1.2.1 直线的点斜式方程
1.(2024·盐城月考)方程y=k(x-2)表示( )
A.经过点(-2,0)的所有直线
B.经过点(2,0)的所有直线
C.经过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.经过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2.直线y-2=-(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A.60°,2 B.120°,2-
C.60°,2- D.120°,2
3.已知直线l过点(2,3),且倾斜角为90°,则直线l的方程为( )
A.y=x+1 B.y=-x+5
C.y=3 D.x=2
4.(2024·连云港月考)斜率是直线y=x-2的斜率的2倍,且在y轴上的截距是-2的直线方程是( )
A.x=-2 B.y=x-2
C.y=x+2 D.y=x+2
5.若直线y=ax+b经过第一、二、三象限,则点(-a,-b)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.(多选)在平面直角坐标系中,下列结论正确的有( )
A.每一条直线都有点斜式方程
B.方程k=与方程y+1=k(x-2)可以表示同一条直线
C.直线l过点P0(x0,y0),倾斜角为90°,则其方程为x=x0
D.直线l过点(2,0),倾斜角为45°,则其方程为y=x-2
7.已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的倾斜角是 .
8.不管k为何值,直线y=k(x-2)+3必过定点 .
9.(2024·南通质检)将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,得到的直线方程是 .
10.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(,-1);
(2)在y轴上的截距是-5.
11.直线l经过点A(-1,1),在x轴上的截距的取值范围是(-2,1),则其斜率的取值范围为( )
A.(1,+∞)
B.(-,1)
C.(-,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-)∪(1,+∞)
12.一次函数y=-x+的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A.m>1,且n<1 B.mn<0
C.m>0,且n<0 D.m<0,且n<0
13.有一根蜡烛点燃6 min后,蜡烛长为17.4 cm;点燃21 min后,蜡烛长为8.4 cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可用直线方程表示,则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 min.
14.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l过定点;
(2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围.
15.(2024·南通质检)已知直线l过点(1,2)且在x,y轴上的截距相等.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线l在x,y轴上的截距不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.
1.2.1 直线的点斜式方程
1.C 易验证直线经过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴.
2.B 该直线的斜率为-,当x=0时,y=2-,∴其倾斜角为120°,在y轴上的截距为2-.
3.D 因为直线l过点(2,3),且倾斜角为90°,可知直线l与x轴垂直,所以直线l的方程为x=2.故选D.
4.B 由方程知,已知直线的斜率为,所以所求直线的斜率是,由直线的斜截式可得方程为y=x-2.
5.C 因为直线y=ax+b经过第一、二、三象限,所以a>0,b>0,所以(-a,-b)位于第三象限,故选C.
6.CD 点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,故A错误;点(2,-1)不在方程k=所表示的直线上,故B错误;C显然正确;D中直线l的斜率k=tan 45°=1,由点斜式可得其方程为y-0=x-2,即y=x-2,故D正确.
7.45° 解析:由该直线的点斜式方程知,斜率k=1,则tan α=1,故倾斜角为45°.
8.(2,3) 解析:化为点斜式为y-3=k(x-2),故直线必过定点(2,3).
9.y=x 解析:直线y=x+-1的倾斜角是45°,逆时针方向旋转15°后倾斜角为60°,斜率是,则方程是y-=(x-1),即y=x.
10.解:∵直线y=-x+1的斜率k=-,
∴其倾斜角α=120°,
由题意,得所求直线的倾斜角α1=α=30°,
故所求直线的斜率k1=tan 30°=.
(1)∵所求直线经过点(,-1),斜率为,
∴所求直线方程是y+1=(x-).
(2)∵所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,
∴所求直线的方程为y=x-5.
11.D 设直线的斜率为k,则直线方程为y-1=k(x+1),令y=0,得x=--1,故直线在x轴上的截距为--1,令-2<--1<1,得k>1 或k<-,故选D.
12.B 由直线y=-x+经过第一、三、四象限,得->0,<0,∴m>0,n<0.因此一次函数y=-x+的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件为mn<0.
13.35 解析:根据题意,不妨设直线方程为l=kt+b,则解得所以直线方程为l=-0.6t+21,当l=0时,即-0.6t+21=0,得t=35,所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min.
14.解:(1)证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知,直线过定点(-2,1).
