第1课时 两平面平行
1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是（ ）
A.两两相互平行
B.两两相交于同一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（ ）
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个
3.如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不确定
4.（2024·常州质检）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为（ ）
A.1 B.1.5
C.2 D.3
5.（多选）如图为某一正方体的平面展开图，在这个正方体中（ ）
A.BM∥平面CN
B.CN∥平面AF
C.平面BMD∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
6.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则（ ）
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为 .
8.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G，H分别为CC'，C'D'，D'D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH内运动，则M满足 时，有MN∥平面B'BDD'.
9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ .
10.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
11.（2024·盐城月考）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是（ ）
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
12.（多选）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的是（ ）
A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.＝
D.平面A1EF∥平面BCC1B1
13.如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系为 .
14.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.
15.（2024·淮安模拟）如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折.
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；
（2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.
第1课时 两平面平行
1.A 根据平面与平面平行的性质可知，所得的四条直线两两相互平行.故选A.
2.B ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
3.A ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1.又∵A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.又∵E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1∥BE，且A1E1＝BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1.又∵A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.∵A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
4.A 平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所以四边形A1FBE为平行四边形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.
5.BCD 将平面图形折起，折成一个正方体，其示意图如图所示，利用直线与平面、两个平面平行的判定定理可以证明B、C、D都正确.故选B、C、D.
6.AC 对于A，连接AD1，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；对于B，连接A1C1，∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；对于C，∵FG∥BC1，FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；对于D，∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误.故选A、C.
7.4 解析：如图，在长方体中，易知平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
8.在线段FH上移动 解析：当点M在线段FH上移动时，有MH∥DD'，易知HN∥BD，∴平面MNH∥平面B'BDD'.又MN 平面MNH，∴MN∥平面B'BDD'.
9. 解析：由题意得平面MNE∥平面ACB1，因为平面BB1C1C∩平面MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，则由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A.又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝AC，即 ＝.
10.证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
11.D 对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A错误；对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故B错误；对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故C错误；对于D，由定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D可以推出α∥β，故D正确.
12.ABC 由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC，＝.在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个平面平行的性质可得GH∥BC，而GH经过△A1B1C1的重心，所以＝，所以＝，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以GH∥平面A1EF.因为A1B1∥BE且BE＜A1B1，所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交.故A、B、C正确，D错误.
13.平行 解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，AB于点M，N，连接MN.∵A'，C'分别是△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝PM，PC'＝PN，∴A'C'∥MN.∵MN 平面ABC，A'C' 平面ABC，∴A'C'∥平面ABC.同理，A'B'∥平面ABC.又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
14.证明：（1）由题设知BB1 DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1 B1C1 BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
（2）由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
15.解：（1）证明：在平面图形中，设MN与AB交于点G.
由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB.
又∵AM＝DN，∴四边形ADNM为平行四边形，∴MN∥AD.
折叠之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，示意图如图①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD.
∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
（2）这个结论不正确.
要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当F，A，D共线时，由平面图形，易证得FD∥MN.
折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可.
若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.
由平面图形知，若要DN和FM共面，则DN与FM相交于点B（M，N分别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
3 / 3第1课时 两平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理 逻辑推理
2.会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线面平行”及“面面平行”等问题 直观想象
3.了解两个平行平面间的距离的概念 数学运算
如图，为了检测桌面是否水平，工人师傅常将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面与地面平行.
【问题】 为什么工人师傅只检查两次且交叉放置呢？
知识点一 两个平面的位置关系
1.两个平面平行的定义
如果两个平面没有 ，那么称这两个平面互相平行.平面α平行于平面β，记作α∥β.
2.两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 公共点 有 条公共直线
符号表示 α β α β＝a
图形表示
【想一想】
如果两个平面（不重合）有一个公共点，那么这两个平面是否相交？
知识点二 两个平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条 直线与另一个平面 ，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
提醒 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝A；②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
【想一想】
1.如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.这种说法正确吗？
2.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.这种说法正确吗？
知识点三 两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条交线
符号语言 a∥b
图形语言
提醒 对两平面平行性质定理的再理解：①用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β；（ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可；②在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误.
【想一想】
1.两平行平面内的直线是否相互平行？
2.平面平行有传递性吗？
知识点四 两个平行平面间的距离
1.两个平行平面的公垂线和公垂线段
与两个平行平面都 的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.
