1.5.2 点到直线的距离
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握点到直线的距离公式 直观想象
2.会求两条平行直线间的距离 数学运算
第1课时 点到直线的距离
在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
【问题】 怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
知识点 点到直线的距离
1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是 .
2.图示：
3.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d＝ .
【想一想】
点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式就不适用了.（ ）
（2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（ ）
（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.（ ）
2.点（1，－1）到直线x－y＋1＝0的距离d＝（ ）
A. B.
C. D.
3.点P（3，－2）到直线x＝4的距离为 .
题型一 点到直线的距离公式
【例1】 （链接教科书第39页例4）已知点P（3，－2），则：
（1）点P到直线y＝x＋的距离为 ；
（2）点P到直线y＝6的距离为 .
通性通法
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜.
【跟踪训练】
1.原点到直线y＝－x＋的距离为（ ）
A.1 B.
C.2 D.3
2.（2024·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为 .
题型二 点到直线的距离公式的简单应用
【例2】 （链接教科书第41页练习3题）（1）已知两点A（3，2），B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为（ ）
A.－6或1 B.－或1
C.－或 D.－6或
（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程.
通性通法
点到直线距离公式的应用
（1）若已知点到直线的距离，求相关参数的值，可利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程求解；
（2）若已知点到直线的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求解未知量，注意该类问题对应的几何图形与解的个数之间的关系.
【跟踪训练】
1.已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（ ）
A. B.2－ C.－1 D.＋1
2.倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为 .
题型三 直线上动点到定点的距离最值问题
【例3】 （链接教科书第42页习题6题）（1）已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.2
（2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是 .
通性通法
解决直线上动点到定点的距离最值问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.
【跟踪训练】
1.动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则OP最小时点P的坐标为 .
2.（2024·镇江月考）过点P（1，2）且与原点距离最大的直线方程为 .
1.点（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为（ ）
A. B. C. D.2
2.已知点M（1，4）到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m＝（ ）
A.－2 B.－ C. D.2
3.已知点M（1，2），点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是（ ）
A. B. C. D.3
4.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点（－1，－1）距离为2的直线方程为 .
第1课时 点到直线的距离
【基础知识·重落实】
知识点
1.垂足 3.
想一想
提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直线的距离.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.A 由点到直线的距离公式可得d＝＝.
3.1 解析：因为直线x＝4平行于y轴，所以所求距离d＝｜4－3｜＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1） （2）8 解析：（1）把方程y＝x＋化为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得点P（3，－2）到直线y＝x＋的距离d＝＝.
（2）法一 把方程y＝6化为0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得所求距离d＝＝8.
法二 因为直线y＝6平行于x轴，所以所求距离d＝｜6－（－2）｜＝8.
跟踪训练
1.B 直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原点到直线y＝－x＋的距离为＝.
2.（8，0）或（－12，0） 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝6，解得x＝8或x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）.
【例2】 （1）D 由题意得＝，解得m＝－6或m＝.
（2）解：由题意知，若截距为0，
则设所求直线l的方程为y＝kx（k≠0）.
由题意知＝，解得k＝1或k＝－7，
此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0.
若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0（a≠0）.
由题意知＝，解得a＝2或a＝6，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
跟踪训练
1.C 由点到直线的距离公式得＝＝1，即｜a＋1｜＝.∵a＞0，∴a＝－1.
2.x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5 ｜b｜＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
【例3】 （1）A （2）－1 解析：（1）OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.
（2）直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m（x－2），由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，结合图象（图略）可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线的距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1.
跟踪训练
1.（2，2） 解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，即OP所在的直线方程为y＝x.由解得即点P的坐标为（2，2）.
2.x＋2y－5＝0 解析：由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0.
随堂检测
1.A 由点到直线的距离公式得d＝＝.
2.B 因为点M（1，4）到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，所以有＝1，解得m＝－.
3.B 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为＝.
