14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数
1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ）
A.甲 B.乙
C.甲、乙相同 D.不能确定
2.（2024·连云港月考）有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连续8年的亩产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则其方差为（ ）
A.120 B.80
C.15 D.150
3.已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（ ）
4.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为s2，则（ ）
A.＝5，s2＝2 B.＝5，s2＝1.6
C.＝4.9，s2＝1.6 D.＝5.1，s2＝2
5.（多选）（2024·无锡月考）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（ ）
A.这组新数据的平均数为6
B.这组新数据的平均数为9
C.这组新数据的方差为1
D.这组新数据的方差为4
6.（多选）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A.若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则＞
B.若甲、乙两组数据的方差分别为，，则＞
C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D.甲成绩比乙成绩稳定
7.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差为 .
8.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差为 .
9.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间（单位：分）记录如下表：
等待时间 [0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25]
频数 4 8 5 2 1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝ ，病人等待时间方差的估计值s2＝ .
10.某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）.去年测评的数据如下：
甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；
乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.
（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；
（2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；
（3）根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？
11.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下：
甲：平均数为3，中位数为2；
乙：中位数为3，众数为2；
丙：中位数为3，极差为4；
丁：平均数为2，方差为2.4.
通过以上数据可以判断一定没出现6点的是（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
12.在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（ ）
A.平均分变大，方差不变
B.平均分变小，方差不变
C.平均分不变，方差变大
D.平均分不变，方差变小
13.（2024·广州月考）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为3，方差为6，则＋＋…＋＝ .
14.某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占用的时间统计如下：
住户编号 1 2 3 4 5 6
A小区（分钟） 220 180 210 220 200 230
B小区（分钟） 200 190 240 230 220 210
（1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均数和方差；
（2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环卫局与A小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照3 000元（按照28天计算标准）计算；
方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类的效果，每位专职人员（每天工作8小时）的月工资按照4 000元（按照28天计算标准）计算.
①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广.
14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数
1.A 因为甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.故选A.
2.D 因为连续8年的亩产量的平均数为×（450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为×[（450－450）2＋（430－450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450－450）2＋（440－450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝150.
3.D 选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大.
4.B 设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝5，x10＝6，根据题意＝5 x1＋x2＋…＋x7＝35，＝2 （x1－5）2＋（x2－5）2＋…＋（x7－5）2＝14，所以＝＝＝5，
s2＝
＝＝1.6.故选B.
5.BD 由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2＋…＋（xn－6）2＝n，则＝＝9，
＝＝4，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选B、D.
6.ACD 对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以＜，B错误；对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确.
7.265 解析：依题意＝130，＝115，＝110，＝215，∴＝×130＋×110＝115（分），∴全班学生成绩的方差为s2＝[＋（－）2]＋[＋（－）2]＝×（115＋225）＋×（215＋25）＝85＋180＝265.
8. 解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2，2，2，2，5，5，8，8，8，8.∵＝5，∴s2＝×[（2－5）2＋（2－5）2＋（2－5）2＋（2－5）2＋（5－5）2＋（5－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2]＝×8×9＝，∴s＝.
9.9.5 28.5 解析：＝×（2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1）＝9.5，s2＝×[（2.5－9.5）2×4＋（7.5－9.5）2×8＋（12.5－9.5）2×5＋（17.5－9.5）2×2＋（22.5－9.5）2×1]＝28.5.
10.解：（1）甲学校人民满意度测评数据的平均数为＝×（96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98）＝100，
中位数为＝99，
乙学校人民满意度测评数据的平均数为＝×（108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106）＝100，
中位数为＝99.
（2）甲学校人民满意度测评数据的方差为＝×[（96－100）2＋（112－100）2＋…＋（98－100）2]＝55.25，
乙学校人民满意度测评数据的方差为＝×[（108－100）2＋（101－100）2＋…＋（106－100）2]＝29.5.
（3）由（1）（2）可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好.
11.D 若甲5次出现的点数为：1，1，2，5，6，显然平均数为3，中位数为2，会出现6点；若乙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，众数为2，会出现6点；若丙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，极差为4，会出现6点；丁的平均数为2，方差为2.4，当有6点时，＝3.2＞2.4，显然不可能，故选D.
12.D 设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，an，原平均分＝，原方差＝，该同学回归校园后新平均分＝＝＝，即平均分不变.该同学回归校园后新方差＝
＝＝＜，即方差变小.故选D.
