第2课时 两条直线垂直
除平行外，生活中也存在很多垂直关系，如交通道路的十字路口，黑板相邻两边等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两平行直线的斜率的关系.
【问题】 类比两条直线平行的研究方法，若l1⊥l2，你能得出l1与l2斜率的关系吗？
知识点 两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2（两直线斜率都存在） l1的斜率不存在，l2的斜率为0
提醒 l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.（ ）
（2）若k1k2＝－1，则l1⊥l2.（ ）
（3）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－.（ ）
2.已知四点A（1，2），B（5，6），C（2，－1），D（1，0），则直线AB与直线CD的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直
C.重合 D.无法确定
3.求过点A（2，3）且与直线x＋2y－6＝0垂直的直线方程.
题型一 两条直线垂直的判定
【例1】 （链接教科书第25页例4）判断下列两直线是否垂直：
（1）l1经过点A（－1，1），B（－1，3），l2经过点（3，6），（7，6）；
（2）直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行；
（3）l1：3x＋2y－2＝0，l2：－4x＋6y＋5＝0.
通性通法
判定两直线垂直的方法
（1）若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；
（2）若两直线的斜率都存在且不为0，只需求出两直线的斜率，看它们的斜率之积是否等于－1即可；
（3）若两直线用一般式表示为：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
【跟踪训练】
判断下列两直线是否垂直：
（1）直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A（10，2），B（20，3）；
（2）l1：y＝2x－2，l2：x－2y＋1＝0.
题型二 求与已知直线垂直的直线方程
【例2】 （链接教科书第25页例5）已知△ABC的顶点B（2，1），C（－6，3），其垂心为H（－3，2），则直线AH的方程为 .
通性通法
求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程；也可先设出与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的一般方程Bx－Ay＋m＝0，代入其他条件再求方程.
【跟踪训练】
与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是（ ）
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4
C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
题型三 两条直线垂直的应用
【例3】 （链接教科书第27页练习2题）（1）已知△ABC的顶点坐标为A（－5，－1），B（－1，1），C（－2，3），则△ABC的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
（2）已知直线x＋2y－3＝0和2x＋my＋2＝0互相垂直，则m＝（ ）
A.－4 B.－1
C.1 D.4
通性通法
1.利用两直线垂直判定平面图形的形状通常需要结合图形，寻找相关的垂直关系，然后利用直线的斜率进行判断.
2.利用两直线垂直求参数问题一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为－1求解，但要注意讨论直线与x轴垂直的情况，也可先将方程化为一般式，由两直线垂直时系数的关系，列出式子求解.
【跟踪训练】
1.若直线l1：（a＋3）x＋y＋4＝0与直线l2：x＋（a－1）y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是（ ）
A.－4 B.2
C.－2 D.4
2.点A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为直角三角形的三个顶点，则直角顶点为 .
1.过点M（2，－3）且与直线x＋2y－9＝0垂直的直线方程是（ ）
A.2x－y－7＝0 B.x－2y＋7＝0
C.x＋2y＋4＝0 D.2x－y＋8＝0
2.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
3.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，则实数m＝（ ）
A.－10 B.10
C.－2 D.2
4.已知点A（－2，－5），B（6，6），点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为 .
第2课时 两条直线垂直
【基础知识·重落实】
知识点
k1·k2＝－1 l1⊥l2
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.B 由斜率公式得kAB＝＝1，kCD＝＝－1，则kABkCD＝1×（－1）＝－1，所以AB⊥CD.
3.解：因为直线x＋2y－6＝0的斜率为k1＝－，
所以过点A（2，3）且与该直线垂直的直线l的斜率为k＝2.
所以直线l的方程为y－3＝2（x－2），即2x－y－1＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）直线l1与x轴垂直，斜率不存在，直线l2与y轴垂直，斜率为0，故l1⊥l2.
（2）直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直.
（3）法一 直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝，从而k1k2＝（－）×＝－1，故l1⊥l2.
