上的
三个点，
一个平面，简称
为不共线的三点
一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本 事实
2 如果一条直线上
的 在一个
平面内，那么这条直
线在这个平面内
有且只
有
确
定
两个点
文字语言 图形语言 符号语言
基
本 事
实
3 如果两个不重合的平
面
，那么它们
一条过该点
的
有一个公共
点
有
且只有
公共直线
提醒 三个基本事实的作用：基本事实1：①确定一个平面；②判
断两个平面重合；③证明点、线共面.基本事实2：①判断直线是否
在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.基本事实3：①判
断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.2.三个推论
推
论1 经过一条直线和这条直线 的一点，有且只有一个平面 A l A和l确定一
个平面α
推
论2 经过两条 直线，有且只有一个平面 a∩b＝A a，b确
定一个平面α
推
论3 经过两条 直线，有且只有一个平面 a∥b a，b确定
一个平面α
外
相交
平行
提醒 三个推论的作用：①确定一个平面；②证明平面重合；③证
明点、线共面.
1. （多选）已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的是
（ ）
A. A∈a，a α A α
B. A∈a，a α A∈α
C. A a，a α A α
D. A∈a，a α A α
√
√
√
解析： 对于A，如a∩α＝A时，满足A∈a，
a α，此时A∈α可以成立，故A错误；易知B正确；
对于C，如图所示，A a，a α，但A∈α，故C错误；对于D，“A α”表述错误，故D错误.故选A、C、D.
2. 如图，填入相应的符号：A 平面ABC，A 平面BCD，
BD 平面ABC，平面ABC 平面ACD＝AC.
∈
∩
3. 生活经验：“两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才
稳定”，可以解释该经验的数学公理是
.
解析：类比三脚架知，支撑点形成一个平面才会保持稳定，因此加
上一个支撑脚后，两个轮子加支撑脚与地面接触点形成了不共线的
三点，确定了一个平面.
不共线的三点确定一个平
面
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关
系，并画出相应的图形：
（1）A∈α，B α；
解： 点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①所示.
（2）l α，m α，m∩α＝A，A l；
解： 直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且
点A不在直线l上，如图②所示.
（3）P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
解： 直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③
所示.
通性通法
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有
几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字
语言表示，再用符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”
或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
提醒 根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线
和虚线的区别.
【跟踪训练】
如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n α，A∈m，A∈n
√
解析： 由图可知α∩β＝m，n α，且m∩n＝A，A∈m，
A∈n.
题型二 点、线共面问题
【例2】 （链接教科书第165页例1）如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3
＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：法一（纳入平面法） ∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1和l2确定
一个平面，设为α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又B∈l3，C∈l3，由基本事实2，知l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二（辅助平面法） ∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1，l2确定一个平
面，设为α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面，设为β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，由基本
事实1，知平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
通性通法
证明点、线共面的方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，
常用的方法有：
（1）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、
线确定平面β，最后证明平面α，β重合；
（2）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在
此平面内.
【跟踪训练】
如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求
证：直线a，b，c和l共面.
证明：法一（纳入平面法）
∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内.
同理可证c在a，l确定的平面内.
∵过a与l只能确定一个平面，∴直线a，b，c和l共面.
法二（辅助平面法） ∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l α.
∵点C∈l，∴点C∈α，∴a与点C同在平面α内.
又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β.
∵点C∈c，c β，
∴点C∈β，即a与点C同在平面β内.
∴平面α和平面β重合，则c α，∴直线a，b，c和l共面.
题型三 点共线、线共点问题
【例3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，
F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求
证：D，A，Q三点共线.
证明：因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD 平面ABCD，AB 平面
ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN 平面ABCD. 所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF 平面ADD1A1.
所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.
通性通法
1. 证明三点共线的方法
2. 证明三线共点的步骤
【跟踪训练】
1. 如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q. 求证：P，Q，R三点共线.
证明：法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
故P，Q，R三点共线.
法二 ∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以
a γ，b γ.
因为直线a与直线b不平行，
所以a，b必相交.
如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
因为a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P，
所以，a，b，c三条直线必过同一点.
2. 已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，
γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过
同一点.
题型四 几何体截面的画法
【例4】 （链接教科书第166页例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线
并说明理由.
解：延长D1E和DC交于点N，延长D1F和
DA交于点M，连接MN，则MN为平面
BED1F与平面ABCD的交线，且MN经过点
B，如图.
理由如下：
因为N∈D1E，N∈DC，D1E 平面BED1F，DC 平面ABCD，
所以N为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
同理M为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
所以MN为平面BED1F与平面ABCD的交线，显然B也为平面BED1F
与平面ABCD的公共点，所以B∈MN.
通性通法
作截面的三种常用方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何
体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；
（2）延长线法：同一个平面内有两个点，可以连线并延长至与其他
平面相交找到交点；
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点
所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的
截面的交线.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点N在棱
CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-
A1B1C1D1所得的截面，写出作法.
解：如图所示，五边形DQMFN即为所求截面.
作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，
连接ME交B1C1于点F，延长EM交D1A1的延长线于点H，
连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，
所得五边形DQMFN即为所求截面.
1. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 平面是处处平的面
B. 平面是无限延展的
C. 平面的形状是平行四边形
D. 一个平面的厚度可以是0.001 cm
解析： 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，
A、B两种说法是正确的；C、D两种说法是错误的.故选A、B.
√
√
2. 如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，
N∈l，则（ ）
A. l α B. l α
C. l∩α＝M D. l∩α＝N
解析： 因为M∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又
M∈l，N∈l，故l α.故选A.
√
3. 若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记
作 .
解析：因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以Q∈b.又因为
直线b（集合）在平面α（集合）内，所以b α.所以
Q∈b α.
Q∈b α
4. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为 .
a
解析：连接DM并延长交D1A1的延长线于点G，连接GN（图
略），则GN与A1B1的交点即为点P. 由M，N分别为AA1，C1D1
的中点，知P为A1B1的四等分点（靠近点A1），故线段PB1的长为
a.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A. 三角形 B. 菱形
C. 圆 D. 四边相等的四边形
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2. 若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的
关系可以记作（ ）
A. A∈b，b∈β B. A∈b，b β
C. A b，b β D. A b，b∈β
解析： 由直线和平面都是由点组成的集合，所以A∈b，
b β.
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3. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点可以确定一个平面
B. 一条直线和一个点可以确定一个平面
C. 四边形是平面图形
D. 两条相交直线可以确定一个平面
解析： A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，经
过一条直线和这条直线外一点可以确定唯一一个平面；C错误，四
边形不一定是平面图形；D正确，两条相交直线可以确定一个平
面.故选D.
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4. 已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有
（ ）
A. 1条或2条 B. 2条或3条
C. 1条或3条 D. 1条或2条或3条
解析： 当三个平面两两相交且过同一条直线时，它们有1条交
线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两
相交且不过同一条直线时，它们有3条交线.故选D.
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5. （多选）如图所示，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，
直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交
线必通过（ ）
A. 点A B. 点B
C. 点C D. 点M
解析： ∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，
M∈l，∴M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上.同
理可知，点C也在γ与β的交线上.故选C、D.
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6. （多选）已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，则
下列推理正确的是（ ）
A. A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B. M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C. A∈α，A∈β α∩β＝A
D. A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
√
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解析： 由基本事实2知A正确；由基本事实3知B正确；由基
本事实1知D正确；对于C，因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.
由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A，且α∩β
＝A的写法错误.故选A、B、D.
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7. 由四条平行直线最多可以确定 个平面，由四条相交于一点的
直线最多可以确定 个平面.
解析：要使四条平行直线确定的平面最多，只需这四条直线中任意
两条直线所确定的平面互不相同，故由四条平行直线最多可以确定
6个平面.由平面的基本事实的推论2知，四条相交于一点的直线最
多可以确定6个平面.
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8. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝ ；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝ ；
（3）平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝ ；
（4）平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为 .
A1B1
AC
OO1
B1
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9. 若直线l与平面α交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且
AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
证明：如图，∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β
＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线.
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10. 如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且
AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三
线共点.
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证明：不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形，
∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可证，S∈平面ACC1A1，
∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三线共点.
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11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的
点，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方体过点M，N，C1的截
面图形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形
解析： 如图所示，延长C1M交CD延长线
于点P，延长C1N交CB延长线于点Q，连接
PQ交AD于点E，交AB于点F，连接NF，
ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是
五边形，故选C.
√
C. 五边形 D. 六边形
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12. （多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中
点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是
（ ）
A. C1，M，O三点共线
B. C1，M，O，C四点共面
C. C1，O，A，M四点共面
D. D1，D，O，M四点共面
√
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解析： 连接A1C1，AC（图略），则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M. ∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面
ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，
D不正确.故选A、B、C.
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13. （2024·莱芜质检）一个正三棱柱各面所在的平面将空间分
成 部分.
解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面
又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将
空间分成3×7＝21部分.
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14. 定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外
一点，P 直线AB，P α，若直线AP，BP与平面α分别相交于
A'，B'.试问，如果点P任意移动，直线A'B'是否恒过一定点？请
说明理由.
解：随着点P移动，直线A'B'恒过定点O. 理由如下：
由直线AB和直线外一点P可确定平面β，
因为AP∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A'B'
上，即直线A'B'恒过定点O.
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15. 正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回
答下列问题：
（1）直线EF，GH，DC能交于一点吗？
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解： 如图所示，能交于一点.
理由如下：因为E，F分别为棱AB，
BC的中点，易得E，F∈平面
ABCD，且EF与CD相交，设交点为P.
由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝ AB.
同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝ C1D1＝ AB.
所以P1与P重合，因此直线EF，GH，DC能交于一点.
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（2）若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，
G，H的平面与正方体的截面？
解： 如图所示，延长HG，DD1相
交于点R，延长FE交DA的延长线于点
Q，则点R，Q是截面与侧面ADD1A1的
公共点，连接RQ与A1D1，A1A分别交于
点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE. 截面如图
中的阴影部分所示.
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谢 谢 观 看！
