第2课时 两平行直线间的距离
图中的a，b是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通.
【问题】 你认为选用哪根水管最节省材料？
知识点 两条平行直线间的距离
1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 的长.
2.图示：
3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（A，B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d＝ .
提醒 使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离.（ ）
（2）若直线l1：x＋y－1＝0上有A（1，0），B（0，1），C（－1，2）三点，则点A，B，C到直线l2：x＋y＋1＝0的距离相等.（ ）
（3）已知直线l1：x＝x1，l2：2x＝x2，则直线l1，l2间的距离为｜x2－x1｜.（ ）
2.已知直线l1：3x－y＋3＝0与l2：3x－y＋C＝0之间的距离为，则C＝（ ）
A.13 B.13或－7
C.7 D.7或－13
3.已知直线l1：3x－4y＋5＝0，l2：3x－4y－10＝0，则l1与l2的距离为 .
题型一 两平行直线间的距离公式
【例1】 （链接教科书第39页例5）（1）若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为（ ）
A.1 B.
C. D.2
（2）分别过点A（－2，1）和点B（3，－5）的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是 .
通性通法
求两平行直线间的距离的方法
（1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算；
（2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等.
【跟踪训练】
已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是（ ）
A.1 B.2 C. D.4
题型二 两平行直线间距离的简单应用
【例2】 （链接教科书第42页习题8题）（1）已知直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程是（ ）
A.3x－y＋2＝0 B.3x－y－2＝0
C.3x－y－3＝0 D.3x－y＋1＝0
（2）已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝（ ）
A.－12 B.48
C.36 D.－12或48
通性通法
两平行直线间距离公式的应用
（1）若已知两平行直线间的距离求相关参数的值，可利用两平行直线间的距离公式建立关于参数的方程求解；
（2）若已知两平行直线间的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利用两平行直线间的距离公式列方程求解未知量，进而得出所求直线方程.
【跟踪训练】
（多选）已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（ ）
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
题型三 两平行直线间距离的最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时，两条直线的方程.
通性通法
应用数形结合思想求最值
（1）解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决；
（2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
【跟踪训练】
已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为（ ）
A. B.
C.1 D.
1.直线x－y＝0与直线x－y＋2＝0之间的距离为（ ）
A. B.1
C. D.2
2.（2024·无锡月考）两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：6x－8y＋c＝0之间的距离为1，则实数c的值为 .
第2课时 两平行直线间的距离
【基础知识·重落实】
知识点
1.公垂线段 3.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.B 因为l1∥l2，则＝，得C＝13或－7，故选B.
3.3 解析：由题意可知，l1∥l2，所以直线l1与l2的距离为d＝＝3.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）5 解析：（1）由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离公式，得AB＝＝.
（2）两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离为d＝｜－2－3｜＝5.
跟踪训练
A 由两条直线平行可得＝，解得m＝24.则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.
【例2】 （1）D （2）D 解析：（1）设直线l的方程为3x－y＋c＝0.因为直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距离相等，所以＝，解得c＝1，所以直线l的方程为3x－y＋1＝0.
（2）将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或48.
跟踪训练
BD 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D.
【例3】 解：（1）如图，显然有0＜d≤AB.而AB＝＝3.
故所求的d的变化范围为（0，3].
（2）由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.而kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3），
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
跟踪训练
C （m，n）为直线3x＋4y＝6上的动点，（a，b）为直线3x＋4y＝1上的动点，可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离d＝＝1.故选C.
随堂检测
1.C 依题意，直线x－y＝0与直线x－y＋2＝0之间的距离为＝，故选C.
2.C 直线3x＋4y－12＝0即直线6x＋8y－24＝0，由题意知，a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为＝.
3.C 直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，易知直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋＝0平行，故PQ的最小值即两平行直线间的距离，故PQmin＝＝.
4.22或2 解析：直线l1：3x－4y＋6＝0，即6x－8y＋12＝0，l2：6x－8y＋c＝0，所以l1与l2平行，由两平行线间的距离为＝1，解得c＝2或c＝22.
