章末检测（十三） 立体几何初步
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法正确的是（ ）
A.多面体至少有3个面
B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
2.设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若m∥n，n∥α，则m∥α
B.若α∥β，l∥α，则l∥β
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若m∥β，n∥β，m α，n α，则α∥β
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角△A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点，且A'O'＝1，则△ABC中BC边上的高为（ ）
A.2 B.
C.2 D.1
4.已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A.π B.2π
C.6π D.12π
5.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的大小为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点.若AB＝6，则点B到平面ACE的距离为（ ）
A. B. C. D.3
7.如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上.若VP-ABCD＝，则球O的体积是（ ）
A.32π B.16π C.π D.8π
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别为A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（ ）
A. B.2 C.2 D.4
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ）
A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B.如果m α，α∥β，那么m∥β
C.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l
D.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
10.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN（不包含端点）上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）
A.EP⊥AC B.EP∥BD
C.EP∥平面SBD D.EP⊥平面SAC
11.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝5，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则下列说法正确的是（ ）
A.弧AD长度为
B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为20＋14π
D.三棱锥A-CC1D的体积为5
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的棱长为 .
13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为 .
14.如图所示，在三棱柱中，已知四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD.若AA'＝AD＝2，则直线AB到平面DA'C的距离为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分空间图形的体积V.
16.（本小题满分15分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若P为棱BB1的中点.
（1）判断平面D1PC与平面ABCD是否相交.如果相交，在图①中作出这两个平面的交线；
（2）如图②，求证：DB1∥平面PAC.
17.（本小题满分15分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求三棱锥V-ABC的体积.
18.（本小题满分17分）已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，AC＝5.
（1）当PA变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）若PA＝3，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）如图①，已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点.现将△ADC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面BCD，如图②所示.
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）若三棱锥E-DFC的体积为，求a的值；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
章末检测（十三） 立体几何初步
1.D 由棱柱的定义知棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形.
2.C 对于A，若m∥n，n∥α，则m∥α或m α，故A错误；对于B，若α∥β，l∥α，则l∥β或l β，故B错误；对于C，若α∥β，l α，则l∥β，C正确，对于D，少了m与n相交的条件，故D错误.故选C.
3.A ∵直观图是等腰直角△A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，O'为B'C'的中点，A'O'＝1，∴A'C'＝.根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的BC边上的高AC＝2A'C'＝2.故选A.
4.D 设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，则由l·＝2πr，所以l＝6r.圆锥的表面积是14π，即πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2，所以侧面积S侧＝6πr2＝12π.故选D.
5.D 如图，取CD中点E，连接C1E，ME，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，∴ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1，四边形B1C1EM为平行四边形，∴C1E∥B1M，∴异面直线B1M与CN所成角为直线C1E与CN所成的角，在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN，∴∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°，∴C1E⊥CN，∴直线B1M与CN所成角的大小为90°.
6.B 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，E是BB1的中点，则BE＝3，AE＝CE＝＝3，AC＝6，∴S△ACE＝×6×＝9.设点B到平面ACE的距离为h，由VE-ABC＝VB-ACE，得××6×6×3＝×9h，解得h＝.故选B.
7.C 设球O的半径为R.因为正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面上，所以PO⊥底面ABCD，PO＝R，正方形ABCD的面积S＝2R2.因为VP-ABCD＝，所以VP-ABCD＝×2R2×R＝＝，解得R＝2，所以球O的体积V＝πR3＝π×23＝π.
8.C 如图，取A1D1中点为M，连接ME，MF，取CD，CB中点分别为P，Q，连接PH，PQ，QG.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由题意知四边形PQGH为矩形，且ME∥GH，MF∥QG，因为ME 平面PQGH，MF 平面PQGH，GH 平面PQGH，QG 平面PQGH，所以ME∥平面PQGH，MF∥平面PQGH，又ME∩MF＝M，所以平面MEF∥平面PQGH，因为EF 平面MEF，所以EF∥平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以PQ＝，QG＝2，所以矩形PQGH的面积为PQ·QG＝2，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为2，故选C.
