2024-2025人教版（2019）高中数学必修一4.2 指数函数 题型总结（含解析）

指数函数题型总结
【题型1 指数函数的判定】
【例1】下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】下列是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式1.3】下列判断正确的是（ ）
A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数
C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数
【题型2 根据函数是指数函数求参数】
【例2】若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.1】若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或 D．
【变式2.2】若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【变式2.3】若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 求指数函数的解析式】
【例3】若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】已知函数的图象过点，则 （ ）
A．3 B．-3 C． D．
【变式3.3】若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 比较指数幂的大小】
【例4】设，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.3】下列大小关系正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
【题型5 解指数不等式】
【例5】若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5.1】设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】已知函数（为常数，且），且.
(1)求的値；
(2)解不等式.
【变式5.3】已知定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式：.
【题型6 指数函数图象的识别与应用】
【例6】已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6.1】二次函数与指数函数的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式6.2】设指数函数：，：，：的图象如图，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6.3】函数的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【题型7 指数型复合函数及其应用】
【例7】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式7.1】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7.2】已知函数是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）；
(3)已知不等式，求实数的取值范围．
【变式7.3】已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性并证明，并求的值域.
(3)解关于的不等式.
【题型8 指数函数的实际应用】
【例8】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（ ）小时
A．12 B．24 C．36 D．48
【变式8.1】放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【变式8.2】已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式8.3】种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（ ）
A． B． C． D．
指数函数题型总结答案
【题型1 指数函数的判定】
【例1】下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由指数函数的定义即可判断.
【解答过程】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误；
与的系数都不为1，B错误，D错误；
，符合题意，C正确.
故选：C.
【变式1.1】下列是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】运用指数函数的概念判断即可.
【解答过程】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D.
故选：D.
【变式1.2】给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解题思路】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.
【解答过程】①中，的系数是－1，故①不是指数函数；
②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数；
④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．
⑤中，底数，不是指数函数．
综上，指数函数的个数为1，
故选：B.
【变式1.3】下列判断正确的是（ ）
A．是幂函数，且是指数函数
B．是幂函数，且不是指数函数
C．不是幂函数，且是指数函数
D．不是幂函数，且不是指数函数
【解题思路】根据已知条件，结合幂函数 指数函数的定义，即可求解.
【解答过程】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数，
因为，所以是指数函数.
故选：C.
【题型2 根据函数是指数函数求参数】
【例2】若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解.
【解答过程】由为指数函数，得且，解得，
故选：A.
【变式2.1】若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或 D．
【解题思路】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得．
【解答过程】解：因为函数是指数函数，
且，，
由解得或，
，
故选：D.
【变式2.2】若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【解题思路】根据指数函数的定义求解即可.
【解答过程】因为函数是指数函数，
所以.
故选：C.
【变式2.3】若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由指数函数的定义即可求解.
【解答过程】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且；
故选：C.
【题型3 求指数函数的解析式】
【例3】若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，（且），代入点运算求解即可.
【解答过程】设，（且），
因为函数的图象过点，则，解得，
所以.
故选：B.
【变式3.1】若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出解析式，用待定系数法可得结果.
【解答过程】设，因的图象过点，
则，得，所以，
故选：C.
【变式3.2】已知函数的图象过点，则 （ ）
A．3 B．-3 C． D．
【解题思路】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.
【解答过程】由题意可知，
所以.
故选：C.
【变式3.3】若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出解析式，将点代入，求出解析式.
【解答过程】设（且），则，
解得，故.
故选：D.
【题型4 比较指数幂的大小】
【例4】设，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个数的大小．
【解答过程】函数在上减函数；又，故，即，
函数在上为增函数；又，故，即，
故.
故选：B.
【变式4.1】设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由指数函数单调性及中间量即可判断.
【解答过程】由单调递减可得：，
且，又，
所以.
故选：C.
【变式4.2】设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数函数、幂函数的性质来求得正确答案.
【解答过程】，函数在上单调递增，所以.
在上单调递增，所以.
所以.
故选：A.
【变式4.3】下列大小关系正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
【解题思路】利用指数函数、幂函数的单调性比较大小逐个判断即可.
【解答过程】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误；
对②，因为指数函数单调递减，所以，
又因为幂函数在单调递增，所以，
所以，②正确；
对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确；
对④，因为指数函数单调递减，所以，
又因为幂函数在单调递减，所以，
即，④错误；
故选：C.
