1.4 两条直线的交点
1.直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（ ）
A.（2，0） B.（2，1）
C.（0，2） D.（1，2）
2.若直线x－ay＝0与直线2x＋y－1＝0的交点为（1，y0），则实数a＝（ ）
A.－1 B.－
C.1 D.2
3.直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝（ ）
A.－24 B.24
C.6 D.±6
4.过两直线x＋y－3＝0，2x－y＝0的交点，且与直线y＝x平行的直线方程为（ ）
A.x＋3y＋5＝0 B.x＋3y－5＝0
C.x－3y＋5＝0 D.x－3y－5＝0
5.（多选）下列选项中，正确的有（ ）
A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为（1，3）
B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为（2，1）
C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3交点坐标为（－2，2）
D.直线l1：x－2y＋1＝0和l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0相交于一点
6.（多选）若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则m的值可以是（ ）
A.2 B.－2
C. D.－
7.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y－12＝0互相垂直，则垂足的坐标为 .
8.经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为 .
9.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是 .
10.判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；
（2）l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；
（3）l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.
11.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P（－1，2），则直线l的方程为（ ）
A.3x－y＋1＝0 B.x－3y＋1＝0
C.3x＋y＋1＝0 D.x＋3y＋1＝0
12.△ABC的三个顶点分别为A（0，3），B（3，3），C（2，0），如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a＝（ ）
A. B.1＋
C.1＋ D.2－
13.（多选）已知直线l1：x－y－1＝0和直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（ ）
A.存在实数k，使得直线l2的倾斜角为
B.对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点
C.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不重合
D.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直
14.已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.
（1）求直线l1与l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.
15.已知在平行四边形ABCD中，A（1，1），B（7，1），D（4，6），点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
（1）求直线CM的方程；
（2）求点P的坐标.
1.4 两条直线的交点
1.C 解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（0，2）.
2.A 直线x－ay＝0与直线2x＋y－1＝0的交点为（1，y0），所以 故选A.
3.A 因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为（a，0），所以解得故选A.
4.C 由解得则直线x＋y－3＝0，2x－y＝0的交点坐标为（1，2），又直线y＝x的斜率为，则所求直线方程为y－2＝（x－1），整理得x－3y＋5＝0，故选C.
5.AD 方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为（1，3），A正确；方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误；方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误；方程组的解为将点（1，1）代入l3得2＋1－3＝0，所以三条直线相交于一点（1，1），D正确.故选A、D.
6.ABC 三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况：l1∥l2，则有－＝，解得m＝－2；l1∥l3，则有－＝－6，解得m＝；l1，l2，l3相交于同一个点，由解得代入3x＋my－1＝0，可得3－m－1＝0，解得m＝2.故选A、B、C.
7.（1，－2） 解析：由两直线垂直得－×＝－1，解得a＝10.由解得则垂足的坐标为（1，－2）.
8.5x－15y－18＝0 解析：由方程组得又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，∴直线方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0.
9. 解析：由方程组解得∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴解得即－＜k＜－.则k的取值范围为.
10.解：（1）解方程组
得所以l1与l2相交，且交点坐标为（－，）.
（2）解方程组
②×6并整理得2x－6y＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
（3）解方程组
④×6－③得3＝0，矛盾.方程组无解，
所以两直线无公共点，l1∥l2.
11.C 设直线l与l1的交点为A（x0，y0）.由已知条件，得直线l与l2的交点为B（－2－x0，4－y0），
且满足
即解得即A（－2，5），
所以直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.
12.A lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得因为S△ABC＝，所以×a×（3－）＝，得a＝或a＝－（舍去）.
13.ABD 对于A项，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，此时直线l2的倾斜角为，故A项正确；对于B项，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－1＝0，与l1重合，此时两直线有公共点；当k≠－时，有1×k－（－1）×（k＋1）＝2k＋1≠0，即l1，l2一定相交.综上所述，对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点，故B项正确；对于C项，由B可知，当k＝－时，直线l2与l1重合，故C项错误；对于D项，要使直线l1与直线l2垂直，则应有k＋1－k＝0，该方程无解，所以对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直，故D项正确.故选A、B、D.
14.解：（1）设l2的方程为 2x－y＋m＝0.
因为l2在x轴上的截距为.
所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3，
即l2：2x－y－3＝0.
由得
所以直线l1与l2的交点坐标为（2，1）.
