14.3.2 频率分布直方图
1.对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（ ）
A.小长方形的高表示取某数的频率
B.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
2.从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；[30，35），46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），15；[50，55），10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是（ ）
A.0.69 B.0.46
C.1 D.0.92
3.（2024·南京六校质检）在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，该组的频率为m，在频率分布直方图中，该组的小长方形的高为h，则｜a－b｜＝（ ）
A.hm B.
C. D.h＋m
4.某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知从左至右前4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀且分数为整数）（ ）
A.18篇 B.24篇
C.25篇 D.27篇
5.（多选）某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A.样本中支出在[50，60]内的频率为 0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生，则约有600人支出在[50，60]内
6.（多选）（2024·徐州月考）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.
下列说法正确的是（ ）
A.月收入低于5 000元的职工有5 500名
B.如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税
C.月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000）内
7.数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为 .
8.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本容量是 .
9.（2024·宿迁月考）某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是 .
10.抽查100袋洗衣粉，测得它们的质量如下（单位：g）：
494 498 493 505 496 492 487 483 508
511 495 494 483 485 511 493 505 485
501 503 493 509 509 512 484 509 510
495 497 498 504 498 483 510 503 497
502 511 497 500 493 509 510 493 491
497 515 503 515 518 510 514 509 499
493 499 506 492 505 489 494 501 509
498 502 500 508 491 509 509 499 495
493 509 496 509 509 499 486 491 492
496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 493 501 510 496 487 511 501
496
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图、频率折线图.
11.（2024·泰州月考）某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在[25，35）的人数n及直方图中a的值是（ ）
A.n＝35，a＝0.032 B.n＝35，a＝0.32
C.n＝30，a＝0.035 D.n＝30，a＝0.35
12.（多选）供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是（ ）
A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B.12月份人均用电量在[20，30）内的有300人
C.12月份人均用电量不低于20度的有500人
D.在这1 000位居民中用分层抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为2
13.某校高一年级1 000名学生在一次考试中成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样方法从成绩在[40，70）内的学生中共抽取80名学生，则抽取成绩在[50，60）内的学生人数是 .
14.从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整数，单位：分）的分布，将样本分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6.
（1）求样本容量；
（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
15.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分，单位：分）进行统计.得到如下不完整的频率分布表和频数直方图.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合计 50
（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（2）补全频数直方图；
（3）若成绩在[75.5，85.5）中的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
14.3.2 频率分布直方图
1.C 在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比.
2.B 由题可知，样本在[35，60]上的频率应为（34＋28＋15＋10＋5）÷200＝0.46.
3.B ＝h，故｜a－b｜＝组距＝＝.
4.D 根据题中频率分布直方图可得分数大于或等于80分的频率为1－（0.05＋0.15＋0.35）＝0.45，所以被评为优秀的调查报告有60×0.45＝27（篇）.故选D.
5.BCD 设[50，60]对应小长方形的高为x，则（0.010＋0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03.所以样本中支出在[50，60]内的频率为0.03×10＝0.3，A选项错误；n＝＝200，C选项正确；样本中支出不少于40元的人数为200×（0.036＋0.03）×10＝132，B选项正确；若该校有2 000名学生，则约有2 000×0.3＝600（人）支出在[50，60]内，D选项正确.故选B、C、D.
6.ACD 月收入低于5 000元的职工有10 000×（0.000 1＋0.000 2＋0.000 25）×1 000＝5 500（名），A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由（0.000 25＋0.000 15＋0.000 05）×1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确.
7.31 解析：极差为一组数据中最大值与最小值的差，由数据可知，最大值为94，最小值为63，所以极差为94－63＝31.
8.40 解析：设中间小长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝（1－x），解得x＝，即中间一组的频率为，∴＝，解得n＝40.
9.90 解析：∵样本中产品净重小于100克的频率为（0.050＋0.100）×2＝0.3，频数为36，∴样本容量为＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100＋0.150＋0.125）×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数为120×0.75＝90.
