第2课时 独立事件
新课程标准解读 核心素养
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念 数学抽象、逻辑推理
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题 数学运算
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.
【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
（2）上述问题中事件A和事件B相互独立吗？
知识点 相互独立事件
1.定义：一般地，对于两个随机事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么称A，B为相互独立事件.
2.相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件与事件B ，事件与事件 .
3.相互独立事件的概率公式
（1）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；
（2）如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.
提醒 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独立是不等同的.
4.相互独立事件与互斥事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A＋B
计算公式 P（AB）＝P（A）P（B） P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不可能事件与任何一个事件相互独立.（ ）
（2）必然事件与任何一个事件相互独立.（ ）
（3）“P（AB）＝P（A）P（B）”是“事件A，B相互独立”的充要条件.（ ）
（4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.（ ）
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（ ）
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或0.85
3.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是 .
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 （链接教科书第295页例1）判断下列每组事件A，B是否是相互独立事件：
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”记为事件A，“从乙组中选出1名女生”记为事件B；
（2）一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.“第一次摸出球的标号小于3”记为事件A，“第二次摸出球的标号小于3”记为事件B；
（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”记为事件A，“出现3点或6点”记为事件B.
通性通法
判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立 P（AB）＝P（A）·P（B）；
（2）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响.
【跟踪训练】
1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
2.（多选）下列事件中，A，B不是相互独立事件的是（ ）
A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D.A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
题型二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 （链接教科书第298页习题2题）某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85.求：
（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
通性通法
求相互独立事件同时发生的概率的关注点
（1）公式：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；
（2）性质：若A，B相互独立，则与B，A与，与也相互独立；
（3）注意：公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
【跟踪训练】
在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立.
（1）求恰有两个项目成功的概率；
（2）求至少有一个项目成功的概率.
题型三 相互独立事件概率的综合应用
【例3】 为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
通性通法
求较复杂事件的概率的一般步骤
（1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
（2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
（2024·盐城质检）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.
（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；
（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.
1.对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A）＝（ ）
A.0.42 B.0.28 C.0.12 D.0.18
2.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
3.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为 .
4.（2024·无锡月考）甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为 .
第2课时 独立事件
【基础知识·重落实】
知识点
2.相互独立 相互独立 相互独立
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）√
2.B
3. 解析：由题意，设事件A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B）＝，易知A，B相互独立，所以A与相互独立.所以淋雨的可能性为P（A）＝P（A）P（）＝×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以事件A与B是相互独立事件.
（2）因为样本空间Ω＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）， （3， 1）， （3， 2）， （3， 4）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）}，
A＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）}，B＝{（1， 2）， （2， 1）， （3， 1）， （3， 2）， （4， 1）， （4， 2）}，
所以P（A）＝P（B）＝＝， P（AB）＝＝，此时P（AB）≠P（A）P（B），
因此，事件A与B不是相互独立事件.
（3）因为P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝.
所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立.
跟踪训练
1.A 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
2.BCD 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响，也不相互独立.故选B、C、D.
【例2】 解：记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件分别为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.85.
（1）“三科成绩均未获得第一名”可以用表示，P（ ）＝P（）P（）P（）＝[1－P（A）][1－P（B）]·[1－P（C）]＝（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
（2）“恰有一科成绩未获得第一名”可以用（BC）＋（AC）＋（AB）表示.
由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P（BC）＋P（AC）＋P（AB）＝P（）P（B）·P（C）＋P（A）P（）·P（C）＋P（A）P（B）P（）＝[1－P（A）]·P（B）P（C）＋P（A）·[1－P（B）]·P（C）＋P（A）P（B）[1－P（C）]＝（1－0.9）×0.8×0.85＋0.9×（1－0.8）×0.85＋0.9×0.8×（1－0.85）＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
跟踪训练
解：（1）只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××（1－）＝，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×（1－）×＝，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为（1－）××＝，
所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.
（2）三个项目全部失败的概率为（1－）×（1－）×（1－）＝，
所以至少有一个项目成功的概率为1－＝.
【例3】 解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝××＝.
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误，
其概率为P（B）＝××＋××＋××＝.
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为，.
（2）记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D，
事件C即甲队有2人答对，其余1人答错，
则P（C）＝××＋××＋××＝.