13.150 解析：由题意可知，这10个数据的平均数为＝ai＝3，方差为s2＝（ai－）2＝（－10）＝（－90）＝6，解得＋＋…＋＝＝150.
14.解：（1）＝×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝210（分钟），
＝×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分钟），
＝×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2＋（220－210）2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝，
＝×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－215）2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝.
（2）①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5（位）工作人员进行检查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000（元），
每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝15（元）.
②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类，
则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000（分钟）进行生活垃圾分类，
则A小区一个月至少需要专职人员≈16（位），
则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝64（元）.
③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民，可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户.
综上，方案一的惠民力度大，更值得推广.
3 / 314.4.2 用样本估计总体的离散程度参数
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义 数学抽象、数据分析
2.结合具体实例，掌握分层抽样的样本方差 数学运算
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2.
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
【问题】 哪种钢筋的质量较好？
知识点一 极差
1.定义：一组数据的 称为极差.
2.作用：一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小.
3.范围：极差的取值范围是[0，＋∞）.
知识点二 方差、标准差
1.方差：设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2＝ 为这个样本的方差，简称样本方差.
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1（x1－）2＋p2（x2－）2＋…＋pn（xn－）2.
2.标准差：方差的算术平方根s＝ 为样本的标准差，简称样本标准差.
3.方差、标准差的意义：方差（标准差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差（标准差）越大，数据的离散程度 ；方差（标准差）越小，数据的离散程度 ；但在解决实际问题时，一般采用标准差；标准差（方差）的取值范围为[0，＋∞），标准差的大小不超过极差.
【想一想】
1.样本方差与样本标准差的区别与联系是什么？
2.数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，的方差为，那么s2与的大小关系如何？
知识点三 分层抽样数据的方差
1.定义：一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，，第j层的样本量为nj，样本平均数为，样本方差为，j＝1，2，…，k.记nj＝n，那么，所有数据的样本方差为＝ （xjt－）2＝ .
2.计算公式：设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为s2＝ .
1.下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是（ ）
A.极差 B.平均数 C.方差 D.标准差
2.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩与人数分布如图①、②、③，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（ ）
A.s3＞s1＞s2 B.s2＞s1＞s3
C.s1＞s2＞s3 D.s3＞s2＞s1
3.为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员工的身高和体重数据，计算得到他们体质指数的平均数为25.1，方差为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们体质指数的平均数为20.3，方差为3.则样本方差是 .
题型一 方差、标准差的计算
【例1】 （链接教科书第253页例7）（1）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们参加环保知识竞赛的成绩如下（单位：分）：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
分别计算两组数据的极差、方差和标准差.
（2）若k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，试求2（k1－3），2（k2－3），…，2（k6－3）的平均数与方差.
通性通法
1.计算方差常用公式
（1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]；
（2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n].
2.具有线性关系的数据的平均数和方差
若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为和s2，那么y1，y2，…，yn的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜.
特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为±b，方差为s2，标准差为s；若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k，方差为k2s2，标准差为｜ks｜.
【跟踪训练】
1.如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图，则样本数据的方差为（结果保留整数）（ ）
A.18 B.19 C.20 D.21
2.某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
求全班这次考试成绩的平均数和标准差.
题型二 分层抽样的方差
【例2】 （链接教科书第255页例9）甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
通性通法
计算分层抽样的方差s2的步骤
（1）确定，，，；
（2）确定；
（3）应用公式s2＝[＋（－）2]＋[＋（－）2]，计算s2.
【跟踪训练】
已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2024年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.6万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为 .
题型三 方差、标准差的应用
【例3】 甲、乙两名运动员在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别求出两组数据的方差和标准差；
（3）根据计算结果，估计两名运动员的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
通性通法
数据分析要点
（1）平均数反映的是样本的平均水平，方差和标准差则反映了样本的波动、离散程度.对于形如“谁发挥更好”“谁更优秀”的题目，除比较数据的平均数外，还应该比较方差或标准差的大小，以作出更为公正、合理的判断；
（2）在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的.
【跟踪训练】
某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）：
甲 95 82 88 81 93 79 84 78
乙 83 75 80 80 90 85 92 95
（1）请你计算这两组数据的平均数、中位数；
（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由.