(2)设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线,当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,需满足即
解得-≤k≤1.
所以实数k的取值范围是{k|-≤k≤1}.
15.解:(1)①当截距为0时,l:y=2x;
②当截距不为0时,k=-1,l:y-2=-(x-1),
∴y=-x+3.
综上,l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.
(2)由题意得l:x+y-3=0,∴a+b=3,
∴3a+3b≥2=2=6,
当且仅当a=b=时,等号成立,
∴3a+3b的最小值为6.
2 / 21.2.1 直线的点斜式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数学运算
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题 数学抽象、数学运算
射击手在进行射击训练时,要掌握两个动作要领:一是托枪的手要非常稳,二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线,并且射击手达到了上述的两个动作要求,结合教材,试从数学角度分析子弹是否会命中目标.
【问题】 (1)情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素?
(2)眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素?
知识点 直线的点斜式与斜截式方程
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l经过点P1(x1,y1),斜率为k y-y1=
斜截式 直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b)(直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距) y=
提醒 当直线l与x轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式表示.
【想一想】
1.若直线的倾斜角为0°,且经过点P0(x0,y0),能用点斜式表示吗?
2.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗?
3.直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何一条直线的方程都可以写成点斜式y-y0=k(x-x0).( )
(2)x轴所在的直线方程为x=0.( )
(3)直线在y轴上的截距不能等于0.( )
(4)直线的点斜式方程也可写成=k.( )
2.经过点(-2,2),倾斜角是60°的直线方程是( )
A.y+2=(x-2) B.y-2=(x+2)
C.y-2=(x+2) D.y+2=(x-2)
3.已知直线的斜率是2,且在y轴上的截距是-3,则此直线的方程是( )
A.y=2x-3 B.y=2x+3
C.y=-2x-3 D.y=-2x+3
题型一 直线的点斜式方程
【例1】 (链接教科书第12页例1)写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;
(2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,求直线l的点斜式方程;
(3)经过点D(1,1),且与x轴垂直.
通性通法
求直线的点斜式方程的思路
【跟踪训练】
已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),A=60°,B=45°,求:
(1)AB边所在直线的方程;
(2)AC边与BC边所在直线的点斜式方程.
题型二 直线的斜截式方程
【例2】 (链接教科书第12页例2)根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
通性通法
对直线斜截式方程的理解
(1)斜截式是点斜式的一种特殊情形,即斜率为k的直线过点(0,b);
(2)直线在y(x)轴上的截距不是距离,它是直线与y(x)轴交点的纵(横)坐标,所以可取一切实数,即可为正数、零或负数;
(3)求直线的斜截式方程,只要确定直线的斜率和截距即可.
【跟踪训练】
根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)过点A(-1,-2),B(0,3);
(2)在y轴上的截距为-6,且与y轴夹角为60°.
题型三 直线点斜式方程的应用
【例3】 (链接教科书第20页习题12题)(1)已知直线y-1=k(x-3),当k变化时,所有的直线恒过定点( )
A.(1,3) B.(-1,-3)
C.(3,1) D.(-3,-1)
(2)已知直线l:y-1=k(x-4)经过点P(4,1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,则k= .
通性通法
1.解含参数的直线恒过定点问题,可将直线方程整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).
2.在求面积时,要注意将截距转化为距离.
【跟踪训练】
1.直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则有( )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
2.若y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是( )
A.a>1 B.0<a<1
C.a=1 D.0<a≤1
1.(2024·徐州质检)直线y=-3x-6的斜率为k,在y轴上的截距为b,则( )
A.k=3,b=6 B.k=-3,b=-6
C.k=-3,b=6 D.k=3,b=-6
2.已知直线的倾斜角为120°,在y轴上的截距为2,则此直线的方程为( )
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
3.已知直线的倾斜角是45°,且过点(2,-5),则直线在y轴上的截距是 .
4.已知直线l1:y=-2x+3.直线l2过点P(1,2),且它的斜率与直线l1的斜率相等.写出直线l2的方程,并在同一直角坐标系中画出直线l1和l2.
1.2.1 直线的点斜式方程
【基础知识·重落实】
知识点
k(x-x1) kx+b
想一想
1.提示:能.
2.提示:不是同一概念,距离非负,而截距可正,可负,可为0.
