第2课时 直线的倾斜角
意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分.
【问题】 如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？
知识点 直线的倾斜角
1.定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按 时针方向旋转到与直线重合时，所转过的 正角α，称为这条直线的倾斜角.
2.范围：直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.
3.倾斜角与斜率的关系
当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝ （α≠）.
提醒 任何一条直线都有倾斜角，但倾斜角为的直线没有斜率.
【想一想】
1.每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？
2.已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°.（ ）
（2）一条直线的倾斜角可以为－30°.（ ）
（3）倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴.（ ）
2.下列图中α能表示直线l的倾斜角的是（ ）
3.若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（ ）
A.45° B.135° C.－135° D.－45°
题型一 直线的倾斜角
【例1】 （1）如图，直线l的倾斜角为（ ）
A.60° B.120°
C.30° D.150°
（2）设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（ ）
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α＋45°或α－135°
通性通法
求直线的倾斜角的方法及注意点
（1）方法：①利用定义；②结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角；
（2）注意倾斜角的范围.
【跟踪训练】
已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180°
C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180°
题型二 直线的倾斜角和斜率的关系
【例2】 （1）经过两点P（0，－3），Q（－，0）的直线的倾斜角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
（2）若直线l的斜率k的变化范围是[－1，]，则它的倾斜角α的变化范围是（ ）
A.0°≤α≤60°
B.135°≤α＜180°
C.60°≤α＜135°
D.0°≤α≤60°或135°≤α＜180°
通性通法
1.由倾斜角与斜率的关系k＝tan α（α≠），可由斜率求倾斜角，也可由倾斜角确定直线的斜率.
2.直线的倾斜角与斜率的对应关系
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的 增减性 随α的增 大而增大 随α的增 大而增大
【跟踪训练】
若经过两点A（2，1），B（1，m2）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（ ）
A.（－∞，1）
B.（－1，＋∞）
C.（－1，1）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
题型三 直线倾斜角与斜率的应用
【例3】 （链接教科书第9页习题8题）已知点A（2，1），B（－2，2），若直线l过点P且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围.
通性通法
1.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
2.求代数式最值（范围）的方法
由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解.
【跟踪训练】
已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（ ）
A.1 B.
C.－ D.－3
1.已知直线l的倾斜角为1 rad，则l的斜率为（ ）
A.1 B.45°
C.tan 1 D.tan 1°
2.若直线l经过点M（2，3），N（4，3），则直线l的倾斜角为（ ）
A.0° B.30°
C.60° D.90°
3.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（ ）
A.2 B.1
C.－1 D.－2
第2课时 直线的倾斜角
【基础知识·重落实】
知识点
1.逆 最小 2.{α｜0≤α＜π} 3.tan α
想一想
1.提示：对.
2.提示：唯一确定.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.A 由倾斜角的定义，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时，所转过的最小正角为直线l的倾斜角，可知只有选项A中的α表示直线l的倾斜角，故选A.
3.B 作出直线l，如图所示，由图易知，直线l的倾斜角是135°，故选B.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）D 解析：（1）由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
（2）∵倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°，∴当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°（如图）.
跟踪训练
C 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
【例2】 （1）C （2）D 解析：（1）由题意知，经过点P，Q的直线的斜率为k＝＝－，设该直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则k＝tan θ＝－，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°.故选C.
（2）作出正切函数在[0，π）的图象如图所示，当－1≤k≤，即－1≤tan α≤，解得0≤α≤或≤α＜π，即0°≤α≤60°或135°≤α＜180°，故选D.
跟踪训练
C ∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝＞0，∴－1＜m＜1.
【例3】 解：当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，直线l斜率不存在，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置，
所以直线l的斜率k≥kPA＝或k≤kPB＝－，
即直线l的斜率k的取值范围为（－∞，－］∪.
跟踪训练
C ＝，其几何意义为过点（x，y）与点（3，0）的直线的斜率，设Q（3，0），则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是［－3，－］，故的最大值为－，故选C.
随堂检测
1.C 由题意知直线l的倾斜角为1 rad，则l的斜率为tan 1，故选C.
2.A 因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°.