1.某高一学生在连续五次月考中的数学成绩（单位：分）为90，90，93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为（ ）
A.92，2.8 B.92，2
C.93，2 D.93，2.8
2.（多选）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150为优秀）
D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
3.若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的标准差s＝ .
4.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数
【基础知识·重落实】
知识点一
1.最大值与最小值的差
知识点二
1.（xi－）2 2. 3.越大 越小
想一想
1.提示：区别：定义不同，单位不同.联系：样本标准差是样本方差的算术平方根.
2.提示：因为数据x1，x2，…，xn，比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即＜s2.
知识点三
1.nj[＋（－）2] 2.[＋（－）2]＋[＋（－）2]
自我诊断
1.B 平均数描述数据的集中趋势，极差、方差、标准差描述数据的离散程度.故选B.
2.D 所给题图是成绩分布图，平均分是75分，在图①中，集中在75分附近的数据最多，图③中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图②介于两者之间.由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.故选D.
3.10.2 解析：样本平均数＝≈23.4，
方差s2＝≈10.2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35（分），
甲组平均分为＝×（60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80）＝79（分），
甲组方差为＝×[（60－79）2＋（90－79）2＋（85－79）2＋（75－79）2＋（65－79）2＋（70－79）2＋（80－79）2＋（90－79）2＋（95－79）2＋（80－79）2]＝119，
甲组标准差为s甲＝＝≈10.91（分）.
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30（分），
乙组平均分为＝×（85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85）＝81.5（分），
乙组方差为＝×[（85－81.5）2＋（95－81.5）2＋（75－81.5）2＋（70－81.5）2＋（85－81.5）2＋（80－81.5）2＋（85－81.5）2＋（65－81.5）2＋（90－81.5）2＋（85－81.5）2]＝75.25，
乙组标准差为s乙＝＝≈8.67（分）.
（2）因为k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，则2（k1－3），2（k2－3），…，2（k6－3）的平均数为2×（6－3）＝6，方差为22×3＝12.
跟踪训练
1.C 由频率分布直方图可得样本数据的平均数为4×（0.02×4）＋8×（0.08×4）＋12×（0.09×4）＋16×（0.03×4）＋20×（0.03×4）＝11.52，其方差s2＝（4－11.52）2×0.08＋（8－11.52）2×0.32＋（12－11.52）2×0.36＋（16－11.52）2×0.12＋（20－11.52）2×0.12≈20.
2.解：设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为，标准差为s.
根据题意，有＝＝85，
42＝（＋＋…＋－20×902），
62＝（＋＋…＋－20×802），
∴＋＋…＋＝20×（42＋62＋902＋802）＝291 040.
∴s2＝（＋＋…＋－40）
＝×（291 040－40×852）＝51，∴s＝.
【例2】 解：由题意可知＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，
＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68（kg），
甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝×[200＋（60－68）2]＋×[300＋（70－68）2]＝296.
跟踪训练
119.12 解析：记该省所有城市房产均价为，二线城市房价的方差为s2，由题意可知＝1.2（万元/平方米），则20＝×[s2＋（2.4－1.2）2]＋×[10＋（1.6－1.2）2]＋×[8＋（0.8－1.2）2]，解得s2＝119.12，即二线城市房价的方差为119.12.
【例3】 解：（1）＝×（8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7）＝7，
＝×（6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5）＝7.
（2）由方差公式s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]，得＝3，＝1.2.
故s甲≈1.7，s乙≈1.1.
（3）＝，说明甲、乙两运动员的平均水平相当.
又＞，说明甲运动员射击情况波动大.
因此，乙运动员比甲运动员射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.
跟踪训练
解：（1） ＝×（95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78）＝85（分），
＝×（83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95）＝85（分）.
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分.
（2）由（1）知＝＝85分，则
＝×[（95－85）2＋（82－85）2＋…＋（78－85）2]＝35.5，
＝×[（83－85）2＋（75－85）2＋…＋（95－85）2]＝41.
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为＝，＜，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力.
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩.
随堂检测
1.A 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为＝×（90＋90＋93＋94＋93）＝92，方差为s2＝×[（90－92）2＋（90－92）2＋（93－92）2＋（94－92）2＋（93－92）2]＝2.8.故选A.
2.ABC 甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，故A正确；＝191＞110＝，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，故B正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，故C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，故D错误.故选A、B、C.
3. 解析：由平均数为5，得a＝5×5－（2＋3＋7＋8）＝5，则s2＝×[（－3）2＋（－2）2＋22＋32＋02]＝，s＝＝.