2.两个平行平面间的距离
两个平行平面的公垂线段的 叫作两个平行平面间的距离.
提醒 两个平行平面间的距离是分别位于两个平面内的两点间距离的最小值，即当α∥β，M∈α，N∈β时，线段MN的最小值就是平面α与β间的距离.
1.已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行 C.异面 D.垂直
2.（多选）若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，下列几种情形中可能出现的是（ ）
A.a∥b B.a⊥b
C.a与b异面 D.a与b相交
3.已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为 .
题型一 平面与平面的位置关系
【例1】 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A.α内有无穷多条直线与β平行
B.直线a∥α，a∥β
C.直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D.α内的任何直线都与β平行
通性通法
1.解答此类题目，要抓住定义，仔细分析，把自然语言转化为图形语言，根据所给的条件，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.
2.在作图时，利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关的命题的真假.另外像判定直线与直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法.
【跟踪训练】
如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 .
题型二 平面与平面平行的判定
【例2】 （链接教科书第189页例1）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证：
（1）B1C1∥平面A1EF；
（2）平面A1EF∥平面BCGH.
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点（不易操作）；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
（1）E，F，B，D四点共面；
（2）平面MAN∥平面EFDB.
题型三 面面平行的性质定理的应用
【例3】 如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
通性通法
1.应用面面平行性质定理的基本步骤
2.与平行的性质有关的计算的三个关键点
（1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
【跟踪训练】
如图所示，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
（1）求证：AC∥BD；
（2）已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长.
题型四 线线、线面、面面平行的综合问题
【例4】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论.
通性通法
空间中各种平行关系相互转化的示意图
提醒 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
1.已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有（ ）
A.直线A1B B.直线BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
3.设平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当点S在平面α，β之间时，CS＝ .
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
第1课时 两平面平行
【基础知识·重落实】
知识点一
1.公共点 2.没有 一 ∥ ∩
想一想
提示：相交.由基本事实3可知这两个平面相交，同时它们有且只有一条过该点的公共直线.
知识点二
相交 平行
想一想
1.提示：不正确.当两条直线平行时，这两个平面可以相交.
2.提示：不正确.当这些直线平行时，这两个平面可以相交.
知识点三
相交 平行 α∩γ＝a
想一想
1.提示：不一定.已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行.它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线.
2.提示：有.若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ α∥γ.
知识点四
1.垂直 2.长度
自我诊断
1.A 根据面面平行的判定定理可知a，b相交.
2.ABC 因为平面α∥平面β，直线a α，直线b β，所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b；当直线a与直线b异面时，a与b的夹角大小可以是90°.综上知，A、B、C都有可能出现.故选A、B、C.
3.3 解析：过B作BC⊥α于C（图略），则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3.
【典型例题·精研析】
【例1】 D 当α内有无穷多条直线与β平行时，α与β可能平行，也可能相交，故不选A；当直线a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也可能相交，故不选B；直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α时，α与β可能平行，也可能相交，故不选C；当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D.
跟踪训练
平行或相交 解析：根据题意作图，把文字语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.
【例2】 证明：（1）∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴B1C1∥平面A1EF.
（2）由（1）知EF∥BC，EF 平面BCGH，BC 平面BCGH，
∴EF∥平面BCGH.
又F，G分别为AC，A1C1的中点，
∴FC＝AC，A1G＝A1C1.
又AC∥A1C1，AC＝A1C1，
∴FC∥A1G，FC＝A1G.
∴四边形FCGA1为平行四边形.
∴A1F∥GC.
又A1F 平面BCGH，GC 平面BCGH，
∴A1F∥平面BCGH.
又A1F∩EF＝F，A1F，EF 平面A1EF，
∴平面A1EF∥平面BCGH.
跟踪训练
证明：（1）如图，连接B1D1.
∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
又BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面.
（2）由题意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，∴MN∥平面EFDB，
连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，
∴MF AD.
∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.
∵AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.
又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
【例3】 证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
跟踪训练
解：（1）证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.
（2）由（1）得AC∥BD，所以＝，所以＝，
所以CD＝（cm），所以PD＝PC＋CD＝（cm）.
【例4】 解：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1，
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.