（2）当l3过原点时，l3的方程为y＝x；
当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1，
则＋＝1，得a＝，
所以l3的方程为2x＋y－5＝0.
综上，l3的方程为y＝x或2x＋y－5＝0.
15.解：（1）设点C的坐标为（x，y），
因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，
则解得即C（10，6）.
又点M是边AB的中点，所以M（4，1），
所以直线CM的方程为＝，
即5x－6y－14＝0.
（2）因为B（7，1），D（4，6），
所以直线BD的方程为＝，
即5x＋3y－38＝0.
由得
即点P的坐标为（6，）.
2 / 21.4 两条直线的交点
新课程标准解读 核心素养
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象、数学运算
中程导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁.假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程.
【问题】 把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？
知识点 两直线的交点坐标
1.定义：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将方程联立，得方程组若方程组有 ，则两条直线相交，此解就是交点的坐标.
2.两直线l1，l2位置关系的判断方法
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1，l2的公共点 个 无数个 个
直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行
【想一想】
1.仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？
2.平面上两条直线的位置关系有哪几种情形？在两条直线的位置关系中有垂直吗？它属于哪种情形？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.（ ）
（2）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.（ ）
（3）无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.（ ）
2.直线y＝x与直线y＝－x＋2的交点坐标为（ ）
A.（－1，－1） B.（1，1）
C.（－1，1） D.（1，－1）
3.方程组解的个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.无数个
题型一 两直线的交点问题
【例1】 （链接教科书第29页例1）分别判断下列直线l1与l2是否相交，如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
（2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
（3）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
通性通法
两条直线相交的判定方法
（1）联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；
（2）两直线的斜率都存在，且斜率不相等，则两直线相交；
（3）两直线的斜率一个存在，另一个不存在，两直线也相交.
【跟踪训练】
判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
题型二 由两直线的位置关系求参数
【例2】 （链接教科书第30页例2、第31页练习3题）（1）设a为实数，直线l1：2x＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－2＝0，若l1∥l2，求a的值；
（2）若三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10相交于一点，求实数a的值.
通性通法
利用两直线的位置关系求参数的方法
（1）将两直线的位置关系转化为由两直线组成的方程组的解的个数问题，进而求得参数；
（2）利用直线的一般式方程系数的关系，即已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0；若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）；若l1与l2重合，则A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0（或A1C2－A2C1＝0），列出方程求参数.
【跟踪训练】
设m为实数，已知直线l1：3x＋（m＋1）y－6＝0，l2：mx＋2y－（m＋2）＝0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）l1∥l2.
题型三 求过两直线交点的直线
【例3】 （链接教科书第30页例3）求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
【母题探究】
（变条件）本例中若将“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求直线l的方程.
通性通法
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
提醒 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0）.
【跟踪训练】
直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为（ ）
A.2x＋y＝0 B.2x－y＝0
C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0
1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是（ ）
A.（2，2） B.（1，1）
C.（1，2） D.（2，1）
2.已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，1），则a＋b＝（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.－2
3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为 .
1.4 两条直线的交点
【基础知识·重落实】
知识点
1.唯一解 2.1 0
想一想
1.提示：不能.
2.提示：相交、平行、重合三种情形；有，它属于相交中的特殊情况.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.B 由解得x＝y＝1，所以交点为（1，1），故选B.
3.A
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标是.
（2）解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2.
（3）解方程组
③×2得6x＋8y－10＝0.
即方程组有无数组解，l1与l2重合.
跟踪训练
解：（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）.
（2）解方程组
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
【例2】 解：（1）法一 因为l1∥l2，所以方程组无解.
由①×3－②×2得，（4－2a）y＝5， ③
从而③无解，即4－2a＝0，得a＝2.
法二 由题可知A1＝2，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－2.
当l1∥l2时，
解得a＝2.
（2）由 即三条直线交于点（4，－2），代入ax＋2y－8＝0，有4a－4－8＝0 a＝3.
跟踪训练
解：（1）∵l1与l2相交，∴A1B2－A2B1≠0，即3×2－m（m＋1）≠0，
即m2＋m－6≠0，解得m≠－3且m≠2，
即当m≠－3且m≠2时，直线l1与l2相交.
（2）∵l1∥l2，则解得m＝－3.
【例3】 解：法一 解方程组得交点坐标为（－1，2）.
又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－，
则直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即5x＋3y－1＝0.