3.A 由题意知，tan 45°＝，得m＝2.
3 / 3第2课时 直线的倾斜角
1.已知直线l的斜率为1，则直线l的倾斜角为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.如图，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则（ ）
A.α1＜α2＜α3
B.α3＜α1＜α2
C.α3＜α2＜α1
D.α1＜α3＜α2
3.若过两点M（3，y），N（0，）的直线的倾斜角为，则y的值为（ ）
A.0 B.－2
C.4 D.3
4.（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若一条直线的倾斜角为150°，则此直线关于y轴的对称直线的倾斜角为30°
B.若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60°
C.若α为直线l的倾斜角，且tan α＝－，则α＝150°
D.若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90°
5.（多选）若经过两点A（1－a，1＋a），B（3，a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A.－2 B.0
C.1 D.2
6.若直线l：x＝tan（－），则直线l的倾斜角是 .
7.已知直线l是第二、四象限的角平分线，则直线l的倾斜角为 （用弧度制表示）.
8.一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α（0°＜α＜90°），则其倾斜角为 .
9.直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围为 .
10.如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
11.如图，△ABC的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为，直线BC的斜率为－，则tan∠ABC＝（ ）
A.－ B.－
C.－ D.－
12.（多选）若两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则下列四种说法中不正确的是（ ）
A.若α＜β，则k1＜k2 B.若α＝β，则k1＝k2
C.若k1＜k2，则α＜β D.若k1＝k2，则α＝β
13.若直线l的斜率为m2－2m，则直线l的倾斜角的取值范围为 .
14.已知两点A（－3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点.
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围.
15.一束光线从点A（－2，3）射入，经x轴上的点P反射后，通过点B（5，7），求点P的坐标.
第2课时 直线的倾斜角
1.B 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝1，故α＝45°.
2.C 直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，直线l1的倾斜角为钝角，故α3＜α2＜α1.
3.B 由于直线MN的倾斜角为，则直线MN的斜率为k＝tan＝－，又因为M（3，y），N（0，），所以k＝＝－，解得y＝－2.故选B.
4.ACD 作倾斜角为150°的直线关于y轴的对称直线，所得直线的倾斜角与原直线的倾斜角互补，故A正确；当α＝60°时，3α＝180°，故B错误；由tan α＝－得到α＝150°，故C正确；若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90°，故D正确.
5.BCD 由题意得kAB＝＝＜0，即2＋a＞0，所以a＞－2，故选B、C、D.
6. 解析：由l：x＝tan（－）可得l：x＝－，故直线的倾斜角为.
7. 解析：设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），因为直线l是第二、四象限的角平分线，可得直线l的斜率为k＝－1，所以tan α＝－1，可得α＝.
8.90°＋α或90°－α 解析：如图①，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图②，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
9.［0，］∪（，π） 解析：因为A，B两点横坐标不同，故倾斜角不为，由题意得tan α＝＝1－m2∈（－∞，1]，因为α∈[0，π），所以α∈［0，］∪（，π）.
10.解：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则△ABD和△BCD都是等边三角形，
则直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°，
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，kAC＝，kBD＝－.
11.C 由题可得∠ABC＝∠xCB－∠xAB，由kAB＝，得tan∠xAB＝，由kBC＝－，得tan∠xCB＝－，∴tan∠ABC＝tan（∠xCB－∠xAB）＝＝＝－.故选C.
12.ABC 由题意，两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别是k1，k2，所以k1＝tan α，k2＝tan β，且α，β∈[0，π），根据正切函数在[0，π）上的定义域和单调性的关系可得，对于A，若α为锐角，β为钝角，此时k1＞0＞k2，所以A不正确； 对于B，若α＝β＝，此时斜率不存在，所以B不正确；对于C，若k1＜0，k2＞0，此时α为钝角，β为锐角，α＞β，所以C不正确；对于D，若k1＝k2，此时α＝β，所以D正确.
13.［0，）∪［，π） 解析：记直线l的倾斜角为α，斜率为k，则k＝（m－1）2－1≥－1，即tan α≥－1，由正切函数图象可得α∈［0，）∪［，π）.