10.解：（1）在样本数据中，最大值是518，最小值是483，它们相差35，可以取组距为4，分成9组，根据题意列出频率分布表如下：
分组 频数 频率
[482.5，486.5） 8 0.08
[486.5，490.5） 3 0.03
[490.5，494.5） 17 0.17
[494.5，498.5） 20 0.20
[498.5，502.5） 14 0.14
[502.5，506.5） 10 0.10
[506.5，510.5） 19 0.19
[510.5，514.5） 6 0.06
[514.5，518.5] 3 0.03
合计 100 1
（2）频率分布直方图和频率折线图如图所示：
11.C 由频率分布直方图知，年龄在[25，35）的频率为0.015×10＝0.15，所以在这200人中年龄在[25，35）的人数n＝0.15×200＝30，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1可得，0.01×10＋0.015×10＋a×10＋0.03×10＋0.01×10＝1，解得a＝0.035.
12.ABC 根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1 000×0.04×10＝400（人），A正确；12月份人均用电量在[20，30）内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03＋0.01＋0.01）×10＝0.5，有1 000×0.5＝500（人），C正确；用电量在[30，40）内的有0.01×10×1 000＝100（人），所以在这1 000位居民中用分层抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为×10＝1，D错误.
13.30 解析：从频率分布直方图可以看出成绩在[40，50），[50，60），[60，70）内的频率之比为0.005∶0.015∶0.020＝1∶3∶4，所以抽取成绩在[50，60）内的学生人数为80×＝30.
14.解：（1）小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右各小组的频率之比为2∶3∶6∶4∶1，
∴最左边的一组的频率为＝，
∴样本容量＝＝＝48.
（2）105.5～120.5这一组的频率为＝，
∴频数为48×＝18.
（3）成绩大于120分的频率为＝，
∴考试成绩的优秀率约为×100%＝31.25%.
15.解：（1）如下表所示.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 8 0.16
[70.5，80.5） 10 0.20
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5] 12 0.24
合计 50 1.00
（2）如图所示.
（3）成绩在[75.5，80.5）中的学生人数约占成绩在[70.5，80.5）中的学生人数的，
因为成绩在[70.5，80.5）中的频率为0.2，所以成绩在[75.5，80.5）中的频率约为0.1.
成绩在[80.5，85.5）中的学生人数约占成绩在[80.5，90.5）中的学生人数的，
因为成绩在[80.5，90.5）中的频率为0.32，所以成绩在[80.5，85.5）中的频率约为0.16，
所以成绩在[75.5，85.5）中的频率约为0.26.
由于有900名学生参加了这次竞赛，故该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234（人）.
4 / 414.3.2 频率分布直方图
新课程标准解读 核心素养
1.学会用频率分布表、画频率分布直方图表示样本数据 数据分析、直观想象
2.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据作出总体估计 数据分析、数学运算
在上一节学到的频数直方图中，之所以取相等的组距，是为了使频数与相应的长方形面积成比例.而如果其他各组不变，将最后三组合成一组，如图，这个图形就容易给人造成错觉，在[130，160]这个区间上的矩形占有的区域面积较大，其中频数最多.
【问题】 怎样避免这种误解呢？
知识点一 频率分布直方图与频率折线图
1.频率分布直方图：把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为 ，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的 ，这些矩形就构成了直方图，我们将这种直方图称为频率分布直方图.
2.频率折线图：将频率分布直方图中各个矩形的上底边的 顺次连接起来，并将两边端点向外延伸 组距，就得到频率折线图，简称折线图.
提醒 频率分布直方图的性质：①图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率，即小长方形的面积＝组距×＝频率；②在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1；③＝样本容量；④频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比.
【想一想】
频数直方图和频率分布直方图有什么区别？
知识点二 绘制频率分布直方图的步骤
1.在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
2.（2024·苏州月考）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（ ）
A.0.02 B.0.2
C.0.04 D.0.4
3.一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 .
题型一 绘制频率分布直方图与频率折线图
【例1】 （链接教科书第243页习题5题）为调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据（单位：cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160
168 165 171 169 167 169 151 168
170 168 160 174 165 168 174 159
167 156 157 164 169 180 176 157
162 161 158 164 163 163 167 161
（1）作出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图、频率折线图.
