人教版七上数学第二章《有理数的运算》——实践与探究类专项：基础应用篇+思维进阶篇
一、基础应用
1．（2024七上·历下期中）综合与实践
探究喷墨打印机的工作原理
素材1 喷墨式双向打印机通过喷射墨水完成文件打印．如图1，打印机外框架上有一根水平杆，喷头架在水平杆上来回移动完成喷墨．第一次，喷头架从左到右喷墨，停止后纸张向前移动；第二次，喷头架从停止处出发，反向完成喷墨，如此往复．
素材2 如图2，以这根水平杆所在的直线建立数轴，以水平杆的中点为原点，以向右的方向为正方向，用一个单位长度表示．已知喷头架的初始位置为，向右个单位长度记为，向左个单位记为，以下记录了喷头架的次运动情况：，，，，，．
问题解决
任务1 确定位置 经过次喷墨后，确定喷头架的最终位置．
任务2 确定路程 经过次喷墨后，求出喷头架移动的总路程．
【答案】任务一：喷头架在初始位置；任务二：．
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
2．根据以下素材，尝试解决问题.
如何获得更高的销售额
素材1 甲菜农有6筐蔬菜，每筐质量在20千克左右，他将超过20千克的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图.超过20千克的他以170元/筐的价格售出，其余三筐他以9元/千克销售，并全部售出.
素材2 乙菜农将蔬菜堆放在一起进行销售，售出蔬菜的质量比甲菜农少20千克，其中80千克以10 元/千克销售，剩下的部分按八折全部售出.
问题解决
问题1 (1)求甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量.
问题2 (2)求乙菜农售出的蔬菜的总质量.
问题3 (3)甲、乙菜农的蔬菜全部售出后，哪一位菜农的销售额更高 高多少元
【答案】解：(1)+3在六个数中最大，20+3=23（千克），
答：最重的一筐蔬菜的质量为23千克；
(2)甲菜农：20×6-1+3-2.5-0.5+1+2=122（千克），
122-20=102（千克），
答：乙菜农售出的蔬菜的总质量为102千克；
(3)甲菜农的销售额：170×3+（20×3-1-2.5-0.5）×9=1014元，
乙菜农的销售额：80×10+（102-80）×10×0.8=976（元），
1014-976=38（元），
答：甲菜农的销售额更高，高38元
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）比较6个数，最大的即为最重的一筐蔬菜；
（2）先计算出甲菜农的蔬菜重量，再减去20千克即可；
（3）分别根据甲、乙菜农的售出方式计算销售额，再比较其大小即可.
3．（2024七上·瑞安期中）根据下列素材，探索完成任务：
哪种计算工资方式对工人更有利？
素材 1 玩具厂定额每个工人每天生产玩具车20辆，某工人每天生产的玩具车数量与计划定额有出入，如表是该工人某周每天生产的情况(以20辆为标准，超产记为正，减产记为负) 时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天数量(辆)
素材 2 该工厂计算工资有两种方式： 方式A：每生产一辆玩具车报酬为10元； 方式B：实行日计件工资制，每生产一辆报酬9元。 若一天超出定额20辆，则超过部分另外加12元/辆。 若一天不足定额20辆，则根据不足数量扣5元/辆。
问题解决
任务 1 本周该工人最多一天比最少一天多生产 ▲ 辆玩具车。
任务 2 本周该工人实际生产玩具车多少辆？
任务 3 请判断哪种计算工资的方式对该工人更有利，通过计算说明。
【答案】解：任务1：生产最多一天为6辆，最少一天为-5辆，故6-(-5)=11.
任务2：（辆）
答：本周该工人实际生产玩具车150辆。
任务3：
方式A：（元）
方式B：（元）
因为1500<1519，所以选择方式B对该工人更有利。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】任务1：找到生产最多和最少的辆数，相减即为多生产的数量；
任务2：20辆为基准，20×7再加上相对生产的数量即可得总共的生产数量；
任务3：分别计算方式A和方式B的工资额，即可得方式B对工人更有利.