事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错，
则P（D）＝××＋××＋××＝.
由题得事件C与事件D相互独立，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P（CD）＝P（C）P（D）＝×＝.
跟踪训练
解：（1）设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），又打了X个球比赛结束，
则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（）＝P（A1）·P（A2）＋P（）P（）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（A1A3A4）＋P（A2A3A4）
＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）＋P（）P（A2）·P（A3）P（A4）
＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
随堂检测
1.D 由相互独立事件的性质知A与也相互独立，所以P（A）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18.
2.B 事件甲发生的概率P（甲）＝，事件乙发生的概率P（乙）＝，事件丙发生的概率P（丙）＝，事件丁发生的概率P（丁）＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
3.0.009 解析：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝（1－0.7）×（1－0.8）×（1－0.85）＝0.3×0.2×0.15＝0.009.
4. 解析：设事件A为“从甲袋中任取1个球，取得白球”，则事件为“从甲袋中任取1个球，取得红球”；设事件B为“从乙袋中任取1个球，取得白球”，则事件为“从乙袋中任取1个球，取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件与也相互独立.∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB＋）＝P（AB）＋P（）＝P（A）P（B）＋P（）P（）＝×＋×＝.
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第2课时 独立事件
新课程标准解读 核心素养
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念 数学抽象、
逻辑推理
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些
简单的实际问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一
名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖
券”.
【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
（2）上述问题中事件A和事件B相互独立吗？
知识点 相互独立事件
1. 定义：一般地，对于两个随机事件A，B，如果P（AB）＝P
（A）P（B），那么称A，B为相互独立事件.
2. 相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件
与事件B ，事件 与事件 .
相互独立
相互独立
相互独立
3. 相互独立事件的概率公式
（1）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；
（2）如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P（A1A2…An）＝
P（A1）P（A2）…P（An）.
提醒 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）
＝P（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事
件两两独立是不等同的.
4. 相互独立事件与互斥事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A（或B）是否发生对事
件B（或A）发生的概率没有
影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发
生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发
生，记作：A＋B
计算
公式 P（AB）＝ P（A）P（B） P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不可能事件与任何一个事件相互独立. （ √ ）
（2）必然事件与任何一个事件相互独立. （ √ ）
（3）“P（AB）＝P（A）P（B）”是“事件A，B相互独立”
的充要条件. （ √ ）
（4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.
（ √ ）
√
√
√
√
2. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断
的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险
丝都熔断的概率为（ ）
A. 1 B. 0.629
C. 0 D. 0.74或0.85
√
解析：由题意，设事件A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P
（A）＝P（B）＝ ，易知A，B相互独立，所以A与 相互独
立.所以淋雨的可能性为P（A ）＝P（A）P（ ）＝ × ＝
.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 （链接教科书第295页例1）判断下列每组事件A，B是否是
相互独立事件：
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙
两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”
记为事件A，“从乙组中选出1名女生”记为事件B；
解： “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对
“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以
事件A与B是相互独立事件.
（2）一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球，除标号外没有
其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.“第一次摸出球
的标号小于3”记为事件A，“第二次摸出球的标号小于3”记
为事件B；
解： 因为样本空间Ω＝{（1， 2）， （1， 3）， （1，
4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）， （3， 1）， （3，
2）， （3， 4）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）}，
A＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2，
3）， （2， 4）}，B＝{（1， 2）， （2， 1）， （3， 1），
（3， 2）， （4， 1）， （4， 2）}，
所以P（A）＝P（B）＝ ＝ ， P（AB）＝ ＝ ，此时P
（AB）≠P（A）P（ B ），
因此，事件A与B不是相互独立事件.
（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”记为事件A，“出现3点或6
点”记为事件B.
解： 因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）
＝ .
所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立.
通性通法
判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立 P（AB）＝P（A）·P
（B）；
（2）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互
影响.
【跟踪训练】
1. 甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，
事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）
A. 相互独立但不互斥
B. 互斥但不相互独立
C. 相互独立且互斥
D. 既不相互独立也不互斥
√
解析： 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影
响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手
可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件
A与B不是互斥事件.故选A.
2. （多选）下列事件中，A，B不是相互独立事件的是（ ）
A. 一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B. 袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白
球”，B＝“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D. A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
√
√
√
解析： 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其
结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，
显然事件A与事件B不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，
不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响，也不相互独立.故选
B、C、D.