3 / 3第2课时 两平行直线间的距离
1.直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.24
2.（2024·盐城月考）两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则（ ）
A.a＝6，d＝ B.a＝－6，d＝
C.a＝－6，d＝ D.a＝6，d＝
3.若直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
4.若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，4] B.[－16，4]
C.[－4，16] D.[4，16]
5.（多选）到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可能为（ ）
A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0 D.2x＋y＋2＝0
6.（多选）若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，则下面说法正确的有（ ）
A.直线l2的斜率为定值
B.当c＝25时，PQ的最小值为
C.当PQ的最小值为1时，c＝20
D.c≠10
7.若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝ .
8.直线l与直线x－2y＋4＝0平行，且直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是 .
9.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝ .
10.已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，且它们间的距离为，求m，n的值.
11.（多选）若l与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形，则l的方程为（ ）
A.x－y＝0 B.x＋y＝0
C.x＋y－10＝0 D.x－y＋10＝0
12.（多选）若直线l被两平行直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：x＋y－2＝0所截的线段的长为2，则直线l的倾斜角为（ ）
A.165° B.85°
C.150° D.75°
13.（2024·南京质检）设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值为 .
14.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.
15.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0（a＞0），l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离是.
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由.
第2课时 两平行直线间的距离
1.B 两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，则两直线间的距离d＝＝＝.故选B.
2.D 根据两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0，可得＝≠.可得a＝6.可得两条平行直线为6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，故它们间的距离d＝＝.
3.C 因为直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，所以2×（－1）＝－a×（a－1），解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：2x＋y＋1＝0与l2：－2x－y－1＝0重合，故舍去；当a＝2时，l1：2x－2y＋1＝0与l2：2x－2y－2＝0之间的距离d＝＝.故选C.
4.B 直线2x＋y－3＝0化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝≤，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4，所以实数a的取值范围为[－16，4]，故选B.
5.CD 因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0（c≠1），则d＝＝，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
6.ABD 因为l1∥l2，所以＝2，≠2，所以a＝6，c≠10，故A、D正确；因为PQ的最小值为两平行直线间的距离，所以当c＝25时，d＝＝，故B正确；当PQ的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误.
7.11或－15 解析：由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即两直线方程分别为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为，可得＝，解得C＝11或－15.
8.x－2y＋2＝0 解析：由题意设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠4），则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
9.2 解析：由题意得，菱形两组对边间的距离相等，所以＝，解得｜c1－c2｜＝2.
10.解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－2，k2＝－.
（1）若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，所以m＝－2.
（2）若l1∥l2，则－2＝－，所以m＝8.
所以直线l2的方程可以化简为2x＋y＋＝0，
所以直线l1与l2间的距离为＝，
所以n＝28或n＝－12.
11.BC 易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.则l∥l3，所以可设l：x＋y＋c＝0，则＝，解得c＝0或－10，所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
12.AD 依题意，作出图形，则AC＝2，因为直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：x＋y－2＝0平行，所以l1，l2间的距离为＝2，即AB＝2，因为AB⊥BC，所以∠ACB＝45°，即直线l与直线l2的夹角为45°，因为直线l2的斜率为－，则倾斜角为120°，所以直线l的倾斜角为165°或75°.故选A、D.
13. 解析：由已知得两条直线间的距离是d＝，因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个根，所以a＋b＝－1，ab＝c，则｜a－b｜＝＝，因为0≤c≤，所以≤≤，即≤d≤.
14.解：设l2的方程为x＋y－b＝0（b＞1），
则A（1，0），D（0，1），B（b，0），C（0，b）.
∴｜AD｜＝，｜BC｜＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b＞1，∴b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
15.解：（1）l2可化为2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝，
∴｜a－（－）｜＝.∵a＞0，∴a＝3.
（2）设点P（x0，y0），若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l'：2x－y＋C＝0上，且＝×，即C＝或C＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有
＝·，
即｜2x0－y0＋3｜＝｜x0＋y0－1｜.
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不合题意，舍去.
由解得不合题意，舍去.
由解得
即点P（，）同时满足三个条件.
2 / 2(共56张PPT)
第2课时
两平行直线间的距离
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
图中的 a ， b 是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用
一根水管把它们接通.