通性通法
1.绘制频率分布直方图的注意事项
（1）将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多；
（2）将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；
（3）列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，确定各个小组内数据的个数；
（4）画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率.
2.频率折线图
【跟踪训练】
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，37，26，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如表所示.
分组 频数 频率
[25，30） 3 0.12
[30，35） 5 0.20
[35，40） 8 0.32
[40，45） n1 f1
[45，50] n2 f2
合计 25 1
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本的频率分布直方图和频率折线图.
题型二 频率分布直方图的应用
【例2】 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，样本中不达标的学生人数是多少？
2.（变设问）在本例条件下，第三小组的频数是多少？
通性通法
频率分布直方图应用中的计算问题
（1）小长方形的面积＝组距×＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数.
【跟踪训练】
（2024·淮安质检）某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
1.一个容量为80的样本数据的最大值是142，最小值是60，组距是10，则应将样本数据分为多少组（ ）
A.14 B.10 C.9 D.8
2.一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在[10，50）内的频率为（ ）
A.0.5 B.0.24
C.0.6 D.0.7
3.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重（单位：千克）情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为 .
14.3.2 频率分布直方图
【基础知识·重落实】
知识点一
1.组距 频率 2.中点 半个
想一想
提示：频数直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.
知识点二
最大值与最小值 左闭右开 样本容量 1 频率/组距
自我诊断
1.B 由频率分布直方图中小长方形宽为组距，高为频率与组距的比值，所以小长方形的面积等于频率，故选B.
2.A 由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1，10a，0.45，10a，0.05，则0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝1，解得a＝0.02，故选A.
3.8 解析：因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为0.1×40＝4，故第6组的频数为40－10－5－7－6－4＝8.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组 频数 频率
[149.5，153，5） 1 0.025
[153.5，157.5） 3 0.075
[157.5，161.5） 6 0.15
[161.5，165.5） 9 0.225
[165.5，169.5） 14 0.35
[169.5，173.5） 3 0.075
[173.5，177.5） 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合计 40 1
（2）频率分布直方图、频率折线图如图所示.
跟踪训练
解：（1）由所给数据知，落在区间[40，45）内的有7个，落在[45，50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝＝＝0.28，f2＝＝＝0.08.
（2）样本的频率分布直方图和频率折线图如图所示.
【例2】 解：（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
（2）由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
母题探究
1.解：由例2知达标率为88%，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18.
2.解：第三小组的频率为
＝0.34.
又因为样本容量为150，
所以第三小组的频数为150×0.34＝51.
跟踪训练
解：（1）依题意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，
解得a＝0.005.
（2）数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80）之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
随堂检测
1.C 这组数据的极差为142－60＝82，所以组数＝≈9.故选C.
2.D 因为样本数据在[10，50）内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10，50）内的频率为＝0.7.
3.48 解析：设该校准备报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝，解得n＝48.
4 / 4(共65张PPT)
14.3.2
频率分布直方图
新课程标准解读 核心素养
1.学会用频率分布表、画频率分布直方图表示样本数
据 数据分析、
直观想象
2.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据作出总
体估计 数据分析、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在上一节学到的频数直方图中，之所以取相等的组距，是为了使
频数与相应的长方形面积成比例.而如果其他各组不变，将最后三组
合成一组，如图，这个图形就容易给人造成错觉，在[130，160]这个
区间上的矩形占有的区域面积较大，其中频数最多.
【问题】 怎样避免这种误解呢？
组距
频率
2. 频率折线图：将频率分布直方图中各个矩形的上底边的 顺
次连接起来，并将两边端点向外延伸 组距，就得到频率折
线图，简称折线图.
提醒 频率分布直方图的性质：①图中每个小长方形的面积表示相
应各组的频率，即小长方形的面积＝组距× ＝频率；②在频
率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1；③
＝样本容量；④频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之
比，各矩形的高度之比也等于频率之比.
中点
半个
【想一想】
频数直方图和频率分布直方图有什么区别？
提示：频数直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频
数成正比；频率分布直方图的纵坐标是 ，每一组数对应的矩形高
度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从
而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.