法二 设所求直线l的方程为3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0，
即（3＋5λ）x＋2（1＋λ）y－1＋λ＝0， ①
又l⊥l3，则3×（3＋5λ）＋（－5）×（2＋2λ）＝0，解得λ＝，
将λ＝代入①式得5x＋3y－1＝0.
母题探究
解：解方程组得交点坐标为（－1，2），
又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为，
故直线l的方程为y－2＝（x＋1），
即3x－5y＋13＝0.
跟踪训练
B 设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B.
随堂检测
1.C 由得交点坐标为（1，2），故选C.
2.A ∵ 点M（1，1）在直线l1和l2上，∴解得∴a＋b＝－1.故选A.
3.2x＋y－4＝0 解析：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ（x＋y－4）＝0，即（3＋λ）x＋（λ－1）y＋4－4λ＝0，∴k＝＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
1 / 3(共60张PPT)
1.4 两条直线的交点
新课程标准解读 核心素养
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
中程导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射
拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截
并将其摧毁.假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线
也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程.
【问题】 把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交
点坐标？
知识点 两直线的交点坐标
1. 定义：已知两条直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2
＝0，将方程联立，得方程组若方程组有
，则两条直线相交，此解就是交点的坐标.
唯
一解
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线 l1， l2的公共点 个 无数个 个
直线 l1， l2的位置关系 相交 重合 平行
1
0
2. 两直线 l1， l2位置关系的判断方法
【想一想】
1. 仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？
提示：不能.
2. 平面上两条直线的位置关系有哪几种情形？在两条直线的位置关系
中有垂直吗？它属于哪种情形？
提示：相交、平行、重合三种情形；有，它属于相交中的特殊
情况.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元
一次方程组的解. （ √ ）
（2）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.
（ × ）
（3）无论 m 为何值， x － y ＋1＝0与 x －2 my ＋3＝0必相交.
（ × ）
√
×
×
2. 直线 y ＝ x 与直线 y ＝－ x ＋2的交点坐标为（ ）
A. （－1，－1） B. （1，1）
C. （－1，1） D. （1，－1）
解析： 由解得 x ＝ y ＝1，所以交点为（1，1），
故选B.
3. 方程组解的个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无数个
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两直线的交点问题
【例1】 （链接教科书第29页例1）分别判断下列直线 l1与 l2是否相
交，如果相交，求出交点的坐标：
（1） l1： x － y ＝0， l2：3 x ＋3 y －10＝0；
解：解方程组得
所以 l1与 l2相交，交点坐标是 .
（2） l1：3 x － y ＋4＝0， l2：6 x －2 y －1＝0；
解：解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以 l1与 l2无公共
点， l1∥ l2.
（3） l1：3 x ＋4 y －5＝0， l2：6 x ＋8 y －10＝0.
解：解方程组
③×2得6 x ＋8 y －10＝0.
即方程组有无数组解， l1与 l2重合.
通性通法
两条直线相交的判定方法
（1）联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；
（2）两直线的斜率都存在，且斜率不相等，则两直线相交；
（3）两直线的斜率一个存在，另一个不存在，两直线也相交.
【跟踪训练】
判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1） l1：2 x ＋ y ＋3＝0， l2： x －2 y －1＝0；
解：解方程组得所以直线 l1
与 l2相交，交点坐标为（－1，－1）.
（2） l1： x ＋ y ＋2＝0， l2：2 x ＋2 y ＋3＝0.
解：解方程组
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线 l1与 l2无公共
点，即 l1∥ l2.
题型二 由两直线的位置关系求参数
【例2】 （链接教科书第30页例2、第31页练习3题）（1）设 a 为实
数，直线 l1：2 x ＋2 y －3＝0， l2：3 x ＋（ a ＋1） y －2＝0，若 l1∥
l2，求 a 的值；
解：法一 因为 l1∥ l2，所以方程组
无解.
由①×3－②×2得，（4－2 a ） y ＝5， ③
从而③无解，即4－2 a ＝0，得 a ＝2.
法二 由题可知 A1＝2， B1＝2， C1＝－3，
A2＝3， B2＝ a ＋1， C2＝－2.
当 l1∥ l2时，
解得 a ＝2.
（2）若三条直线 ax ＋2 y －8＝0，4 x ＋3 y ＝10与2 x － y ＝10相交于一
点，求实数 a 的值.
解：由 即三条直线交于点（4，－
2），代入 ax ＋2 y －8＝0，有4 a －4－8＝0 a ＝3.