【题型5 解指数不等式】
【例5】若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数函数的单调性，解不等式.
【解答过程】单调递减，
所以，解得：.
故选：A.
【变式5.1】设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可.
【解答过程】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得，
则函数是定义域R上的减函数，
不等式化为，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
【变式5.2】已知函数（为常数，且），且.
(1)求的値；
(2)解不等式.
【解题思路】（1）把点代入函数解析式可得答案；
（2）利用指数函数单调性可得答案.
【解答过程】（1）因为函数，又，
所以，即.
（2）由（1）知，，不等式即，
所以，所以的解集为.
【变式5.3】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式：.
【解题思路】（1）由偶函数的性质可得，可求得的值，然后利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式，即可得答案；
（2）分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【解答过程】（1）因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则，解得，即当时，，
当时，，则.
综上所述，.
（2）当时，，则函数在上为增函数，且，
由可得，所以，，解得或.
因此，不等式的解集为.
【题型6 指数函数图象的识别与应用】
【例6】已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以.
【解答过程】由图可知函数，均单调递增，则，.
当时，，得，所以.
故选：D.
【变式6.1】二次函数与指数函数的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数函数图象可知，结合二次函数零点所处的区间可得结果.
【解答过程】由选项中指数函数图象可知：，
令，解得：或，
，，可排除ABC.
故选：D.
【变式6.2】设指数函数：，：，：的图象如图，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】做直线，数形结合，可得的大小关系.
【解答过程】如图：
做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：.
故选：A.
【变式6.3】函数的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【解题思路】求出函数的定义域，并判断函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】对于函数，由，可得，
故函数的定义域为，排除BD选项；
因为，
故函数为奇函数，排除A选项，
故选：C.
【题型7 指数型复合函数及其应用】
【例7】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求函数的定义域，然后结合指数函数、幂函数的单调性，根据复合函数单调性法则判断即可.
【解答过程】由解得，
所以的定义域是.又在上单调递减，在定义域上单调递增，
，的开口向下，对称轴为，
根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是.
故选：D.
【变式7.1】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据复合函数的单调性可得答案.
【解答过程】因为是
开口向下、对称轴为的抛物线，且是增函数，
由复合函数的单调性判断可知，，解得，
故选：A.
【变式7.2】已知函数是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）；
(3)已知不等式，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）利用奇函数的性质，由求出值并验证得答案.
（2）借助指数函数单调性判断函数的单调性.
（3）利用函数的单调性与奇偶性的解不等式即得t的范围.
【解答过程】（1）由函数是R上的奇函数，得，解得，
此时，其定义域为R，且，
则是奇函数，所以.
（2）由（1）知，，函数在R上单调递增，
则函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递减.
（3）由已知及（2），得函数是R上单调递减的奇函数，
不等式，
则，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
【变式7.3】已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性并证明，并求的值域.
(3)解关于的不等式.
【解题思路】（1）根据，求出；
（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，并由，变形解不等式，求出值域；
（3）由函数奇偶性和单调性，得到，解不等式，求出解集.
【解答过程】（1）因为是定义域为R的奇函数，故，
，即，
故，解得；
（2）由（1）知，，在R上单调递增，
任取，且，
，
因为，在R上单调递增，故，
又，
所以，即，
所以在R上单调递增，
，变形得到，解得，
故的值域为；
（3）因为是定义域为R的奇函数，
故，
由（2）知，在R上单调递增，
所以，令，
则，解得，
故，解得，
不等式的解集为.
【题型8 指数函数的实际应用】
【例8】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（ ）小时
A．12 B．24 C．36 D．48
【解题思路】根据已知条件求得，进而求得正确答案.
【解答过程】依题意，两式相除得，
则，
所以当时，小时.
故选：B.
【变式8.1】放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设该物质年衰减率为，原质量为1，分析易得，进而求解.
【解答过程】设该物质年衰减率为，原质量为1，则1年后剩余质量为；
2年后剩余质量为年后剩余质量为，
即，
则与的函数关系式是．
故选：B.
【变式8.2】已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据给定的函数关系式及已知可得，再由求参数.
【解答过程】由题设，可得，
由，则，可得.
故选：D.
【变式8.3】 种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可计算出的值，代入表达式即可计算结果.
【解答过程】由题意知，则，
故5年后该种群数量是起始数量的倍．
故选：A.
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