跟踪训练
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：如图，连接BD，由题意可知，BD∩AC＝O，O为BD的中点，又P为DD1的中点，
∴OP∥BD1，
又BD1 平面PAO，PO 平面PAO，∴BD1∥平面PAO，
连接PC.∵PD1 CQ，∴D1Q∥PC.
又PC 平面PAO，D1Q 平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.
又D1Q∩BD1＝D1，D1Q，BD1 平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.
随堂检测
1.B a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β. 故p是q的必要不充分条件.故选B.
2.AD 如图，对于A，由于A1B∥D1C，且A1B 平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B与平面ACD1不平行；对于C，由于A1D与AD1相交，A1D 平面A1DC1，可得平面A1DC1与平面ACD1不平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B 平面A1BC1，C1B 平面A1BC1，且A1B∩C1B＝B，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故选A、D.
3.16 解析：如图所示，由题意知，△ASC∽△BSD，因为CD＝34，所以SD＝34－CS.由AS∶BS＝CS∶（34－CS）知，8∶9＝CS∶（34－CS），所以CS＝16.
4.证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB.
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
5 / 5(共74张PPT)
第1课时 两平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的
判定定理、性质定理 逻辑推理
2.会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平
行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线
面平行”及“面面平行”等问题 直观想象
3.了解两个平行平面间的距离的概念 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，为了检测桌面是否水平，工人师傅常将水平仪在桌面上交
叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面与地面
平行.
【问题】 为什么工人师傅只检查两次且交叉放置呢？
知识点一 两个平面的位置关系
1. 两个平面平行的定义
如果两个平面没有 ，那么称这两个平面互相平行.平面
α平行于平面β，记作α∥β.
公共点
2. 两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 公共点 有 条公共直线
符号表示 α β α β＝a
图形表示
没有
一
∥
∩
【想一想】
如果两个平面（不重合）有一个公共点，那么这两个平面是否相交？
提示：相交.由基本事实3可知这两个平面相交，同时它们有且只有一
条过该点的公共直线.
知识点二 两个平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条 直线与另一个平
面 ，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
相交
平行
提醒 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面α内
两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝A；②两条相交直
线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
【想一想】
1. 如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平
行.这种说法正确吗？
提示：不正确.当两条直线平行时，这两个平面可以相交.
2. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面
平行.这种说法正确吗？
提示：不正确.当这些直线平行时，这两个平面可以相交.
知识点三 两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面
，那么两条交线
符号语言 a∥b
图形语言
相
交
平行
提醒 对两平面平行性质定理的再理解：①用该定理判断直线a与b
平行时，必须具备三个条件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β；
（ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即
β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可；②在应用这个定理时，要防止出
现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切
直线”的错误.
【想一想】
1. 两平行平面内的直线是否相互平行？
提示：不一定.已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线
都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定
相互平行.它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能
是相交直线.
2. 平面平行有传递性吗？
提示：有.若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，
β∥γ α∥γ.
知识点四 两个平行平面间的距离
1. 两个平行平面的公垂线和公垂线段
与两个平行平面都 的直线，叫作这两个平行平面的公垂
线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂
线段.
2. 两个平行平面间的距离
两个平行平面的公垂线段的 叫作两个平行平面间的距离.
提醒 两个平行平面间的距离是分别位于两个平面内的两点间距离
的最小值，即当α∥β，M∈α，N∈β时，线段MN的最小值就
是平面α与β间的距离.
垂直
长度
1. 已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面
α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 垂直
解析： 根据面面平行的判定定理可知a，b相交.
√
2. （多选）若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，下列几种
情形中可能出现的是（ ）
A. a∥b B. a⊥b
C. a与b异面 D. a与b相交
解析： 因为平面α∥平面β，直线a α，直线b β，所
以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b；当直
线a与直线b异面时，a与b的夹角大小可以是90°.综上知，A、
B、C都有可能出现.故选A、B、C.
√
√
√
3. 已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成
的角为60°，则α与β之间的距离为 .
解析：过B作BC⊥α于C（图略），则∠BAC＝60°，在
Rt△ABC中，BC＝AB· sin 60°＝3 .
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面与平面的位置关系
【例1】 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A. α内有无穷多条直线与β平行
B. 直线a∥α，a∥β
C. 直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D. α内的任何直线都与β平行
√
解析： 当α内有无穷多条直线与β平行时，α与β可能平行，也
可能相交，故不选A；当直线a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也
可能相交，故不选B；直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
时，α与β可能平行，也可能相交，故不选C；当α内的任何直线都
与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D.
