15.1 样本空间和随机事件
1.下列事件中是随机事件的是（ ）
A.在数轴上向区间（0，1）内投点，点落在区间（0，1）内
B.在数轴上向区间（0，1）内投点，点落在区间（0，2）内
C.在数轴上向区间（0，2）内投点，点落在区间（0，1）内
D.在数轴上向区间（0，2）内投点，点落在区间（－1，0）内
2.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
3.在10名学生中，男生有x人，现从10名学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x的值为（ ）
A.5 B.6
C.3或4 D.5或6
4.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1或2}，事件B＝{出现的点数是2或3或4}，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ）
A.A∪B B.A∩B
C.A B D.A＝B
5.（多选）一箱产品共有50件，其中5件是次品，45件是合格品.从箱子中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A表示“恰有一件次品”；
事件B表示“至少有两件次品”；
事件C表示“至少有一件次品”；
事件D表示“至多有一件次品”.
则下列说法正确的是（ ）
A.A∪B＝C B.B∪D是必然事件
C.A∩B＝C D.A∩D＝C
6.（多选）一个不透明的袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的为（ ）
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
7.有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现反面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖.
其中是随机事件的有 ，必然事件有 ，不可能事件有 （填序号）.
8.袋中有红、白、黄、黑除颜色外大小相同的四个球，从中任取两个球的样本空间Ω＝ .
9.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为 .
10.从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，观察取出卡片上的数字.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？
11.（2024·南京质检）将一枚骰子掷两次，若朝上的面先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为（ ）
A.36 B.30 C.25 D.19
12.班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生.
（1）若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围为 ；
（2）若女生小丽被抽到是随机事件，则a的取值范围为 .
13.（2024·盐城月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝ .（用B，C，D间的运算关系式表示）
14.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
（1）试判断事件A与事件B，C，E的关系；
（2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系.
15.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形.
土 口 木
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜.
（1）写出该试验的样本空间Ω；
（2）设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A.
15.1 样本空间和随机事件
1.C 当x∈（0，1）时，必有x∈（0，1），x∈（0，2），所以A和B都是必然事件；当x∈（0，2）时，有x∈（0，1）或x （0，1），所以C是随机事件；当x∈（0，2）时，必有x （－1，0），所以D是不可能事件.故选C.
2.B 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个.故选B.
3.C 由题意，知10名学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.故选C.
4.B A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}.故选B.
5.AB 对于A，事件A∪B表示“至少有一件次品”，即事件C，故A正确；对于B，事件B∪D表示“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了所有情况，故B正确；对于C，事件A∩B＝ ，故C错误；对于D，事件A∩D表示“恰有一件次品”，即事件A，故D错误.故选A、B.
6.ABC 基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件；选项D中包含取出标号为1和7，3和5两个样本点，所以D不是基本事件.故选A、B、C.
7.①④ ② ③ 解析：①是随机事件，②是必然事件，③是不可能事件，④是随机事件.
8.{（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}
9.所取两个球恰有一个红球 解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{（白，白），（白，红），（红，红）}，且A＝{（白，红），（白，白）}，B＝{（白，红）}，所以A∩B＝{（白，红）}.故A∩B表示的事件为所取的两个球恰有一个红球.
10.解：（1）这个试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.
（2）样本点的总数是10.
（3）“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：（1，4），（2，3）.
11.D 掷一枚骰子两次，向上的面出现的点数如表所示：
方程x2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件为b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个满足题意的样本点.
12.（1）18＜a≤33，a∈N* （2）1≤a＜33，a∈N* 解析：（1）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，a∈N*.
（2）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，所以1≤a＜33，a∈N*.
13.B∩（C∪D）（或（BC）∪（BD））
解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用符号表示为（BC）∪（BD）.
14.解：（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，
所以B A，C A，E A，A＝B∪C∪E.
（2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有两个相同的基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝B∪C.
15.解：（1）每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：
第二张 卡片 第一张 卡片 土 口 木
土 （土，土） （土，口） （土，木）
口 （口，土） （口，口） （口，木）
木 （木，土） （木，口） （木，木）
∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）}.
（2）能组成上下结构的汉字的样本点为（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.
∴A＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）}.
2 / 215.1 样本空间和随机事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、直观想象、逻辑推理
2.理解事件的包含关系及并事件（和事件）、交事件（积事件）的含义 数学抽象、逻辑推理
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的小球放入摇奖器中，然后经过充分搅拌后摇出小球.