法二 由A1A2＋B1B2＝3×（－4）＋2×6＝0，故l1⊥l2.
跟踪训练
解：（1）直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1，所以l1⊥l2.
（2）将l2的方程化为斜截式为y＝x＋.
因此l2的斜率为，
又因为l1的斜率为2，而且×2＝1≠－1，
从而可知l1与l2不垂直.
【例2】 4x－y＋14＝0 解析：易知kBC＝＝－，又点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，即kAHkBC＝－1，又kBC＝－，所以kAH＝4，又H（－3，2），故直线AH的方程为y－2＝4（x＋3），即4x－y＋14＝0.
跟踪训练
D 直线y＝2x＋1的斜率为2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率为－，又因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4.
【例3】 （1）B （2）B 解析：（1）∵kAB＝＝，kBC＝＝－2，kAC＝＝，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴△ABC为直角三角形.
（2）由题意得1×2＋2m＝0，解得m＝－1，此时后者直线方程为2x－y＋2＝0，满足题意.故选B.
跟踪训练
1.C ∵直线l1：（a＋3）x＋y＋4＝0与直线l2：x＋（a－1）y＋4＝0垂直，∴a＋3＋a－1＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，∴直线l1在x轴上的截距是－2，故选C.
2.A 解析：因为A（－1，1），B（2，－1），C（1，4），所以kAB＝＝－，kAC＝＝.所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以角A为直角.
随堂检测
1.A 由题意设直线方程为2x－y＋m＝0，代入M点坐标得2×2－（－3）＋m＝0，解得m＝－7，∴直线方程为2x－y－7＝0.故选A.
2.D 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
3.B 由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，可得m×2＋4×（－5）＝0，解得m＝10.故选B.
4.（0，－6）或（0，7） 解析：设点P的坐标为（0，y）.因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，所以·＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为（0，－6）或（0，7）.
3 / 3第2课时 两条直线垂直
1.已知直线l1经过A（－3，2），B（1，－2）两点，直线l2的倾斜角为45°，那么l1与l2（ ）
A.平行 B.垂直
C.重合 D.相交但不垂直
2.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝（ ）
A.－1 B.1
C. D.－
3.已知△ABC的三个顶点分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为（ ）
A.3x＋5y－15＝0
B.3x－5y＋15＝0
C.x＋2y－3＝0
D.x－2y＋3＝0
4.若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为（ ）
A.－1 B.0
C. D.1
5.直线l1：（a2－4）x＋y－1＝0，直线l2：x＋（a－2）y＋3＝0，则直线l1⊥l2是a＝－3的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.（多选）设平面内四点P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S（2，12），则下面四个结论正确的是（ ）
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QS D.PR⊥QS
7.已知A（2，3），B（1，－1），C（－1，－2），点D在x轴上，则当点D坐标为 时，AB⊥CD.
8.已知直线l过点P（1，1），且与直线x＋2y－3＝0垂直，则直线l在y轴上的截距为 .
9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝ ；若l1∥l2，则m＝ .
10.已知 ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）.
（1）求点D的坐标；
（2）试判断 ABCD是否为菱形？
11.已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A.b＝a3
B.b＝a3＋
C.（b－a3）（b－a3－）＝0
D.｜b－a3｜＋｜b－a3－｜＝0
12.已知直线l1：ax＋2y＋b＝0与直线l2：bx－y＋a＝0垂直，则a2＋b2的最小值为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
13.已知点A（0，1），点B在直线l：x＋y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为 .
14.某矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知AD＝50 m，AB＝30 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，能否在线段BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直.
15.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），R（－2t，2），其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状.
第2课时 两条直线垂直
1.B 由题意可得直线l1的斜率k1＝＝－1，直线l2的斜率k2＝tan 45°＝1.∵k1k2＝－1，则l1与l2垂直.故选B.
2.B 直线x－2y＋5＝0的斜率为k1＝，直线2x＋my－6＝0的斜率为k2＝－，因为两条直线垂直，所以k1k2＝×（－）＝－1，即m＝1，故选B.