知识点二 绘制频率分布直方图的步骤
1. 在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）
A. 组距 B. 频率
C. 组数 D. 频数
解析： 由频率分布直方图中小长方形宽为组距，高为频率与组
距的比值，所以小长方形的面积等于频率，故选B.
√
2. （2024·苏州月考）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通
过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单
位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a
的值为（ ）
A. 0.02 B. 0.2
C. 0.04 D. 0.4
√
解析： 由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1，10a，
0.45，10a，0.05，则0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝
1，解得a＝0.02，故选A.
3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，
7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 .
解析：因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为0.1×40＝4，故
第6组的频数为40－10－5－7－6－4＝8.
8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 绘制频率分布直方图与频率折线图
【例1】 （链接教科书第243页习题5题）为调查某校初二年级男生
的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据（单位：cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
（1）作出频率分布表；
解： 最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180
－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组 频数 频率
[149.5，153，5） 1 0.025
[153.5，157.5） 3 0.075
[157.5，161.5） 6 0.15
[161.5，165.5） 9 0.225
[165.5，169.5） 14 0.35
[169.5，173.5） 3 0.075
[173.5，177.5） 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合计 40 1
（2）画出频率分布直方图、频率折线图.
解： 频率分布直方图、频率折线图如图所示.
通性通法
1. 绘制频率分布直方图的注意事项
（1）将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据
多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多；
（2）将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，
并且把第一组的起点稍微减小一点；
（3）列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组
内，确定各个小组内数据的个数；
（4）画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定
不能标成频率.
2. 频率折线图
【跟踪训练】
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：
件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，
29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，37，26，39，36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如表所示.
分组 频数 频率
[25，30） 3 0.12
[30，35） 5 0.20
[35，40） 8 0.32
[40，45） n1 f1
[45，50] n2 f2
合计 25 1
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
解： 由所给数据知，落在区间[40，45）内的有7个，落在
[45，50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝ ＝ ＝
0.28，f2＝ ＝ ＝0.08.
（2）根据上述频率分布表，画出样本的频率分布直方图和频率折线图.
解： 样本的频率分布直
方图和频率折线图如图所示.
题型二 频率分布直方图的应用
【例2】 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进
行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图
（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为
2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
解： 频率分布直方图以
面积的形式反映数据落在各小
组内的频率大小，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
又因为第二小组的频率＝ ，所以样本容量＝ ＝ ＝150.
（2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级
学生的达标率是多少？
解： 由频率分布直方图
可估计该校高一年级学生的达
标率为 ×100%
＝88%.
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，样本中不达标的学生人数是多少？
解：由例2知达标率为88%，样本容量为150，不达标的学生频率为
1－0.88＝0.12.
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18.
2. （变设问）在本例条件下，第三小组的频数是多少？
解：第三小组的频率为 ＝0.34.
又因为样本容量为150，
所以第三小组的频数为150×0.34＝51.
通性通法
频率分布直方图应用中的计算问题
（1）小长方形的面积＝组距× ＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3） ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本容量，样本容
量×频率＝频数.
【跟踪训练】
（2024·淮安质检）某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）
的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，
70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
解： 依题意得，10×（2a＋0.02
＋0.03＋0.04）＝1，
解得a＝0.005.
（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成
绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在
[50，90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
解： 数学成绩在[50，60）之间
的人数为100×0.05＝5，数学成绩在
[60，70）之间的人数为100×0.4×
＝20，数学成绩在[70，80）之间的人
数为100×0.3× ＝40，数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2× ＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
1. 一个容量为80的样本数据的最大值是142，最小值是60，组距是
10，则应将样本数据分为多少组（ ）
A. 14 B. 10 C. 9 D. 8
解析： 这组数据的极差为142－60＝82，所以组数＝ ≈9.
故选C.
√
2. 一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
分组 [10， 20） [20， 30） [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60，
70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在[10，50）内的频率为（ ）
A. 0.5 B. 0.24 C. 0.6 D. 0.7
解析： 因为样本数据在[10，50）内的频数为2＋3＋4＋5＝
14，样本容量为20，所以在[10，50）内的频率为 ＝0.7.
√
3. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重（单位：
千克）情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所
示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中
第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为 .