3.提示:不一定.当k≠0时,y=kx+b即为一次函数,当k=0时,y=b不是一次函数.
自我诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.B 因为直线的倾斜角为60°,所以其斜率为tan 60°=,又经过点(-2,2),则所求直线方程为y-2=(x+2),故选B.
3.A 根据直线的斜截式方程得,直线方程为y=2x-3.故选A.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)因为倾斜角为45°,
所以斜率k=tan 45°=1,
所以直线的方程为y-5=x-2.
(2)直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.
由题意知,直线l的倾斜角为135°,
所以直线l的斜率k'=tan 135°=-1.
所以直线l的方程为y-4=-(x-3).
(3)由题意知,直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线无点斜式方程.
跟踪训练
解:(1)如图所示,因为A(1,1),B(5,1),所以AB∥x轴,
所以AB边所在直线的方程为y=1.
(2)因为A=60°,所以kAC=tan 60°=,
所以直线AC的点斜式方程为y-1=(x-1).
因为B=45°,所以kBC=tan 135°=-1,
所以直线BC的点斜式方程为y-1=-(x-5).
【例2】 解:(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5.
(2)由于直线的倾斜角为150°,所以斜率k=tan 150°=-,由斜截式可得方程为y=-x-2.
(3)由于直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan 60°=.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3,故所求直线方程为y=x+3或y=x-3.
跟踪训练
解:(1)斜率k==5,又B(0,3),故过点A,B的直线的斜截式方程为y=5x+3.
(2)与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°,所以斜率k为tan 30°或tan 150°,即k=±,故所求直线的斜截式方程为y=±x-6.
【例3】 (1)C (2)- 解析:(1)直线y-1=k(x-3),由点斜式方程可知不论k取何值它所表示的所有的直线都恒过定点(3,1).故选C.
(2)由题意易知k<0,当x=0时,y=1-4k>0;当y=0时,x=4->0.则×(1-4k)×(4-)=8,解得k=-.
跟踪训练
1.B ∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.
2.A y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.所以当0<a≤1时,只有一个公共点,如图①;当a>1时,有两个公共点,如图②.
随堂检测
1.B
2.B ∵直线的倾斜角α=120°,∴直线的斜率k=tan 120°=-,∴直线的方程为y=-x+2.
3.-7 解析:直线的倾斜角是45°,且过点(2,-5),所以斜率为tan 45°=1,故直线的方程为y+5=x-2,所以直线在y轴上的截距为-7.
4.解:因为直线l1:y=-2x+3的斜率为=-2,直线l2的斜率与直线l1的斜率相等,
所以直线l2的斜率=-2,
因为直线l2过点P(1,2),
所以直线l2的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0,
直线l1,l2在坐标轴中的图形如图.
3 / 3(共53张PPT)
1.2.1 直线的点斜式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线
的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数
学运算
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关
问题 数学抽象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
射击手在进行射击训练时,要掌握两个动作要领:一是托枪的手
要非常稳,二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一
条直线,并且射击手达到了上述的两个动作要求,结合教材,试从数
学角度分析子弹是否会命中目标.
【问题】 (1)情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要
素?
(2)眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素?
知识点 直线的点斜式与斜截式方程
名称 条件 方程 图形
点斜
式 直线 l 经过点 P1( x1, y1),斜率为 k y - y1=
斜截
式 直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为(0, b )(直线 l 与 y 轴的交点(0, b )的纵坐标 b 称为直线 l 在 y 轴上的截距) y =
k ( x -
x1)
kx + b
提醒 当直线 l 与 x 轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式
表示.
【想一想】
1. 若直线的倾斜角为0°,且经过点 P0( x0, y0),能用点斜式
表示吗?
提示:能.
2. 直线与 y 轴的交点到原点的距离和直线在 y 轴上的截距是同一概
念吗?
提示:不是同一概念,距离非负,而截距可正,可负,可为0.
3. 直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗?
提示:不一定.当 k ≠0时, y = kx + b 即为一次函数,当 k =0时, y
= b 不是一次函数.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何一条直线的方程都可以写成点斜式 y - y0= k ( x - x0).