14.解：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
（1）要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
15.解：设P（x，0），如图，由光的反射原理知，反射角等于入射角，则β＝α，
所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线PA的倾斜角（180°－α）互补.
因此kAP＝－kBP，即＝－，
解得x＝.
所以点P的坐标为（，0）.
1 / 2(共51张PPT)
第2课时 直线的倾斜角
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式
建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游
客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时
也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分.
【问题】 如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？
知识点 直线的倾斜角
1. 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴
绕着交点按 时针方向旋转到与直线重合时，所转过的
正角α，称为这条直线的倾斜角.
2. 范围：直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定
与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0.
逆
最
小
{α｜0≤α＜π}
当直线与 x 轴不垂直时，该直线的斜率 k 与倾斜角α之间的关系为 k
＝ （α≠ ）.
提醒 任何一条直线都有倾斜角，但倾斜角为 的直线没有斜率.
tan α
3. 倾斜角与斜率的关系
【想一想】
1. 每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？
提示：对.
2. 已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？
提示：唯一确定.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α是直线 l 的倾斜角，则0°≤α≤180°. （ × ）
（2）一条直线的倾斜角可以为－30°. （ × ）
（3）倾斜角为0°的直线只有一条，即 x 轴. （ × ）
×
×
×
2. 下列图中α能表示直线 l 的倾斜角的是（ ）
解析： 由倾斜角的定义，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到
与直线 l 重合时，所转过的最小正角为直线 l 的倾斜角，可知只有选
项A中的α表示直线 l 的倾斜角，故选A.
3. 若直线 l 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（ ）
A. 45° B. 135°
C. －135° D. －45°
解析： 作出直线 l ，如图所示，由图易知，直线 l
的倾斜角是135°，故选B.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的倾斜角
【例1】 （1）如图，直线 l 的倾斜角为（ D ）
A. 60° B. 120°
C. 30° D. 150°
解析：由图易知 l 的倾斜角为45°＋105°＝150°.
（2）设直线 l 过原点，其倾斜角为α，将直线 l 绕原点沿逆时针方向
旋转45°，得到直线 l1，则直线 l1的倾斜角为（ D ）
A. α＋45° B. α－135°
C. 135°－α D. α＋45°或α－135°
解析：∵倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°，∴当0°≤α
＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时， l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时， l1的倾斜角为α－135°（如图）.
通性通法
求直线的倾斜角的方法及注意点
（1）方法：①利用定义；②结合图形，利用特殊三角形（如直角三
角形）求角；
（2）注意倾斜角的范围.
【跟踪训练】
已知直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是
（ ）
A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180°
C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180°
解析： 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，又直线 l 经
过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜
180°.
题型二 直线的倾斜角和斜率的关系
【例2】 （1）经过两点 P （0，－3）， Q （－ ，0）的直线的倾
斜角为（ C ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
解析：由题意知，经过点 P ， Q 的直线的斜率为 k ＝ ＝－
，设该直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则 k ＝tan θ＝－
，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°.故选C.
（2）若直线 l 的斜率 k 的变化范围是[－1， ]，则它的倾斜角α的
变化范围是（ D ）
A. 0°≤α≤60°
B. 135°≤α＜180°
C. 60°≤α＜135°
D. 0°≤α≤60°或135°≤α＜180°
解析：作出正切函数在[0，π）的图象如图所
示，当－1≤ k ≤ ，即－1≤tan α≤ ，解
得0≤α≤ 或 ≤α＜π，即0°≤α≤60°或
135°≤α＜180°，故选D.
通性通法
1. 由倾斜角与斜率的关系 k ＝tan α（α≠ ），可由斜率求倾斜角，
也可由倾斜角确定直线的斜率.
2. 直线的倾斜角与斜率的对应关系
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜
180°
k 的范围 k ＝0 k ＞0 不存在 k ＜0
k 的增减性 随α的增大而增
大 随α的增大而增
大
【跟踪训练】
若经过两点 A （2，1）， B （1， m2）的直线 l 的倾斜角为锐角，则 m
的取值范围是（ ）
A. （－∞，1） B. （－1，＋∞）
C. （－1，1） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析： ∵直线 l 的倾斜角为锐角，∴斜率 k ＝ ＞0，∴－1＜ m
＜1.