【问题】 你认为选用哪根水管最节省材料？
知识点 两条平行直线间的距离
1. 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的
的长.
2. 图示：
公垂
线段
3. 公式：两条平行直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0与 l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0
（ A ， B 不同时为0， C1≠ C2）之间的距离 d ＝ .
提醒 使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为
一般式；二是两直线方程中 x ， y 的系数分别相同.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离.
（ × ）
（2）若直线 l1： x ＋ y －1＝0上有 A （1，0）， B （0，1）， C
（－1，2）三点，则点 A ， B ， C 到直线 l2： x ＋ y ＋1＝0的
距离相等. （ √ ）
（3）已知直线 l1： x ＝ x1， l2：2 x ＝ x2，则直线 l1， l2间的距离为｜
x2－ x1｜. （ × ）
×
√
×
2. 已知直线 l1：3 x － y ＋3＝0与 l2：3 x － y ＋ C ＝0之间的距离为
，则 C ＝（ ）
A. 13 B. 13或－7
C. 7 D. 7或－13
解析： 因为 l1∥ l2，则 ＝ ，得 C ＝13或－7，
故选B.
3. 已知直线 l1：3 x －4 y ＋5＝0， l2：3 x －4 y －10＝0，则 l1与 l2的距
离为 .
解析：由题意可知， l1∥ l2，所以直线 l1与 l2的距离为 d ＝
＝3.
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两平行直线间的距离公式
【例1】 （链接教科书第39页例5）（1）若倾斜角为45°的直线 m
被直线 l1： x ＋ y －1＝0与 l2： x ＋ y －3＝0所截得的线段为 AB ，则 AB
的长为（ B ）
A. 1
D. 2
解析：由题意，可得直线 m 与直线 l1， l2垂直，则由两平行直线间的
距离公式，得 AB ＝ ＝ .
（2）分别过点 A （－2，1）和点 B （3，－5）的两条直线均垂直于 x
轴，则这两条直线间的距离是 .
解析：两直线方程分别是 x ＝－2和 x ＝3，故两条直线间的距离
为 d ＝｜－2－3｜＝5.
5
通性通法
求两平行直线间的距离的方法
（1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点
到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，
常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算；
（2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中 x ， y 的系
数对应相等.
【跟踪训练】
已知直线5 x ＋12 y －3＝0与直线10 x ＋ my ＋20＝0平行，则它们之间
的距离是（ ）
A. 1 B. 2
D. 4
解析： 由两条直线平行可得 ＝ ，解得 m ＝24.则直线10 x ＋24
y ＋20＝0，即5 x ＋12 y ＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得 d ＝
＝1.
题型二 两平行直线间距离的简单应用
【例2】 （链接教科书第42页习题8题）（1）已知直线 l 与直线 l1：3
x － y ＋3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距离相等，则直线 l 的方程是
（ D ）
A. 3 x － y ＋2＝0 B. 3 x － y －2＝0
C. 3 x － y －3＝0 D. 3 x － y ＋1＝0
解析：设直线 l 的方程为3 x － y ＋ c ＝0.因为直线 l 与直线 l1：3 x － y ＋
3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距离相等，所以 ＝ ，解得 c
＝1，所以直线 l 的方程为3 x － y ＋1＝0.
（2）已知两条平行直线 l1：3 x ＋4 y ＋5＝0， l2：6 x ＋ by ＋ c ＝0间的
距离为3，则 b ＋ c ＝（ D ）
A. －12 B. 48
C. 36 D. －12或48
解析：将 l1：3 x ＋4 y ＋5＝0改写为6 x ＋8 y ＋10＝0，因为两条
直线平行，所以 b ＝8.由 ＝3，解得 c ＝－20或 c ＝40，
所以 b ＋ c ＝－12或48.
通性通法
两平行直线间距离公式的应用
（1）若已知两平行直线间的距离求相关参数的值，可利用两平行直
线间的距离公式建立关于参数的方程求解；
（2）若已知两平行直线间的距离求直线方程，可设出直线方程，然
后利用两平行直线间的距离公式列方程求解未知量，进而得出
所求直线方程.