4.4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0
解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.则＝2，即｜C－7｜＝10.解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
3 / 3第1课时 点到直线的距离
1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（ ）
A.3 B.
C.1 D.
2.若第二象限内的点M（m，1）到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m＝（ ）
A.0 B.－4
C.－4或0 D.0或4
3.若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是（ ）
A.3x＋y±10＝0
B.3x＋y±＝0
C.x－3y±10＝0
D.x－3y±＝0
4.点P（x，y）在直线x＋y＝4上，O是坐标原点，则OP的最小值是（ ）
A. B.
C.2 D.
5.（多选）已知点A（－3，－4），B（6，3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
6.（多选）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使PM＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A.x－y－1＝0 B.y＝5
C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0
7.已知点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到直线y＝x＋1的距离为 .
8.点（4，t）到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则t的取值范围是 .
9.经过点P（－3，4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为 .
10.已知△ABC三边所在直线的方程分别为lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0（m∈R，m≠30）.
（1）判断△ABC的形状；
（2）当BC边上的高为1时，求实数m的值.
11.点P（sin θ，cos θ）到直线x＋y＋8＝0的距离的最小值为（ ）
A.4 B.2
C.3 D.2
12.点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4，满足条件的直线有（ ）
A.一条 B.两条
C.三条 D.四条
13.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是 .
14.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
（1）若点A（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程；
（2）求点A（5，0）到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程.
15.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（m，），C（4，2），1＜m＜4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？
第1课时 点到直线的距离
1.B 点P（1，－1）到直线l的距离为d＝－1－＝，故选B.
2.B 由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4.
3.A 设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0（m≠－2），由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0.
4.C 直线x＋y＝4即x＋y－4＝0，OP的最小值即原点O到直线x＋y－4＝0的距离，为＝＝2.故选C.
5.AB 由点到直线的距离公式可得＝，化简得｜3a＋3｜＝｜6a＋4｜，解得a＝－或－.
6.AC 由题意知，“切割型直线”需满足点M（5，0）到直线的距离小于或等于4.A：点M（5，0）到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝2＜4，故A符合题意；B：点M（5，0）到直线y＝5的距离为d＝5＞4，故B不符合题意；C：点M（5，0）到直线4x－3y＝0的距离为d＝＝4，故C符合题意；D：点M（5，0）到直线2x－y＋1＝0的距离为d＝＝＞4，故D不符合题意.故选A、C.
7.2 解析：∵点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），∴解得即P（4，1），直线y＝x＋1的一般式方程为x－y＋1＝0.∴所求距离为d＝＝2.
8.[0，10] 解析：由题意得≤3，即｜3t－15｜≤15，∴－15≤3t－15≤15，解得0≤t≤10.
9.x＝－3或7x＋24y－75＝0
解析：①当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离为d＝＝3，解得k＝－.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
10.解：（1）直线AB的斜率为kAB＝.直线AC的斜率为kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以直线AB与AC互相垂直，因此△ABC为直角三角形.
（2）由得即A点坐标为（2，6）.
由点到直线的距离公式，得点A到BC边的距离即BC边上的高为＝＝1，
即｜30－m｜＝5，解得m＝25或m＝35.
11.C 点P（sin θ，cos θ）到直线x＋y＋8＝0的距离为d＝＝≥＝3，所以当sin（θ＋）＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取得最小值为3.故选C.
12.C 因为点A（5，0），B（1，－4），所以由两点间距离公式可得AB＝＝＝8，则点A（5，0），B（1，－4）到线段AB的垂直平分线的距离都等于4.位于直线AB两侧并与直线AB平行且距离为4的直线各有一条，满足点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4.综上可知，共有三条直线满足点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4.故选C.
13.4 解析：设P（x，x＋），x＞0，则点P到直线x＋y＝0的距离为d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
14.解：（1）设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
（2）由解得交点为P（2，1）.如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤PA（当l⊥PA时等号成立），所以dmax＝PA＝，此时直线l的方程为3x－y－5＝0.