4.解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45（岁），
年龄的方差为＝×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×（38－45）2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39.2（岁），
该校中级职称和高级职称教师年龄的方差是
s2＝×[2＋（38－39.2）2]＋×[73＋（45－39.2）2]＝20.64.
4 / 4(共79张PPT)
14.4.2
用样本估计总体的离散程度参数
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标
准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义 数学抽象、
数据分析
2.结合具体实例，掌握分层抽样的样本方差 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它
们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数
均为125 kg/mm2.
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
【问题】 哪种钢筋的质量较好？
知识点一 极差
1. 定义：一组数据的 称为极差.
2. 作用：一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极
差小，则数据相对集中，数据的波动性小.
3. 范围：极差的取值范围是[0，＋∞）.
最大值与最小值的差
知识点二 方差、标准差
1. 方差：设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为 ，则称s2
＝ 为这个样本的方差，简称样本方差.
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，
则其方差为p1（x1－ ）2＋p2（x2－ ）2＋…＋pn（xn－ ）2.
（xi－ ）2
3. 方差、标准差的意义：方差（标准差）刻画了数据的离散程度或波
动幅度，方差（标准差）越大，数据的离散程度 ；方差
（标准差）越小，数据的离散程度 ；但在解决实际问题
时，一般采用标准差；标准差（方差）的取值范围为[0，＋∞），
标准差的大小不超过极差.
越大
越小
【想一想】
1. 样本方差与样本标准差的区别与联系是什么？
提示：区别：定义不同，单位不同.联系：样本标准差是样本方差
的算术平方根.
2. 数据x1，x2，…，xn的平均数是 ，方差为s2，数据x1，x2，…，
xn， 的方差为 ，那么s2与 的大小关系如何？
提示：因为数据x1，x2，…，xn， 比数据x1，x2，…，xn更加相
对集中，所以方差变小了，即 ＜s2.
知识点三 分层抽样数据的方差
1. 定义：一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，
xj2，…， ，第j层的样本量为nj，样本平均数为 ，样本方差
为 ，j＝1，2，…，k.记 nj＝n，那么，所有数据的样本方差
为 ＝ （xjt－ ）2＝ nj[＋（ － ）2] .
nj[＋（ － ）2]
2. 计算公式：设样本容量为n，平均数为 ，其中两层的个体数量分
别为n1，n2，两层的平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，
则这个样本的方差为s2＝
.
[＋（ － ）2]＋ [＋（
－ ）2]
1. 下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是
（ ）
A. 极差 B. 平均数
C. 方差 D. 标准差
解析： 平均数描述数据的集中趋势，极差、方差、标准差描述
数据的离散程度.故选B.
√
2. 在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩与人数分布如图
①、②、③，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示
甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（ ）
A. s3＞s1＞s2 B. s2＞s1＞s3
C. s1＞s2＞s3 D. s3＞s2＞s1
√
解析： 所给题图是成绩分布图，平均分是75分，在图①中，集
中在75分附近的数据最多，图③中从50分到100分均匀分布，所有
成绩不集中在任何一个数据附近，图②介于两者之间.由标准差的
意义可得s3＞s2＞s1.故选D.
3. 为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男
员工的身高和体重数据，计算得到他们体质指数的平均数为25.1，
方差为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们体
质指数的平均数为20.3，方差为3.则样本方差是 .
解析：样本平均数 ＝ ≈23.4，方差s2＝
≈10.2.
10.2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 方差、标准差的计算
【例1】 （链接教科书第253页例7）（1）某班20位女同学平均分为
甲、乙两组，她们参加环保知识竞赛的成绩如下（单位：分）：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
分别计算两组数据的极差、方差和标准差.
解： 甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60
＝35（分），
甲组平均分为 ＝ ×（60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋
95＋80）＝79（分），
甲组方差为 ＝ ×[（60－79）2＋（90－79）2＋（85－79）
2＋（75－79）2＋（65－79）2＋（70－79）2＋（80－79）2＋
（90－79）2＋（95－79）2＋（80－79）2]＝119，
甲组标准差为s甲＝ ＝ ≈10.91（分）.