4．（2024七上·北京市月考）暑假，小豫想进行社会实践，打算找一份卖报纸的工作，在小豫居住的小镇，有两家报纸招募售报员，下面的海报显示两家报纸售报员的薪资计算方式
快乐早报 幸福晚报
想赚外快吗？ 卖我们的报纸吧！ 你的收入：一周内卖出的前240份报纸，每份报纸0.4元，之后则每份0.8元． 工时少，薪酬高！ 卖幸福晚报，一周可以赚60元． 此外，你每卖出一份报纸将额外有0.2元的收入．
（1）下列哪一个图能正确表示两家报纸的薪资计算方式？______
A、 B、
C、 D、
（2）如果小豫每周能卖出300份《快乐早报》，他能获得收入多少元？
（3）假如小豫每周能卖出500份报纸，他销售______（填“幸福晚报”或“快乐早报”）会有更多的收入，比销售另外一种报纸可以多赚______元．
【答案】（1）C
（2）他能获得收入144元；
（3）快乐早报；
【知识点】有理数混合运算的实际应用
5．（2023七上·洞头期中） 素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤
与标准重量的差值（单位：千克） 0.1 -0.3 0 -0.1 0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱
可容纳袋数（袋/个） 2 4
重量（千克/个） 0.4 0.7
价格（元/个） 3 5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：____．
（1）【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．
（2）【任务2】求方案一所需要的费用．
（3）【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．
【答案】（1）解：0.1+（-0.3）+0+（-0.1）+0.2＝-0.1（kg），
5×3+（-0.1）＝14.9（kg），
答：这5袋柿子饼的总重量为14.9 kg；
（2）解：②、④打包后重量：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg），
②、④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
①邮寄需要的费用：15+2＝17元，
⑤邮寄需要的费用：15+2＝17元，
总费用为：17+24+15+17=73（元），
答：方案一所需要的费用为73元；
（3）解：答案不唯一，如下：
方案Ⅰ：
购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出，
①、②、④、⑤打包后重量：0.1+（-0.3）+（-0.1）+0.2+4×3+0.7＝12.6（kg）；
①、②、④、⑤邮寄需要的费用：15+10×2+5＝40（元），
③邮寄需要的费用：15元；
邮寄需要的总费用：40+15=55（元）；
方案Ⅱ：
购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，
费用为：①④打包后重量为：0.1+（-0.1）+2×3+0.4＝6.4（kg），
②⑤打包后重量为：（-0.3）+0.2+2×3+0.4＝6.3（kg），
①④邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
③邮寄需要的费用：15（元）；
邮寄的总费用为：26+25+15=67（元）；
方案Ⅲ：
购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，
费用为：①⑤打包后重量为：0.1+0.2+2×3+0.4＝6.7（kg）；
②④打包后重量为：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg）；
①⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
邮寄的总费用为：26+24+15=65（元）.
故选方案Ⅰ.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正负数的意义，列式计算即可；
（2）根据题意， 分别计算② ④一起邮寄的费用， 其余每小袋各自寄邮寄的费用，然后求和即可；
（3）根据题意设计不同的方案： 方案Ⅰ： 购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出；方案Ⅱ：购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，方案Ⅲ：购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，分别计算出每种方案的费用，选择费用小于方案一费用的方案，即可得解.
6．（2024七上·新会月考）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明打算去露营基地野餐
素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：-3，+5，+2，-4，-1；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费．
【答案】解：任务：，
答：露营基地在家的西边处；
任务：（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用元；
任务三：，
（元） ，
答：面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用折券，共用车费元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【分析】（）根据素材2中的数据，结合正负数的意义，以及有理数的加减运算法则，列出算式计算，即可求解；
（）根据素材3中 滴滴车价目表的规定，结合，炸鸡店到面包店的路程为5，累成算式，即可求得炸鸡店到面包店所用的车费，得到答案；
（）根据题意，得到面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，此时总车费最省，列出算式计算，即可求解；
7．根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为 ▲ ，单人单程乘坐需车费 ▲ 元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
【答案】解：任务1：；.
任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：
从新桥站到三坪湿地站的里程为：，∴需要车费为：（元）；
∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费.
