第1课时 古典概型
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特点 数学抽象
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题 数学运算、数学建模
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.
【问题】 （1）若同时抛掷两颗不同的骰子，朝上的点数有多少种不同的结果？
（2）你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
知识点一 随机事件概率的性质
1.事件A的概率的取值范围： .
2.必然事件Ω的概率P（Ω）＝ .
3.不可能事件 的概率P（ ）＝ .
知识点二 古典概型
1.定义：如果某概率模型具有以下两个特点：
（1）样本空间Ω只含有 样本点；
（2）每个基本事件的发生都是 的.
我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.
2.古典概型的概率计算公式
在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}（其中，n为样本点的个数），那么每一个基本事件{ωk}（k＝1，2，…，n）发生的概率都是 .如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P（A）＝ .
一般地，若用n（A）表示事件A包含的样本点个数，则P（A）＝ .
【想一想】
1.“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
2.若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
1.（多选）下列是古典概型的有（ ）
A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
2.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.将一枚质地均匀的一元硬币抛掷2次，恰好出现一次正面朝上的概率是 .
题型一 古典概型的判断
【例1】 （多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
通性通法
判断一个试验是不是古典概型的步骤
（1）明确试验及其结果；
（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；
（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.
【跟踪训练】
下列概率模型中属于古典概型的是（ ）
A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C.某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长
D.一只使用中的灯泡寿命长短
题型二 古典概型的概率计算
角度1 列举法求古典概型的概率
【例2】 （链接教科书第280页例1）一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中一次摸出2个球.求：
（1）样本空间的样本点的总数n；
（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
（3）摸出2个黑球的概率.
通性通法
应用列举法求古典概型概率的三个步骤
此方法适用于较为简单的古典概型问题.
角度2 树形图法求古典概型的概率
【例3】 （2024·常州月考）甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（ ）
A. B.
C. D.
通性通法
树形图法的应用
先明确一次试验的步骤及顺序，使用树形图列举出一次试验的所有可能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本空间的样本点个数，然后代入古典概型的概率公式求解.树形图法便于分析样本点间的关系，适用于较复杂的问题.
角度3 列表法求古典概型的概率
【例4】 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
（1）求点数之和为7的概率；
（2）求掷出两个4点的概率；
（3）求点数之和能被3整除的概率.
通性通法
列表法的应用
利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两个元素，且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示不同的元素，根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方法直观、简洁，不易出错.
角度4 图示法求古典概型的概率
【例5】 市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种报纸都不订的概率为 .
通性通法
从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集I，即card（I）＝n，而事件A所包含的k个结果组成I的一个子集，即card（A）＝k，则有P（A）＝，因此可建立事件与集合的关系，借助Venn图的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关系，并易确定n，k的值.
【跟踪训练】
1.从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.（2024·无锡月考）每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3名，女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为 .
3.用红、黄、蓝三种不同颜色给如图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是 ，3个矩形颜色都不同的概率是 .
1.下列试验是古典概型的是（ ）
A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B.在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D.某人射击中靶或不中靶
2.（多选）下列有关古典概型的说法正确的有（ ）
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（A）＝
3.从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、乙均不被选中的概率为 .
4.（2024·盐城月考）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意选出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .
第1课时 古典概型
【基础知识·重落实】
知识点一
1.0≤P（A）≤1 2.1 3.0
知识点二
1.（1）有限个 （2）等可能 2.
想一想
1.提示：不属于古典概型.因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.
2.提示：不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型.
自我诊断
1.ABD 古典概型的特征：①试验中所有可能发生的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等.显然A，B，D符合古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选A、B、D.
2.A 从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有15种取法，其中取到白球有6种取法，所以取到白球的概率为＝.故选A.
3. 解析：一枚硬币连掷2次可能出现（正，正），（反，反），（正，反），（反，正）四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故概率为＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 BD 对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选B、D.
跟踪训练
C 对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.
【例2】 解：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
（1）将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，所以n＝6.
（2）事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，黑3）}，共3个样本点.
（3）样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
【例3】 C 画树形图如图所示，
由树形图知，共有16种等可能结果，其中第4次传球后球回到甲手中的有6种结果，所以第4次传球后球回到甲手中的概率为＝.
【例4】 解：抛掷两枚质地均匀的骰子，其情况如表所示：
（1）记“点数之和为7”为事件A，从表中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），
故P（A）＝＝.
（2）记“掷出两个4点”为事件B，从表中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝.
（3）记“点数之和能被3整除”为事件C，从表中可以看出，事件C包含的样本点共有12个，分别为（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），故P（C）＝＝.