3.B 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，所以kAD·kBC＝－1，因为kBC＝＝－，所以－·kAD＝－1，解得kAD＝，所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝（x＋5），即3x－5y＋15＝0.
4.A 若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意.故PQ斜率存在.由kPQ＝＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
5.B 若l1⊥l2，由（a2－4）x＋y－1＝0，可得k1＝4－a2，若4－a2＝0，即a＝±2，则需a－2＝0，即a＝2，即可得a＝2时，l1⊥l2，故l1⊥l2不是a＝－3的充分条件；若a＝－3，则k1＝4－9＝－5，k2＝－＝，此时k1k2＝－1，故l1⊥l2，综上，直线l1⊥l2是a＝－3的必要不充分条件.故选B.
6.ABD 由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故A、B、D正确.
7.（－9，0） 解析：设点D（x，0），因为kAB＝＝4≠0，所以直线CD的斜率存在.则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4×＝－1，解得x＝－9.
8.－1 解析：由直线x＋2y－3＝0，得k＝－，设直线l的斜率为k1，则由直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则k1＝2，则直线l为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，即直线l在y轴上的截距为－1.
9.－2 2 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.
10.解：（1）设点D坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D（－1，6）.
（2）因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.
11.C 显然角O不能为直角（否则得a＝0，不能组成三角形）.若角A为直角，则根据点A，B的纵坐标相等，得b－a3＝0.若角B为直角，则利用kOB·kAB＝－1，得b－a3－＝0.综上可得（b－a3）（b－a3－）＝0.
12.B 因为直线l1：ax＋2y＋b＝0与直线l2：bx－y＋a＝0垂直，所以ab－2×1＝0，即ab＝2，所以a2＋b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时等号成立.即a2＋b2的最小值为4，故选B.
13.x－y＋1＝0 解析：当线段AB最短时，AB⊥l，所以kAB＝1.由直线的斜截式，得直线AB的方程为y＝x＋1，故直线AB的一般式方程为x－y＋1＝0.
14.解：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
由AD＝50 m，AB＝30 m，
可得点C（50，0），D（50，30），A（0，30）.设点M的坐标为（x，0），
因为AC⊥DM，且直线AC，DM的斜率均存在，所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1，解得x＝32，即当BM＝32 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直.
15.解：由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形.
2 / 2(共49张PPT)
第2课时 两条直线垂直
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
除平行外，生活中也存在很多垂直关系，如交通道路的十字路
口，黑板相邻两边等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，
研究了两平行直线的斜率的关系.
【问题】 类比两条直线平行的研究方法，若 l1⊥ l2，你能得出 l1与 l2
斜率的关系吗？
知识点 两条直线垂直的判定
图示
对应 关系 l1⊥ l2（两直线斜率都存在） l1的斜率不存在， l2
的斜率为0
k1· k2＝－1
l1⊥ l2
提醒 l1⊥ l2 k1 k2＝－1成立的条件是：①两条直线的斜率都存在；
② k1≠0且 k2≠0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线 l1⊥ l2，则 k1 k2＝－1. （ × ）
（2）若 k1 k2＝－1，则 l1⊥ l2. （ √ ）
（3）若直线 l1的斜率为 a ，且 l1⊥ l2，则 l2的斜率为－ .
（ × ）
×
√
×
2. 已知四点 A （1，2）， B （5，6）， C （2，－1）， D （1，0），
则直线 AB 与直线 CD 的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 无法确定
解析： 由斜率公式得 kAB ＝ ＝1， kCD ＝ ＝－1，则
kABkCD ＝1×（－1）＝－1，所以 AB ⊥ CD .
3. 求过点 A （2，3）且与直线 x ＋2 y －6＝0垂直的直线方程.
解：因为直线 x ＋2 y －6＝0的斜率为 k1＝－ ，
所以过点 A （2，3）且与该直线垂直的直线 l 的斜率为 k ＝2.