题型二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 （链接教科书第298页习题2题）某同学语文、数学、英语
三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数
学为0.8，英语为0.85.求：
（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（1）“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，P（
）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝[1－P（A）][1－P
（B）]·[1－P（C）]＝（1－0.9）×（1－0.8）×（1－
0.85）＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
解：记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件分
别为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P（A）＝
0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.85.
（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：“恰有一科成绩未获得第一名”可以用（ BC）＋（A
C）＋（AB ）表示.
由于事件 BC，A C和AB 两两互斥，根据概率加法公式和
相互独立事件的概率公式，所求的概率为P（ BC）＋P（A
C）＋P（AB ）＝P（ ）P（B）·P（C）＋P（A）P
（ ）·P（C）＋P（A）P（B）P（ ）＝[1－P（A）]·P
（B）P（C）＋P（A）·[1－P（B）]·P（C）＋P（A）P
（B）[1－P（C）]＝（1－0.9）×0.8×0.85＋0.9×（1－
0.8）×0.85＋0.9×0.8×（1－0.85）＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
通性通法
求相互独立事件同时发生的概率的关注点
（1）公式：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P
（B）；
（2）性质：若A，B相互独立，则 与B，A与 ， 与 也相互独
立；
（3）注意：公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们
同时发生.
【跟踪训练】
在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、
绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分
别为 ， ， ，且三个项目是否成功相互独立.
（1）求恰有两个项目成功的概率；
解： 只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率
为 × ×（1－ ）＝ ，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 ×（1－
）× ＝ ，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为（1－ ）
× × ＝ ，
所以恰有两个项目成功的概率为 ＋ ＋ ＝ .
（2）求至少有一个项目成功的概率.
解： 三个项目全部失败的概率为（1－ ）×（1－ ）×
（1－ ）＝ ，
所以至少有一个项目成功的概率为1－ ＝ .
题型三 相互独立事件概率的综合应用
【例3】 为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义
知识竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问
题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为
，乙队每人回答问题正确的概率分别为 ， ， ，且两队各人回答
正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
解： 记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1
分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝ × ×
＝ .
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误，
其概率为P（B）＝ × × ＋（1－ ）×
× ＋ × × ＝ .
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为 ， .
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
解： 记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1
分”为事件D，
事件C即甲队有2人答对，其余1人答错，
则P（C）＝ × × ＋ × × ＋ ×
× ＝ .
事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错，
则P（D）＝ × × ＋ × × ＋
× × ＝ .
由题得事件C与事件D相互独立，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P（CD）＝
P（C）P（D）＝ × ＝ .
通性通法
求较复杂事件的概率的一般步骤
（1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
（2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互
独立的），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算
其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
（2024·盐城质检）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成
10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结
束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，
甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概
率为0.4，各球的结果相互独立.
（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；
解： 设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝
1，2，3，…），又打了X个球比赛结束，
则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝P（A1）·P（A2）
＋P（ ）P（ ）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.
解： P（X＝4且甲获胜）＝P（A1 A3A4）＋P（
A2A3A4）
＝P（A1）P（ ）P（A3）P（A4）＋P（ ）P（A2）·P
（A3）P（A4）
＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
1. 对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝
0.4，则P（A ）＝（ ）
A. 0.42 B. 0.28
C. 0.12 D. 0.18
解析： 由相互独立事件的性质知A与 也相互独立，所以P
（A ）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18.
√
2. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地
随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是
1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两
次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字
之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
√
解析： 事件甲发生的概率P（甲）＝ ，事件乙发生的概率P
（乙）＝ ，事件丙发生的概率P（丙）＝ ，事件丁发生的概率
P（丁）＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）
≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率
为 ＝ ，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与
事件丙同时发生的概率为 ＝ ，P（乙丙）≠P（乙）P
（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事
件，故D错误.故选B.
3. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，
0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则
目标没有被击中的概率为 .
解析：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目
标没有被击中的概率P＝（1－0.7）×（1－0.8）×（1－0.85）
＝0.3×0.2×0.15＝0.009.
0.009
4. （2024·无锡月考）甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白
球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，
则取得同色球的概率为 .