【例5】 0.038
解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报的居民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全体为集合B，如图所示，由题意及图知两种报纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481（户），从而两种都不订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为＝0.038.
跟踪训练
1.C 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙被选中有2种选法，故乙被选中的概率为.故选C.
2. 解析：设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为P＝＝.
3. 解析：所有可能的样本点共有3×3×3＝27（个），如图所示：
记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A中的样本点有3个，故P（A）＝＝.记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B中的样本点有6个，故P（B）＝＝.
随堂检测
1.C 对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型；对于C，满足古典概型特征，是古典概型；对于D，两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型.
2.ACD 由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A、C正确；每个事件不一定是一个样本点，可能包含若干个样本点，故B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选A、C、D.
3. 解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所求事件的概率为.
4. 解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共有3个样本点，故P（A）＝＝.
4 / 4(共65张PPT)
第1课时 古典概型
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特点 数学抽象
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问
题 数学运算、
数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况
不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.
于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.
唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱
用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.
【问题】 （1）若同时抛掷两颗不同的骰子，朝上的点数有多少种
不同的结果？
（2）你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
知识点一 随机事件概率的性质
1. 事件A的概率的取值范围： .
2. 必然事件Ω的概率P（Ω）＝ .
3. 不可能事件 的概率P（ ）＝ .
0≤P（A）≤1
1
0
知识点二 古典概型
1. 定义：如果某概率模型具有以下两个特点：
（1）样本空间Ω只含有 样本点；
（2）每个基本事件的发生都是 的.
我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.
有限个
等可能
2. 古典概型的概率计算公式
【想一想】
1. “在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这
个概率模型属于古典概型吗？
提示：不属于古典概型.因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验
结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.
2. 若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古
典概型吗？
提示：不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相
等才是古典概型.
1. （多选）下列是古典概型的有（ ）
A. 从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B. 同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率
C. 近三天中有一天降雨的概率
D. 10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
√
√
√
解析： 古典概型的特征：①试验中所有可能发生的样本点
只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等.显然A，B，D符合
古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C选项，每天是否降
雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选A、
B、D.
2. 袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球
的概率为（ ）
解析： 从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一
球，有15种取法，其中取到白球有6种取法，所以取到白球的概率
为 ＝ .故选A.
√
解析：一枚硬币连掷2次可能出现（正，正），（反，反），
（正，反），（反，正）四种情况，只有一次出现正面的情况有两
种，故概率为 ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 古典概型的判断
【例1】 （多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A. 在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B. 口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球
为白球的概率
C. 向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D. 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的
概率
√
√
解析： 对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符
合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球
或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个
点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、
丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可
能的.故选B、D.
通性通法
判断一个试验是不是古典概型的步骤
（1）明确试验及其结果；
（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；
（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另
外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.
【跟踪训练】
下列概率模型中属于古典概型的是（ ）
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任
取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长
D. 一只使用中的灯泡寿命长短
√
解析： 对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是
整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因
为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；
对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的
性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命
是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.
题型二 古典概型的概率计算
角度1 列举法求古典概型的概率
【例2】 （链接教科书第280页例1）一个口袋内装有大小相等的1个
白球和已编有不同号码的3个黑球，从中一次摸出2个球.求：
（1）样本空间的样本点的总数n；
（1）将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2
个球，
样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），
（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，所
以n＝6.
解：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所
以是古典概型.
（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
解：事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），
（黑1，黑3）}，共3个样本点.
（3）摸出2个黑球的概率.
解：样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个
数m＝3，故P＝ ＝ ，即摸出2个黑球的概率为 .
通性通法
应用列举法求古典概型概率的三个步骤
此方法适用于较为简单的古典概型问题.
角度2 树形图法求古典概型的概率
【例3】 （2024·常州月考）甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者
随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球
回到甲手上的概率是（ ）
√
解析： 画树形图如图所示，
由树形图知，共有16种等可能结
果，其中第4次传球后球回到甲手
中的有6种结果，所以第4次传球
后球回到甲手中的概率为 ＝ .
通性通法
树形图法的应用
先明确一次试验的步骤及顺序，使用树形图列举出一次试验的所
有可能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本空间
的样本点个数，然后代入古典概型的概率公式求解.树形图法便于分
析样本点间的关系，适用于较复杂的问题.
角度3 列表法求古典概型的概率
【例4】 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
（1）求点数之和为7的概率；
（1）记“点数之和为7”为
事件A，从表中可以看出，
事件A包含的样本点共有6个，分别为（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），
故P（A）＝ ＝ .