9.ABC 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正确；如果m α，α∥β，那么由面面平行的性质可得m∥β，故B正确；如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么由线面平行的性质定理可得m∥l，故C正确；如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么平面α，β平行或相交，故D错误.故选A、B、C.
10.AC 如图所示，设AC，BD相交于点O，连接EM，EN，SO.由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，SO⊥AC.因为SO∩BD＝O，SO，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD.因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，所以AC⊥EP，故A正确；因为EM∥BD，EM 平面EMN，BD 平面EMN，所以BD∥平面EMN.又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正确；平面EMN∥平面SBD，所以EP∥平面SBD，故C正确；由题易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故D不正确.故选A、C.
11.ACD 对于A，设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍，R＝3×r，即R＝3r，∴CD＝R－r＝2r＝2，∴r＝1，R＝3，∴弧AD的长度为，故A正确；对于B，曲池的体积为V＝（πR2－πr2）×AA1＝（π×32－π×12）×5＝10π，故B错误；对于C，曲池的表面积为（πR2－πr2）×2＋（πR＋πr）×5＋2×5×2＝（π×32－π×12）×2＋（π×3＋π×1）×5＋20＝20＋14π，故C正确；对于D，三棱锥A-CC1D的体积为××2×5×3＝5，故D正确.故选A、C、D.
12.2 解析：设正方体棱长为a，则×a2×a＝，解得a＝2.
13. 解析：如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的， 则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为GE1.由题意可知GH＝5，GF1＝，所以GE1＝＝＝，所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.
14. 解析：如图，取B'C的中点E，连接BE，∵四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，∴AB⊥平面BCB'，又BE 平面BCB'，∴AB⊥BE，又AB∥CD，∴CD⊥BE，∵AA'＝AD，得BC＝BB'，又E为B'C的中点，∴B'C⊥BE，又CD⊥BE，CD∩B'C＝C，∴BE⊥平面DCB'A'，∴直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长，∵平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB'A'，又BB' 平面ABB'A'，∴BC⊥BB'，在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，∴BE＝.
15.解：＝×3×4×6＝36（cm3）.
设圆柱底面圆的半径为r，则r＝＝＝1（cm），＝πr2h＝6π（cm3）.
所以V＝－＝（36－6π）cm3.
16.解：（1）平面D1PC与平面ABCD相交.
因为DD1∥BP，DD1＝2BP，
所以D，D1，B，P四点共面，且DB与D1P不平行则必相交，
如图，连接DB，D1P并延长交于Q，连接CQ，
则平面D1PC∩平面ABCD＝CQ.
（2）证明：连接BD，交AC与点O，连接OP，
在△BB1D中，点O，P分别是BD，BB1的中点，所以OP∥DB1，
而OP 平面PAC，DB1 平面PAC，所以DB1∥平面PAC.
17.解：（1）证明：因为O，M分别是AB，VA的中点，
所以MO∥VB.
因为MO 平面MOC，VB 平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
（2）因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC 平面ABC，所以OC⊥平面VAB.
在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝，
所以VV-ABC＝VC-VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝.
所以三棱锥V-ABC的体积为.
18.解：（1）由AB＝3，BC＝4，AC＝5知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC，
由PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD得PA⊥BC，
由PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
则BC⊥平面PAB，
则点C到平面PAB的距离为一个定值BC，BC＝4.
（2）设直线PC与平面PAD所成的角为α，
由AD∥BC，AB⊥BC可知AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
故PA⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
则AB⊥平面PAD，则B点到平面PAD的距离为AB＝3，
由BC∥AD知点C与点B到平面PAD的距离相等，
则点C到平面PAD的距离为d＝AB＝3，
由PA＝3，AC＝5知PC＝＝，
故sin α＝＝＝.