解析：设事件A为“从甲袋中任取1个球，取得白球”，则事件
为“从甲袋中任取1个球，取得红球”；设事件B为“从乙袋中任
取1个球，取得白球”，则事件 为“从乙袋中任取1个球，取得红
球”.∵事件A与B相互独立，∴事件 与 也相
互独立.∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB＋
）＝P（AB）＋P（ ）＝P（A）P（B）＋P（ ）P
（ ）＝ × ＋ × ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相
互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（ ）
A. 0.28 B. 0.12
C. 0.42 D. 0.16
解析： 甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率
P＝（1－0.7）×0.4＝0.12.故选B.
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2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独
立，则下列命题一定成立的是（ ）
A. A与B相互独立 B. A与C互斥
C. B与C互斥
解析： 注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指
的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独
立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
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3. 在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿
灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行
驶，则三处都不停车的概率为（ ）
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解析： 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 ，
， .在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 ×
× ＝ .故选C.
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4. （2024·南京月考）甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比
赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结
束），假设每场比赛甲班获胜的概率为 ，每场比赛结果互不影
响，则甲班最终获胜的概率为（ ）
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解析： 甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班
第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获
胜.故甲班最终获胜的概率为 ＋ × × ＋
× ＝ .故选D.
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5. （多选）下列各对事件中，不是相互独立事件的有（ ）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙
都没有射中目标”
D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中
目标但乙未射中目标”
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解析： 在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两
个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、
乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率
没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，
“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发
生，二者是互斥事件，不独立；在D中，记“至少有1人射中目
标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB
＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故不
独立.故选A、C、D.
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6. （多选）已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P
（AB）＝ ，P（A）＝ ，P（B）＝ ，则（ ）
A. 事件A与B互为对立
B. 事件A与B相互独立
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解析： 因为P（AB）＝ ≠0，所以事件A与B不互斥，所
以事件A与B不互为对立，A错误；因为P（A）P（B）＝ ×
＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独
立，B正确；P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋
－ ＝ ，C正确；P（ ）＝1－P（A＋B）＝1－ ＝ ，D正
确.故选B、C、D.
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解析：“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M，“从乙盒内取一
个A型螺母”记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型
螺栓（即一个A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN）＝P
（M）P（N）＝ × ＝ .
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8. 明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他准备
用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙
闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟都不准时响的概率
是 ，两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
解析：两个闹钟都不准时响的概率为（1－0.80）×（1－0.90）＝
0.20×0.10＝0.02，设两个闹钟至少有一个准时响为事件A，则P
（A）＝1－（1－0.80）×（1－0.90）＝1－0.20×0.10＝0.98.
0.02
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9. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不
影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为 ，师徒二人各加工2
个零件都是精品的概率为 ，则徒弟加工2个零件都是精品的概率
为 .
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解析：记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）
＝ × ＝ ，记徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则
师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）·P
（B）＝ ，求得P（B）＝ ，故徒弟加工2个零件都是精品的概
率为 .
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10. 在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有
关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是 ，甲、乙两
人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .设
每人回答问题正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
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解： 记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对
这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P
（B）＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此
A，B，C是相互独立事件.
由题意可知，P（A）＝ ，P（ ）＝P（ ）P（ ）
＝ ×（1－x）＝ ，解得x＝ ，
所以乙答对这道题的概率为P（B）＝ .
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（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
解： 设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道
题”为事件M，丙答对这道题的概率P（C）＝y，由题可
知，P（BC）＝P（B）P（C）＝ ×y＝ ，解得y＝ .
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ ）＝P（ ）
P（ ）P（ ）＝ × ×（1－ ）＝ .
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是
“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，
所以P（M）＝1－ ＝ .
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11. 专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ，为提高破译概率需
增加专家数量，若要达到译出密码的概率为99%（各专家相互独
立互不交流），至少需要像甲这样的专家的个数为（参考数据：
lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（ ）
A. 15 B. 16
C. 17 D. 18
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解析： 设需要像甲这样的专家x个， 要达到译出密码的概率
为99%，则 ≤ ，则xlg ≤lg ，即x≥ ＝
≈16.01，故至少需要17个像甲这样的专家.
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12. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且每个开关是否闭
合是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
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解析： 记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D
开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条
线路同时断开的概率为P（ ）P（ ）[1－P（AB）]＝ ×
×（1－ × ）＝ ，所以灯亮的概率为1－ ＝ .故选C.