所以直线 l 的方程为 y －3＝2（ x －2），即2 x － y －1＝0.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两条直线垂直的判定
【例1】 （链接教科书第25页例4）判断下列两直线是否垂直：
（1） l1经过点 A （－1，1）， B （－1，3）， l2经过点（3，6），
（7，6）；
解：直线 l1与 x 轴垂直，斜率不存在，直线 l2与 y 轴垂直，
斜率为0，故 l1⊥ l2.
（2）直线 l1的斜率为 ，直线 l2与直线2 x ＋3 y ＋1＝0平行；
解：直线 l1的斜率 k1＝ ，直线 l2的斜率 k2＝－ ， k1· k2＝
－ ≠－1，所以直线 l1与 l2不垂直.
（3） l1：3 x ＋2 y －2＝0， l2：－4 x ＋6 y ＋5＝0.
解：法一 直线 l1的斜率 k1＝－ ，直线 l2的斜率 k2＝ ，
从而 k1 k2＝（－ ）× ＝－1，故 l1⊥ l2.
法二 由 A1 A2＋ B1 B2＝3×（－4）＋2×6＝0，故 l1⊥ l2.
通性通法
判定两直线垂直的方法
（1）若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直
线垂直；
（2）若两直线的斜率都存在且不为0，只需求出两直线的斜率，看它
们的斜率之积是否等于－1即可；
（3）若两直线用一般式表示为： l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋
B2 y ＋ C2＝0，则 l1⊥ l2 A1 A2＋ B1 B2＝0.
【跟踪训练】
判断下列两直线是否垂直：
（1）直线 l1的斜率为－10，直线 l2经过点 A （10，2）， B （20，
3）；
解：直线 l1的斜率 k1＝－10，直线 l2的斜率 k2＝ ＝
， k1· k2＝－10× ＝－1，所以 l1⊥ l2.
（2） l1： y ＝2 x －2， l2： x －2 y ＋1＝0.
解：将 l2的方程化为斜截式为 y ＝ x ＋ .
因此 l2的斜率为 ，
又因为 l1的斜率为2，而且 ×2＝1≠－1，
从而可知 l1与 l2不垂直.
题型二 求与已知直线垂直的直线方程
【例2】 （链接教科书第25页例5）已知△ ABC 的顶点 B （2，1），
C （－6，3），其垂心为 H （－3，2），则直线 AH 的方程为
.
解析：易知 kBC ＝ ＝－ ，又点 H 为△ ABC 的垂心，所以 AH ⊥
BC ，即 kAHkBC ＝－1，又 kBC ＝－ ，所以 kAH ＝4，又 H （－3，2），
故直线 AH 的方程为 y －2＝4（ x ＋3），即4 x － y ＋14＝0.
4 x － y
＋14＝0
通性通法
求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若
存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然
后用点斜式求直线方程；也可先设出与已知直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直
的直线的一般方程 Bx － Ay ＋ m ＝0，代入其他条件再求方程.
【跟踪训练】
与直线 y ＝2 x ＋1垂直，且在 y 轴上的截距为4的直线的方程是
（ ）
A. y ＝ x ＋4 B. y ＝2 x ＋4
C. y ＝－2 x ＋4 D. y ＝－ x ＋4
解析： 直线 y ＝2 x ＋1的斜率为2，则与直线 y ＝2 x ＋1垂直的直线
的斜率为－ ，又因为所求直线在 y 轴上的截距为4，所以直线方程为
y ＝－ x ＋4.
题型三 两条直线垂直的应用
【例3】 （链接教科书第27页练习2题）（1）已知△ ABC 的顶点坐
标为 A （－5，－1）， B （－1，1）， C （－2，3），则△ ABC 的形
状为（ B ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
解析：∵ kAB ＝ ＝ ， kBC ＝ ＝－2， kAC ＝ ＝ ，
∴ kAB · kBC ＝－1，∴ AB ⊥ BC ，∴△ ABC 为直角三角形.