19.解：（1）AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以EF∥AB.
又AB 平面DEF，EF 平面DEF，所以AB∥平面DEF.
（2）由题意，知AD⊥CD，又平面ADC⊥平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，所以AD⊥平面BCD.
如图，取CD的中点M，
连接EM，则EM∥AD，
所以EM⊥平面BCD，且EM＝.
因为三棱锥E-DFC的体积为，
所以××＝，解得a＝2.
（3）线段AC上存在一点P，使BP⊥DF.理由如下：
易知△BDF为正三角形，过B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作PK∥DA交AC于点P，连接BP，则点P即所求，如图所示.
因为AD⊥平面BCD，PK∥DA，所以PK⊥平面BCD，所以PK⊥DF.
又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK 平面PKB，所以DF⊥平面PKB，所以DF⊥PB.
又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，所以DK＝KF＝KC.
故＝＝，从而＝.
4 / 4(共41张PPT)
章末检测（十三） 立体几何初步
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 多面体至少有3个面
B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D. 棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
解析： 由棱柱的定义知棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形.
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2. 设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列
命题正确的是（ ）
A. 若m∥n，n∥α，则m∥α
B. 若α∥β，l∥α，则l∥β
C. 若α∥β，l α，则l∥β
D. 若m∥β，n∥β，m α，n α，则α∥β
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解析： 对于A，若m∥n，n∥α，则m∥α或m α，故A错
误；对于B，若α∥β，l∥α，则l∥β或l β，故B错误；对于
C，若α∥β，l α，则l∥β，C正确，对于D，少了m与n相交
的条件，故D错误.故选C.
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3. 用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等
腰直角△A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点，且A'O'＝1，则
△ABC中BC边上的高为（ ）
C. 2 D. 1
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解析： ∵直观图是等腰直角△A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，O'
为B'C'的中点，A'O'＝1，∴A'C'＝ .根据直观图中平行于y轴
的长度变为原来的一半，∴△ABC的BC边上的高AC＝2A'C'＝
2 .故选A.
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4. 已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 的扇形，则
该圆锥的侧面积为（ ）
A. π B. 2π
C. 6π D. 12π
解析： 设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开
图的弧长为2πr，则由l· ＝2πr，所以l＝6r.圆锥的表面积是
14π，即πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2，所以侧面积S侧＝6πr2＝
12π.故选D.
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5. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
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解析： 如图，取CD中点E，连接C1E，
ME，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中
点，∴ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1，四
边形B1C1EM为平行四边形，∴C1E∥B1M，∴
异面直线B1M与CN所成角为直线C1E与CN所
成的角，在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN，∴∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°，∴C1E⊥CN，∴直线B1M与CN所成角的大小为90°.
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6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点.若AB＝6，则点B
到平面ACE的距离为（ ）
D. 3
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解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，E是BB1的中
点，则BE＝3，AE＝CE＝ ＝3 ，AC＝6 ，
∴S△ACE＝ ×6 × ＝9 .设点B到平面
ACE的距离为h，由VE-ABC＝VB-ACE，得 × ×6×6×3＝ ×9
h，解得h＝ .故选B.
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7. 如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的
同一个大圆上，点P在球面上.若VP-ABCD＝ ，则球O的体积是
（ ）
A. 32π
B. 16π
D. 8π
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解析： 设球O的半径为R. 因为正四棱锥P-ABCD底面的四个
顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面上，所
以PO⊥底面ABCD，PO＝R，正方形ABCD的面积S＝2R2.因为
VP-ABCD＝ ，所以VP-ABCD＝ ×2R2×R＝ ＝ ，解得R＝2，
所以球O的体积V＝ πR3＝ π×23＝ π.