解：抛掷两枚质地均
匀的骰子，其情况如
表所示：
（2）求掷出两个4点的概率；
解：记“掷出两个4点”为事件B，从表中可以看出，事件B包
含的样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝ .
（3）求点数之和能被3整除的概率.
解：记“点数之和能被3整除”为事件C，从表中可以看出，
事件C包含的样本点共有12个，分别为（1，2），（2，1），
（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，
6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），故P（C）
＝ ＝ .
通性通法
列表法的应用
利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两
个元素，且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示
不同的元素，根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方
法直观、简洁，不易出错.
角度4 图示法求古典概型的概率
【例5】 市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取
向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，
订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种报纸都不订的
概率为 .
解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报
的居民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全
体为集合B，如图所示，由题意及图知两种报
纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481
（户），从而两种都不订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为 ＝0.038.
0.038
通性通法
从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集I，即
card（I）＝n，而事件A所包含的k个结果组成I的一个子集，即card
（A）＝k，则有P（A）＝ ，因此可建立事件与集合的关
系，借助Venn图的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关
系，并易确定n，k的值.
【跟踪训练】
1. 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选
中的概率为（ ）
解析： 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞
赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙
被选中有2种选法，故乙被选中的概率为 .故选C.
√
解析：设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表
示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{（A，B），
（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），
（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）}，共有10个样本
点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有（A，B），
（A，C），（B，C），（a，b），共有4个，则选出的2名青
年志愿者性别相同的概率为P＝ ＝ .
解析：所有可能的样本点共有3×3×3＝27（个），如图所示：
记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A中的样本点
有3个，故P（A）＝ ＝ .记“3个矩
形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B中的样本点有6个，
故P（B）＝ ＝ .
1. 下列试验是古典概型的是（ ）
A. 口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B. 在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 某人射击中靶或不中靶
解析： 对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不
是古典概型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概
型；对于C，满足古典概型特征，是古典概型；对于D，两个样本
点发生的可能性可能不同，故不是古典概型.
√
2. （多选）下列有关古典概型的说法正确的有（ ）
A. 试验的样本空间的样本点总数有限
B. 每个事件出现的可能性相等
C. 每个样本点出现的可能性相等
√
√
√
解析： 由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总
数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A、C正确；每个事件
不一定是一个样本点，可能包含若干个样本点，故B不正确；根据
古典概型的概率计算公式可知D正确.故选A、C、D.
3. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则
甲、乙均不被选中的概率为 .
解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工
作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙
戊，丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所
求事件的概率为 .
解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，
4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三
角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共
有3个样本点，故P（A）＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1
B. 若P（A）＝0.999，则A为必然事件
C. 灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性
为99%
D. 若P（A）＝0.001，则A为不可能事件
解析： 由概率的性质知A、B、D错，由概率的意义知C正确.
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2. 若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随
机抽出一本是物理书的概率为（ ）
解析： 样本空间包含10个样本点，“随机抽出一本是物理书”
包含3个样本点，所以其概率为 .故选B.
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3. 我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节
气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院
甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位
同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的
前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）
√
解析： 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务
中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6
幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为 .
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4. 同时掷两个骰子，则向上的点数之和是4的概率为（ ）
解析： 同时抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和如下表所示：由上表可知，共有36种情况，其中点数之和是4的有3个，故所求概率P＝ ＝ .
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5. （2024·无锡月考）从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成
线段，则它们过正六边形中心的概率等于（ ）
√
解析： 从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有
线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，
CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有
AD，BE，CF共3条，所以过正六边形中心的概率等于 ＝ .故
选D.
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6. （2024·南通月考）从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意
摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是（ ）
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解析： 设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中
任取2个球有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，
b1），（a2，b2），（b1，b2），6种等可能结果，其中至少摸到
一个黑球有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，
b2），（b1，b2），5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率
P＝ .故选C.
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解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，
{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为 ＝ .
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解析：∵Ω＝{（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），
（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，
5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，
5）}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.∵正确
的开机密码只有1种，∴P＝ .
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9. 有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可
以任意投入信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率
是 .
解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的
可能性是相等的，一共有3种不同的结果.投入1号或2号信箱是其中
的2种结果，故A信投入1号或2号信箱的概率为 .
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10. 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中
一次摸出2个球.
（1）共有多少个样本点？
解： 分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸
出2个球，有如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表
示）：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因
此，共有10个样本点.
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（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？
解： 上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样
本点是摸到2个白球（记为事件A），
即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝ .
故摸出2个球都是白球的概率为 .
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11. （2024·泰州月考）先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子朝
上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（ ）
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解析： 所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中
x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或
故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率
为P＝ ＝ .
