第1课时 互斥事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，理解互斥事件、对立事件的含义及概率的常用性质 数学抽象、逻辑推理
2.掌握互斥事件和的概率计算，会求对立事件的概率 数学运算、逻辑推理
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.2.
【问题】 甲获胜的概率是多少？
知识点一 互斥事件
1.定义：若AB＝ ，即事件A与B 发生，这时，我们称A，B为 .
2.概率的加法公式：如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝ .
提醒 概率的加法公式的推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.
知识点二 对立事件
1.定义：若AC＝ ，并且A＋C＝ ，即互斥事件A，C中 发生，这时，我们称A，C为 ，记作C＝或A＝.
2.概率的常用性质
（1）P（）＝ ；
（2）当A B时，P（A） P（B）；
（3）当A，B不互斥时，P（A＋B）＝ .
【想一想】
1.互斥事件与对立事件之间有什么区别与联系？
2.在同一试验中，对任意两个事件A，B，P（A＋B）＝P（A）＋P（B）一定成立吗？
3.若P（A）＋P（B）＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明.
1.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙站排尾”
C.“甲站排头”与“乙不站排头”
D.“甲不站排头”与“乙不站排头”
2.（2024·淮安月考）随着网络技术的发展，电子支付变得愈发普遍.已知某群体的成员在一次活动中，只有现金支付与电子支付两种支付方式，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用电子支付的概率为0.1，则只用电子支付的概率为（ ）
A.0.9 B.0.85 C.0.95 D.0.8
3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出红球或白球的概率是 .
题型一 互斥事件与对立事件的判断
【例1】 （链接教科书第290页例1）某射手进行一次射击，可能命中0～10环中的一种，记“命中环数大于7环”为事件A，“命中环数为10环”为事件B，“命中环数小于6环”为事件C，“命中环数为6， 7， 8， 9， 10环”为事件D.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.
（1） A与B；（2） A与C；
（3） B与C；（4） C与D.
通性通法
互斥事件、对立事件的判断方法
（1）利用基本概念判断：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
（2）利用集合的观点判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，所有事件所含的结果组成的集合为I.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝I，即A＝ IB或B＝ IA.
【跟踪训练】
已知事件M “3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N（ ）
A.是对立事件 B.不是互斥事件
C.是互斥但不对立事件 D.无法判断
题型二 互斥事件与对立事件概率公式的应用
【例2】 （链接教科书第290页例2）某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
（1）求派出医生至多2人的概率；
（2）求派出医生至少2人的概率.
通性通法
互斥事件、对立事件概率的求解方法
（1）互斥事件概率的加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和；
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
【跟踪训练】
1.现有历史、政治、物理和化学4本书，从中任取1本，则取出的书是物理或化学书的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
题型三 概率性质的综合应用
【例3】 （链接教科书第291页例3）袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
（1）试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
（2）从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
通性通法
求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
【跟踪训练】
某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职工或第三分厂的职工的概率.
1.若A，B为互斥事件，则（ ）
A.P（A）＋P（B）＜1 B.P（A）＋P（B）＞1
C.P（A）＋P（B）＝1 D.P（A）＋P（B）≤1
2.（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（ ）
A.2个小球恰有1个红球
B.2个小球不全为黑球
C.2个小球至少有1个黑球
D.2个小球都为黑球
3.已知P（A）＝0.4，P（B）＝0.2.
（1）如果B A，则P（A＋B）＝ ，P（AB）＝ ；
（2）如果A，B互斥，则P（A＋B）＝ ，P（AB）＝ .
4.据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1，则该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为 .
第1课时 互斥事件
【基础知识·重落实】
知识点一
1. 不可能同时 互斥事件
2.P（A）＋P（B）
知识点二
1. Ω 必有一个 对立事件
2.（1）1－P（A） （2）≤ （3）P（A）＋P（B）－P（AB）
想一想
1.提示：对立事件必为互斥事件，但反之不然.
2.提示：不一定，只有A与B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B）才成立.
3.提示：A与B不一定对立.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）＋P（B）＝1，但A，B不对立.
自我诊断
1.A 根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.