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8. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别为A1B1，
AD，B1C1，C1D1的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所
得的截面的面积为（ ）
B. 2
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解析： 如图，取A1D1中点为M，连接ME，
MF，取CD，CB中点分别为P，Q，连接
PH，PQ，QG. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
由题意知四边形PQGH为矩形，且ME∥GH，
MF∥QG，因为ME 平面PQGH，MF 平面
PQGH，GH 平面PQGH，QG 平面PQGH，所以ME∥平面PQGH，MF∥平面PQGH，又ME∩MF＝M，所以平面MEF∥平面PQGH，因为EF 平面MEF，所以EF∥平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH.
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因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以PQ
＝ ，QG＝2，所以矩形PQGH的面积为PQ·QG
＝2 ，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所
得的截面的面积为2 ，故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列
说法正确的有（ ）
A. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B. 如果m α，α∥β，那么m∥β
C. 如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l
D. 如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
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解析： 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判
定定理可得α⊥β，故A正确；如果m α，α∥β，那么由面面
平行的性质可得m∥β，故B正确；如果α∩β＝l，m∥α，
m∥β，那么由线面平行的性质定理可得m∥l，故C正确；如果
m⊥n，m⊥α，n∥β，那么平面α，β平行或相交，故D错误.
故选A、B、C.
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10. 如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC
的中点，动点P在线段MN（不包含端点）上运动时，下列四个
结论中恒成立的为（ ）
A. EP⊥AC
B. EP∥BD
C. EP∥平面SBD
D. EP⊥平面SAC
√
√
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解析： 如图所示，设AC，BD相交于点
O，连接EM，EN，SO. 由正四棱锥S-
ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
SO⊥AC. 因为SO∩BD＝O，SO，BD 平
面SBD，所以AC⊥平面SBD. 因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所
以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，所以AC⊥EP，故A正确；因为EM∥BD，EM 平面EMN，BD 平面EMN，所以BD∥平面EMN.
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又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正
确；平面EMN∥平面SBD，所以EP∥平面SBD，
故C正确；由题易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面
SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当
P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故D不正
确.故选A、C.
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11. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的
几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆
环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底
面，AA1＝5，底面扇环所对的圆心角为 ，弧AD的长度是弧BC
长度的3倍，CD＝2，则下列说法正确的是（ ）
C. 曲池的表面积为20＋14π
D. 三棱锥A-CC1D的体积为5
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解析： 对于A，设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆
的半径为r，∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍， R＝3× r，
即R＝3r，∴CD＝R－r＝2r＝2，∴r＝1，R＝3，∴弧AD的
长度为 ，故A正确；对于B，曲池的体积为V＝（ πR2－
πr2）×AA1＝（ π×32－ π×12）×5＝10π，故B错误；
对于C，曲池的表面积为（ πR2－ πr2）×2＋（ πR＋ πr）×5＋2×5×2＝（ π×32－ π×12）×2＋（ π×3＋ π×1）×5＋20＝20＋14π，故C正确；对于D，三棱锥A-CC1D的体积为 × ×2×5×3＝5，故D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该
棱锥的体积为 ，则该正方体的棱长为 .
解析：设正方体棱长为a，则 × a2×a＝ ，解得a＝2.
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13. 边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面
到相对顶点G的最短距离为 .
解析：如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线
EF剪开半个侧面展开而得到的， 则从点E沿圆
柱的侧面到相对顶点G的最短距离为GE1.由题
意可知GH＝5，GF1＝ ，所以GE1＝ ＝ ＝ ，所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是 .
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解析：如图，取B'C的中点E，连接BE，∵
四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，
∴AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，
∴AB⊥平面BCB'，又BE 平面BCB'，
∴AB⊥BE，又AB∥CD，∴CD⊥BE，∵AA'＝AD，得BC＝BB'，又E为B'C的中点，∴B'C⊥BE，又CD⊥BE，CD∩B'C＝
C，∴BE⊥平面DCB'A'，∴直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长，∵平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝
AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB'A'，又BB' 平面ABB'A'，∴BC⊥BB'，在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，∴BE＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1
的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的
边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的
内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分空
间图形的体积V.