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12. （2024·宿迁月考）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个
数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为
b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称
甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵
犀”的概率为（ ）
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解析： 记“｜
a－b｜≤1”为事
件A，由于a，
b∈{1，2，3，
4，5，6}，列表如
下：
则事件A包含的样本点共16个，又样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率为P＝ ＝ .
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解析：由Venn图可求得参加各社团的情况如图所
示，参加的社团不超过两个的概率P＝
＝ .
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14. 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中
任取两本，试求下列事件的概率：
（1）取出的书不成套；
解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的
上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为
C1，C2.
不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝
{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，
A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有
15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等
的，从而用古典概型来计算概率.
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（1）设事件A表示“取出的书不成套”，
则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，
A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，
故P（A）＝ ＝ .
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（2）取出的书均为上册；
解：设事件B表示“取出的书均为上册”，
则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，
故P（B）＝ ＝ .
（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.
解：设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，
则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点
有6个，故P（C）＝ ＝ .
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15. 某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲
校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁
校教师记为D. 现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师
职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名.
（1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；
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解： 从6名特级教师中选
出3名教师组成评审团，树形图
如图所示，
故组成人员的全部样本点为
（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），
（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），
（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），
（A2，C，D），（B1，C，D），（B2，C，D）.
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（2）求教师A1被选中的概率；
解： 在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点
有（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），
（A1，B2，D），（A1，C，D），共5个，
所以教师A1被选中的概率为 .
（3）求评审团中没有乙校教师的概率.
解： 评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，
D），（A2，C，D），共2个，
所以评审团中没有乙校教师的概率为 ＝ .
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谢 谢 观 看！第1课时 古典概型
1.下列结论正确的是（ ）
A.事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1
B.若P（A）＝0.999，则A为必然事件
C.灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性为99%
D.若P（A）＝0.001，则A为不可能事件
2.若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）
A. B.
C. D.
4.同时掷两个骰子，则向上的点数之和是4的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（2024·无锡月考）从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，则它们过正六边形中心的概率等于（ ）
A. B.
C. D.
6.（2024·南通月考）从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是（ ）
A. B.
C. D.
7.从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是 .
8.小明打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功开机的概率是 .
9.有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率是 .
10.一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
（1）共有多少个样本点？
（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？
11.（2024·泰州月考）先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12.（2024·宿迁月考）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
13.（2024·镇江月考）某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人，同时只参加A，B社团的有10人，同时只参加A，C社团的有11人，三个社团都参加的有8人.随机选取1人，则他参加的社团不超过两个的概率为 .
14.书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：
（1）取出的书不成套；
（2）取出的书均为上册；
（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.
15.某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名.
（1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；
（2）求教师A1被选中的概率；
（3）求评审团中没有乙校教师的概率.
第1课时 古典概型
1.C 由概率的性质知A、B、D错，由概率的意义知C正确.
2.B 样本空间包含10个样本点，“随机抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为 .故选B.
3.B 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为.
4.C 同时抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和如下表所示：
由上表可知，共有36种情况，其中点数之和是4的有3个，故所求概率P＝＝.
5.D 从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有AD，BE，CF共3条，所以过正六边形中心的概率等于＝.故选D.
6.C 设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中任取2个球有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），6种等可能结果，其中至少摸到一个黑球有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率P＝.故选C.
7. 解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为＝.
8. 解析：∵Ω＝{（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
9. 解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果.投入1号或2号信箱是其中的2种结果，故A信投入1号或2号信箱的概率为.
10.解：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表示）：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因此，共有10个样本点.
（2）上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球（记为事件A），
即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝.
故摸出2个球都是白球的概率为.
11.C 所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝.
12.D 记“｜a－b｜≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，列表如下：
则事件A包含的样本点共16个，又样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
13. 解析：由Venn图可求得参加各社团的情况如图所示，参加的社团不超过两个的概率P＝＝.
14.解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为C1，C2.
不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.
（1）设事件A表示“取出的书不成套”，
则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，
故P（A）＝＝.
（2）设事件B表示“取出的书均为上册”，
则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，
故P（B）＝＝.
（3）设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，
则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故P（C）＝＝.
15.解：（1）从6名特级教师中选出3名教师组成评审团，树形图如图所示，
故组成人员的全部样本点为（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），（A2，C，D），（B1，C，D），（B2，C，D）.
（2）在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），共5个，
所以教师A1被选中的概率为.
（3）评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，D），（A2，C，D），共2个，
所以评审团中没有乙校教师的概率为＝.
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