【问题】 （1）若摇出一个小球，观察这个小球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
（2）若先后摇出两个小球，观察两个小球的号码，这个随机试验的结果有几种情况？
知识点一 确定性现象、随机现象和随机试验
1.确定性现象：在一定条件下，事先就能断定 或 某种结果，这种现象就是确定性现象.
2.随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先 出现哪种结果，这种现象就是随机现象.
3.随机试验的概念和特点
（1）概念：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验；
（2）特点：在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一个结果.
【想一想】
随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？
知识点二 样本空间及事件
1.样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 随机试验的 称为样本点 用ω表示
样本空间 所有样本点组成的集合称为样本空间 用Ω表示
有限样本空间 如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
2.随机事件
事件类型 定义
随机事件 样本空间的 ，简称事件
必然事件 Ω（全集）
不可能事件 （空集）
基本事件 当一个事件仅包含 样本点时，称该事件为基本事件
3.事件之间的关系及运算
（1）事件的包含关系：事件B发生必导致事件A发生，这时，我们称事件A包含事件B（或事件B包含于事件A），记作： （或B A）；
（2）事件的运算
定义 符号 图示
并事件（或和 事件） 事件A与B至少有一个发生即为事件C发生 C＝A＋B （或C＝A∪B）
交事件（或积 事件） 事件A与B同时发生即为事件C发生 C＝AB （或C＝A∩B）
1.下列现象是确定性现象的是（ ）
A.一天中进入某超市的顾客人数
B.一顾客在超市中购买的商品数
C.一颗麦穗上长着的麦粒数
D.早晨太阳从东方升起
2.（多选）下列试验中是随机事件的有（ ）
A.某射手射击一次，射中10环
B.同时掷两枚骰子，都出现6点
C.某人购买福利彩票未中奖
D.若x为实数，则x2＋1≥1
3.从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝ .
题型一 事件类型的判断
【例1】 （链接教科书第278页习题1题）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）买一张体育彩票，结果中奖；
（2）三角形的内角和为180°；
（3）没有空气和水，人类可以生存下去；
（4）抛掷一枚硬币，结果正面向上；
（5）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
（6）把实心铁块丢入水中，结果铁块浮起.
通性通法
确定事件类型的注意事项
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
【跟踪训练】
有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是（ ）
A.事件A，B都是随机事件
B.事件A，B都是必然事件
C.事件A是随机事件，事件B是必然事件
D.事件A是必然事件，事件B是随机事件
题型二 确定试验的样本点及样本空间
【例2】 （1）（链接教科书第276页例2）写出下列试验的样本空间：
①同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
②从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
（2）将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用（x，y）表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数.用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
通性通法
1.确定试验样本空间的注意事项
（1）确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式；
（2）要考虑周全，应想到试验的所有可能结果，避免发生遗漏和出现多余的结果.
2.写出样本空间的三种方法
（1）列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；
（3）树形图法：适用于较复杂问题中样本点的探求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结果可以用树形图法进行列举.
【跟踪训练】
1.一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A.（男，女），（男，男），（女，女）
B.（男，女），（女，男）
C.（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D.（男，男），（女，女）
2.甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）.求该事件的样本空间.
题型三 随机事件之间的关系及运算
【例3】 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数.
（1）写出试验的样本空间Ω；
（2）记“第一次出现的点数为4”为事件A，“第一次出现的点数为4、第二次出现的点数是偶数”为事件B，分别写出A， B所包含的样本点，并用集合的语言分析A与B的关系；
（3）记“两次出现的点数之和为8”为事件C，“两次出现的点数之差大于3”为事件D，“两次出现的点数之和为8或点数之差大于3”为事件E，“两次出现的点数之和为8且点数之差大于3”为事件F，分别写出C，D，E，F所包含的样本点，并用集合的语言分析C，D，E，F之间的关系.
通性通法
事件的运算应注意的2个问题
（1）要紧扣运算的定义，在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理；
（2）要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
【跟踪训练】
盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
1.（多选）下列事件中是必然事件的为（ ）
A.直角三角形两锐角和为90°
B.三角形中大边对大角，大角对大边
C.三角形中两个内角和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验包含的样本点共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{（红，红），（黑，黑），（黄，黄）}，则事件A的含义是 .
4.抛掷一颗骰子，“出现奇数点”记为事件A，“出现偶数点”记为事件B，“出现的点数小于3”记为事件C.求：
（1）A∩B，B∩C；
（2）A∪B，B∪C.