2.B 由对立事件的概率公式可知，只用电子支付的概率为1－0.05－0.1＝0.85.故选B.
3.0.7 解析：记“摸出红球”为事件A，则P（A）＝0.42，记“摸出白球”为事件B，则P（B）＝0.28，则摸出红球或白球的概率是P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.7.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题意知Ω＝{0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10}， A＝{8， 9， 10}， B＝{10}， C＝{0， 1， 2， 3， 4， 5}， D＝{6， 7， 8， 9， 10}.
（1）因为AB＝{10}≠ ，所以A， B不是互斥事件.
（2）因为AC＝ ，所以A，C是互斥事件.又因为A＋C≠Ω，所以A， C不是对立事件.
（3）因为BC＝ ，所以B，C是互斥事件.又因为B＋C≠Ω，所以B， C不是对立事件.
（4）因为CD＝ ，所以C，D是互斥事件.又因为C＋D＝Ω，所以C， D是对立事件.
跟踪训练
C 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和事件N互斥，而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能3个不发芽，故事件M和事件N互斥不对立.故选C.
【例2】 解：记“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P（A）＝0.1，P（B）＝0.16，P（C）＝0.3，P（D）＝0.2，P（E）＝0.2，P（F）＝0.04.
（1）“派出医生至多2人”的概率为P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）法一 “派出医生至少2人”的概率为P（C＋D＋E＋F）＝P（C）＋P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
法二 “派出医生至少2人”的概率为1－P（A＋B）＝1－0.1－0.16＝0.74.
跟踪训练
1.C 记取出历史、政治、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，则事件A，B，C，D两两互斥，所以取出物理或化学书的概率为事件C，D概率的和，即P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝＋＝.
2.解：（1）因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，
所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝.
（2）事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件，
因此事件C与事件D是对立事件，
所以P（D）＝1－P（C）＝.
【例3】 解：（1）从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼此互斥，
则P（A）＝，P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝，
P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝，P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－＝.
联立解得P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝，
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.
（2）事件“得到红球或绿球”可表示为A＋D，由（1）及互斥事件的概率加法公式得P（A＋D）＝P（A）＋P（D）＝＋＝，
故得到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P（A＋D）＝1－＝.
跟踪训练
解：记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则AB表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A＋B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P（A）＝＝，
P（B）＝＝，
P（AB）＝＝，
所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋－＝.
随堂检测
1.D 因为A，B为互斥事件，所以A＋B是随机事件或必然事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）≤1，当A，B为对立事件时，P（A）＋P（B）＝1.
2.AD 由题意，知一次任意取出2个小球，这2个球可能为2个红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.故选A、D.
3.（1）0.4 0.2 （2）0.6 0
解析：（1）因为B A，所以P（A＋B）＝P（A）＝0.4，P（AB）＝P（B）＝0.2.
（2）如果A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.4＋0.2＝0.6，P（AB）＝0.
4.0.9 解析：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知，事件C与事件D互为对立事件，所以P（D）＝1－P（C）＝1－0.1＝0.9.
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第1课时 互斥事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，理解互斥事件、对立事件的含义及概率
的常用性质 数学抽象、
逻辑推理
2.掌握互斥事件和的概率计算，会求对立事件的概率 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.2.
【问题】 甲获胜的概率是多少？
知识点一 互斥事件
1. 定义：若AB＝ ，即事件A与B 发生，这时，
我们称A，B为 .
不可能同时
互斥事件
2. 概率的加法公式：如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概
率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝
.
提醒 概率的加法公式的推广：如果事件A1，A2，…，An两两互
斥，那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P
（An）.
P
（A）＋P（B）
知识点二 对立事件
1. 定义：若AC＝ ，并且A＋C＝ ，即互斥事件A，C
中 发生，这时，我们称A，C为 ，记作
C＝ 或A＝ .
2. 概率的常用性质
（1）P（ ）＝ ；
（2）当A B时，P（ A ） P（ B ）；
（3）当A，B不互斥时，P（A＋B）＝
.
Ω
必有一个
对立事件
1－P（A）
A
≤
B
P（A）＋P（B）－
P（AB）
【想一想】
1. 互斥事件与对立事件之间有什么区别与联系？
提示：对立事件必为互斥事件，但反之不然.