（2）已知直线 x ＋2 y －3＝0和2 x ＋ my ＋2＝0互相垂直，则 m ＝
（ B ）
A. －4 B. －1
C. 1 D. 4
解析：由题意得1×2＋2 m ＝0，解得 m ＝－1，此时后者直线方
程为2 x － y ＋2＝0，满足题意.故选B.
通性通法
1. 利用两直线垂直判定平面图形的形状通常需要结合图形，寻找相关
的垂直关系，然后利用直线的斜率进行判断.
2. 利用两直线垂直求参数问题一般的解题思路是利用斜率的坐标公式
表示出斜率，令斜率之积为－1求解，但要注意讨论直线与 x 轴垂
直的情况，也可先将方程化为一般式，由两直线垂直时系数的关
系，列出式子求解.
【跟踪训练】
1. 若直线 l1：（ a ＋3） x ＋ y ＋4＝0与直线 l2： x ＋（ a －1） y ＋4＝0
垂直，则直线 l1在 x 轴上的截距是（ ）
A. －4 B. 2
C. －2 D. 4
解析： ∵直线 l1：（ a ＋3） x ＋ y ＋4＝0与直线 l2： x ＋（ a －
1） y ＋4＝0垂直，∴ a ＋3＋ a －1＝0，∴ a ＝－1，∴直线 l1：2 x
＋ y ＋4＝0，∴直线 l1在 x 轴上的截距是－2，故选C.
2. 点 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4）为直角三角形的三个
顶点，则直角顶点为 .
解析：因为 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4），所以 kAB
＝ ＝－ ， kAC ＝ ＝ .所以 kAB · kAC ＝－1，所以 AB ⊥ AC ，
所以角 A 为直角.
A
1. 过点 M （2，－3）且与直线 x ＋2 y －9＝0垂直的直线方程是
（ ）
A. 2 x － y －7＝0 B. x －2 y ＋7＝0
C. x ＋2 y ＋4＝0 D. 2 x － y ＋8＝0
解析： 由题意设直线方程为2 x － y ＋ m ＝0，代入 M 点坐标得
2×2－（－3）＋ m ＝0，解得 m ＝－7，∴直线方程为2 x － y －7＝
0.故选A.
2. 直线 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的两根，则 l1与 l2的位置关系
是（ ）
A. 平行 B. 重合
C. 相交但不垂直 D. 垂直
解析： 设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1· k2＝－1，所以 l1⊥
l2.
3. 若直线 mx ＋4 y －2＝0与直线2 x －5 y －12＝0垂直，则实数 m ＝
（ ）
A. －10 B. 10
C. －2 D. 2
解析： 由直线 mx ＋4 y －2＝0与直线2 x －5 y －12＝0垂直，可
得 m ×2＋4×（－5）＝0，解得 m ＝10.故选B.
4. 已知点 A （－2，－5）， B （6，6），点 P 在 y 轴上，且∠ APB ＝
90°，则点 P 的坐标为 .
解析：设点 P 的坐标为（0， y ）.因为∠ APB ＝90°，所以 AP ⊥
BP ，又 kAP ＝ ， kBP ＝ ， kAP · kBP ＝－1，所以 · ＝－
1，解得 y ＝－6或 y ＝7.所以点 P 的坐标为（0，－6）或（0，7）.