15.1 样本空间和随机事件
【基础知识·重落实】
知识点一
1.发生 不发生 2.不能断定
想一想
提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的.
知识点二
1.每一个可能结果 2.子集 单一
3.（1）A B
自我诊断
1.D 选项A、B、C中的数量都是随机的，因此是随机现象；选项D中，早晨太阳一定从东方升起，因此是确定性现象.故选D.
2.ABC A、B、C是随机事件，D是必然事件.
3.{（1，2），（1，3），（2，3）} 解析：从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：（1，2），（1，3），（2，3），所以Ω＝{（1，2），（1，3），（2，3）}.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为买一张体育彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.
（2）因为所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件.
（3）因为没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.
（4）因为抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，所以是随机事件.
（5）因为任取一张标签，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件.
（6）由物理知识可知，实心铁块不会在水中浮起，所以是不可能事件.
跟踪训练
D 对于事件A，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件A为必然事件；对于事件B，抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件B为随机事件.故选D.
【例2】 解：（1）①该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}.
②该试验所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
（2）列出抛掷两次骰子出现的点数和对应的表：
由表可知“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
跟踪训练
1.C 把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故选C.
2.解：样本空间Ω＝{（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}.
【例3】 解：（1） 一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如图所示：
因此，试验的样本空间Ω＝{（1， 1）， （1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （1， 5）， （1， 6）， （2， 1）， （2， 2）， （2， 3）， （2， 4）， （2， 5）， （2， 6）， （3， 1）， （3， 2）， （3， 3）， （3， 4）， （3， 5）， （3， 6）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）， （5， 1）， （5， 2）， （5， 3）， （5， 4）， （5， 5）， （5， 6）， （6， 1）， （6， 2）， （6， 3）， （6， 4）， （6， 5）， （6， 6）}.
（2）由（1）知，事件A＝{（4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）}.
事件B＝{（4， 2）， （4， 4）， （4， 6）}.显然B A.
（3） 由（1）知，事件C＝{（2， 6）， （3， 5）， （4， 4）， （5， 3）， （6， 2）}，
事件D＝{（1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （5， 1）， （6， 1）， （6， 2）}，
事件E＝{ （1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （3， 5）， （4， 4）， （5， 1）， （5， 3）， （6， 1）， （6， 2）}，
事件F＝{（2， 6）， （6， 2）}.
所以E＝C∪D，F＝C∩D.
跟踪训练
解：（1）对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.
随堂检测
1.ABD 对钝角三角形的两个锐角，两锐角的和小于90°，对直角三角形的两个锐角，两锐角和等于90°，所以C是随机事件，而A、B、D均为必然事件.故选A、B、D.
2.C 样本点有（数学，计算机），（数学，航空模型），（计算机，航空模型）共3个.故选C.
3.甲、乙两个小球所涂颜色相同
4.解：由题意，得A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}.
（1）A∩B＝ ，B∩C＝{2}.
（2）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B∪C＝{1，2，4，6}.
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15.1
样本空间和随机事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间
的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、直观想
象、逻辑推理
2.理解事件的包含关系及并事件（和事件）、
交事件（积事件）的含义 数学抽象、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，
2，3，4，5，6，7，8，9的小球放入摇奖器中，然后经过充分搅拌后
摇出小球.
【问题】 （1）若摇出一个小球，观察这个小球的号码，这个随机
试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
（2）若先后摇出两个小球，观察两个小球的号码，这个随机试验的
结果有几种情况？
知识点一 确定性现象、随机现象和随机试验
1. 确定性现象：在一定条件下，事先就能断定 或
某种结果，这种现象就是确定性现象.
2. 随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事
先 出现哪种结果，这种现象就是随机现象.
发生
不发生
不能断定
（1）概念：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称
试验；
（2）特点：在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多
个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪
一个结果.
3. 随机试验的概念和特点
【想一想】
随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？
提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的.