题型三 直线倾斜角与斜率的应用
【例3】 （链接教科书第9页习题8题）已知点 A （2，1）， B （－
2，2），若直线 l 过点 P 且总与线段 AB 有交点，求直线 l 的
斜率 k 的取值范围.
解：当直线 l 由位置 PA 绕点 P 转动到位置 PB 时， l 的斜率逐渐变大直
至当 l 垂直于 x 轴，当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 斜率不存在，再转动
时斜率为负值并逐渐变大直到 PB 的位置，
所以直线 l 的斜率 k ≥ kPA ＝ 或 k ≤ kPB ＝－ ，
即直线 l 的斜率 k 的取值范围为 ∪ .
通性通法
1. 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
2. 求代数式 最值（范围）的方法
由斜率公式 k ＝ 的形式，可知代数式 的几何意义是过 P
（ x ， y ）与P'（ a ， b ）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合
来求解.
【跟踪训练】
已知 A （2，3）， B （－1，2），若点 P （ x ， y ）在线段 AB 上，
则 的最大值为（ ）
A. 1
D. －3
解析： ＝ ，其几何意义为过点（ x ， y ）与点（3，0）的直
线的斜率，设 Q （3，0），则 kAQ ＝ ＝－3， kBQ ＝ ＝－ ，
∵点 P （ x ， y ）是线段 AB 上的任意一点，∴ 的取值范围是［－
3，－ ］，故 的最大值为－ ，故选C.
1. 已知直线 l 的倾斜角为1 rad，则 l 的斜率为（ ）
A. 1 B. 45°
C. tan 1 D. tan 1°
解析： 由题意知直线 l 的倾斜角为1 rad，则 l 的斜率为tan 1，故
选C.
2. 若直线 l 经过点 M （2，3）， N （4，3），则直线 l 的倾斜角为
（ ）
A. 0° B. 30°
C. 60° D. 90°
解析： 因为 M ， N 两点的纵坐标相等，所以直线 l 平行于 x 轴，
所以直线 l 的倾斜角为0°.
3. 若经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则 m
＝（ ）
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
解析： 由题意知，tan 45°＝ ，得 m ＝2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线 l 的斜率为1，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 设直线 l 的倾斜角为α，则tan α＝1，故α＝45°.
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2. 如图，直线 l1， l2， l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则（ ）
A. α1＜α2＜α3
B. α3＜α1＜α2
C. α3＜α2＜α1
D. α1＜α3＜α2
解析： 直线 l2， l3的倾斜角为锐角，且直线 l2的倾斜角大于直线
l3的倾斜角，直线 l1的倾斜角为钝角，故α3＜α2＜α1.
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3. 若过两点 M （3， y ）， N （0， ）的直线的倾斜角为 ，则 y 的
值为（ ）
A. 0
D. 3
解析： 由于直线 MN 的倾斜角为 ，则直线 MN 的斜率为 k ＝
tan ＝－ ，又因为 M （3， y ）， N （0， ），所以 k ＝
＝－ ，解得 y ＝－2 .故选B.
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4. （多选）下列命题中正确的是（ ）
A. 若一条直线的倾斜角为150°，则此直线关于 y 轴的对称直线的倾
斜角为30°
B. 若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60°
D. 若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90°
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解析： 作倾斜角为150°的直线关于 y 轴的对称直线，所得
直线的倾斜角与原直线的倾斜角互补，故A正确；当α＝60°时，
3α＝180°，故B错误；由tan α＝－ 得到α＝150°，故C正
确；若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90°，故D正确.
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5. （多选）若经过两点 A （1－ a ，1＋ a ）， B （3， a ）的直线的倾
斜角为钝角，则实数 a 的值可能为（ ）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 由题意得 kAB ＝ ＝ ＜0，即2＋ a ＞0，所以
a ＞－2，故选B、C、D.
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6. 若直线 l ： x ＝tan（－ ），则直线 l 的倾斜角是 .