15.解：AC＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0.
∵点B（m，）到直线AC的距离d＝，
∴△ABC的面积S＝AC·d＝｜m－3＋2｜＝（－）2－.
∵1＜m＜4，∴1＜＜2，
∴0＜≤，0＜S≤，
∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大.
2 / 2(共57张PPT)
1.5.2 点到直线的距离
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握点到直线的距离公式 直观想象
2.会求两条平行直线间的距离 数学运算
第1课时 点到直线的距离
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易
知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线 l ，仓
库看作点 P .
【问题】 怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
知识点 点到直线的距离
1. 定义：点 P 到直线 l 的距离，就是从点 P 到直线 l 的垂线段 PQ 的长
度，其中 Q 是 .
2. 图示：
垂足
3. 公式：点 P （ x0， y0）到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不同时为
0）的距离 d ＝ .
【想一想】
点到直线的距离公式对于 A ＝0或 B ＝0时的直线是否仍然适用？
提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直线
的距离.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当点 P （ x0， y0）在直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0上时，点到直线
的距离公式就不适用了. （ × ）
（2）点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离为 .
（ × ）
（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.
（ √ ）
×
×
√
2. 点（1，－1）到直线 x － y ＋1＝0的距离 d ＝（ ）
解析： 由点到直线的距离公式可得 d ＝ ＝ .
3. 点 P （3，－2）到直线 x ＝4的距离为 .
解析：因为直线 x ＝4平行于 y 轴，所以所求距离 d ＝｜4－3｜＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 点到直线的距离公式
【例1】 （链接教科书第39页例4）已知点 P （3，－2），则：
（1）点 P 到直线 y ＝ x ＋ 的距离为 ；
解析：把方程 y ＝ x ＋ 化为3 x －4 y ＋1＝0，由点到直线的距
离公式得点 P （3，－2）到直线 y ＝ x ＋ 的距离 d ＝
＝ .
（2）点 P 到直线 y ＝6的距离为 .
解析：法一 把方程 y ＝6化为0· x ＋ y －6＝0，由点到直线的距
离公式得所求距离 d ＝ ＝8.
8
法二 因为直线 y ＝6平行于 x 轴，所以所求距离 d ＝｜6－（－2）｜＝8.
通性通法
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接
应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线 x ＝ a 或 y ＝ b ，求点到它们
的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d
＝｜ x0－ a ｜或 d ＝｜ y0－ b ｜.
【跟踪训练】
1. 原点到直线 y ＝－ x ＋ 的距离为（ ）
A. 1
C. 2 D. 3
解析： 直线 y ＝－ x ＋ ，即 x ＋2 y －5＝0，故原点到直线 y ＝
－ x ＋ 的距离为 ＝ .
2. （2024·苏州月考）点 P 在 x 轴上，且到直线3 x －4 y ＋6＝0的距离
为6，则点 P 的坐标为 .
解析：设点 P 的坐标为（ x ，0），则 ＝6，解得 x ＝8
或 x ＝－12.∴点 P 的坐标为（8，0）或（－12，0）.
（8，0）或（－12，0）
题型二 点到直线的距离公式的简单应用
【例2】 （链接教科书第41页练习3题）（1）已知两点 A （3，2），
B （－1，4）到直线 mx ＋ y ＋3＝0的距离相等，则 m 的值为（ ）
A. －6或1
解析： 由题意得 ＝ ，解得 m ＝－6或 m ＝ .
（2）已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 P （1，3）到直线 l
的距离为 ，求
直线 l 的方程.
解：由题意知，若截距为0，
则设所求直线 l 的方程为 y ＝ kx （ k ≠0）.
由题意知 ＝ ，解得 k ＝1或 k ＝－7，
此时直线 l 的方程为 x － y ＝0或7 x ＋ y ＝0.