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解析：由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率
为 ，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：
A→B→C→A，P1＝ × × ＝ ；第二条：A→C→B→A，
P2＝ × × ＝ ，所以跳三次之后停在A片荷叶上的概率P＝
P1＋P2＝ ＋ ＝ .
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14. 为刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样
调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消
费额及其概率如表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到
该旅游景点.
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（1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
解： 设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率
为P1，
则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
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（2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.
解： 消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）
2×0.1＝0.01，
消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋
0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）
2×0.1＝0.033，
因为0.002＋0.01＋0.033＝0.045，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.
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15. （2024·苏州质检）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛
制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人
轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮
空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比
赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都
为 .
（1）求甲连胜四场的概率；
解： 甲连胜四场的概率为 .
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（2）求需要进行第五场比赛的概率；
解： 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进
行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；
乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 .
所以需要进行第五场比赛的概率为1－ － － ＝ .
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（3）求丙最终获胜的概率.
解： 丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按
照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空
胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， .
因此丙最终获胜的概率为 ＋ ＋ ＋ ＝ .
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谢 谢 观 看！第2课时 独立事件
1.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（ ）
A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16
2.设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是（ ）
A.A与B相互独立 B.A与C互斥
C.B与C互斥 D.与相互独立
3.在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4.（2024·南京月考）甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）下列各对事件中，不是相互独立事件的有（ ）
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
6.（多选）已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P（AB）＝，P（A）＝，P（B）＝，则（ ）
A.事件A与B互为对立
B.事件A与B相互独立
C.P（A＋B）＝
D.P（）＝
7.（2024·徐州月考）在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为 .
8.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他准备用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟都不准时响的概率是 ，两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
9.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为 .
10.在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
11.专家甲独立地破译一个密码成功的概率为，为提高破译概率需增加专家数量，若要达到译出密码的概率为99%（各专家相互独立互不交流），至少需要像甲这样的专家的个数为（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（ ）
A.15 B.16
C.17 D.18
12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A. B.
C. D.
13.（2024·湛江月考）在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片荷叶上的概率是 .
14.为刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点.
（1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
（2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.
15.（2024·苏州质检）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
第2课时 独立事件
1.B 甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率P＝（1－0.7）×0.4＝0.12.故选B.
2.D 注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
3.C 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.故选C.
4.D 甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜的概率为＋××＋×＝.故选D.
5.ACD 在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D中，记“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故不独立.故选A、C、D.
6.BCD 因为P（AB）＝≠0，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，A错误；因为P（A）P（B）＝×＝，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立，B正确；P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋－＝，C正确；P（）＝1－P（A＋B）＝1－＝，D正确.故选B、C、D.
7. 解析：“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M，“从乙盒内取一个A型螺母”记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓（即一个A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝×＝.
8.0.02 0.98 解析：两个闹钟都不准时响的概率为（1－0.80）×（1－0.90）＝0.20×0.10＝0.02，设两个闹钟至少有一个准时响为事件A，则P（A）＝1－（1－0.80）×（1－0.90）＝1－0.20×0.10＝0.98.
9. 解析：记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）＝×＝，记徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝，求得P（B）＝，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
10.解：（1）记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P（B）＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件.
由题意可知，P（A）＝，P（）＝P（）P（）＝×（1－x）＝，解得x＝，
所以乙答对这道题的概率为P（B）＝.
（2）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P（C）＝y，由题可知，P（BC）＝P（B）P（C）＝×y＝，解得y＝.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（）＝P（）P（）P（）＝××（1－）＝.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，
所以P（M）＝1－＝.
11.C 设需要像甲这样的专家x个， 要达到译出密码的概率为99%，则≤，则xlg ≤lg ，即x≥＝≈16.01，故至少需要17个像甲这样的专家.
12.C 记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的概率为P（）P（）[1－P（AB）]＝××（1－×）＝，所以灯亮的概率为1－＝.故选C.
13. 解析：由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A片荷叶上的概率P＝P1＋P2＝＋＝.
14.解：（1）设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，
则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
（2）消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.01，
消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033，
因为0.002＋0.01＋0.033＝0.045，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.
15.解：（1）甲连胜四场的概率为.
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
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