解析：由 l ： x ＝tan（－ ）可得 l ： x ＝－ ，故直线的倾斜角为
.
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解析：设直线 l 的倾斜角为α（0≤α＜π），因为直线 l 是第二、四
象限的角平分线，可得直线 l 的斜率为 k ＝－1，所以tan α＝－1，
可得α＝ .
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8. 一条直线 l 与 x 轴相交，其向上方向与 y 轴正方向所成的角为α
（0°＜α＜90°），则其倾斜角为 .
解析：如图①，当 l 向上方向的部分在 y
轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图
②，当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时，
倾斜角为90°－α.
90°＋α或90°－α
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解析：因为 A ， B 两点横坐标不同，故倾斜角不为 ，由题意得tan
α＝ ＝1－ m2∈（－∞，1]，因为α∈[0，π），所以α∈
［0， ］∪（ ，π）.
［0， ］∪（ ，π）
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10. 如图所示，菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，求菱形 ABCD 各边和
两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
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解：菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，则△ ABD 和△ BCD 都是等边
三角形，
则直线 AD ， BC 的倾斜角为60°，直线 AB ， DC 的倾斜角为
0°，直线 AC 的倾斜角为30°，直线 BD 的倾斜角为120°，
kAD ＝ kBC ＝ ， kAB ＝ kCD ＝0， kAC ＝ ， kBD ＝－ .
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11. 如图，△ ABC 的顶点都在坐标轴上，直线 AB 的斜率为 ，直线 BC
的斜率为－ ，则tan∠ ABC ＝（ ）
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解析： 由题可得∠ ABC ＝∠ xCB －∠ xAB ，由 kAB ＝ ，得
tan∠ xAB ＝ ，由 kBC ＝－ ，得tan∠ xCB ＝－ ，∴tan∠ ABC ＝
tan（∠ xCB －∠ xAB ）＝ ＝ ＝－ .故选C.
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12. （多选）若两直线 l1， l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别为 k1，
k2，则下列四种说法中不正确的是（ ）
A. 若α＜β，则 k1＜ k2 B. 若α＝β，则 k1＝ k2
C. 若 k1＜ k2，则α＜β D. 若 k1＝ k2，则α＝β
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解析： 由题意，两直线 l1， l2的倾斜角分别为α，β，斜率
分别是 k1， k2，所以 k1＝tan α， k2＝tan β，且α，β∈[0，
π），根据正切函数在[0，π）上的定义域和单调性的关系可得，
对于A，若α为锐角，β为钝角，此时 k1＞0＞ k2，所以A不正
确； 对于B，若α＝β＝ ，此时斜率不存在，所以B不正确；对
于C，若 k1＜0， k2＞0，此时α为钝角，β为锐角，α＞β，所以
C不正确；对于D，若 k1＝ k2，此时α＝β，所以D正确.
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13. 若直线 l 的斜率为 m2－2 m ，则直线 l 的倾斜角的取值范围为
.
解析：记直线 l 的倾斜角为α，斜率为 k ，则 k ＝（ m －1）2－1≥－1，即tan α≥－1，由正切函数图象可得α∈［0， ）∪［ ，π）.
［0，
）∪［ ，π）
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14. 已知两点 A （－3，4）， B （3，2），过点 P （1，0）的直线 l 与
线段 AB 有公共点.
（1）求直线 l 的斜率 k 的取值范围；
要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
解：如图，由题意可知 kPA ＝ ＝－1，
kPB ＝ ＝1.
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（2）求直线 l 的倾斜角α的取值范围.
解：由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角
之间，又 PB 的倾斜角是45°， PA 的倾斜角是135°，∴α
的取值范围是45°≤α≤135°.
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15. 一束光线从点 A （－2，3）射入，经 x 轴上的点 P 反射后，通过点
B （5，7），求点 P 的坐标.
解：设 P （ x ，0），如图，由光的反射原理
知，反射角等于入射角，则β＝α，
所以反射光线 PB 的倾斜角β与入射光线 PA 的
倾斜角（180°－α）互补.
因此 kAP ＝－ kBP ，即 ＝－ ，
解得 x ＝ .所以点 P 的坐标为（ ，0）.
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