第2课时 异面直线
1.异面直线是指（ ）
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线BA1是异面直线的条数为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（ ）
A.BC1
B.A1D
C.AC
D.BC
4.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.90° D.60°
5.如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A.5 B.6
C.8 D.10
6.（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE是异面直线
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
7.（2024·连云港月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系可能是 .
8.如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 条.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 .
10.如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE.求证：AE与PB是异面直线.
11.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.120°
12.（多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（ ）
A.AB⊥EF
B.AB与CM所成的角为60°
C.MN∥CD
D.EF与MN所成的角为60°
13.如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，则圆柱的高为 .
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
15.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
第2课时 异面直线
1.D 对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义.
2.C 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.
3.C 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
4.D 连接AD1，D1C，BC1（图略），因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.又△D1AC是等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.故选D.
5.A 取AD的中点P，连接PM，PN（图略），则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN（或其补角）即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.
6.BC 对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，故A错误；对于B，由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，故B正确；对于C，同理AE与B1C1是异面直线，故C正确；对于D，AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1所成的角为90°，故D错误.故选B、C.
7.平行、相交或异面
解析：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和c可以平行、相交或异面.
8.4 解析：连接AC1（图略），则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条.
9. 解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝F＋D－2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，所以cos ∠DB1F＝.
10.证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）.
因为A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE，
这与P 平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线.
11.C 如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，因为AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成的角.因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.故AB与CD所成角的大小为60°.
12.AD 把展开图还原成正方体，如图所示.A选项，因为AB∥MC，且EF⊥MC，所以EF⊥AB，故A正确；B选项，因为AB∥MC，所以AB与CM所成的角为0°，故B错误；C选项，因为AE∥MN，且AE⊥CD，所以MN⊥CD，故C错误；D选项，因为AE∥MN，所以∠AEF或其补角为EF与MN所成的角，又因为EF＝FA＝AE，所以△AEF为等边三角形，因此∠AEF＝60°，且异面直线所成角的范围为（0，90°]，所以∠AEF为EF与MN所成的角，因此EF与MN所成的角为60°，故D正确.故选A、D.
13.4 解析：如图，过点B作OO1的平行线交底面圆O于点H，连接OH，AH，则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角，tan∠ABH＝，易知OH∥O1B且OH＝O1B，由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，所以AH＝＝，又tan∠ABH＝，所以圆柱OO1的高BH＝＝4.
14.证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，
且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
15.解：如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝AC.
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝.
3 / 3第2课时 异面直线
新课程标准解读 核心素养
1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线 数学抽象、直观想象
2.理解异面直线所成角的概念 直观想象、数学运算
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C.
【问题】 （1）直线A1C与B1B具有怎样的位置关系？
（2）图中还有哪些直线与直线A1C是异面直线？
知识点 异面直线
1.异面直线的判定与几何表示
画法 图形表示如图所示（通常用一个或两个平面衬托）
判定 定理 文字表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 的直线是异面直线
符号表述 若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异面直线
2.异面直线所成的角
定义 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'和b'所成的 （或直角）叫作异面直线a，b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90°
特殊 情况 当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作a⊥b
【想一想】
为什么a'，b'所成角的大小与点O的选择无关？
1.（多选）如图，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在直线中，是异面直线的有（ ）
A.AP与BC B.BP与BC
C.CP与AB D.BP与AC
2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1与BC所成的角的度数是 .
题型一 异面直线的判定
【例1】 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法：
①AB与CD互为异面直线；
②FH分别与DC，DB互为异面直线；
③EG与FH互为异面直线；
④EG与AB互为异面直线.
其中说法正确的是 .（填序号）
通性通法
判定异面直线的方法
（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内；
（2）利用异面直线的判定定理；
（3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
【跟踪训练】
如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
题型二 异面直线所成的角
【例2】 （链接教科书第172页例3）如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角的大小；
（2）FO与BD所成的角的大小.
通性通法
求两条异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角；
（2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）；
（3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数；
（4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角.
【跟踪训练】
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
题型三 异面直线所成角的应用
【例3】 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D.
通性通法
证明两条直线垂直的策略
（1）对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明；
（2）对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明.
【跟踪训练】
如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度.
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
2.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
3.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面直线A'B'与BC所成的角的大小为 .异面直线AD'与CC'所成的角的大小为 .
第2课时 异面直线
【基础知识·重落实】
知识点
1.不经过该点 2.锐角 90°
想一想
提示：因为a'∥a，b'∥b，根据等角定理，a'，b'所成的锐角（或直角）等于a，b所成的锐角（或直角），与点O的选择无关.不过为了方便计算异面直线所成角的大小，点O常在异面直线中的某一条上取，常取某些特殊点.