若截距不为0，则设所求直线 l 的方程为 x ＋ y － a ＝0（ a ≠0）.
由题意知 ＝ ，解得 a ＝2或 a ＝6，
此时直线 l 的方程为 x ＋ y －2＝0或 x ＋ y －6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x － y ＝0或7 x ＋ y ＝0或 x ＋ y －2＝0
或 x ＋ y －6＝0.
通性通法
点到直线距离公式的应用
（1）若已知点到直线的距离，求相关参数的值，可利用点到直线的
距离公式建立关于参数的方程求解；
（2）若已知点到直线的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利
用点到直线的距离公式列方程求解未知量，注意该类问题对应
的几何图形与解的个数之间的关系.
【跟踪训练】
1. 已知点（ a ，2）（ a ＞0）到直线 l ： x － y ＋3＝0的距离为1，则 a
＝（ ）
解析： 由点到直线的距离公式得 ＝ ＝1，
即｜ a ＋1｜＝ .∵ a ＞0，∴ a ＝ －1.
2. 倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为
.
解析：因为直线斜率为tan 60°＝ ，可设直线方程为 y ＝ x ＋
b ，化为一般式得 x － y ＋ b ＝0.由直线与原点距离为5，得
＝5 ｜ b ｜＝10.所以 b ＝±10，所以所求直线方
程为 x － y ＋10＝0或 x － y －10＝0.
x － y ＋10
＝0或 x － y －10＝0
题型三 直线上动点到定点的距离最值问题
【例3】 （链接教科书第42页习题6题）（1）已知 O 为原点，点 P 在
直线 x ＋ y －1＝0上运动，那么 OP 的最小值为（ A ）
B. 1
解析： OP的最小值为原点 O 到直线 x ＋ y －1＝0的距离 d ＝ ＝
.
（2）当点 P （3，2）到直线 mx － y ＋1－2 m ＝0的距离最大时， m 的
值是 .
解析：直线 mx － y ＋1－2 m ＝0可化为 y －1＝ m （ x －2），由
直线点斜式方程可知直线恒过定点 Q （2，1）且斜率为 m ，结
合图象（图略）可知当 PQ 与直线 mx － y ＋1－2 m ＝0垂直时，
点到直线的距离最大，此时 m · ＝－1，解得 m ＝－1.
－1
通性通法
解决直线上动点到定点的距离最值问题需注意分类讨论，利
用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问
题的目的.
【跟踪训练】
1. 动点 P （ x ， y ）在直线 x ＋ y －4＝0上， O 为原点，则 OP 最小时
点 P 的坐标为 .
解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此
时 OP 垂直于已知直线，则 kOP ＝1，即 OP 所在的直线方程为 y ＝ x .
由解得即点 P 的坐标为（2，2）.
（2，2）
2. （2024·镇江月考）过点 P （1，2）且与原点距离最大的直线方程
为 .
解析：由题意知，过点 P 且与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最
大，∵ kOP ＝2，∴所求直线方程为 y －2＝－ （ x －1），即 x ＋2 y
－5＝0.
x ＋2 y －5＝0
1. 点（1，2）到直线 y ＝2 x ＋1的距离为（ ）
解析： 由点到直线的距离公式得 d ＝ ＝ .
2. 已知点 M （1，4）到直线 l ： mx ＋ y －1＝0的距离等于1，则实数 m
＝（ ）
A. －2
D. 2
解析： 因为点 M （1，4）到直线 l ： mx ＋ y －1＝0的距离等于
1，所以有 ＝1，解得 m ＝－ .
3. 已知点 M （1，2），点 P （ x ， y ）在直线2 x ＋ y －1＝0上，则 MP
的最小值是（ ）
解析： 点 M 到直线2 x ＋ y －1＝0的距离，即为 MP 的最小值，
所以 MP 的最小值为 ＝ .
4. 与直线3 x －4 y ＋1＝0垂直，且与点（－1，－1）距离为2的直线方
程为 .