通性通法
1. 解答此类题目，要抓住定义，仔细分析，把自然语言转化为图形语
言，根据所给的条件，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变
的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.
2. 在作图时，利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定
与两个平面的位置关系有关的命题的真假.另外像判定直线与直
线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关
系的有效方法.
【跟踪训练】
如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两
个平面的位置关系一定是 .
解析：根据题意作图，把文字语言转化为图形
语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.
平行或相交
题型二 平面与平面平行的判定
【例2】 （链接教科书第189页例1）如图所示，在三棱柱ABC-
A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求
证：
（1）B1C1∥平面A1EF；
证明： ∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴B1C1∥平面A1EF.
（2）平面A1EF∥平面BCGH.
证明： 由（1）知EF∥BC，EF 平面
BCGH，BC 平面BCGH，
∴EF∥平面BCGH.
又F，G分别为AC，A1C1的中点，
∴FC＝ AC，A1G＝ A1C1.
又AC∥A1C1，AC＝A1C1，
∴FC∥A1G，FC＝A1G.
∴四边形FCGA1为平行四边形.
∴A1F∥GC.
又A1F 平面BCGH，GC 平面BCGH，
∴A1F∥平面BCGH.
又A1F∩EF＝F，A1F，EF 平面A1EF，
∴平面A1EF∥平面BCGH.
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点（不易操作）；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面；
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条
相交直线分别平行，则α∥β；
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
如图所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是
A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
（1）E，F，B，D四点共面；
证明： 如图，连接B1D1.
∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
又BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面.
（2）平面MAN∥平面EFDB.
证明： 由题意知MN∥B1D1，
B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB，
连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，
∴MF AD.
∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.
∵AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.
又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
题型三 面面平行的性质定理的应用
【例3】 如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯
形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E. 求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以
BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面
AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥
平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
通性通法
1. 应用面面平行性质定理的基本步骤
2. 与平行的性质有关的计算的三个关键点
（1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例
定理推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
【跟踪训练】
如图所示，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之
间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
（1）求证：AC∥BD；
解： 证明：因为PB∩PD＝P，所以直线
PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，
β∩γ＝BD. 又α∥β，所以AC∥BD.
（2）已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长.
解： 由（1）得AC∥BD，所以 ＝ ，
所以 ＝ ，
所以CD＝ （cm），所以PD＝PC＋CD＝ （cm）.
题型四 线线、线面、面面平行的综合问题
【例4】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面
A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥
平面AB1C1？证明你的结论.
解：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1，
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.
通性通法
空间中各种平行关系相互转化的示意图
提醒 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用
高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P
是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面
D1BQ与平面PAO平行？
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：如图，连接BD，由题意可知，BD∩AC
＝O，O为BD的中点，又P为DD1的中点，∴OP∥
BD1，又BD1 平面PAO，PO 平面PAO，∴BD1∥
平面PAO，连接PC. ∵PD1 CQ，∴D1Q∥PC.
又PC 平面PAO，D1Q 平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.
又D1Q∩BD1＝D1，D1Q，BD1 平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面
PAO.
1. 已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，
命题q：α∥β，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面
面平行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β. 故p是q的必要
不充分条件.故选B.
√
2. （多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面
ACD1平行的有（ ）
A. 直线A1B B. 直线BB1
C. 平面A1DC1 D. 平面A1BC1
√
√
解析： 如图，对于A，由于A1B∥D1C，且
A1B 平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；对
于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝
D1，可得直线B1B与平面ACD1不平行；对于C，
由于A1D与AD1相交，A1D 平面A1DC1，可得平面A1DC1与平面ACD1不平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B 平面A1BC1，C1B 平面A1BC1，且A1B∩C1B＝B，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故选A、D.
3. 设平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD
交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当点S在平面α，β之间
时，CS＝ .
解析：如图所示，由题意知，
△ASC∽△BSD，因为CD＝34，所以SD＝
34－CS. 由AS∶BS＝CS∶（34－CS）
知，8∶9＝CS∶（34－CS），所以CS＝16.
16
4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的
中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB.
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是
（ ）
A. 两两相互平行
B. 两两相交于同一点
C. 两两相交但不一定交于同一点
D. 两两相互平行或交于同一点
解析： 根据平面与平面平行的性质可知，所得的四条直线两两
相互平行.故选A.