( × )
(2) x 轴所在的直线方程为 x =0. ( × )
(3)直线在 y 轴上的截距不能等于0. ( × )
(4)直线的点斜式方程也可写成 = k . ( × )
×
×
×
×
2. 经过点(-2,2),倾斜角是60°的直线方程是( )
解析: 因为直线的倾斜角为60°,所以其斜率为tan 60°=
,又经过点(-2,2),则所求直线方程为 y -2= ( x +
2),故选B.
3. 已知直线的斜率是2,且在 y 轴上的截距是-3,则此直线的方程是
( )
A. y =2 x -3 B. y =2 x +3
C. y =-2 x -3 D. y =-2 x +3
解析: 根据直线的斜截式方程得,直线方程为 y =2 x -3.
故选A.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的点斜式方程
【例1】 (链接教科书第12页例1)写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;
解:因为倾斜角为45°,
所以斜率 k =tan 45°=1,
所以直线的方程为 y -5= x -2.
(2)直线 y = x +1绕着其上一点 P (3,4)逆时针旋转90°后得直线
l ,求直线 l 的点斜式方程;
解:直线 y = x +1的斜率 k =1,
所以倾斜角为45°.
由题意知,直线 l 的倾斜角为135°,
所以直线 l 的斜率k'=tan 135°=-1.
所以直线 l 的方程为 y -4=-( x -3).
(3)经过点 D (1,1),且与 x 轴垂直.
解:由题意知,直线的斜率不存在,所以直线的方程为 x
=1,该直线无点斜式方程.
通性通法
求直线的点斜式方程的思路
【跟踪训练】
已知在第一象限的△ ABC 中, A (1,1), B (5,1), A =60°, B
=45°,求:
(1) AB 边所在直线的方程;
解:如图所示,因为 A (1,1), B (5,
1),所以 AB ∥ x 轴,
所以 AB 边所在直线的方程为 y =1.
(2) AC 边与 BC 边所在直线的点斜式方程.
解:因为 A =60°,所以 kAC =tan 60°= ,
所以直线 AC 的点斜式方程为 y -1= ( x -1).
因为 B =45°,所以 kBC =tan 135°=-1,
所以直线 BC 的点斜式方程为 y -1=-( x -5).
题型二 直线的斜截式方程
【例2】 (链接教科书第12页例2)根据条件写出下列直线的斜截式
方程:
(1)斜率为2,在 y 轴上的截距是5;
解:由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为 y =2 x+5.
(2)倾斜角为150°,在 y 轴上的截距是-2;
解:由于直线的倾斜角为150°,所以斜率 k =tan 150°=
- ,由斜截式可得方程为 y =- x -2.
(3)倾斜角为60°,与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3.
解:由于直线的倾斜角为60°,所以斜率 k =tan 60°=
.由于直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在 y
轴上的截距 b =3或 b =-3,故所求直线方程为 y = x +3或 y
= x -3.
通性通法
对直线斜截式方程的理解
(1)斜截式是点斜式的一种特殊情形,即斜率为 k 的直线过点(0,
b );
(2)直线在 y ( x )轴上的截距不是距离,它是直线与 y ( x )轴
交点的纵(横)坐标,所以可取一切实数,即可为正数、零
或负数;
(3)求直线的斜截式方程,只要确定直线的斜率和截距即可.
【跟踪训练】
根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)过点 A (-1,-2), B (0,3);
解:斜率 k = =5,又 B (0,3),故过点 A , B 的直
线的斜截式方程为 y =5 x +3.
(2)在 y 轴上的截距为-6,且与 y 轴夹角为60°.
解:与 y 轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°,所
以斜率 k 为tan 30°或tan 150°,即 k =± ,故所求直线的斜
截式方程为 y =± x -6.
题型三 直线点斜式方程的应用
【例3】 (链接教科书第20页习题12题)(1)已知直线 y -1= k
( x -3),当 k 变化时,所有的直线恒过定点( C )
A. (1,3) B. (-1,-3)
C. (3,1) D. (-3,-1)
解析:直线 y -1= k ( x -3),由点斜式方程可知不论 k 取何值它所
表示的所有的直线都恒过定点(3,1).故选C.
(2)已知直线 l : y -1= k ( x -4)经过点 P (4,1),且与两坐标
轴在第一象限围成的三角形的面积为8,则 k = .
解析:由题意易知 k <0,当 x =0时, y =1-4 k >0;当 y =0
时, x =4- >0.则 ×(1-4 k )×(4- )=8,解得 k =- .