解析：设所求直线方程为4 x ＋3 y ＋ C ＝0.则
＝2，即｜ C －7｜＝10.解得 C ＝－3或 C
＝17.故所求直线方程为4 x ＋3 y －3＝0或4 x ＋3 y ＋17＝0.
4 x ＋3 y －3＝0或4 x ＋3 y ＋17＝0
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 点 P （1，－1）到直线 l ：3 y ＝2的距离是（ ）
A. 3
C. 1
解析： 点 P （1，－1）到直线 l 的距离为 d ＝ －1－ ＝ ，故选
B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 若第二象限内的点 M （ m ，1）到直线 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ，
则 m ＝（ ）
A. 0 B. －4
C. －4或0 D. 0或4
解析： 由 ＝ ，得 m ＝－4或 m ＝0，又∵ m ＜0，
∴ m ＝－4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 若直线 l 平行于直线3 x ＋ y －2＝0且原点到直线 l 的距离为 ，则
直线 l 的方程是（ ）
A. 3 x ＋ y ±10＝0
C. x －3 y ±10＝0
解析： 设与直线3 x ＋ y －2＝0平行的直线方程为3 x ＋ y ＋ m ＝0
（ m ≠－2），由原点到直线 l 的距离为 ，得 ＝ ，则
m ＝±10，所以直线 l 的方程是3 x ＋ y ±10＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 点 P （ x ， y ）在直线 x ＋ y ＝4上， O 是坐标原点，则 OP 的最小值
是（ ）
解析： 直线 x ＋ y ＝4即 x ＋ y －4＝0， OP 的最小值即原点 O 到
直线 x ＋ y －4＝0的距离，为 ＝ ＝2 .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）已知点 A （－3，－4）， B （6，3）到直线 l ： ax ＋ y ＋1
＝0的距离相等，则实数 a ＝（ ）
解析： 由点到直线的距离公式可得 ＝
，化简得｜3 a ＋3｜＝｜6 a ＋4｜，解得 a ＝－ 或－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）已知平面上一点 M （5，0），若直线上存在点 P 使 PM ＝
4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”
的是（ ）
A. x － y －1＝0 B. y ＝5
C. 4 x －3 y ＝0 D. 2 x － y ＋1＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由题意知，“切割型直线”需满足点 M （5，0）到直
线的距离小于或等于4.A：点 M （5，0）到直线 x － y －1＝0的距
离为 d ＝ ＝2 ＜4，故A符合题意；B：点 M （5，0）到
直线 y ＝5的距离为 d ＝5＞4，故B不符合题意；C：点 M （5，0）
到直线4 x －3 y ＝0的距离为 d ＝ ＝4，故C符合题意；D：点
M （5，0）到直线2 x － y ＋1＝0的距离为 d ＝ ＝ ＞4，
故D不符合题意.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：∵点（ x ，5）关于点（1， y ）的对称点为（－2，－3），
∴解得即 P （4，1），直线 y ＝ x ＋1的一般
式方程为 x － y ＋1＝0.∴所求距离为 d ＝ ＝2 .
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 点（4， t ）到直线4 x －3 y ＝1的距离不大于3，则 t 的取值范围
是 .
解析：由题意得 ≤3，即｜3 t －15｜≤15，∴－15≤3 t
－15≤15，解得0≤ t ≤10.
[0，10]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 经过点 P （－3，4），且与原点的距离等于3的直线 l 的方程为
.
解析：①当直线 l 的斜率不存在时，原点到直线 l ： x ＝－3的距离
等于3，满足题意.②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －
4＝ k （ x ＋3），即 kx － y ＋3 k ＋4＝0.原点到直线 l 的距离为 d ＝
＝3，解得 k ＝－ .直线 l 的方程为7 x ＋24 y －75＝0.