通性通法
利用两直线的位置关系求参数的方法
（1）将两直线的位置关系转化为由两直线组成的方程组的解的个数
问题，进而求得参数；
（2）利用直线的一般式方程系数的关系，即已知直线 l1： A1 x ＋ B1 y
＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，若 l1与 l2相交，则 A1 B2－ A2
B1≠0；若 l1∥ l2，则 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1≠0（或 A1 C2
－ A2 C1≠0）；若 l1与 l2重合，则 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1
＝0（或 A1 C2－ A2 C1＝0），列出方程求参数.
【跟踪训练】
设 m 为实数，已知直线 l1：3 x ＋（ m ＋1） y －6＝0， l2： mx ＋2 y －
（ m ＋2）＝0，当 m 为何值时， l1与 l2：
（1）相交；（2） l1∥ l2.
解：（1）∵ l1与 l2相交，∴ A1 B2－ A2 B1≠0，即3×2－ m （ m ＋
1）≠0，
即 m2＋ m －6≠0，解得 m ≠－3且 m ≠2，
即当 m ≠－3且 m ≠2时，直线 l1与 l2相交.
（2）∵ l1∥ l2，则解得 m ＝－3.
题型三 求过两直线交点的直线
【例3】 （链接教科书第30页例3）求经过直线 l1：3 x ＋2 y －1＝0和
l2：5 x ＋2 y ＋1＝0的交点，且垂直于直线 l3：3 x －5 y ＋6＝0的直线 l
的方程.
解：法一 解方程组得交点坐标为（－1，2）.
又由直线 l3的斜率为 ，得直线 l 的斜率为－ ，
则直线 l 的方程为 y －2＝－ （ x ＋1），即5 x ＋3 y －1＝0.
法二 设所求直线 l 的方程为3 x ＋2 y －1＋λ（5 x ＋2 y ＋1）＝0，
即（3＋5λ） x ＋2（1＋λ） y －1＋λ＝0， ①
又 l ⊥ l3，则3×（3＋5λ）＋（－5）×（2＋2λ）＝0，
解得λ＝ ，
将λ＝ 代入①式得5 x ＋3 y －1＝0.
【母题探究】
（变条件）本例中若将“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求
直线 l 的方程.
解：解方程组得交点坐标为（－1，2），
又由直线 l3的斜率为 ，得直线 l 的斜率为 ，
故直线 l 的方程为 y －2＝ （ x ＋1），
即3 x －5 y ＋13＝0.
通性通法
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再
结合其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线系方程，
再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
提醒 过两条已知直线 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0
交点的直线系方程为 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0
（不包括直线 A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0）.
【跟踪训练】
直线 l 经过点（1，2），且经过直线2 x ＋3 y ＋8＝0与 x － y －1＝0的交
点，则直线 l 的方程为（ ）
A. 2 x ＋ y ＝0 B. 2 x － y ＝0
C. x ＋2 y ＝0 D. x －2 y ＝0
解析： 设所求直线方程为2 x ＋3 y ＋8＋λ（ x － y －1）＝0，即
（2＋λ） x ＋（3－λ） y ＋8－λ＝0.因为 l 过点（1，2），所以（2
＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线 l 的方程为2 x － y
＝0.故选B.
1. 直线 x ＝1和直线 y ＝2的交点坐标是（ ）
A. （2，2） B. （1，1）
C. （1，2） D. （2，1）
解析： 由得交点坐标为（1，2），故选C.
2. 已知直线 l1： ax ＋ y ＋1＝0与 l2：2 x － by －1＝0相交于点 M （1，
1），则 a ＋ b ＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 2 D. －2
解析： ∵ 点 M （1，1）在直线 l1和 l2上，∴解
得∴ a ＋ b ＝－1.故选A.
3. 斜率为－2，且过两条直线3 x － y ＋4＝0和 x ＋ y －4＝0交点的直线
方程为 .
解析：设所求直线方程为3 x － y ＋4＋λ（ x ＋ y －4）＝0，即（3
＋λ） x ＋（λ－1） y ＋4－4λ＝0，∴ k ＝ ＝－2，解得λ＝
5.∴所求直线方程为2 x ＋ y －4＝0.
2 x ＋ y －4＝0
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 x ＋2 y －4＝0与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是（ ）
A. （2，0） B. （2，1）
C. （0，2） D. （1，2）
解析： 解方程组得即直线 x ＋2 y －4
＝0与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是（0，2）.