-
通性通法
1. 解含参数的直线恒过定点问题,可将直线方程整理成 y - y0= k ( x
- x0)的形式,则表示的直线必过定点( x0, y0).
2. 在求面积时,要注意将截距转化为距离.
【跟踪训练】
1. 直线 y = kx + b 经过第一、三、四象限,则有( )
A. k >0, b >0 B. k >0, b <0
C. k <0, b >0 D. k <0, b <0
解析: ∵直线经过第一、三、四象限,∴图形
如图所示,由图知, k >0, b <0.
2. 若 y = a | x |与 y = x + a ( a >0)有两个公共点,则 a 的取值范
围是( )
A. a >1 B. 0< a <1
C. a =1 D. 0< a ≤1
解析:A y = x + a ( a >0)表
示斜率为1,在 y 轴上的截距为 a
( a >0)的直线, y = a | x |表
示关于 y 轴对称的两条射线.所以当0< a ≤1时,只有一个公共点,如图①;当 a >1时,有两个公共点,如图②.
1. (2024·徐州质检)直线 y =-3 x -6的斜率为 k ,在 y 轴上的截距为
b ,则( )
A. k =3, b =6 B. k =-3, b =-6
C. k =-3, b =6 D. k =3, b =-6
2. 已知直线的倾斜角为120°,在 y 轴上的截距为2,则此直线的方程
为( )
解析: ∵直线的倾斜角α=120°,∴直线的斜率 k =tan 120°
=- ,∴直线的方程为 y =- x +2.
3. 已知直线的倾斜角是45°,且过点(2,-5),则直线在 y 轴上的
截距是 .
解析:直线的倾斜角是45°,且过点(2,-5),所以斜率为tan
45°=1,故直线的方程为 y +5= x -2,所以直线在 y 轴上的截距
为-7.
-7
4. 已知直线 l1: y =-2 x +3.直线 l2过点 P (1,2),且它的斜率与
直线 l1的斜率相等.写出直线 l2的方程,并在同一直角坐标系中画出
直线 l1和 l2.
解:因为直线 l1: y =-2 x +3的斜率为 =-2,
直线 l2的斜率与直线 l1的斜率相等,
所以直线 l2的斜率 =-2,
因为直线 l2过点 P (1,2),
所以直线 l2的方程为 y -2=-2( x -1),即2 x +
y -4=0,
直线 l1, l2在坐标轴中的图形如图.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. (2024·盐城月考)方程 y = k ( x -2)表示( )
A. 经过点(-2,0)的所有直线
B. 经过点(2,0)的所有直线
C. 经过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线
D. 经过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线
解析: 易验证直线经过点(2,0),又直线斜率存在,故直线
不垂直于 x 轴.
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2. 直线 y -2=- ( x +1)的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为
( )
A. 60°,2
D. 120°,2
解析: 该直线的斜率为- ,当 x =0时, y =2- ,∴其倾
斜角为120°,在 y 轴上的截距为2- .
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3. 已知直线 l 过点(2,3),且倾斜角为90°,则直线 l 的方程为
( )
A. y = x +1 B. y =- x +5
C. y =3 D. x =2
解析: 因为直线 l 过点(2,3),且倾斜角为90°,可知直线 l
与 x 轴垂直,所以直线 l 的方程为 x =2.故选D.
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4. (2024·连云港月考)斜率是直线 y = x -2的斜率的2倍,且在 y
轴上的截距是-2的直线方程是( )
A. x =-2
C. y = x +2
解析: 由方程知,已知直线的斜率为 ,所以所求直线的斜率
是 ,由直线的斜截式可得方程为 y = x -2.
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5. 若直线 y = ax + b 经过第一、二、三象限,则点(- a ,- b )位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析: 因为直线 y = ax + b 经过第一、二、三象限,所以 a >
0, b >0,所以(- a ,- b )位于第三象限,故选C.
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6. (多选)在平面直角坐标系中,下列结论正确的有( )
A. 每一条直线都有点斜式方程
C. 直线 l 过点 P0( x0, y0),倾斜角为90°,则其方程为 x = x0
D. 直线 l 过点(2,0),倾斜角为45°,则其方程为 y = x -2
解析:点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,故A错误;点
(2,-1)不在方程 k = 所表示的直线上,故B错误;C显然正
确;D中直线 l 的斜率 k =tan 45°=1,由点斜式可得其方程为 y -0
= x -2,即 y = x -2,故D正确.