知识点二 样本空间及事件
1. 样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 随机试验的 称为
样本点 用ω表示
样本 空间 所有样本点组成的集合称为样本空间 用Ω表示
有限样 本空间 如果样本空间Ω是一个有限集合，则
称样本空间Ω为有限样本空间 Ω＝{ω1，
ω2，…，ωn}
每一个可能结果
2. 随机事件
事件类型 定义
随机事件 样本空间的 ，简称事件
必然事件 Ω（全集）
不可能事件 （空集）
基本事件 当一个事件仅包含 样本点时，称该事
件为基本事件
子集
单一
3. 事件之间的关系及运算
（1）事件的包含关系：事件B发生必导致事件A发生，这时，我
们称事件A包含事件B（或事件B包含于事件A），记
作： （或B A）；
A B
（2）事件的运算
定义 符号 图示
并事件（或和事件） 事件A与B至少有
一个发生即为事件
C发生 C＝A＋B （或C＝
A∪B）
交事件（或积事件） 事件A与B同时发
生即为事件C发生 C＝AB （或C＝
A∩B）
1. 下列现象是确定性现象的是（ ）
A. 一天中进入某超市的顾客人数
B. 一顾客在超市中购买的商品数
C. 一颗麦穗上长着的麦粒数
D. 早晨太阳从东方升起
解析： 选项A、B、C中的数量都是随机的，因此是随机现象；
选项D中，早晨太阳一定从东方升起，因此是确定性现象.故选D.
√
2. （多选）下列试验中是随机事件的有（ ）
A. 某射手射击一次，射中10环
B. 同时掷两枚骰子，都出现6点
C. 某人购买福利彩票未中奖
D. 若x为实数，则x2＋1≥1
解析： A、B、C是随机事件，D是必然事件.
√
√
√
3. 从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω
＝ .
解析：从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：（1，2），
（1，3），（2，3），所以Ω＝{（1，2），（1，3），（2，
3）}.
{（1，2），（1，3），（2，3）}
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 事件类型的判断
【例1】 （链接教科书第278页习题1题）指出下列事件是必然事
件、不可能事件还是随机事件：
（1）买一张体育彩票，结果中奖；
解： 因为买一张体育彩票，可能中奖，也可能不中奖，所
以是随机事件.
（2）三角形的内角和为180°；
解： 因为所有三角形的内角和均为180°，所以是必然
事件.
（3）没有空气和水，人类可以生存下去；
解： 因为没有空气和水，人类无法生存，所以是不可
能事件.
（4）抛掷一枚硬币，结果正面向上；
解： 因为抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向
上，所以是随机事件.
（5）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
解： 因为任取一张标签，可能得到1，2，3，4号标签中的
任一张，所以是随机事件.
（6）把实心铁块丢入水中，结果铁块浮起.
解： 由物理知识可知，实心铁块不会在水中浮起，所以是
不可能事件.
通性通法
确定事件类型的注意事项
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相
对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，
还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事
件，一定不发生的是不可能事件.
【跟踪训练】
有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷
一枚质地均匀的骰子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是
（ ）
A. 事件A，B都是随机事件
B. 事件A，B都是必然事件
C. 事件A是随机事件，事件B是必然事件
D. 事件A是必然事件，事件B是随机事件
√
解析： 对于事件A，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367
人中至少有2人生日相同，事件A为必然事件；对于事件B，抛掷一枚
质地均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事
件B为随机事件.故选D.
题型二 确定试验的样本点及样本空间
【例2】 （1）（链接教科书第276页例2）写出下列试验的样本
空间：
①同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
②从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，
观察取出产品的结果；
解： ①该试验的样本空间Ω1＝
{3，4，5，…，18}.
②该试验所有可能的结果如图所
示，
因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
（2）将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用（x，y）表示，其
中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点
数.用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
解： 列出抛掷两次骰子出现的点数
和对应的表：
由表可知“出现的点数之和大于8”可用
集合表示为{（3，6），（4，5），（4，
6），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
通性通法
1. 确定试验样本空间的注意事项
（1）确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能结果，并写成
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式；
（2）要考虑周全，应想到试验的所有可能结果，避免发生遗漏和
出现多余的结果.
2. 写出样本空间的三种方法
（1）列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一
列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不
重不漏；
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验
结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为
“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全
面、不易遗漏；
（3）树形图法：适用于较复杂问题中样本点的探求，一般需要分
步（两步及两步以上）完成的结果可以用树形图法进行列举.
【跟踪训练】
1. 一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A. （男，女），（男，男），（女，女）
B. （男，女），（女，男）
C. （男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D. （男，男），（女，女）
解析： 把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在
后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），
（女，女），故选C.
√
2. 甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）.求该事件的样本空间.
解：样本空间Ω＝{（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，
布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，
锤子），（布，剪刀），（布，布）}.
题型三 随机事件之间的关系及运算
【例3】 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数.