任务3：最远游玩站点是科技城．
理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人元，
∵起步价元可乘，∴元可乘，∴最远可行，
∵向桐岭方向里程为，
∴向瑶溪方向：，即最远游玩站点是科技城．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：任务1：由题意，从新桥站到桐岭站为：，
此时单人单程乘坐需车费：（元），故答案为：；；
【分析】（1）根据素材1可得：新桥到 桐岭站 为：，再根据 起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算） 可得单人单程为（元）.
（2）先计算出新桥站到三坪湿地站的里程为：，根据乘车规则可得单人单程需要车费为：4元，再乘以3即可.
（3）由于弟弟免费，三人往返需要车费30元，因此3人单程需要15元，即1人单程需要5元，去掉起步价2元，3元最远可行驶：3×4=12千米，即：一共可以行驶16千米，再根据素材一可以得到代科技城的距离为，因此可得最远游玩站点是科技城．
二、思维进阶
8．（2024七上·南昌期中）综合与实践
【课本再现】
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME—14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．
提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为．
【观察发现】
（1）从左起第二个符号表示的二进制数为______；
【拓展延伸】
二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如，，．
（2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数；
【类比迁移】
（3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数，请直接写出结果．
【答案】（1）；（2）3745；（3）1044
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
9．（2023七上·上城期末）【综合与实践】小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为12 cm，宽为8 cm的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分）。制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用，请根据活动完成相应的任务。
（1）【活动一】如图1是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形ABCD是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒。
[任务1]：请计算方案甲中包装盒的容积；
（2）【活动二】为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形。小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，得到如图2的方案乙。
[任务2]：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积，并判断容积是否变大；（π取3）
（3）【活动三】小明：设计成圆柱形的容积确实变化了。
小红：那么是否还有容积更大的情况呢？
小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积还大于50cm3。
[任务3]：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积。（π取3）
【答案】（1）解：宽
∵ABCD是正方形，
∴高
又长为：
∴方案甲中包装盒的容积为：
（2）解：∵把长方形的长作为底面圆的周长，
设半径为r(cm)，
∴直径为4cm，
∴高为
∴圆柱形包装盒的容积为
∴容积变大.
（3）解：当长方形长为底面圆周长时，由(2) 可知，此时圆柱形包装盒的容积为
当把长方形的宽作为圆柱形包装盒的底面圆周长时；
设此时底面圆半径为a，所以
∴圆柱形包装盒的高为：
此时圆柱形包装盒的容积为：
所以容积最大为 不可能大于
∴任务3无法完成。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】
（1） 由宽. 高 长为： 得方案甲中包装盒的容积为：
（2）先由 得 故圆柱形包装盒的容积为 再比较容积即可.
（3）分别求出以长方形长和宽为底面圆周长时的圆柱体积，进而解题.
10．十几年前我国曾经流行一种叫“二十四点”的数学趣味算题，方法是给出1~13之间的自然数，从中任取四个，将这四个数(四个数都只能用一次)进行“+”“-”“×”“ ÷”运算，可加括号使其结果等于24．
例如：对1，2，3，4可运算(1+2+3)×4=24，也可以写成4×(1+2+3)=24，但视作相同的方法．
现在郑、付两名同学的手中分别握着四张扑克牌(见下图)；若红桃 、方块◆上的点数记为负数，黑桃 、梅花 ，上的点数记为正数．
请你对郑、付两名同学的扑克牌按要求进行记数，并按前面“二十四点”运算方式对郑、付两名同学的记数分别进行列式计算，使其运算结果均为24．(分别尽可能提供多种算法)
依次记为： ， ， ， 。
依次记为： ， ， ， 。
⑴帮助郑同学列式计算：
⑵帮助付同学列式计算：
【答案】- 9；7；- 6；2；7；- 13；- 5；3；(-9+7-2)×(-6)；[-5×(-13)+7] ÷3
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依次记为-9，7，-6，2；
依次记为7，- 13，- 5，3．
( 1 )(-9+7-2)×(-6)
=(-4)×(-6)
= 24．
( 2 )[-5×(-13)+7] ÷3
=(65+7) ÷3
=72÷3=24
【分析】（1）利用“二十四点"游戏规则，将这四个数字进行加减乘除混合运算求出结果即可；
（2）利用“二十四点"游戏规则，将这四个数字进行加减乘除混合运算求出结果即可.