自我诊断
1.ACD 根据异面直线的定义可知异面直线共3对：AP与BC， CP与AB， BP与AC.故选A、C、D.
2.45° 解析：因为AD∥BC，所以∠DAD1就是异面直线AD1与BC所成的角.因为△ADD1是等腰直角三角形，所以∠DAD1＝45°.
【典型例题·精研析】
【例1】 ①②③④ 解析：因为直线DC 平面BCD，直线AB 平面BCD，点B 直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确.
跟踪训练
解：三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示.
【例2】 解：（1）∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
（2）如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，
AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
跟踪训练
解：如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
【例3】 证明：如图，连接BD，交AC于点O，取BB1的中点E，连接OE，
则OE∥B1D，
所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角.
连接AE，CE.
易证AE＝CE，
又O是AC的中点，
所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
跟踪训练
解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角（或直角）即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
∵ME＝AC，MF＝BD，BD＝AC＝2，
∴ME＝MF＝1.
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，
连接MN，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝.
故EF的长度为1或.
随堂检测
1.B 可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故B正确.
2.D 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.
3.D ①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交.故选D.
4.90° 45° 解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'与BC所成的角为90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'与CC'所成的角为45°.
4 / 4(共53张PPT)
第2课时 异面直线
新课程标准解读 核心素养
1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是
不是异面直线 数学抽象、直
观想象
2.理解异面直线所成角的概念 直观想象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C.
【问题】 （1）直线A1C与B1B具有怎样的位置关系？
（2）图中还有哪些直线与直线A1C是异面直线？
知识点 异面直线
1. 异面直线的判定与几何表示
画法 图形表示如图所示（通常用一个或两个平面衬托） 判定 定理 文字 表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面
内 的直线是异面直线
符号 表述 若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异
面直线
不经过该点
2. 异面直线所成的角
定义 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，
b'∥b，我们把直线a'和b'所成的 （或直角）叫作异
面直线a，b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90°
特殊情
况 当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作a⊥b
锐角
90°
【想一想】
为什么a'，b'所成角的大小与点O的选择无关？
提示：因为a'∥a，b'∥b，根据等角定理，a'，b'所成的锐角（或直
角）等于a，b所成的锐角（或直角），与点O的选择无关.不过为了
方便计算异面直线所成角的大小，点O常在异面直线中的某一条上
取，常取某些特殊点.
1. （多选）如图，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在直线中，是异面直
线的有（ ）
A. AP与BC
B. BP与BC
C. CP与AB
D. BP与AC
解析： 根据异面直线的定义可知异面直线共3对：AP与
BC， CP与AB， BP与AC. 故选A、C、D.
√
√
√
2. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1与BC所成的
角的度数是 .
解析：因为AD∥BC，所以∠DAD1就是异面直线AD1与BC所成的
角.因为△ADD1是等腰直角三角形，所以∠DAD1＝45°.
45°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 异面直线的判定
【例1】 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于A，
D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下
列说法：
①AB与CD互为异面直线；
②FH分别与DC，DB互为异面直线；
③EG与FH互为异面直线；
④EG与AB互为异面直线.
其中说法正确的是 .（填序号）
①②③④
解析：因为直线DC 平面BCD，直线AB 平面BCD，点B 直线
DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确.
通性通法
判定异面直线的方法
（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相
交，即不可能同在一个平面内；
（2）利用异面直线的判定定理；
（3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位
置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出
矛盾即可.
【跟踪训练】
如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解：三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体
如图所示.
题型二 异面直线所成的角
【例2】 （链接教科书第172页例3）如图，在正方体ABCD-EFGH
中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角的大小；
解： ∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
（2）FO与BD所成的角的大小.
解： 如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
通性通法
求两条异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角；
（2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）；
（3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角
形求出所构造的角的度数；
（4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面
直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面
直线所成的角.
【跟踪训练】
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，
F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解：如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝ AB，
GF∥CD且GF＝ CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与
AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
题型三 异面直线所成角的应用
【例3】 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，求证：
AC⊥B1D.
证明：如图，连接BD，交AC于点O，取BB1的中点
E，连接OE，
则OE∥B1D，
所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角.
连接AE，CE.
易证AE＝CE，
又O是AC的中点，
所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
通性通法
证明两条直线垂直的策略
（1）对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明；
（2）对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所
成的角为90°来证明.
【跟踪训练】
如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若
BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度.
解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则
ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角（或直
角）即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
∵ME＝ AC，MF＝ BD，BD＝AC＝2，
∴ME＝MF＝1.
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，连接MN，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM· sin ∠EMN＝2×1× ＝ .
故EF的长度为1或 .
1. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系
是（ ）
A. 平行或异面 B. 相交或异面
C. 异面 D. 相交
解析： 可借助长方体来判断.如图，在长方体
ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又
AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1
与BC是异面直线，故B正确.