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2. 若直线 x － ay ＝0与直线2 x ＋ y －1＝0的交点为（1， y0），则实数
a ＝（ ）
A. －1 B. －
C. 1 D. 2
解析： 直线 x － ay ＝0与直线2 x ＋ y －1＝0的交点为（1，
y0），所以 故选A.
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3. 直线2 x ＋3 y － k ＝0和直线 x － ky ＋12＝0的交点在 x 轴上，则 k ＝
（ ）
A. －24 B. 24
C. 6 D. ±6
解析： 因为直线2 x ＋3 y － k ＝0和直线 x － ky ＋12＝0的交点在
x 轴上，可设交点坐标为（ a ，0），所以解得
故选A.
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4. 过两直线 x ＋ y －3＝0，2 x － y ＝0的交点，且与直线 y ＝ x 平行的
直线方程为（ ）
A. x ＋3 y ＋5＝0 B. x ＋3 y －5＝0
C. x －3 y ＋5＝0 D. x －3 y －5＝0
解析： 由解得则直线 x ＋ y －3＝0，2
x － y ＝0的交点坐标为（1，2），又直线 y ＝ x 的斜率为 ，则所
求直线方程为 y －2＝ （ x －1），整理得 x －3 y ＋5＝0，故选C.
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5. （多选）下列选项中，正确的有（ ）
A. 直线 l1： x － y ＋2＝0和 l2：2 x ＋ y －5＝0的交点坐标为（1，3）
B. 直线 l1： x －2 y ＋4＝0和 l2：2 x －4 y ＋8＝0的交点坐标为（2，1）
C. 直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0和 l2： y ＝－2 x ＋3交点坐标为（－2，2）
D. 直线 l1： x －2 y ＋1＝0和 l2： y ＝ x ， l3：2 x ＋ y －3＝0相交于一点
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解析： 方程组的解为因此直线 l1和
l2相交，交点坐标为（1，3），A正确；方程组
有无数个解，这表明直线 l1和 l2重合，B错误；方程组
无解，这表明直线 l1和 l2没有公共点，故 l1∥ l2，
C错误；方程组的解为将点（1，1）代
入 l3得2＋1－3＝0，所以三条直线相交于一点（1，1），D正确.故
选A、D.
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6. （多选）若三条直线 l1：3 x ＋ my －1＝0， l2：3 x －2 y －5＝0，
l3：6 x ＋ y －5＝0不能围成三角形，则 m 的值可以是（ ）
A. 2 B. －2
C. D. －
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解析： 三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况： l1∥
l2，则有－ ＝ ，解得 m ＝－2； l1∥ l3，则有－ ＝－6，解得 m
＝ ； l1， l2， l3相交于同一个点，由解得
代入3 x ＋ my －1＝0，可得3－ m －1＝0，解得 m ＝2.故
选A、B、C.
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7. 已知直线 ax ＋4 y －2＝0与2 x －5 y －12＝0互相垂直，则垂足的坐
标为 .
解析：由两直线垂直得－ × ＝－1，解得 a ＝10.由
解得则垂足的坐标为（1，－2）.
（1，－2）
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8. 经过两直线2 x －3 y －3＝0和 x ＋ y ＋2＝0的交点且与直线3 x ＋ y －
1＝0垂直的直线 l 的方程为 .
解析：由方程组得又所求直线与直
线3 x ＋ y －1＝0垂直，故 k ＝ ，∴直线方程为 y ＋ ＝ ，
即5 x －15 y －18＝0.
5 x －15 y －18＝0
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9. 若两条直线 l1： y ＝ kx ＋2 k ＋1和 l2： x ＋2 y －4＝0的交点在第四象
限，则 k 的取值范围是 .
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解析：由方程组解得∵该交点落在
平面直角坐标系的第四象限，∴解得
即－ ＜ k ＜－ .则 k 的取值范围为 .
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10. 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
（1） l1：5 x ＋4 y －2＝0， l2：2 x ＋ y ＋2＝0；
解：解方程组得
所以 l1与 l2相交，且交点坐标为（－ ， ）.
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（2） l1：2 x －6 y ＋3＝0， l2： y ＝ x ＋ ；
解：解方程组
②×6并整理得2 x －6 y ＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直
线， l1与 l2重合.
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（3） l1：2 x －6 y ＝0， l2： y ＝ x ＋ .