（0，－6）或（0，7）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线 l1经过 A （－3，2）， B （1，－2）两点，直线 l2的倾斜
角为45°，那么 l1与 l2（ ）
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 相交但不垂直
解析： 由题意可得直线 l1的斜率 k1＝ ＝－1，直线 l2的斜
率 k2＝tan 45°＝1.∵ k1 k2＝－1，则 l1与 l2垂直.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 若直线 x －2 y ＋5＝0与直线2 x ＋ my －6＝0互相垂直，则实数 m ＝
（ ）
A. －1 B. 1
C. D. －
解析： 直线 x －2 y ＋5＝0的斜率为 k1＝ ，直线2 x ＋ my －6＝0
的斜率为 k2＝－ ，因为两条直线垂直，所以 k1 k2＝ ×（－ ）
＝－1，即 m ＝1，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 已知△ ABC 的三个顶点分别是 A （－5，0）， B （3，－3）， C
（0，2），则 BC 边上的高所在直线的方程为（ ）
A. 3 x ＋5 y －15＝0 B. 3 x －5 y ＋15＝0
C. x ＋2 y －3＝0 D. x －2 y ＋3＝0
解析： 设 BC 边上的高为 AD ，则 BC ⊥ AD ，所以 kAD · kBC ＝－
1，因为 kBC ＝ ＝－ ，所以－ · kAD ＝－1，解得 kAD ＝ ，所以
BC 边上的高所在直线的方程为 y －0＝ （ x ＋5），即3 x －5 y ＋15
＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 若不同两点 P ， Q 的坐标分别为（ a ， b ），（3－ b ，3－ a ），则
线段 PQ 的垂直平分线的斜率为（ ）
A. －1 B. 0
C. D. 1
解析： 若 a ＝3－ b ，则 P ， Q 两点重合，不合题意.故 PQ 斜率
存在.由 kPQ ＝ ＝1，得线段 PQ 的垂直平分线的斜率为－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 直线 l1：（ a2－4） x ＋ y －1＝0，直线 l2： x ＋（ a －2） y ＋3＝0，
则直线 l1⊥ l2是 a ＝－3的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 若 l1⊥ l2，由（ a2－4） x ＋ y －1＝0，可得 k1＝4－ a2，
若4－ a2＝0，即 a ＝±2，则需 a －2＝0，即 a ＝2，即可得 a ＝2
时， l1⊥ l2，故 l1⊥ l2不是 a ＝－3的充分条件；若 a ＝－3，则 k1＝4
－9＝－5， k2＝－ ＝ ，此时 k1 k2＝－1，故 l1⊥ l2，综上，直
线 l1⊥ l2是 a ＝－3的必要不充分条件.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）设平面内四点 P （－4，2）， Q （6，－4）， R （12，
6）， S （2，12），则下面四个结论正确的是（ ）
A. PQ ∥ SR B. PQ ⊥ PS
C. PS ∥ QS D. PR ⊥ QS
解析： 由斜率公式知， kPQ ＝ ＝－ ， kSR ＝ ＝－
， kPS ＝ ＝ ， kQS ＝ ＝－4， kPR ＝ ＝ ，∴ PQ ∥
SR ， PQ ⊥ PS ， PR ⊥ QS . 而 kPS ≠ kQS ，∴ PS 与 QS 不平行，故
A、B、D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 已知 A （2，3）， B （1，－1）， C （－1，－2），点 D 在 x 轴
上，则当点 D 坐标为 时， AB ⊥ CD .
解析：设点 D （ x ，0），因为 kAB ＝ ＝4≠0，所以直线 CD 的
斜率存在.则由 AB ⊥ CD 知， kAB · kCD ＝－1，所以4× ＝－1，
解得 x ＝－9.
（－9，0）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知直线 l 过点 P （1，1），且与直线 x ＋2 y －3＝0垂直，则直线 l
在 y 轴上的截距为 .
解析：由直线 x ＋2 y －3＝0，得 k ＝－ ，设直线 l 的斜率为 k1，则
由直线 l 与直线 x ＋2 y －3＝0垂直，则 k1＝2，则直线 l 为 y －1＝2
（ x －1），即 y ＝2 x －1，即直线 l 在 y 轴上的截距为－1.
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 直线 l1， l2的斜率 k1， k2是关于 k 的方程2 k2－4 k ＋ m ＝0的两根，若
l1⊥ l2，则 m ＝ ；若 l1∥ l2，则 m ＝ .