√
2. 设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上都有可能
解析： 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1
＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD
＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC
＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直
线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.
√
3. 如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中
点，则表示GH，MN是异
面直线的图形有（ ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ②④
解析： ①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，
MN必相交.故选D.
√
4. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面直线A'B'与BC所成的角的
大小为 .异面直线AD'与CC'所成的角的大小为 .
解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'与BC所成的角为
90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'与CC'所成的角为
45°.
90°
45°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 异面直线是指（ ）
A. 空间中两条不相交的直线
B. 分别位于两个不同平面内的两条直线
C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线
D. 不同在任何一个平面内的两条直线
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解析： 对于A，空间中两条不相交的直线有两
种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，
所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内
的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异
面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义.
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2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线BA1是异面直
线的条数为（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与
直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，
B1C1，AD，共6条，故选C.
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3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的
是（ ）
A. BC1 B. A1D
C. AC D. BC
解析： 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
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4. 在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异
面直线AC和MN所成的角的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 90° D. 60°
√
解析： 连接AD1，D1C，BC1（图略），因为M，N分别为BC
和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，
所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.又△D1AC是等边
三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为
60°.故选D.
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5. 如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为
AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN
＝（ ）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
√
解析： 取AD的中点P，连接PM，PN（图略），则
BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN（或其补角）即异面直线AC与
BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝ AC＝4，PM＝ BD＝
3，∴MN＝5.
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6. （多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角
形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A. CC1与B1E是异面直线
B. C1C与AE是异面直线
C. AE与B1C1是异面直线
D. AE与B1C1所成的角为60°
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解析： 对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C
与B1E是共面的，故A错误；对于B，由于C1C在平面C1B1BC内，
而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE
是异面直线，故B正确；对于C，同理AE与B1C1是异面直线，故C
正确；对于D，AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E
为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1
所成的角为90°，故D错误.故选B、C.
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7. （2024·连云港月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a
和c的位置关系可能是 .
解析：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'
所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是
异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方
体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和
c可以平行、相交或异面.
平行、相交或异面
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8. 如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，
AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 条.
解析：连接AC1（图略），则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都
相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们
与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条.
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9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ ，则异面
直线AD1与DB1所成角的余弦值为 .
解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补
上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F，
由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为
异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DF，
由题意，得DF＝ ＝ ，FB1＝
＝2，DB1＝ ＝ .在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝F ＋D －2FB1·DB1· cos ∠DB1F，即5＝4＋5－2×2× × cos ∠DB1F，所以 cos ∠DB1F＝ .
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10. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE. 求证：AE与PB是异面直线.
证明：假设AE与PB共面于平面α，
连接BE（图略）.
因为A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE，
这与P 平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线.
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11. 将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截
去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿
基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
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解析： 如图所示，由题可知，四边形ABEG和
CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，因为
AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异
面直线AB与CD所成的角.因为△EFG为正三角
形，所以∠GEF＝60°.故AB与CD所成角的大小为60°.
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12. （多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中
下列结论正确的是（ ）
A. AB⊥EF
B. AB与CM所成的角为60°
C. MN∥CD
D. EF与MN所成的角为60°
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解析： 把展开图还原成正方体，如图所
示.A选项，因为AB∥MC，且EF⊥MC，所以
EF⊥AB，故A正确；B选项，因为AB∥MC，所
以AB与CM所成的角为0°，故B错误；C选项，
因为AE∥MN，且AE⊥CD，所以MN⊥CD，
故C错误；D选项，因为AE∥MN，所以∠AEF或其补角为EF与MN所成的角，又因为EF＝FA＝AE，所以△AEF为等边三角形，因此∠AEF＝60°，且异面直线所成角的范围为（0，90°]，所以∠AEF为EF与MN所成的角，因此EF与MN所成的角为60°，故D正确.故选A、D.
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13. 如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB
与OO1所成角的正切值为 ，则圆柱的高为 .
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解析：如图，过点B作OO1的平行线交底面圆O于点
H，连接OH，AH，则∠ABH即为异面直线AB与OO1
所成的角，tan∠ABH＝ ，易知OH∥O1B且OH＝
O1B，由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，所以AH＝
＝ ，又tan∠ABH＝ ，所以圆柱OO1的高
BH＝ ＝4.
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14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是
BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
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证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝ BC，
∵F是AD的中点，
且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝ BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
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∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所
成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
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15. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝
2 ，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
解：如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2 ，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
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∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝ AC.
∵AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°，
∴AC＝2 × sin 60°×2＝6，
∴AD1＝ AC＝3 ，
∴AA1＝ ＝ .
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谢 谢 观 看！