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30
（分），
乙组平均分为 ＝ ×（85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋
90＋85）＝81.5（分），
乙组方差为 ＝ ×[（85－81.5）2＋（95－81.5）2＋（75－
81.5）2＋（70－81.5）2＋（85－81.5）2＋（80－81.5）2＋
（85－81.5）2＋（65－81.5）2＋（90－81.5）2＋（85－
81.5）2]＝75.25，
乙组标准差为s乙＝ ＝ ≈8.67（分）.
（2）若k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，试求2（k1－3），2
（k2－3），…，2（k6－3）的平均数与方差.
解： 因为k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，则2（k1
－3），2（k2－3），…，2（k6－3）的平均数为2×（6－3）
＝6，方差为22×3＝12.
通性通法
1. 计算方差常用公式
（1）定义法：s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）
2]；
（2）简化法：s2＝ [（ ＋ ＋…＋ ）－n ].
2. 具有线性关系的数据的平均数和方差
若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋
b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为 和s2，那么
y1，y2，…，yn的平均数为a ＋b，方差为a2s2，标准差为｜
as｜.
特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为 ±b，方差
为s2，标准差为s；若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k ，
方差为k2s2，标准差为｜ks｜.
【跟踪训练】
1. 如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图，则样本数据的方差
为（结果保留整数）（ ）
A. 18 B. 19
C. 20 D. 21
√
解析： 由频率分布直方图可得样本数据的平均数为4×
（0.02×4）＋8×（0.08×4）＋12×（0.09×4）＋16×
（0.03×4）＋20×（0.03×4）＝11.52，其方差s2＝（4－
11.52）2×0.08＋（8－11.52）2×0.32＋（12－11.52）2×0.36＋
（16－11.52）2×0.12＋（20－11.52）2×0.12≈20.
2. 某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下
所示：
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
求全班这次考试成绩的平均数和标准差.
解：设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，
x22，…，x40，全班平均成绩为 ，标准差为s.
根据题意，有 ＝ ＝85，
42＝ （ ＋ ＋…＋ －20×902），
62＝ （ ＋ ＋…＋ －20×802），
∴ ＋ ＋…＋ ＝20×（42＋62＋902＋802）＝291 040.
∴s2＝ （ ＋ ＋…＋ －40 ）
＝ ×（291 040－40×852）＝51，∴s＝ .
题型二 分层抽样的方差
【例2】 （链接教科书第255页例9）甲、乙两支田径队体检结果
为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70
kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么
甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
解：由题意可知 ＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占权重为
＝ ，
＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占权重为 ＝ ，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝ ×60＋ ×70＝68（kg），
甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝ ×[200＋（60－68）2]＋
×[300＋（70－68）2]＝296.
通性通法
计算分层抽样的方差s2的步骤
（1）确定 ， ， ， ；
（2）确定 ；
（3）应用公式s2＝ [＋（ － ）2]＋ [＋（ － ）2]，计
算s2.
【跟踪训练】
已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2024年8月份调查
得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、
四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.6万元/平方米，0.8万
元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价
的方差为 .
119.12
解析：记该省所有城市房产均价为 ，二线城市房价的方差为s2，由
题意可知 ＝1.2（万元/平方米），则20＝ ×[s2＋（2.4－
1.2）2]＋ ×[10＋（1.6－1.2）2]＋ ×[8＋（0.8－1.2）
2]，解得s2＝119.12，即二线城市房价的方差为119.12.
题型三 方差、标准差的应用
【例3】 甲、乙两名运动员在相同条件下各打靶10次，每次命中的
环数分别为：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
解： ＝ ×（8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7）
＝7，
＝ ×（6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5）＝7.
（2）分别求出两组数据的方差和标准差；
解： 由方差公式s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋
（xn－ ）2]，得 ＝3， ＝1.2.
故s甲≈1.7，s乙≈1.1.
（3）根据计算结果，估计两名运动员的射击情况.若要从这两人中选
一人参加射击比赛，选谁去合适？
解： ＝ ，说明甲、乙两运动员的平均水平相当.
又 ＞ ，说明甲运动员射击情况波动大.
因此，乙运动员比甲运动员射击情况稳定.从成绩的稳定性考
虑，应选择乙参加比赛.
通性通法
数据分析要点
（1）平均数反映的是样本的平均水平，方差和标准差则反映了样本
的波动、离散程度.对于形如“谁发挥更好”“谁更优秀”的题
目，除比较数据的平均数外，还应该比较方差或标准差的大
小，以作出更为公正、合理的判断；
（2）在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在
唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策
的好坏，是根据提出的标准而定的.