2. 在同一试验中，对任意两个事件A，B，P（A＋B）＝P（A）
＋P（B）一定成立吗？
提示：不一定，只有A与B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）才成立.
3. 若P（A）＋P（B）＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举
例说明.
提示：A与B不一定对立.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为
出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）＋P（B）
＝1，但A，B不对立.
1. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A. “甲站排头”与“乙站排头”
B. “甲站排头”与“乙站排尾”
C. “甲站排头”与“乙不站排头”
D. “甲不站排头”与“乙不站排头”
解析： 根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、
C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.
√
2. （2024·淮安月考）随着网络技术的发展，电子支付变得愈发普遍.
已知某群体的成员在一次活动中，只有现金支付与电子支付两种支
付方式，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用电子支付
的概率为0.1，则只用电子支付的概率为（ ）
A. 0.9 B. 0.85
C. 0.95 D. 0.8
解析： 由对立事件的概率公式可知，只用电子支付的概率为1
－0.05－0.1＝0.85.故选B.
√
3. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出红球或
白球的概率是 .
解析：记“摸出红球”为事件A，则P（A）＝0.42，记“摸出白
球”为事件B，则P（B）＝0.28，则摸出红球或白球的概率是P
（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.7.
0.7
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 互斥事件与对立事件的判断
【例1】 （链接教科书第290页例1）某射手进行一次射击，可能命
中0～10环中的一种，记“命中环数大于7环”为事件A，“命中环数
为10环”为事件B，“命中环数小于6环”为事件C，“命中环数为
6， 7， 8， 9， 10环”为事件D. 判断下列事件是否为互斥事件，如
果是，判断它们是否为对立事件.
（1） A与B；
解：由题意知Ω＝{0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，
10}， A＝{8， 9， 10}， B＝{10}， C＝{0， 1， 2， 3， 4，
5}， D＝{6， 7， 8， 9， 10}.
（1）因为AB＝{10}≠ ，所以A， B不是互斥事件.
解：因为AC＝ ，所以A，C是互斥事件.又因为A＋C≠Ω，
所以A， C不是对立事件.
（2） A与C；
（3） B与C；
解：因为BC＝ ，所以B，C是互斥事件.又因为B＋C≠Ω，
所以B， C不是对立事件.
解：因为CD＝ ，所以C，D是互斥事件.又因为C＋D＝
Ω，所以C， D是对立事件.
（4） C与D.
通性通法
互斥事件、对立事件的判断方法
（1）利用基本概念判断：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件
首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
（2）利用集合的观点判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别
是A，B，所有事件所含的结果组成的集合为I. ①事件A与B互
斥，即集合A∩B＝ ；②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，
且A∪B＝I，即A＝ IB或B＝ IA.
【跟踪训练】
已知事件M “3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那
么事件M和N（ ）
A. 是对立事件
B. 不是互斥事件
C. 是互斥但不对立事件
D. 无法判断
√
解析： 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件
M和事件N互斥，而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒
种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能
3个不发芽，故事件M和事件N互斥不对立.故选C.
题型二 互斥事件与对立事件概率公式的应用
【例2】 （链接教科书第290页例2）某医院要派医生下乡义诊，派
出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等
于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
（1）求派出医生至多2人的概率；
（1）“派出医生至多2人”的概率为P（A＋B＋C）＝P
（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
解：记“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，
“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派
出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，
事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P（A）＝0.1，P
（B）＝0.16，P（C）＝0.3，P（D）＝0.2，P（E）＝
0.2，P（F）＝0.04.
（2）求派出医生至少2人的概率.
解：法一 “派出医生至少2人”的概率为P（C＋D＋E＋
F）＝P（C）＋P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.2＋
0.2＋0.04＝0.74.
法二 “派出医生至少2人”的概率为1－P（A＋B）＝1－0.1－
0.16＝0.74.