1 / 1人教版七上数学第二章《有理数的运算》——实践与探究类专项：基础应用篇+思维进阶篇
一、基础应用
1．（2024七上·历下期中）综合与实践
探究喷墨打印机的工作原理
素材1 喷墨式双向打印机通过喷射墨水完成文件打印．如图1，打印机外框架上有一根水平杆，喷头架在水平杆上来回移动完成喷墨．第一次，喷头架从左到右喷墨，停止后纸张向前移动；第二次，喷头架从停止处出发，反向完成喷墨，如此往复．
素材2 如图2，以这根水平杆所在的直线建立数轴，以水平杆的中点为原点，以向右的方向为正方向，用一个单位长度表示．已知喷头架的初始位置为，向右个单位长度记为，向左个单位记为，以下记录了喷头架的次运动情况：，，，，，．
问题解决
任务1 确定位置 经过次喷墨后，确定喷头架的最终位置．
任务2 确定路程 经过次喷墨后，求出喷头架移动的总路程．
2．根据以下素材，尝试解决问题.
如何获得更高的销售额
素材1 甲菜农有6筐蔬菜，每筐质量在20千克左右，他将超过20千克的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图.超过20千克的他以170元/筐的价格售出，其余三筐他以9元/千克销售，并全部售出.
素材2 乙菜农将蔬菜堆放在一起进行销售，售出蔬菜的质量比甲菜农少20千克，其中80千克以10 元/千克销售，剩下的部分按八折全部售出.
问题解决
问题1 (1)求甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量.
问题2 (2)求乙菜农售出的蔬菜的总质量.
问题3 (3)甲、乙菜农的蔬菜全部售出后，哪一位菜农的销售额更高 高多少元
3．（2024七上·瑞安期中）根据下列素材，探索完成任务：
哪种计算工资方式对工人更有利？
素材 1 玩具厂定额每个工人每天生产玩具车20辆，某工人每天生产的玩具车数量与计划定额有出入，如表是该工人某周每天生产的情况(以20辆为标准，超产记为正，减产记为负) 时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天数量(辆)
素材 2 该工厂计算工资有两种方式： 方式A：每生产一辆玩具车报酬为10元； 方式B：实行日计件工资制，每生产一辆报酬9元。 若一天超出定额20辆，则超过部分另外加12元/辆。 若一天不足定额20辆，则根据不足数量扣5元/辆。
问题解决
任务 1 本周该工人最多一天比最少一天多生产 ▲ 辆玩具车。
任务 2 本周该工人实际生产玩具车多少辆？
任务 3 请判断哪种计算工资的方式对该工人更有利，通过计算说明。
4．（2024七上·北京市月考）暑假，小豫想进行社会实践，打算找一份卖报纸的工作，在小豫居住的小镇，有两家报纸招募售报员，下面的海报显示两家报纸售报员的薪资计算方式
快乐早报 幸福晚报
想赚外快吗？ 卖我们的报纸吧！ 你的收入：一周内卖出的前240份报纸，每份报纸0.4元，之后则每份0.8元． 工时少，薪酬高！ 卖幸福晚报，一周可以赚60元． 此外，你每卖出一份报纸将额外有0.2元的收入．
（1）下列哪一个图能正确表示两家报纸的薪资计算方式？______
A、 B、
C、 D、
（2）如果小豫每周能卖出300份《快乐早报》，他能获得收入多少元？
（3）假如小豫每周能卖出500份报纸，他销售______（填“幸福晚报”或“快乐早报”）会有更多的收入，比销售另外一种报纸可以多赚______元．
5．（2023七上·洞头期中） 素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤
与标准重量的差值（单位：千克） 0.1 -0.3 0 -0.1 0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱
可容纳袋数（袋/个） 2 4
重量（千克/个） 0.4 0.7
价格（元/个） 3 5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：____．
（1）【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．
（2）【任务2】求方案一所需要的费用．
（3）【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．
6．（2024七上·新会月考）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明打算去露营基地野餐
素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：-3，+5，+2，-4，-1；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费．
7．根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为 ▲ ，单人单程乘坐需车费 ▲ 元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
二、思维进阶
8．（2024七上·南昌期中）综合与实践
【课本再现】
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME—14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．
提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为．
【观察发现】
（1）从左起第二个符号表示的二进制数为______；
【拓展延伸】
二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如，，．
（2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数；
【类比迁移】
（3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数，请直接写出结果．
9．（2023七上·上城期末）【综合与实践】小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为12 cm，宽为8 cm的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分）。制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用，请根据活动完成相应的任务。