【跟踪训练】
某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期
间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）：
甲 95 82 88 81 93 79 84 78
乙 83 75 80 80 90 85 92 95
（1）请你计算这两组数据的平均数、中位数；
解： ＝ ×（95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78）＝85
（分），
＝ ×（83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95）＝85（分）.
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分.
（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，
你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由.
解： 由（1）知 ＝ ＝85分，则
＝ ×[（95－85）2＋（82－85）2＋…＋（78－85）2]＝
35.5，
＝ ×[（83－85）2＋（75－85）2＋…＋（95－85）2]＝
41.
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为 ＝ ， ＜ ，所以甲的成绩较
稳定；
④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3
次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上
升趋势，因此乙更具潜力.
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得
好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所
以应派乙参赛更有望取得好成绩.
1. 某高一学生在连续五次月考中的数学成绩（单位：分）为90，90，
93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方
差分别为（ ）
A. 92，2.8 B. 92，2
C. 93，2 D. 93，2.8
√
解析： 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为 ＝
×（90＋90＋93＋94＋93）＝92，方差为s2＝ ×[（90－92）2＋
（90－92）2＋（93－92）2＋（94－92）2＋（93－92）2]＝2.8.故
选A.
2. （多选）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入
汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）
A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B. 甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C. 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150为优秀）
D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
√
√
√
解析： 甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩
的平均数相同，故A正确； ＝191＞110＝ ，所以甲班成绩不
如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，故B正确；甲、乙两班人数
相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班
每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，故C正确；由
题表看不出两班学生成绩的众数，故D错误.故选A、B、C.
解析：由平均数为5，得a＝5×5－（2＋3＋7＋8）＝5，则s2＝
×[（－3）2＋（－2）2＋22＋32＋02]＝ ，s＝ ＝ .
4. 某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均
年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38
岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为 ＝
＝45（岁），
年龄的方差为 ＝ ×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋
2×（38－45）2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 ＝ ×38＋
×45≈39.2（岁），
该校中级职称和高级职称教师年龄的方差是
s2＝ ×[2＋（38－39.2）2]＋ ×[73＋（45－39.2）2]＝
20.64.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1
2
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1. 甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得
分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次
篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙相同 D. 不能确定
解析： 因为甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准
差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，
甲发挥更稳定.故选A.
√
2. （2024·连云港月考）有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连
续8年的亩产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，
440，470，460，则其方差为（ ）
A. 120 B. 80
C. 15 D. 150
√
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解析： 因为连续8年的亩产量的平均数为 ×（450＋430＋460
＋440＋450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为 ×[（450－
450）2＋（430－450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450
－450）2＋（440－450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝
150.
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3. 已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如
图所示，则标准差最大的是（ ）
√
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解析： 选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选
项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，
样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据
为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D. 也可由
样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D
中的数据波动最大.
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4. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入
新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为 ，方差为
s2，则（ ）
√
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解析： 设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝
5，x10＝6，根据题意 ＝5 x1＋x2＋…＋x7＝35，
＝2 （x1－5）2＋（x2－
5）2＋…＋（x7－5）2＝14，所以 ＝ ＝
＝5，
s2＝
＝ ＝1.6.故选B.
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5. （多选）（2024·无锡月考）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为
6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说
法正确的是（ ）
A. 这组新数据的平均数为6
B. 这组新数据的平均数为9
C. 这组新数据的方差为1
D. 这组新数据的方差为4
√
√
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14
解析： 由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2
－6）2＋…＋（xn－6）2＝n，则
＝
＝9，
＝
＝4，所以这组新数据的平
均数为9，方差为4.故选B、D.
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6. （多选）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计
如图，则下列说法正确的是（ ）
C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
√
√
√
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3
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14
解析： 对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同
学的平均成绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较
乙同学的成绩更稳定，所以 ＜ ，B错误；对于C，由折线图可
知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比
乙成绩稳定，D正确.
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7. 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过
一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为
130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这
次测试中全班学生方差为 .
解析：依题意 ＝130， ＝115， ＝110， ＝215，∴ ＝
×130＋ ×110＝115（分），∴全班学生成绩的方差为
s2＝ [＋（ － ）2]＋ [＋（ － ）2]＝ ×
（115＋225）＋ ×（215＋25）＝85＋180＝265.
265
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解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个
数分别为2，2，2，2，5，5，8，8，8，8.