通性通法
互斥事件、对立事件概率的求解方法
（1）互斥事件概率的加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）；
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当
这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率
的和；
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，
常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
【跟踪训练】
1. 现有历史、政治、物理和化学4本书，从中任取1本，则取出的书是
物理或化学书的概率为（ ）
解析： 记取出历史、政治、物理、化学书分别为事件A，B，
C，D，则事件A，B，C，D两两互斥，所以取出物理或化学书
的概率为事件C，D概率的和，即P（C＋D）＝P（C）＋P
（D）＝ ＋ ＝ .
√
2. 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心
（事件A）的概率是 ，取到方块（事件B）的概率是 ，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
解： 因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事
件A与事件B互斥，
所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝ .
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解： 事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件，
因此事件C与事件D是对立事件，
所以P（D）＝1－P（C）＝ .
题型三 概率性质的综合应用
【例3】 （链接教科书第291页例3）袋中有外形、质量完全相同的
红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是
，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 .
解： 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑
球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼
此互斥，
则P（A）＝ ，P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝ ，
P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝ ，P（B＋C＋D）＝P
（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－ ＝ .
联立
解得P（B）＝ ，P（C）＝ ，P（D）＝ ，
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为 ， ， .
（2）从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
解： 事件“得到红球或绿球”可表示为A＋D，由（1）
及互斥事件的概率加法公式得P（A＋D）＝P（A）＋P
（D）＝ ＋ ＝ ，
故得到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P（A＋D）＝1
－ ＝ .
通性通法
求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的
概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立
事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概
率的计算得到简化.
【跟踪训练】
某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工
1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男
职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职
工为女职工或第三分厂的职工的概率.
解：记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分
厂的职工”，则AB表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A＋B表示
“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P（A）＝ ＝ ，
P（B）＝ ＝ ，
P（AB）＝ ＝ ，
所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ －
＝ .
1. 若A，B为互斥事件，则（ ）
A. P（A）＋P（B）＜1 B. P（A）＋P（B）＞1
C. P（A）＋P（B）＝1 D. P（A）＋P（B）≤1
解析： 因为A，B为互斥事件，所以A＋B是随机事件或必然
事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）≤1，当A，B为对立
事件时，P（A）＋P（B）＝1.
√
2. （多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一
次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立
的事件有（ ）
A. 2个小球恰有1个红球
B. 2个小球不全为黑球
C. 2个小球至少有1个黑球
D. 2个小球都为黑球
√
√
解析： 由题意，知一次任意取出2个小球，这2个球可能为2个
红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为
红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为
黑球.故选A、D.
3. 已知P（A）＝0.4，P（B）＝0.2.
（1）如果B A，则P（A＋B）＝ ，P（AB）
＝ ；
解析：（1）因为B A，所以P（A＋B）＝P（A）＝
0.4，P（AB）＝P（B）＝0.2.
（2）如果A，B互斥，则P（A＋B）＝ ，P（AB）
＝ .
解析：（2）如果A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）＝0.4＋0.2＝0.6，P（AB）＝0.
0.4
0.2
0.6
0
4. 据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的
概率分别为0.4，0.5，0.1，则该食品企业在一个月内被消费者投
诉不超过1次的概率为 .
解析：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事
件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件
D，由题意知，事件C与事件D互为对立事件，所以P（D）＝1
－P（C）＝1－0.1＝0.9.
0.9
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的
概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 因为事件A与B是互斥事件，所以P（A＋B）＝P
（A）＋P（B）＝0.8，又因为P（A）＝3P（B），所以P
（A）＝0.6.故选C.
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2. 一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次正面向上”的互斥事件
是（ ）
A. 至多有一次正面向上 B. 两次都正面向上
C. 只有一次正面向上 D. 两次都反面向上
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解析： 对于A，至多有一次正面向上与至少有一次正面向上，
能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次都正面向上与至少有
一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次
正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；
对于D，两次都反面向上与至少有一次正面向上，不能够同时发
生，是互斥事件.故选D.
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3. 在一次数学考试（满分150分）中，某班学生的成绩（单位：分）
在130及以上的频率是0.1，在[120，129]内的频率是0.2，在
[110，119]内的频率是0.4，在[90，109]内的频率是0.2，90以下
的频率是0.1，若认为成绩在110及以上为优秀，则从该班学生中随
机抽取一人，其成绩优秀的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.7
C. 0.6 D. 0.5
解析： 根据互斥事件的概率加法公式，易得所求事件的概率为
0.1＋0.2＋0.4＝0.7.故选B.