（1）写出试验的样本空间Ω；
解： 一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如图所示：
因此，试验的样本空间Ω＝{（1， 1）， （1， 2）， （1，
3）， （1， 4）， （1， 5）， （1， 6）， （2， 1）， （2，
2）， （2， 3）， （2， 4）， （2， 5）， （2， 6）， （3，
1）， （3， 2）， （3， 3）， （3， 4）， （3， 5）， （3，
6）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4，
5）， （4， 6）， （5， 1）， （5， 2）， （5， 3）， （5，
4）， （5， 5）， （5， 6）， （6， 1）， （6， 2）， （6，
3）， （6， 4）， （6， 5）， （6， 6）}.
（2） 记“第一次出现的点数为4”为事件A，“第一次出现的点数为
4、第二次出现的点数是偶数”为事件B，分别写出A， B所包
含的样本点，并用集合的语言分析A与B的关系；
解： 由（1）知，事件A＝{（4， 1）， （4， 2），
（4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）}.
事件B＝{（4， 2）， （4， 4）， （4， 6）}.显然B A.
（3）记“两次出现的点数之和为8”为事件C，“两次出现的点数之
差大于3”为事件D，“两次出现的点数之和为8或点数之差大
于3”为事件E，“两次出现的点数之和为8且点数之差大于3”
为事件F，分别写出C，D，E，F所包含的样本点，并用集合
的语言分析C，D，E，F之间的关系.
解： 由（1）知，事件C＝{（2， 6）， （3， 5），
（4， 4）， （5， 3）， （6， 2）}，
事件D＝{（1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （5， 1），
（6， 1）， （6， 2）}，
事件E＝{ （1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （3， 5），
（4， 4）， （5， 1）， （5， 3）， （6， 1）， （6， 2）}，
事件F＝{（2， 6）， （6， 2）}.
所以E＝C∪D，F＝C∩D.
通性通法
事件的运算应注意的2个问题
（1）要紧扣运算的定义，在一些比较简单的题目中，需要判断事件
之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题
目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理；
（2）要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可
利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
【跟踪训练】
盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个
球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白
球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红
球又有白球}.
（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
解： 对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2
个红球、1个白球，故D＝A∪B.
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
解： 对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2
个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.
1. （多选）下列事件中是必然事件的为（ ）
A. 直角三角形两锐角和为90°
B. 三角形中大边对大角，大角对大边
C. 三角形中两个内角和小于90°
D. 三角形中任意两边的和大于第三边
解析： 对钝角三角形的两个锐角，两锐角的和小于90°，
对直角三角形的两个锐角，两锐角和等于90°，所以C是随机事
件，而A、B、D均为必然事件.故选A、B、D.
√
√
√
2. 某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学
生只选报其中的2个，则试验包含的样本点共有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析： 样本点有（数学，计算机），（数学，航空模型），
（计算机，航空模型）共3个.故选C.
√
3. 用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球
只涂一种颜色，若事件A＝{（红，红），（黑，黑），（黄，
黄）}，则事件A的含义是 .
4. 抛掷一颗骰子，“出现奇数点”记为事件A，“出现偶数点”记为
事件B，“出现的点数小于3”记为事件C. 求：
甲、乙两个小球所涂颜色相同
（1）A∩B，B∩C；
（1）A∩B＝ ，B∩C＝{2}.
解：由题意，得A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}.
（2）A∪B，B∪C.
解： A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B∪C＝{1，2，4，6}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列事件中是随机事件的是（ ）
A. 在数轴上向区间（0，1）内投点，点落在区间（0，1）内
B. 在数轴上向区间（0，1）内投点，点落在区间（0，2）内
C. 在数轴上向区间（0，2）内投点，点落在区间（0，1）内
D. 在数轴上向区间（0，2）内投点，点落在区间（－1，0）内
解析： 当x∈（0，1）时，必有x∈（0，1），x∈（0，2），
所以A和B都是必然事件；当x∈（0，2）时，有x∈（0，1）或x
（0，1），所以C是随机事件；当x∈（0，2）时，必有x （－
1，0），所以D是不可能事件.故选C.
√
2. 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大
于4”包含的样本点个数为（ ）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析： 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样
本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，
4），（3，4）}.其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：
（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个.故选B.
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3. 在10名学生中，男生有x人，现从10名学生中任选6人去参加某项
活动，有下列事件：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③
3名男生，3名女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为
随机事件，则x的值为（ ）
A. 5 B. 6
C. 3或4 D. 5或6
解析： 由题意，知10名学生中，男生人数少于5，但不少于3，
所以x＝3或x＝4.故选C.