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7. 已知直线的点斜式方程是 y -2= x -1,那么此直线的倾斜角
是 .
解析:由该直线的点斜式方程知,斜率 k =1,则tan α=1,故倾
斜角为45°.
45°
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8. 不管 k 为何值,直线 y = k ( x -2)+3必过定点 .
解析:化为点斜式为 y -3= k ( x -2),故直线必过定点(2,
3).
(2,3)
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9. (2024·南通质检)将直线 y = x + -1绕它上面一点(1, )
沿逆时针方向旋转15°,得到的直线方程是 .
解析:直线 y = x + -1的倾斜角是45°,逆时针方向旋转15°
后倾斜角为60°,斜率是 ,则方程是 y - = ( x -1),
即 y = x .
y = x
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10. 求倾斜角是直线 y =- x +1的倾斜角的 ,且分别满足下列条
件的直线方程:
(1)经过点( ,-1);
解:∵直线 y =- x +1的斜率 k =- ,
∴其倾斜角α=120°,
由题意,得所求直线的倾斜角α1= α=30°,
故所求直线的斜率 k1=tan 30°= .
∵所求直线经过点( ,-1),斜率为 ,
∴所求直线方程是 y +1= ( x - ).
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(2)在 y 轴上的截距是-5.
解: ∵所求直线的斜率是 ,在 y 轴上的截距为-5,
∴所求直线的方程为 y = x -5.
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11. 直线 l 经过点 A (-1,1),在 x 轴上的截距的取值范围是(-2,
1),则其斜率的取值范围为( )
A. (1,+∞)
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解析: 设直线的斜率为 k ,则直线方程为 y -1= k ( x +1),
令 y =0,得 x =- -1,故直线在 x 轴上的截距为- -1,令-2
<- -1<1,得 k >1 或 k <- ,故选D.
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12. 一次函数 y =- x + 的图象经过第一、三、四象限的必要不充
分条件是( )
A. m >1,且 n <1 B. mn <0
C. m >0,且 n <0 D. m <0,且 n <0
解析: 由直线 y =- x + 经过第一、三、四象限,得- >
0, <0,∴ m >0, n <0.因此一次函数 y =- x + 的图象经
过第一、三、四象限的必要不充分条件为 mn <0.
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13. 有一根蜡烛点燃6 min后,蜡烛长为17.4 cm;点燃21 min后,蜡烛
长为8.4 cm.已知蜡烛长度 l (cm)与燃烧时间 t (min)可用直线
方程表示,则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 min.
解析:根据题意,不妨设直线方程为 l = kt + b ,则
解得所以直线方程为 l =-0.6 t +
21,当 l =0时,即-0.6 t +21=0,得 t =35,所以这根蜡烛从点
燃到燃尽共耗时35 min.
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14. 已知直线 l : y = kx +2 k +1.
(1)求证:直线 l 过定点;
解:证明:由 y = kx +2 k +1,得 y -1= k ( x +2).
由直线方程的点斜式可知,
直线过定点(-2,1).
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(2)当-3< x <3时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k 的取值
范围.
解:设函数 f ( x )= kx +2 k +1,
显然其图象是一条直线,当-3< x <3时,直线上的点都在
x 轴上方,
需满足即
解得- ≤ k ≤1.
所以实数 k 的取值范围是 .
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15. (2024·南通质检)已知直线 l 过点(1,2)且在 x , y 轴上的截距
相等.
(1)求直线 l 的方程;
解:①当截距为0时, l : y =2 x ;
②当截距不为0时, k =-1, l : y -2=-( x -1),
∴ y =- x +3.
综上, l 的方程为2 x - y =0或 x + y -3=0.
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(2)若直线 l 在 x , y 轴上的截距不为0,点 P ( a , b )在直线 l
上,求3 a +3 b 的最小值.
解:由题意得 l : x + y -3=0,∴ a + b =3,
∴3 a +3 b ≥2 =2 =6 ,
当且仅当 a = b = 时,等号成立,
∴3 a +3 b 的最小值为6 .
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谢 谢 观 看!