√
2. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作
（ ）
A. 1个或2个 B. 0个或1个
C. 1个 D. 0个
解析： ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面
β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平
面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相
交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
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3. 如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，
CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关
系是（ ）
A. 平行 B. 相交但不垂直
C. 垂直 D. 不确定
√
解析： ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1.又
∵A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，∴A1D1∥平面
BCF1E1.又∵E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1∥BE，且
A1E1＝BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1.又
∵A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，∴A1E∥平面
BCF1E1.∵A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1
＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
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4. （2024·常州质检）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点
E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面
AA1B1B＝A1F，则AF的长为（ ）
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
√
解析： 平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平
面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所
以四边形A1FBE为平行四边形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以
AF＝1.
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5. （多选）如图为某一正方体的平面展开图，在这个正方体中（ ）
A. BM∥平面CN
B. CN∥平面AF
C. 平面BMD∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCF
解析： 将平面图形折起，折成一个正方
体，其示意图如图所示，利用直线与平面、两个
平面平行的判定定理可以证明B、C、D都正确.
故选B、C、D.
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6. （多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是
棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则（ ）
A. FG∥平面AA1D1D
B. EF∥平面BC1D1
C. FG∥平面BC1D1
D. 平面EFG∥平面BC1D1
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解析： 对于A，连接AD1，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG 平面
AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正
确；对于B，连接A1C1，∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；对于C，∵FG∥BC1，FG
平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；
对于D，∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相
交，故D错误.故选A、C.
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7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则平面
ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为 .
解析：如图，在长方体中，易知平面ADD1A1∥
平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
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8. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G，H分别为CC'，
C'D'，D'D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH内
运动，则M满足 时，有MN∥平面B'BDD'.
在线段FH上移动
解析：当点M在线段FH上移动时，有MH∥DD'，易知
HN∥BD，∴平面MNH∥平面B'BDD'.又MN 平面MNH，
∴MN∥平面B'BDD'.
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9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平
面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ .
解析：由题意得平面MNE∥平面ACB1，因为平面BB1C1C∩平面
MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，则由面面平行的性
质定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因为E为BB1的中
点，所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝ AC，即
＝ .
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10. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，
CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
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设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因
为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
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11. （2024·盐城月考）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平
面.若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的
一个充分条件是（ ）
A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β
C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2
√
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解析： 对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A
错误；对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，
n相交，故B错误；对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必
须满足m，n相交，故C错误；对于D，由定理“如果一个平面内
的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由
选项D可以推出α∥β，故D正确.
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12. （多选）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点G，H分别在
A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是
AB，AC的中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的
是（ ）
A. EF∥GH
B. GH∥平面A1EF
C. ＝
D. 平面A1EF∥平面BCC1B1
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解析： 由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC，
＝ .在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个
平面平行的性质可得GH∥BC，而GH经过△A1B1C1的重心，所
以 ＝ ，所以 ＝ ，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平
面A1EF，所以GH∥平面A1EF. 因为A1B1∥BE且BE＜A1B1，
所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交.
故A、B、C正确，D错误.
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13. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，
△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系
为 .
平行
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解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，
AB于点M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是
△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝ PM，PC'＝
PN，∴A'C'∥MN. ∵MN 平面ABC，A'C' 平
面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面
ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面
A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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14. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
证明： 由题设知BB1 DD1，所以
四边形BB1D1D是平行四边形，所以
BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面
CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1 B1C1 BC，
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所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
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（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.
证明： 由（1）知平面A1BD∥平
面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形
BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
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15. （2024·淮安模拟）如图，在矩形ABCD和矩形
ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF
可沿AB任意翻折.
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；
解： 证明：在平面图形中，设MN与AB交于点G.由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB. 又∵AM＝DN，∴四边形ADNM为平行四边形，∴MN∥AD.
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折叠之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，示意图如图①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD. ∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
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（2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这
个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能
否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.
解： 这个结论不正确.
要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当F，A，D共线时，由平面图形，易证得FD∥MN.
折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平
面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质
定理，只要FD与MN共面即可.
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若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.由平面图形知，若要DN和FM共面，则DN与FM相交于点B（M，N分别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它们确定一个平面，即F，D，
N，M四点共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，
平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
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谢 谢 观 看！