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解： ＝ ×3×4×6＝36（cm3）.
设圆柱底面圆的半径为r，则r＝ ＝ ＝1
（cm）， ＝πr2h＝6π（cm3）.
所以V＝ － ＝（36－6π）cm3.
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16. （本小题满分15分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若P为
棱BB1的中点.
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（1）判断平面D1PC与平面ABCD是否相交.如果相交，在图①中
作出这两个平面的交线；
解： 平面D1PC与平面ABCD相交.
因为DD1∥BP，DD1＝2BP，
所以D，D1，B，P四点共面，且DB与
D1P不平行则必相交，
如图，连接DB，D1P并延长交于Q，连
接CQ，
则平面D1PC∩平面ABCD＝CQ.
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（2）如图②，求证：DB1∥平面PAC.
解： 证明：连接BD，交AC与点O，连接OP，
在△BB1D中，点O，P分别是BD，BB1的中点，所以
OP∥DB1，
而OP 平面PAC，DB1 平面PAC，所以DB1∥平面PAC.
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17. （本小题满分15分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面
ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝ ，O，
M分别为AB，VA的中点.
（1）求证：VB∥平面MOC；
解： 证明：因为O，M分别是AB，
VA的中点，
所以MO∥VB.
因为MO 平面MOC，VB 平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
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（2）求三棱锥V-ABC的体积.
解： 因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平
面ABC＝AB，OC 平面ABC，所以OC⊥
平面VAB.
在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝ ，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ ，
所以VV-ABC＝VC-VAB＝ OC·S△VAB＝ ×1× ＝ .
所以三棱锥V-ABC的体积为 .
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18. （本小题满分17分）已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，AB＝3，BC＝4，AC＝5.
（1）当PA变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由；
解： 由AB＝3，BC＝4，AC＝5知AB2
＋BC2＝AC2，则AB⊥BC，
由PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD得
PA⊥BC，
由PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，则BC⊥平面PAB，
则点C到平面PAB的距离为一个定值BC，BC＝4.
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（2）若PA＝3，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
解： 设直线PC与平面PAD所成的角为α，
由AD∥BC，AB⊥BC可知AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
故PA⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD 平面
PAD，
则AB⊥平面PAD，则B点到平面PAD的距离为AB＝3，
由BC∥AD知点C与点B到平面PAD的距离相等，
则点C到平面PAD的距离为d＝AB＝3，
由PA＝3，AC＝5知PC＝ ＝ ，
故 sin α＝ ＝ ＝ .
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19. （本小题满分17分）如图①，已知正△ABC的边长为a，CD是
AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点.现将△ADC沿CD翻
折，使平面ADC⊥平面BCD，如图②所示.
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
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解： AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中
点，所以EF∥AB.
又AB 平面DEF，EF 平面DEF，所以
AB∥平面DEF.
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（2）若三棱锥E-DFC的体积为 ，求a的值；
解： 由题意，知AD⊥CD，又平面ADC⊥
平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，所以AD⊥平面BCD.
如图，取CD的中点M，连接EM，则EM∥AD，所以EM⊥平面BCD，且EM＝ .
因为三棱锥E-DFC的体积为 ，
所以 × × ＝ ，解得a＝2.
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（3）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求
出 的值；如果不存在，请说明理由.
解： 线段AC上存在一点P，使BP⊥DF. 理由如下：
易知△BDF为正三角形，过B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作PK∥DA交AC于点P，连接BP，则点P即所求，如图所示.
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因为AD⊥平面BCD，PK∥DA，所以PK⊥平面BCD，所
以PK⊥DF.
又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK 平面PKB，所以
DF⊥平面PKB，所以DF⊥PB.
又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，所以DK＝KF＝
KC.
故 ＝ ＝ ，从而 ＝ .
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谢 谢 观 看！
