第2课时 直线与平面垂直
1.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（ ）
A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B.m⊥b，b∥α
C.m∩b＝A，b⊥α
D.m∥b，b⊥α
2.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.垂直 D.无法确定
5.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（ ）
A.BC⊥平面PAB
B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC
D.PB⊥平面ADC
6.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
7.（2024·南通月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 .
8.如图所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有 ，与AP垂直的直线有 .
9.（2024·徐州质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 .
10.（2024·南京河西外国语期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD.
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：AF⊥平面PCD.
11.如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
12.（多选）如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，则下列关系正确的是（ ）
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
13.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为 .
14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）当AP与AD的长度满足什么关系时，MN⊥平面PCD？
第2课时 直线与平面垂直
1.D m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D.
2.B 易证AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以AC⊥BC.故选B.
3.C 连接AC（图略）.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.由题图可得，AM与BD不相交，故选C.
4.C 如图，连接B1D1，BD.∵几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1.∵B1H 平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，AC，D1O 平面AD1C，∴B1H⊥平面AD1C.
5.ABC ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确.
6.BD 对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC（图略），由ED⊥AC，ED⊥BC，且AC∩BC＝C，可得ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选B、D.
7.4 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
8.AB，BC，AC AB 解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP 平面PAC，所以AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.
9.线段B1C 解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为线段B1C上任意一点时，均有AP⊥BD1.
10.证明：（1）设G是PC的中点，连接EG，GF，由于F是PD的中点，
所以GF∥CD，GF＝CD，
由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，
所以AE∥CD，AE＝CD，
所以GF∥AE，GF＝AE，
所以四边形AFGE是平行四边形，
所以AF∥EG，
因为AF 平面PEC，EG 平面PEC，
所以AF∥平面PEC.
（2）因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF，
因为PA＝AD，F是PD的中点，所以AF⊥PD，
因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，
所以AF⊥平面PCD.
11.B 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
12.AC 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，A成立；因为FG2⊥EG2，即FG⊥EG，因为SG∩EG＝G，所以GF⊥平面GSE，又SE 平面GSE，所以GF⊥SE，C成立；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，B错；因为EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，D错.
13.2 解析：如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM 平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2.
14.解：∵D1E⊥平面AB1F，AB1 平面AB1F，AF 平面AB1F，
∴D1E⊥AB1，D1E⊥AF.
连接DE.∵D1D⊥AF，D1D∩D1E＝D1，D1D，D1E 平面D1DE，
∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥DE.
∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
15.解：（1）证明：取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
（2）当AP＝AD时，MN⊥平面PCD，证明如下.
∵AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
3 / 3第2课时 直线与平面垂直
新课程标准解读 核心素养
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的判定定理与性质定理 数学运算、逻辑推理、直观想象
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
【问题】 （1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点一 直线与平面垂直的定义
1.定义：如果直线a与平面α内的 直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作 .直线a叫作平面α的 ，平面α叫作直线a的 ，垂线和平面的交点称为 .
2.画法：
通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图：
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面
符号 语言 a⊥m，a⊥n， ， ， ，则a⊥α
图形 语言
【想一想】
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
知识点三 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
提醒 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.【想一想】
垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
知识点四 棱柱的分类
1.棱柱的分类
分类 定义
直棱柱 侧棱 底面的棱柱
斜棱柱 侧棱 底面的棱柱
正棱柱 底面是 的直棱柱
2.特殊的四棱柱
分类 定义
平行六面体 底面是 的四棱柱
直平行六面体 侧棱与底面 的平行六面体
长方体 底面是 的直平行六面体
正方体 棱长 的长方体
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B.过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直
C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
D.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（ ）
A.平面DD1C1C B.平面A1DCB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与AP垂直的直线为 .
题型一 线面垂直的定义的应用
【例1】 下列命题中正确的是（ ）
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
通性通法
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的任意一条直线”的说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
【跟踪训练】
1.直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.垂直
2.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.则能保证该直线与平面垂直的是 .（填序号）
题型二 线面垂直的判定
【例2】 如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.求证：AN⊥平面PBM.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，若AQ⊥PB，Q为垂足，证明PB⊥平面ANQ.
通性通法
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
【跟踪训练】
如图，在四面体P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF.
题型三 线面垂直的性质定理的应用
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
通性通法
证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行的定义：证明两直线共面且无公共点；
（2）利用基本事实4：证明两直线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（ ）
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
2.（2024·扬州月考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若l⊥m，m⊥α，则l∥α
B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m
D.若l∥α，m∥α，则l∥m
3.如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
第2课时 直线与平面垂直
【基础知识·重落实】
知识点一
1.任意一条 a⊥α 垂线 垂面 垂足
知识点二
相交 垂直 m∩n＝A m α n α
想一想
提示：不一定垂直.直线可能落在平面内.