综上可知，直线 l 的方程为 x ＝－3或7 x ＋24 y －75＝0.
x ＝
－3或7 x ＋24 y －75＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知△ ABC 三边所在直线的方程分别为 lAB ：3 x －2 y ＋6＝0，
lAC ：2 x ＋3 y －22＝0， lBC ：3 x ＋4 y － m ＝0（ m ∈R， m ≠30）.
（1）判断△ ABC 的形状；
解：直线 AB 的斜率为 kAB ＝ .直线 AC 的斜率为 kAC ＝
－ ，所以 kAB · kAC ＝－1，所以直线 AB 与 AC 互相垂直，因
此△ ABC 为直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）当 BC 边上的高为1时，求实数 m 的值.
解：由得即 A 点坐标为（2，6）.
由点到直线的距离公式，得点 A 到 BC 边的距离即 BC 边上的
高为 ＝ ＝1，
即｜30－ m ｜＝5，解得 m ＝25或 m ＝35.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 点 P （ sin θ， cos θ）到直线 x ＋ y ＋8＝0的距离的最小值为
（ ）
A. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 点 P （ sin θ， cos θ）到直线 x ＋ y ＋8＝0的距离为
d ＝ ＝ ≥ ＝3 ，
所以当 sin （θ＋ ）＝－1，即θ＝2 k π＋ ， k ∈Z时， d 取得
最小值为3 .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 点 A （5，0）， B （1，－4 ）到直线的距离都是4，满足条件
的直线有（ ）
A. 一条 B. 两条
C. 三条 D. 四条
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 因为点 A （5，0）， B （1，－4 ），所以由两点间
距离公式可得 AB ＝ ＝ ＝8，则
点 A （5，0）， B （1，－4 ）到线段 AB 的垂直平分线的距离
都等于4.位于直线 AB 两侧并与直线 AB 平行且距离为4的直线各有
一条，满足点 A （5，0）， B （1，－4 ）到直线的距离都是4.
综上可知，共有三条直线满足点 A （5，0）， B （1，－4 ）到
直线的距离都是4.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 y ＝ x ＋ （ x ＞0）上的一个
动点，则点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离的最小值是 .
解析：设 P （ x ， x ＋ ）， x ＞0，则点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离
为 d ＝ ＝ ≥ ＝4，当且仅当2 x ＝ ，即 x ＝
时取等号，故点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离的最小值是4.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知直线 l 经过直线2 x ＋ y －5＝0与 x －2 y ＝0的交点 P .
（1）若点 A （5，0）到直线 l 的距离为3，求直线 l 的方程；
解：（1）设经过两已知直线交点的直线系方程为（2 x ＋ y
－5）＋λ（ x －2 y ）＝0，即（2＋λ） x ＋（1－2λ） y －
5＝0，
所以 ＝3，解得λ＝ 或λ＝2，
所以直线 l 的方程为 x ＝2或4 x －3 y －5＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求点 A （5，0）到直线 l 的距离的最大值，并求距离最大时
的直线 l 的方程.
解：由解得交点为 P
（2，1）.如图，过 P 作任一直线 l ，设 d 为点 A
到直线 l 的距离，
则 d ≤ PA （当 l ⊥ PA 时等号成立），所以 dmax
＝ PA ＝ ，此时直线 l 的方程为3 x － y －5＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知△ ABC 的顶点坐标为 A （1，1）， B （ m ， ）， C （4，
2），1＜ m ＜4.当 m 为何值时，△ ABC 的面积 S 最大？
解： AC ＝ ＝ ，直线 AC 的方程为
＝ ，即 x －3 y ＋2＝0.
∵点 B （ m ， ）到直线 AC 的距离 d ＝ ，
∴△ ABC 的面积 S ＝ AC · d ＝ ｜ m －3 ＋2｜＝ （ － ）2
－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∵1＜ m ＜4，∴1＜ ＜2，
∴0＜ ≤ ，0＜ S ≤ ，
∴当 ＝ ，即 m ＝ 时，△ ABC 的面积 S 最大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！