解：解方程组
④×6－③得3＝0，矛盾.方程组无解，
所以两直线无公共点， l1∥ l2.
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11. 直线 l 被两条直线 l1：4 x ＋ y ＋3＝0和 l2：3 x －5 y －5＝0截得的线
段的中点为 P （－1，2），则直线 l 的方程为（ ）
A. 3 x － y ＋1＝0 B. x －3 y ＋1＝0
C. 3 x ＋ y ＋1＝0 D. x ＋3 y ＋1＝0
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解析： 设直线 l 与 l1的交点为 A （ x0， y0）.由已知条件，得直
线 l 与 l2的交点为 B （－2－ x0，4－ y0），且满足
即解得即 A （－2，5），
所以直线 l 的方程为 ＝ ，即3 x ＋ y ＋1＝0.
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12. △ ABC 的三个顶点分别为 A （0，3）， B （3，3）， C （2，0），
如果直线 x ＝ a 将△ ABC 分割成面积相等的两部分，则实数 a ＝
（ ）
A. B. 1＋
C. 1＋ D. 2－
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解析： lAC ： ＋ ＝1，即3 x ＋2 y －6＝0.由
得因为 S△ ABC ＝ ，所以 × a ×
（3－ ）＝ ，得 a ＝ 或 a ＝－ （舍去）.
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13. （多选）已知直线 l1： x － y －1＝0和直线 l2：（ k ＋1） x ＋ ky ＋ k
＝0（ k ∈R），则下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数 k ，使得直线 l2的倾斜角为
B. 对任意的实数 k ，直线 l1与直线 l2都有公共点
C. 对任意的实数 k ，直线 l1与直线 l2都不重合
D. 对任意的实数 k ，直线 l1与直线 l2都不垂直
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解析： 对于A项，当 k ＝0时，直线 l2的方程为 x ＝0，此时
直线 l2的倾斜角为 ，故A项正确；对于B项，当 k ＝－ 时，直线
l2的方程为 x － y －1＝0，与 l1重合，此时两直线有公共点；当 k ≠
－ 时，有1× k －（－1）×（ k ＋1）＝2 k ＋1≠0，即 l1， l2一定
相交.综上所述，对任意的实数 k ，直线 l1与直线 l2都有公共点，
故B项正确；对于C项，由B可知，当 k ＝－ 时，直线 l2与 l1重
合，故C项错误；对于D项，要使直线 l1与直线 l2垂直，则应有 k ＋
1－ k ＝0，该方程无解，所以对任意的实数 k ，直线 l1与直线 l2都
不垂直，故D项正确.故选A、B、D.
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14. 已知直线 l1的方程为 x ＋2 y －4＝0， l2在 x 轴上的截距为 ，且 l1⊥
l2.
（1）求直线 l1与 l2的交点坐标；
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解：设 l2的方程为 2 x － y ＋ m ＝0.
因为 l2在 x 轴上的截距为 .
所以2× －0＋ m ＝0，解得 m ＝－3，
即 l2：2 x － y －3＝0.
由得
所以直线 l1与 l2的交点坐标为（2，1）.
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（2）已知直线 l3经过 l1与 l2的交点，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上
的截距的2倍，求 l3的方程.
解：当 l3过原点时， l3的方程为 y ＝ x ；
当 l3不过原点时，设 l3的方程为 ＋ ＝1，
则 ＋ ＝1，得 a ＝ ，
所以 l3的方程为2 x ＋ y －5＝0.
综上， l3的方程为 y ＝ x 或2 x ＋ y －5＝0.
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15. 已知在平行四边形 ABCD 中， A （1，1）， B （7，1）， D （4，
6），点 M 是边 AB 的中点， CM 与 BD 交于点 P .
（1）求直线 CM 的方程；
解：设点 C 的坐标为（ x ， y ），
因为在平行四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AD ∥ BC ，
所以线段 AB ， DC 所在直线的斜率相等，线段 AD ， BC 所
在直线的斜率相等，
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则
解得即 C （10，6）.
又点 M 是边 AB 的中点，
所以 M （4，1），
所以直线 CM 的方程为 ＝ ，
即5 x －6 y －14＝0.
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（2）求点 P 的坐标.
解：因为 B （7，1）， D （4，6），
所以直线 BD 的方程为 ＝ ，
即5 x ＋3 y －38＝0.
由得
即点 P 的坐标为（6， ）.
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谢 谢 观 看！