【跟踪训练】
（多选）已知直线 l1：2 x ＋3 y －1＝0和 l2：4 x ＋6 y －9＝0，若直线 l
到直线 l1的距离与到直线 l2的距离之比为1∶2，则直线 l 的方程为
（ ）
A. 2 x ＋3 y －8＝0 B. 4 x ＋6 y ＋5＝0
C. 6 x ＋9 y －10＝0 D. 12 x ＋18 y －13＝0
解析： 设直线 l ：4 x ＋6 y ＋ m ＝0， m ≠－2且 m ≠－9，直线 l 到
直线 l1和到直线 l2的距离分别为 d1， d2.则 d1＝ ， d2＝
.因为 ＝ ，所以 ＝ ，即2｜ m ＋2｜＝｜
m ＋9｜，解得 m ＝5或 m ＝－ ，所以直线 l 的方程为4 x ＋6 y ＋5＝0
或12 x ＋18 y －13＝0.故选B、D.
题型三 两平行直线间距离的最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过点 A （6，2）和 B （－3，
－1），并且各自绕着 A ， B 旋转，如果两条平行直线间的距离为
d .求：
（1） d 的变化范围；
解：如图，显然有0＜ d ≤ AB . 而 AB ＝ ＝3 .
故所求的 d 的变化范围为（0，3 ].
（2）当 d 取最大值时，两条直线的方程.
解：由图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直.而 kAB
＝ ＝ ，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为 y －2＝－3（ x －6）和 y ＋1＝－3（ x
＋3），
即3 x ＋ y －20＝0和3 x ＋ y ＋10＝0.
通性通法
应用数形结合思想求最值
（1）解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转
化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决；
（2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的
元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可
求出这些量的变化范围.
【跟踪训练】
已知 m ， n ， a ， b ∈R，且满足3 m ＋4 n ＝6，3 a ＋4 b ＝1，则
的最小值为（ ）
C. 1
解析： （ m ， n ）为直线3 x ＋4 y ＝6上的动点，（ a ， b ）为
直线3 x ＋4 y ＝1上的动点， 可理解为
两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离 d ＝
＝1.故选C.
1. 直线 x － y ＝0与直线 x － y ＋2＝0之间的距离为（ ）
B. 1
D. 2
解析： 依题意，直线 x － y ＝0与直线 x － y ＋2＝0之间的距离为
＝ ，故选C.
2. （2024·无锡月考）两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0
间的距离为（ ）
解析： 直线3 x ＋4 y －12＝0即直线6 x ＋8 y －24＝0，由题意
知， a ＝6，故两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0间的
距离为 ＝ .
3. 已知 P ， Q 分别为直线3 x ＋4 y －12＝0与6 x ＋8 y ＋5＝0上任意一
点，则 PQ 的最小值为（ ）
解析： 直线6 x ＋8 y ＋5＝0可化为3 x ＋4 y ＋ ＝0，易知直线3 x
＋4 y －12＝0与3 x ＋4 y ＋ ＝0平行，故 PQ 的最小值即两平行直线
间的距离，故 PQmin＝ ＝ .
4. 已知两条平行直线 l1：3 x －4 y ＋6＝0与 l2：6 x －8 y ＋ c ＝0之间的
距离为1，则实数 c 的值为 .
解析：直线 l1：3 x －4 y ＋6＝0，即6 x －8 y ＋12＝0， l2：6 x －8 y ＋
c ＝0，所以 l1与 l2平行，由两平行线间的距离为 ＝1，
解得 c ＝2或 c ＝22.
22或2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 － ＝1与 y ＝ x ＋1之间的距离为（ ）
D. 24
解析： 两直线变形为3 x －2 y －12＝0与3 x －2 y ＋2＝0，则两直
线间的距离 d ＝ ＝ ＝ .故选B.
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2. （2024·盐城月考）两条平行直线2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0间
的距离为 d ，则（ ）
解析： 根据两条平行直线2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0，可得
＝ ≠ .可得 a ＝6.可得两条平行直线为6 x －3 y ＋9＝0和6 x －3
y ＋4＝0，故它们间的距离 d ＝ ＝ .