（1）【活动一】如图1是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形ABCD是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒。
[任务1]：请计算方案甲中包装盒的容积；
（2）【活动二】为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形。小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，得到如图2的方案乙。
[任务2]：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积，并判断容积是否变大；（π取3）
（3）【活动三】小明：设计成圆柱形的容积确实变化了。
小红：那么是否还有容积更大的情况呢？
小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积还大于50cm3。
[任务3]：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积。（π取3）
10．十几年前我国曾经流行一种叫“二十四点”的数学趣味算题，方法是给出1~13之间的自然数，从中任取四个，将这四个数(四个数都只能用一次)进行“+”“-”“×”“ ÷”运算，可加括号使其结果等于24．
例如：对1，2，3，4可运算(1+2+3)×4=24，也可以写成4×(1+2+3)=24，但视作相同的方法．
现在郑、付两名同学的手中分别握着四张扑克牌(见下图)；若红桃 、方块◆上的点数记为负数，黑桃 、梅花 ，上的点数记为正数．
请你对郑、付两名同学的扑克牌按要求进行记数，并按前面“二十四点”运算方式对郑、付两名同学的记数分别进行列式计算，使其运算结果均为24．(分别尽可能提供多种算法)
依次记为： ， ， ， 。
依次记为： ， ， ， 。
⑴帮助郑同学列式计算：
⑵帮助付同学列式计算：
答案解析部分
1．【答案】任务一：喷头架在初始位置；任务二：．
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
2．【答案】解：(1)+3在六个数中最大，20+3=23（千克），
答：最重的一筐蔬菜的质量为23千克；
(2)甲菜农：20×6-1+3-2.5-0.5+1+2=122（千克），
122-20=102（千克），
答：乙菜农售出的蔬菜的总质量为102千克；
(3)甲菜农的销售额：170×3+（20×3-1-2.5-0.5）×9=1014元，
乙菜农的销售额：80×10+（102-80）×10×0.8=976（元），
1014-976=38（元），
答：甲菜农的销售额更高，高38元
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）比较6个数，最大的即为最重的一筐蔬菜；
（2）先计算出甲菜农的蔬菜重量，再减去20千克即可；
（3）分别根据甲、乙菜农的售出方式计算销售额，再比较其大小即可.
3．【答案】解：任务1：生产最多一天为6辆，最少一天为-5辆，故6-(-5)=11.
任务2：（辆）
答：本周该工人实际生产玩具车150辆。
任务3：
方式A：（元）
方式B：（元）
因为1500<1519，所以选择方式B对该工人更有利。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】任务1：找到生产最多和最少的辆数，相减即为多生产的数量；
任务2：20辆为基准，20×7再加上相对生产的数量即可得总共的生产数量；
任务3：分别计算方式A和方式B的工资额，即可得方式B对工人更有利.
4．【答案】（1）C
（2）他能获得收入144元；
（3）快乐早报；
【知识点】有理数混合运算的实际应用
5．【答案】（1）解：0.1+（-0.3）+0+（-0.1）+0.2＝-0.1（kg），
5×3+（-0.1）＝14.9（kg），
答：这5袋柿子饼的总重量为14.9 kg；
（2）解：②、④打包后重量：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg），
②、④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
①邮寄需要的费用：15+2＝17元，
⑤邮寄需要的费用：15+2＝17元，
总费用为：17+24+15+17=73（元），
答：方案一所需要的费用为73元；
（3）解：答案不唯一，如下：
方案Ⅰ：
购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出，
①、②、④、⑤打包后重量：0.1+（-0.3）+（-0.1）+0.2+4×3+0.7＝12.6（kg）；
①、②、④、⑤邮寄需要的费用：15+10×2+5＝40（元），
③邮寄需要的费用：15元；
邮寄需要的总费用：40+15=55（元）；
方案Ⅱ：
购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，
费用为：①④打包后重量为：0.1+（-0.1）+2×3+0.4＝6.4（kg），
②⑤打包后重量为：（-0.3）+0.2+2×3+0.4＝6.3（kg），
①④邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
③邮寄需要的费用：15（元）；
邮寄的总费用为：26+25+15=67（元）；
方案Ⅲ：
购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，
费用为：①⑤打包后重量为：0.1+0.2+2×3+0.4＝6.7（kg）；
②④打包后重量为：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg）；
①⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
邮寄的总费用为：26+24+15=65（元）.