∵ ＝5，∴s2＝ ×[（2－5）2＋（2－5）2＋（2－5）2＋（2－
5）2＋（5－5）2＋（5－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2
＋（8－5）2]＝ ×8×9＝ ，∴s＝ .
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9. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间（单位：分）记
录如下表：
等待时间 [0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25]
频数 4 8 5 2 1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ＝ ，
病人等待时间方差的估计值s2＝ .
9.5
28.5
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解析： ＝ ×（2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋
22.5×1）＝9.5，s2＝ ×[（2.5－9.5）2×4＋（7.5－9.5）
2×8＋（12.5－9.5）2×5＋（17.5－9.5）2×2＋（22.5－9.5）
2×1]＝28.5.
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10. 某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名
学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测
评（满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度
越高，分数越低说明人民满意度越低）.去年测评的数据如下：
甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；
乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.
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（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均
数、中位数；
解： 甲学校人民满意度测评数据的平均数为 ＝ ×
（96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98）＝100，
中位数为 ＝99，
乙学校人民满意度测评数据的平均数为 ＝ ×（108＋
101＋94＋105＋96＋93＋97＋106）＝100，
中位数为 ＝99.
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（2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；
解： 甲学校人民满意度测评数据的方差为 ＝
×[（96－100）2＋（112－100）2＋…＋（98－100）2]＝
55.25，
乙学校人民满意度测评数据的方差为 ＝ ×[（108－
100）2＋（101－100）2＋…＋（106－100）2]＝29.5.
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（3）根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？
解： 由（1）（2）可知甲、乙两学校人民满意度测
评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意
度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满
意度比较好.
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11. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的
点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下：
甲：平均数为3，中位数为2；乙：中位数为3，众数为2；
丙：中位数为3，极差为4；丁：平均数为2，方差为2.4.
通过以上数据可以判断一定没出现6点的是（ ）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
√
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解析： 若甲5次出现的点数为：1，1，2，5，6，显然平均数
为3，中位数为2，会出现6点；若乙5次出现的点数为：2，2，3，
5，6，显然中位数为3，众数为2，会出现6点；若丙5次出现的点
数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，极差为4，会出现6点；
丁的平均数为2，方差为2.4，当有6点时， ＝3.2＞2.4，
显然不可能，故选D.
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12. 在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同
学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学
成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确
的是（ ）
A. 平均分变大，方差不变
B. 平均分变小，方差不变
C. 平均分不变，方差变大
D. 平均分不变，方差变小
√
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解析： 设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，
an，原平均分 ＝ ，原方差 ＝
，该同学回归校园后新
平均分 ＝ ＝ ＝ ，即平均分不
变.该同学回归校园后新方差 ＝
＝ ＝ ＜
，即方差变小.故选D.
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13. （2024·广州月考）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为
3，方差为6，则 ＋ ＋…＋ ＝ .
解析：由题意可知，这10个数据的平均数为 ＝ ai＝3，方差
为s2＝ （ai－ ）2＝ （ －10 ）＝ （ －
90）＝6，解得 ＋ ＋…＋ ＝ ＝150.
150
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住户编号 1 2 3 4 5 6
A小区（分钟） 220 180 210 220 200 230
B小区（分钟） 200 190 240 230 220 210
14. 某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分
类调研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占
用的时间统计如下：
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（1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的
平均数和方差；
解： ＝ ×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝
210（分钟），
＝ ×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分
钟），
＝ ×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2
＋（220－210）2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝ ，
＝ ×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－215）2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝ .
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（2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环
卫局与A小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利
民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，
每位工作人员的月工资按照3 000元（按照28天计算标准）
计算；
方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，
物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃
圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类的效果，
每位专职人员（每天工作8小时）的月工资按照4 000元（按
照28天计算标准）计算.
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①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃
圾分类费是多少？
②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃
圾分类费是多少？
③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广.
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解： ①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5（位）工
作人员进行检查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000
（元），
每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为 ＝
15（元）.
②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生
活垃圾分类，
则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000
（分钟）进行生活垃圾分类，
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则A小区一个月至少需要专职人员 ≈16（位），
则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为
＝64（元）.
③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选
择方案一惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事
项；对于高档小区的居民，可以选择方案二，这只是方便个
别高收入住户.
综上，方案一的惠民力度大，更值得推广.
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谢 谢 观 看！