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4. 已知随机事件A，B发生的概率满足条件P（A＋B）＝ ，某人猜
测事件 ∩ 发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A. 1
D. 0
解析： 事件 ∩ 与事件A＋B是对立事件，则此人猜测正确
的概率P（ ∩ ）＝1－P（A＋B）＝1－ ＝ .
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5. （多选）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概
率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A. A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B. B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C. A＋C与B＋D是互斥事件，也是对立事件
D. A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
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解析： 由于A，B，C，D彼此互斥，且P（A＋
B＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P
（D）＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故四
个事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选C、D.
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6. （多选）（2024·连云港月考）高一（2）班数学兴趣小组有男生和
女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ）
√
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解析： 从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学
竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名
男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名
参赛学生是男生的概率为 ＝ ，A对；“至少有一名参赛学生是
男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任
选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－
＝ ，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3
种结果，其概率为 ＝ ，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－ ＝ ，C对.故选A、C.
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7. 生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合
格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝（A∩ ）∪
（ ∩B）∪（ ∩ ）表示的含义是 .
解析：事件D＝（A∩ ）∪（ ∩B）∪（ ∩ ）表示的是第
一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以事
件D表示“产品不合格”.
产品不合格
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8. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率
是 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是同色的概
率是 .
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是
白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同色”为事件C，则C＝
A＋B，且事件A与B互斥.所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝
＋ ＝ .即任意取出2粒恰好是同色的概率为 .
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解析：因随机事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）＝3a－3，依题意及概率的性质得即
解得 ＜a≤ ，所以实数a的取值范围是 .
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10. 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，
每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，
二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别
为A，B，C.
（1）求P（A），P（B），P（C）；
解： 由题意，每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖
10个，二等奖50个，
故P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝
＝ .
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（2）求抽取1张奖券中奖的概率；
解： 设“抽取1张奖券中奖”为事件D，
则P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝ ＋ ＋
＝ .
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（3）求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
解： 设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事
件E，
则P（E）＝1－P（A）－P（B）＝1－ － ＝
.
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11. 如果事件A，B互斥，那么（ ）
A. A＋B是必然事件
解析： 如图所示，因为事件A，B互斥，所以
＋ ＝Ω是必然事件，故选B.
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12. 某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为 ，响第二声
时被接的概率为 ，响第三声时被接的概率为 ，响第四声时被
接的概率为 .则电话在响前四声内被接的概率为（ ）
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解析： 记“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被
接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四
声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P（A＋B
＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝ ＋
＋ ＋ ＝ .故选B.
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解析：设事件A＝“取出的数为偶数”，事件B＝“取出的数能
被5整除”，则P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝
＝ ，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋
－ ＝ .
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14. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片
除标记数字不同外其他完全相同.现随机有放回地抽取3次，每次
抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
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解： 由题意，得（a，b，c）所有可能的结果为
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），
（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），
（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），
（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），
（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），
（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事
件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3
种，所以P（A）＝ ＝ .
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为 .
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（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
解： 设“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”为
事件 ，则事件 包括（1，1，1），（2，2，2），（3，
3，3），共3种，所以P（B）＝1－P（ ）＝1－ ＝ .
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概
率为 .
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15. （2024·镇江月考）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分
别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概
率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求：
（1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
解： 从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为
事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，
得解得
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所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ，
， .
所以黑球的个数为9× ＝3，黄球的个数为9× ＝2，绿球
的个数为9× ＝4，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4.
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（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概
率是多少？
解： 由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2， 所以从
所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本
点，记黑球与黄球各得一个的事件为D，得D中包含6个样
本点，则P（D）＝ ＝ .
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（3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不
相同的概率是多少？
解： 因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两
个黑球的样本点有3个，两个黄球的样本点有1个，两个绿球
的样本点有6个，于是，两个球同色的概率为 ＝ ，
则两个球颜色不相同的概率是1－ ＝ .