解析：由一元二次方程根与系数的关系得 k1· k2＝ ，
若 l1⊥ l2，则 ＝－1，∴ m ＝－2.若 l1∥ l2则 k1＝ k2，即关于 k 的一
元二次方程2 k2－4 k ＋ m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－
4×2× m ＝0，∴ m ＝2.
－2
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知 ABCD 中， A （1，2）， B （5，0）， C （3，4）.
（1）求点 D 的坐标；
解：设点 D 坐标为（ a ， b ），因为四边形 ABCD 为平
行四边形，所以 kAB ＝ kCD ， kAD ＝ kBC ，
所以解得
所以 D （－1，6）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）试判断 ABCD 是否为菱形？
解：因为 kAC ＝ ＝1， kBD ＝ ＝－1，
所以 kAC · kBD ＝－1，
所以 AC ⊥ BD ，所以 ABCD 为菱形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知点 O （0，0）， A （0， b ）， B （ a ， a3）.若△ OAB 为直角
三角形，则必有（ ）
A. b ＝ a3
B. b ＝ a3＋
C. （ b － a3）（ b － a3－ ）＝0
D. ｜ b － a3｜＋｜ b － a3－ ｜＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 显然角 O 不能为直角（否则得 a ＝0，不能组成三角
形）.若角 A 为直角，则根据点 A ， B 的纵坐标相等，得 b － a3＝
0.若角 B 为直角，则利用 kOB · kAB ＝－1，得 b － a3－ ＝0.综上可
得（ b － a3）（ b － a3－ ）＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知直线 l1： ax ＋2 y ＋ b ＝0与直线 l2： bx － y ＋ a ＝0垂直，则 a2
＋ b2的最小值为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析： 因为直线 l1： ax ＋2 y ＋ b ＝0与直线 l2： bx － y ＋ a ＝0
垂直，所以 ab －2×1＝0，即 ab ＝2，所以 a2＋ b2≥2 ab ＝4，当
且仅当 a ＝ b ＝ 或 a ＝ b ＝－ 时等号成立.即 a2＋ b2的最小值
为4，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知点 A （0，1），点 B 在直线 l ： x ＋ y ＝0上运动，则当线段 AB
最短时，直线 AB 的一般式方程为 .
解析：当线段 AB 最短时， AB ⊥ l ，所以 kAB ＝1.由直线的斜截
式，得直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋1，故直线 AB 的一般式方程为 x －
y ＋1＝0.
x － y ＋1＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 某矩形花园 ABCD 内需要铺两条笔直的小路，已知 AD ＝50
m， AB ＝30 m，其中一条小路定为 AC ，另一条小路过点 D ，
能否在线段 BC 上找到一点 M ，使得两条小路所在直线 AC 与
DM 相互垂直.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：如图所示，以点 B 为坐标原点， BC ， BA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系.
由 AD ＝50 m， AB ＝30 m，可得点 C （50，0）， D （50，30）， A （0，30）.设点 M 的坐标为（ x ，0），
因为 AC ⊥ DM ，且直线 AC ， DM 的斜率均存
在，所以 kAC · kDM ＝－1，即 · ＝－1，
解得 x ＝32，即当 BM ＝32 m时，两条小路所在
直线 AC 与 DM 相互垂直.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点坐标按逆
时针顺序依次为 O （0，0）， P （1， t ）， Q （1－2 t ，2＋ t ），
R （－2 t ，2），其中 t ＞0.试判断四边形 OPQR 的形状.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：由斜率公式得 kOP ＝ ＝ t ，
kQR ＝ ＝ ＝ t ，
kOR ＝ ＝－ ，
kPQ ＝ ＝ ＝－ .
所以 kOP ＝ kQR ， kOR ＝ kPQ ，从而 OP ∥ QR ， OR ∥ PQ .
所以四边形 OPQR 为平行四边形.
又 kOP · kOR ＝－1，所以 OP ⊥ OR ，
故四边形 OPQR 为矩形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！