48
解析：设该校准备报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，
则有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所
以第2小组的频率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝ ，
解得n＝48.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（ ）
A. 小长方形的高表示取某数的频率
B. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
解析： 在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应
各组的频率，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率
与组距的比.
√
2. 从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：
[10，15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；
[30，35），46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），
15；[50，55），10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是
（ ）
A. 0.69 B. 0.46 C. 1 D. 0.92
解析： 由题可知，样本在[35，60]上的频率应为（34＋28＋15
＋10＋5）÷200＝0.46.
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3. （2024·南京六校质检）在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成
若干组，[a，b）是其中的一组，该组的频率为m，在频率分布直
方图中，该组的小长方形的高为h，则｜a－b｜＝（ ）
A. hm D. h＋m
解析： ＝h，故｜a－b｜＝组距＝ ＝ .
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4. 某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学
生的调查报告进行了评比，将某年级60篇学生调查报告进行整理，
分成5组并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知从左至右前4个
小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被
评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀且分数为整
数）（ ）
A. 18篇 B. 24篇
C. 25篇 D. 27篇
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解析： 根据题中频率分布直方图可得分数大于或等于80分的频
率为1－（0.05＋0.15＋0.35）＝0.45，所以被评为优秀的调查报
告有60×0.45＝27（篇）.故选D.
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5. （多选）某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了
一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在
[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本中支出在[50，60]内的频率为 0.03
B. 样本中支出不少于40元的人数为132
C. n的值为200
D. 若该校有2 000名学生，则约有600人支出
在[50，60]内
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解析： 设[50，60]对应小长方形的高为x，则（0.010＋
0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03.所以样本中支出在
[50，60]内的频率为0.03×10＝0.3，A选项错误；n＝ ＝
200，C选项正确；样本中支出不少于40元的人数为200×
（0.036＋0.03）×10＝132，B选项正确；若该校有2 000名学
生，则约有2 000×0.3＝600（人）支出在[50，60]内，D选项
正确.故选B、C、D.
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6. （多选）（2024·徐州月考）为征求个人所得税法修改建议，某机
构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了
样本的频率分布直方图.
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下列说法正确的是（ ）
A. 月收入低于5 000元的职工有5 500名
B. 如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税
C. 月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D. 根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000）内
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解析： 月收入低于5 000元的职工有10 000×（0.000 1＋
0.000 2＋0.000 25）×1 000＝5 500（名），A正确；如果个税起
征点调整至5 000元，由（0.000 25＋0.000 15＋0.000 05）×1
000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正
确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%
＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的
频率为0.8，D正确.
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7. 数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为 .
解析：极差为一组数据中最大值与最小值的差，由数据可知，最大
值为94，最小值为63，所以极差为94－63＝31.
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8. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小
长方形面积是其余4个小长方形面积之和的 ，且中间一组的频数
为10，则样本容量是 .
解析：设中间小长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝
（1－x），解得x＝ ，即中间一组的频率为 ，∴ ＝ ，解得n
＝40.
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9. （2024·宿迁月考）某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据
抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，
其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），
[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本
中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克
并且小于104克的产品个数是 .
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解析：∵样本中产品净重小于100克的频率为（0.050＋0.100）×2
＝0.3，频数为36，∴样本容量为 ＝120.∵样本中净重大于或等
于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100＋0.150＋0.125）
×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个
数为120×0.75＝90.
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10. 抽查100袋洗衣粉，测得它们的质量如下（单位：g）：
494 498 493 505 496 492 487 483 508
511 495 494 483 485 511 493 505 485
501 503 493 509 509 512 484 509 510
495 497 498 504 498 483 510 503 497
502 511 497 500 493 509 510 493 491
497 515 503 515 518 510 514 509 499
493 499 506 492 505 489 494 501 509
498 502 500 508 491 509 509 499 495
493 509 496 509 509 499 486 491 492
496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 493 501 510 496 487 511 501
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（1）列出样本的频率分布表；
解： 在样本数据中，最大值是518，最小值是483，它
们相差35，可以取组距为4，分成9组，根据题意列出频率分布表如下：
分组 频数 频率
[482.5，486.5） 8 0.08
[486.5，490.5） 3 0.03
[490.5，494.5） 17 0.17
[494.5，498.5） 20 0.20
[498.5，502.5） 14 0.14
[502.5，506.5） 10 0.10
[506.5，510.5） 19 0.19
[510.5，514.5） 6 0.06
[514.5，518.5] 3 0.03
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（2）画出频率分布直方图、频率折线图.