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谢 谢 观 看！第1课时 互斥事件
1.如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（ ）
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.7
2.一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次正面向上”的互斥事件是（ ）
A.至多有一次正面向上 B.两次都正面向上
C.只有一次正面向上 D.两次都反面向上
3.在一次数学考试（满分150分）中，某班学生的成绩（单位：分）在130及以上的频率是0.1，在[120，129]内的频率是0.2，在[110，119]内的频率是0.4，在[90，109]内的频率是0.2，90以下的频率是0.1，若认为成绩在110及以上为优秀，则从该班学生中随机抽取一人，其成绩优秀的概率是（ ）
A.0.8 B.0.7
C.0.6 D.0.5
4.已知随机事件A，B发生的概率满足条件P（A＋B）＝，某人猜测事件∩发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A.1 B.
C. D.0
5.（多选）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A＋C与B＋D是互斥事件，也是对立事件
D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
6.（多选）（2024·连云港月考）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ）
A.恰有一名参赛学生是男生的概率为
B.至少有一名参赛学生是男生的概率为
C.至多有一名参赛学生是男生的概率为
D.两名参赛学生都是男生的概率为
7.生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝（A∩）∪（∩B）∪（∩）表示的含义是 .
8.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同色的概率是 .
9.（2024·苏州月考）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是 .
10.某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.
（1）求P（A），P（B），P（C）；
（2）求抽取1张奖券中奖的概率；
（3）求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
11.如果事件A，B互斥，那么（ ）
A.A＋B是必然事件 B.＋是必然事件
C.与一定互斥 D.与一定不互斥
12.某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为.则电话在响前四声内被接的概率为（ ）
A. B.
C. D.
13.（2024·盐城月考）从1，2，3，…，30这30个数中任意取出一个数，则取出的数是偶数或能被5整除的数的概率是 .
14.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记数字不同外其他完全相同.现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
15.（2024·镇江月考）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
（1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？
（3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的概率是多少？
第1课时 互斥事件
1.C 因为事件A与B是互斥事件，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.8，又因为P（A）＝3P（B），所以P（A）＝0.6.故选C.
2.D 对于A，至多有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次都正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次都反面向上与至少有一次正面向上，不能够同时发生，是互斥事件.故选D.
3.B 根据互斥事件的概率加法公式，易得所求事件的概率为0.1＋0.2＋0.4＝0.7.故选B.
4.C 事件∩与事件A＋B是对立事件，则此人猜测正确的概率P（∩）＝1－P（A＋B）＝1－＝.
5.CD 由于A，B，C，D彼此互斥，且P（A＋B＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故四个事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选C、D.
6.AC 从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为＝，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为＝，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，C对.故选A、C.
7.产品不合格 解析：事件D＝（A∩）∪（∩B）∪（∩）表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以事件D表示“产品不合格”.
8. 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥.所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同色的概率为.
9. 解析：因随机事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝3a－3，依题意及概率的性质得即解得＜a≤，所以实数a的取值范围是.
10.解：（1）由题意，每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
故P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝.
（2）设“抽取1张奖券中奖”为事件D，
则P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋＝.
（3）设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则P（E）＝1－P（A）－P（B）＝1－－＝.
11.B 如图所示，因为事件A，B互斥，所以＋＝Ω是必然事件，故选B.
12.B 记“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P（A＋B＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝＋＋＋＝.故选B.
13. 解析：设事件A＝“取出的数为偶数”，事件B＝“取出的数能被5整除”，则P（A）＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋－＝.
14.解：（1）由题意，得（a，b，c）所有可能的结果为（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
（2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”为事件，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种，所以P（B）＝1－P（）＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
15.解：（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，
得
解得
所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
所以黑球的个数为9×＝3，黄球的个数为9×＝2，绿球的个数为9×＝4，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4.
（2）由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2， 所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，记黑球与黄球各得一个的事件为D，得D中包含6个样本点，则P（D）＝＝.
（3）因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两个黑球的样本点有3个，两个黄球的样本点有1个，两个绿球的样本点有6个，于是，两个球同色的概率为＝，则两个球颜色不相同的概率是1－＝.
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