知识点三
a∥b
想一想
提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
知识点四
1.垂直于 不垂直于 正多边形 2.平行四边形 垂直 矩形 相等
自我诊断
1.BCD 对于A，当平面内的两条直线是平行线时，这条直线和这个平面不一定垂直，故A错误；对于B，过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直，故B正确；对于C，由线面垂直的判定定理得：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面，故C正确；对于D，由线面垂直的性质得：过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，故D正确.故选B、C、D.
2.B 因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B.
3.BC 解析：因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
【典型例题·精研析】
【例1】 C 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.故选C.
跟踪训练
1.A 因为直线l⊥平面α，所以l与α相交.又因为m α，所以l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行.故选A.
2.①③④ 解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内的两条直线必须是相交的，①③④中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
【例2】 证明：因为AB为☉O的直径，所以AM⊥BM.
又因为PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
因为AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.
母题探究
证明：由本例知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，
所以AN⊥PB.
因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ.
跟踪训练
证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
【例3】 证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，
∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
跟踪训练
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
随堂检测
1.C ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2.B 对于A，l∥α或l α，故A错误；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异面，故D错误.
3.证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
4 / 4(共66张PPT)
第2课时
直线与平面垂直
新课程标准解读 核心素养
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与
平面垂直的判定定理与性质定理 数学运算、逻辑推
理、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但
不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都
分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
【问题】 （1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点一 直线与平面垂直的定义
1. 定义：如果直线a与平面α内的 直线都垂直，那么称
直线a与平面α垂直，记作 .直线a叫作平面α的
，平面α叫作直线a的 ，垂线和平面的交点称为
.
2. 画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边
形的一边垂直，如图：
任意一条
a⊥α
垂
线
垂面
垂
足
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面
符号语言 a⊥m，a⊥n， ， ，
，则a⊥α
图形语言
相交
垂直
m∩n＝A
m α
n α
【想一想】
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与
这个平面垂直？
提示：不一定垂直.直线可能落在平面内.
知识点三 直线与平面垂直的性质定理
文字
语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号
语言
图形
语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
a∥b
提醒 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一
个平面与已知直线垂直.【想一想】
垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能
确定一个平面.
知识点四 棱柱的分类
1. 棱柱的分类
分类 定义
直棱柱 侧棱 底面的棱柱
斜棱柱 侧棱 底面的棱柱
正棱柱 底面是 的直棱柱
垂直于
不垂直于
正多边形
2. 特殊的四棱柱
分类 定义
平行六面体 底面是 的四棱柱
直平行六面体 侧棱与底面 的平行六面体
长方体 底面是 的直平行六面体
正方体 棱长 的长方体
平行四边形
垂直
矩形
相等
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平
面垂直
B. 过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直
C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直
线确定的平面
D. 过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
√
√
√
解析： 对于A，当平面内的两条直线是平行线时，这条直线
和这个平面不一定垂直，故A错误；对于B，过直线l外一点P，有
且仅有一个平面与l垂直，故B正确；对于C，由线面垂直的判定定
理得：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两
条直线确定的平面，故C正确；对于D，由线面垂直的性质得：过
点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，故D正
确.故选B、C、D.
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（ ）
A. 平面DD1C1C B. 平面A1DCB1
C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB
解析： 因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B.
√
3. 如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边
所在的直线中，与AP垂直的直线为 BC.
解析：因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP 平面PAC，所以
BC⊥AP.
BC
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面垂直的定义的应用
【例1】 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B. 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C. 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D. 若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
√
解析： 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，
所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂
直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直
线垂直，故D错误.故选C.
通性通法
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的任意一条直
线”的说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
【跟踪训练】
1. 直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 垂直
解析： 因为直线l⊥平面α，所以l与α相交.又因为m α，
所以l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l
与m不可能平行.故选A.
√
2. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两
边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.则能保证该直线与平面
垂直的是 .（填序号）
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内的两条直线必须是
相交的，①③④中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂
直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定
理条件.
①③④
题型二 线面垂直的判定
【例2】 如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，
M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.求证：AN⊥平面PBM.
证明：因为AB为☉O的直径，所以AM⊥BM.
又因为PA⊥平面ABM，
所以PA⊥BM.
因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
因为AN⊥PM，
且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，若AQ⊥PB，Q为垂足，证明PB⊥平面
ANQ.
证明：由本例知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，
所以AN⊥PB.
因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，所以PB⊥平
面ANQ.
通性通法
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理
（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作
辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②
α∥β，a⊥α a⊥β.