解： 频率分布直方图和频率折线图如图所示：
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11. （2024·泰州月考）某直播间从参与购物的人群中随机选出200
人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，
则在这200人中年龄在[25，35）的人数n及直方图中a的值是（ ）
A. n＝35，a＝0.032
B. n＝35，a＝0.32
C. n＝30，a＝0.035
D. n＝30，a＝0.35
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解析： 由频率分布直方图知，年龄在[25，35）的频率为
0.015×10＝0.15，所以在这200人中年龄在[25，35）的人数n＝
0.15×200＝30，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1可
得，0.01×10＋0.015×10＋a×10＋0.03×10＋0.01×10＝1，
解得a＝0.035.
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12. （多选）供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行
统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），
[30，40），[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方
图，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是（ ）
A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B. 12月份人均用电量在[20，30）内的有300人
C. 12月份人均用电量不低于20度的有500人
D. 在这1 000位居民中用分层抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到
的居民用电量在[30，40）一组的人数为2
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解析： 根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最
多的一组是[10，20），有1 000×0.04×10＝400（人），A正
确；12月份人均用电量在[20，30）内的人数为1 000×0.03×10
＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03＋
0.01＋0.01）×10＝0.5，有1 000×0.5＝500（人），C正确；用
电量在[30，40）内的有0.01×10×1 000＝100（人），所以在这
1 000位居民中用分层抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居
民用电量在[30，40）一组的人数为 ×10＝1，D错误.
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13. 某校高一年级1 000名学生在一次考试中成绩（单位：分）的频率
分布直方图如图所示，现用分层抽样方法从成绩在[40，70）内的
学生中共抽取80名学生，则抽取成绩在[50，60）内的学生人数
是 .
30
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解析：从频率分布直方图可以看出成绩在[40，50），[50，
60），[60，70）内的频率之比为0.005∶0.015∶0.020＝
1∶3∶4，所以抽取成绩在[50，60）内的学生人数为80×
＝30.
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14. 从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整
数，单位：分）的分布，将样本分成5组，绘成如图所示的频率分
布直方图，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，
最左边的一组频数为6.
（1）求样本容量；
解： 小矩形的高之比为
频率之比，
∴从左到右各小组的频率之
比为2∶3∶6∶4∶1，
∴最左边的一组的频率为
＝ ，
∴样本容量＝ ＝ ＝48.
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（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
解： 105.5～120.5这一组的频率为 ＝ ，
∴频数为48× ＝18.
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
解： 成绩大于120分的频率为 ＝ ，
∴考试成绩的优秀率约为 ×100%＝31.25%.
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15. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次
竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分，单位：分）进行统计.得到如下不完整的频率分布表和频数直方图.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合计 50
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（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
解： 如下表所示.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 8 0.16
[70.5，80.5） 10 0.20
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5] 12 0.24
合计 50 1.00
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（2）补全频数直方图；
解： 如图所示.
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（3）若成绩在[75.5，85.5）中的学生获得二等奖，问获得二等
奖的学生约为多少人？
解： 成绩在[75.5，80.5）中的学生人数约占成绩在[70.5，80.5）中的学生人数的 ，
因为成绩在[70.5，80.5）中的频率为0.2，所以成绩在
[75.5，80.5）中的频率约为0.1.
成绩在[80.5，85.5）中的学生人数约占成绩在[80.5，
90.5）中的学生人数的 ，
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因为成绩在[80.5，90.5）中的频率为0.32，所以成绩在
[80.5，85.5）中的频率约为0.16，
所以成绩在[75.5，85.5）中的频率约为0.26.
由于有900名学生参加了这次竞赛，故该校获得二等奖的学
生约为0.26×900＝234（人）.
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谢 谢 观 看！