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4. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1或2}，事件
B＝{出现的点数是2或3或4}，则事件“出现的点数是2”可以记为
（ ）
A. A∪B B. A∩B
C. A B D. A＝B
解析： A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}.故选B.
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5. （多选）一箱产品共有50件，其中5件是次品，45件是合格品.从箱
子中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A表示“恰有一件次品”；
事件B表示“至少有两件次品”；
事件C表示“至少有一件次品”；
事件D表示“至多有一件次品”.
则下列说法正确的是（ ）
A. A∪B＝C B. B∪D是必然事件
C. A∩B＝C D. A∩D＝C
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解析： 对于A，事件A∪B表示“至少有一件次品”，即事件
C，故A正确；对于B，事件B∪D表示“至少有两件次品或至多有
一件次品”，包括了所有情况，故B正确；对于C，事件A∩B＝
，故C错误；对于D，事件A∩D表示“恰有一件次品”，即事件
A，故D错误.故选A、B.
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6. （多选）一个不透明的袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同
的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的为（ ）
A. 取出的两球标号为3和7
B. 取出的两球标号的和为4
C. 取出的两球的标号都大于3
D. 取出的两球的标号的和为8
解析： 基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，
C都只含有一个样本点，是基本事件；选项D中包含取出标号为1和
7，3和5两个样本点，所以D不是基本事件.故选A、B、C.
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7. 有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现反面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖.
其中是随机事件的有 ，必然事件有 ，不可能事件
有 （填序号）.
解析：①是随机事件，②是必然事件，③是不可能事件，④是随机
事件.
①④
②
③
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8. 袋中有红、白、黄、黑除颜色外大小相同的四个球，从中任取两个
球的样本空间Ω＝
.
9. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为
“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个
红球”，则A∩B表示的事件为 .
{（红，白），（红，黄），（红，黑），
（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}
所取两个球恰有一个红球
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解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随
机试验的样本空间Ω＝{（白，白），（白，红），（红，红）}，
且A＝{（白，红），（白，白）}，B＝{（白，红）}，所以
A∩B＝{（白，红）}.故A∩B表示的事件为所取的两个球恰有一
个红球.
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10. 从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，观察取出卡片
上的数字.
（1）写出这个试验的样本空间；
解： 这个试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）}.
（2）求这个试验的样本点的总数；
解： 样本点的总数是10.
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（3）“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？
解： “数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：
（1，4），（2，3）.
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11. （2024·南京质检）将一枚骰子掷两次，若朝上的面先后出现的点
数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为
（ ）
A. 36 B. 30
C. 25 D. 19
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解析： 掷一枚骰子两次，向上的面出现的点数如表所示：方程x2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件为b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个满足题意的样本点.
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12. 班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽
取a人打扫卫生.
（1）若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围为
；
解析： 班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a
人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，
a∈N*.
18＜
a≤33，a∈N*
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（2）若女生小丽被抽到是随机事件，则a的取值范围为
.
解析： 班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a
人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，所以1≤a＜
33，a∈N*.
1≤a＜
33，a∈N*
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13. （2024·盐城月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电
路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ
闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝
.（用B，C，D间的运算
关系式表示）
B∩
（C∪D）（或（BC）∪（BD））
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解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有
一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发
生”，用符号表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ
闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用符号表
示为（ BC ）∪（ BD ）.
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14. 抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次
正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反
面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正
面向上”为事件E.
（1）试判断事件A与事件B，C，E的关系；
解： 事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次
正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向
上”和“3次都正面向上”三个基本事件，
所以B A，C A，E A，A＝B∪C∪E.
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（2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与
B∪C的关系.
解： “至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正
面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”
和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事
件D有两个相同的基本事件，即“一次正面向上，两次反面
向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一
次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，
B∪C＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次
反面向上}，所以A∩D＝B∪C.
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15. 汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均
衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对
称图形.
土 口 木
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，
规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背
面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出
的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），
则小敏获胜，否则小慧获胜.
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（1）写出该试验的样本空间Ω；
解： 每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：
第二张卡片 第一张卡片 土 口 木
土 （土，土） （土，口） （土，木）
口 （口，土） （口，口） （口，木）
木 （木，土） （木，口） （木，木）
∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）}.
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（2）设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A.
解： 能组成上下结构的汉字的样本点为（土，土），
（口，口），（木，口），（口，木）.
∴A＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，
木）}.
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谢 谢 观 看！