故选方案Ⅰ.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正负数的意义，列式计算即可；
（2）根据题意， 分别计算② ④一起邮寄的费用， 其余每小袋各自寄邮寄的费用，然后求和即可；
（3）根据题意设计不同的方案： 方案Ⅰ： 购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出；方案Ⅱ：购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，方案Ⅲ：购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，分别计算出每种方案的费用，选择费用小于方案一费用的方案，即可得解.
6．【答案】解：任务：，
答：露营基地在家的西边处；
任务：（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用元；
任务三：，
（元） ，
答：面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用折券，共用车费元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【分析】（）根据素材2中的数据，结合正负数的意义，以及有理数的加减运算法则，列出算式计算，即可求解；
（）根据素材3中 滴滴车价目表的规定，结合，炸鸡店到面包店的路程为5，累成算式，即可求得炸鸡店到面包店所用的车费，得到答案；
（）根据题意，得到面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，此时总车费最省，列出算式计算，即可求解；
7．【答案】解：任务1：；.
任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：
从新桥站到三坪湿地站的里程为：，∴需要车费为：（元）；
∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费.
任务3：最远游玩站点是科技城．
理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人元，
∵起步价元可乘，∴元可乘，∴最远可行，
∵向桐岭方向里程为，
∴向瑶溪方向：，即最远游玩站点是科技城．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：任务1：由题意，从新桥站到桐岭站为：，
此时单人单程乘坐需车费：（元），故答案为：；；
【分析】（1）根据素材1可得：新桥到 桐岭站 为：，再根据 起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算） 可得单人单程为（元）.
（2）先计算出新桥站到三坪湿地站的里程为：，根据乘车规则可得单人单程需要车费为：4元，再乘以3即可.
（3）由于弟弟免费，三人往返需要车费30元，因此3人单程需要15元，即1人单程需要5元，去掉起步价2元，3元最远可行驶：3×4=12千米，即：一共可以行驶16千米，再根据素材一可以得到代科技城的距离为，因此可得最远游玩站点是科技城．
8．【答案】（1）；（2）3745；（3）1044
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
9．【答案】（1）解：宽
∵ABCD是正方形，
∴高
又长为：
∴方案甲中包装盒的容积为：
（2）解：∵把长方形的长作为底面圆的周长，
设半径为r(cm)，
∴直径为4cm，
∴高为
∴圆柱形包装盒的容积为
∴容积变大.
（3）解：当长方形长为底面圆周长时，由(2) 可知，此时圆柱形包装盒的容积为
当把长方形的宽作为圆柱形包装盒的底面圆周长时；
设此时底面圆半径为a，所以
∴圆柱形包装盒的高为：
此时圆柱形包装盒的容积为：
所以容积最大为 不可能大于
∴任务3无法完成。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】
（1） 由宽. 高 长为： 得方案甲中包装盒的容积为：
（2）先由 得 故圆柱形包装盒的容积为 再比较容积即可.
（3）分别求出以长方形长和宽为底面圆周长时的圆柱体积，进而解题.
10．【答案】- 9；7；- 6；2；7；- 13；- 5；3；(-9+7-2)×(-6)；[-5×(-13)+7] ÷3
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依次记为-9，7，-6，2；
依次记为7，- 13，- 5，3．
( 1 )(-9+7-2)×(-6)
=(-4)×(-6)
= 24．
( 2 )[-5×(-13)+7] ÷3
=(65+7) ÷3
=72÷3=24
【分析】（1）利用“二十四点"游戏规则，将这四个数字进行加减乘除混合运算求出结果即可；
（2）利用“二十四点"游戏规则，将这四个数字进行加减乘除混合运算求出结果即可.
1 / 1