【跟踪训练】
如图，在四面体P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2 .F
是线段PB上一点，CF＝ ，点E在线段AB上，且EF⊥PB. 求
证：PB⊥平面CEF.
证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2 ，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
题型三 线面垂直的性质定理的应用
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平
面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 证明：AE∥MN.
证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
通性通法
证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行的定义：证明两直线共面且无公共点；
（2）利用基本事实4：证明两直线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面
平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面
垂直.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C
的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面
A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
1. △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，
m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 不确定
解析： ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，
同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
√
2. （2024·扬州月考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则
下列命题正确的是（ ）
A. 若l⊥m，m⊥α，则l∥α
B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C. 若l∥α，m α，则l∥m
D. 若l∥α，m∥α，则l∥m
√
解析： 对于A，l∥α或l α，故A错误；对于B，因l⊥α，
则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义
知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故
B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m
还可能相交或异面，故D错误.
3. 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是
（ ）
A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B. m⊥b，b∥α
C. m∩b＝A，b⊥α
D. m∥b，b⊥α
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√
解析： m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或
m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或
m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交
或m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.
故选D.
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2. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是
平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
解析： 易证AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以
AC⊥BC. 故选B.
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3. 如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置
关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直相交
C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直
解析： 连接AC（图略）.因为四边形ABCD是菱形，所以
BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩MC＝
C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC. 又MA 平面
AMC，所以MA⊥BD. 由题图可得，AM与BD不相交，故选C.
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4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中
心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是
（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 无法确定
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解析： 如图，连接B1D1，BD. ∵几何体
ABCD-A1B1C1D1是正方体，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD. 又∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，
BD，BB1 平面BDD1B1，∴AC⊥平面
BDD1B1.∵B1H 平面BDD1B1，∴AC⊥B1H. ∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，AC，D1O 平面AD1C，∴B1H⊥平面AD1C.
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5. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（ ）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
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解析： ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得
BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，
∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面
PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，
∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确.
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6. （多选）如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的
是（ ）
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解析： 对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平
面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝
E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可
得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC（图略），由
ED⊥AC，ED⊥BC，且AC∩BC＝C，可得ED⊥平面ABC，可
得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平
面CDE. 故选B、D.
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7. （2024·南通月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩
形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平
面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
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8. 如图所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，
△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有
，与AP垂直的直线有 .
解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.
因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，
又因为AP 平面PAC，所以AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.
AB，BC，
AC
AB
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9. （2024·徐州质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧
面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的
轨迹是 .
线段B1C
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解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体
ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，
又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又
知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面
B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为线段B1C上任意一点时，均有AP⊥BD1.
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10. （2024·南京河西外国语期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD.
（1）求证：AF∥平面PEC；
证明： 设G是PC的中点，连接
EG，GF，由于F是PD的中点，
所以GF∥CD，GF＝ CD，
由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，
所以AE∥CD，AE＝ CD，
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所以GF∥AE，GF＝AE，
所以四边形AFGE是平行四边形，
所以AF∥EG，
因为AF 平面PEC，
EG 平面PEC，
所以AF∥平面PEC.
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（2）求证：AF⊥平面PCD.
证明： 因为PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，
AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF，
因为PA＝AD，F是PD的中点，
所以AF⊥PD，
因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，
所以AF⊥平面PCD.
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11. 如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面
α，垂足分别为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是
（ ）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
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解析： 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若
EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG与EF为相
交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
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12. （多选）如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，
G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面
体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，则下列关系正确的
是（ ）
A. SG⊥平面EFG B. SE⊥平面EFG
C. GF⊥SE D. EF⊥平面SEG
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解析： 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，A成
立；因为FG2⊥EG2，即FG⊥EG，因为SG∩EG＝G，所以
GF⊥平面GSE，又SE 平面GSE，所以GF⊥SE，C成立；若
SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，B错；因
为EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，D错.
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解析：如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM
平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三
角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB
时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝
4，BC＝4 ，故CM的最小值为2 ，又PC
＝4，则PM的最小值为 ＝2 .
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14. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中
点，F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D1E⊥平面
AB1F.
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解：∵D1E⊥平面AB1F，AB1 平面AB1F，
AF 平面AB1F，
∴D1E⊥AB1，D1E⊥AF.
连接DE. ∵D1D⊥AF，D1D∩D1E＝D1，
D1D，D1E 平面D1DE，
∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥DE.
∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
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15. 如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
解： 证明：取PD的中点E，连接NE，
AE，如图.
∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝ DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝ AB，
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∴AM∥CD且AM＝ CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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（2）当AP与AD的长度满足什么关系时，MN⊥平面PCD？
解： 当AP＝AD时，MN⊥平面
PCD，证明如下.
∵AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN. 又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
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谢 谢 观 看！