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3. 若直线 l1：2 x － ay ＋1＝0与 l2：（ a －1） x － y －1＝0平行，则 l1
与 l2之间的距离为（ ）
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解析： 因为直线 l1：2 x － ay ＋1＝0与 l2：（ a －1） x － y －1＝
0平行，所以2×（－1）＝－ a ×（ a －1），解得 a ＝－1或 a ＝2.
当 a ＝－1时， l1：2 x ＋ y ＋1＝0与 l2：－2 x － y －1＝0重合，故舍
去；当 a ＝2时， l1：2 x －2 y ＋1＝0与 l2：2 x －2 y －2＝0之间的距
离 d ＝ ＝ .故选C.
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4. 若直线2 x ＋ y －3＝0与直线4 x ＋2 y ＋ a ＝0之间的距离不大于 ，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. （－∞，4] B. [－16，4]
C. [－4，16] D. [4，16]
解析： 直线2 x ＋ y －3＝0化为4 x ＋2 y －6＝0，则两直线之间的
距离 d ＝ ≤ ，即｜ a ＋6｜≤10，解得－16≤ a ≤4，所
以实数 a 的取值范围为[－16，4]，故选B.
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5. （多选）到直线2 x ＋ y ＋1＝0的距离等于 的直线方程可能为
（ ）
A. 2 x ＋ y －1＝0 B. 2 x ＋ y －2＝0
C. 2 x ＋ y ＝0 D. 2 x ＋ y ＋2＝0
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解析： 因为所求直线与直线2 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ，所以
可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2 x ＋ y ＋ c ＝0
（ c ≠1），则 d ＝ ＝ ，解得 c ＝0或 c ＝2，故所求直线方
程为2 x ＋ y ＝0或2 x ＋ y ＋2＝0.
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6. （多选）若 P ， Q 分别为 l1：3 x ＋4 y ＋5＝0， l2： ax ＋8 y ＋ c ＝0
上的动点，且 l1∥ l2，则下面说法正确的有（ ）
A. 直线 l2的斜率为定值
C. 当 PQ 的最小值为1时， c ＝20
D. c ≠10
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解析： 因为 l1∥ l2，所以 ＝2， ≠2，所以 a ＝6， c ≠10，
故A、D正确；因为 PQ 的最小值为两平行直线间的距离，所以当 c
＝25时， d ＝ ＝ ，故B正确；当 PQ 的最小值为1时， d
＝ ＝1，解得 c ＝20或 c ＝0，故C错误.
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7. 若两条平行直线 Ax －2 y －1＝0与6 x －4 y ＋ C ＝0之间的距离为
，则 C ＝ .
解析：由直线 Ax －2 y －1＝0与6 x －4 y ＋ C ＝0平行，可得 A ＝3，
即两直线方程分别为6 x －4 y －2＝0，6 x －4 y ＋ C ＝0，两平行直
线间的距离为 ，可得 ＝ ，解得 C ＝11或－15.
11或－15
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8. 直线 l 与直线 x －2 y ＋4＝0平行，且直线 l 到直线 x －2 y ＋4＝0的距
离和原点到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程是 .
解析：由题意设所求直线 l 的方程为 x －2 y ＋ C ＝0（ C ≠4），则
＝ ，解得 C ＝2，故直线 l 的方程为 x －2 y ＋
2＝0.
x －2 y ＋2＝0
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解析：由题意得，菱形两组对边间的距离相等，所以 ＝
，解得｜ c1－ c2｜＝2 .
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10. 已知直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0； l2： mx ＋4 y ＋ n ＝0.
（1）若 l1⊥ l2，求 m 的值；
若 l1⊥ l2，则 k1 k2＝ ＝－1，所以 m ＝－2.
解：设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1＝－2，
k2＝－ .
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解：若 l1∥ l2，则－2＝－ ，所以 m ＝8.
所以直线 l2的方程可以化简为2 x ＋ y ＋ ＝0，
所以直线 l1与 l2间的距离为 ＝ ，
所以 n ＝28或 n ＝－12.
（2）若 l1∥ l2，且它们间的距离为 ，求 m ， n 的值.
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11. （多选）若 l 与三条直线 l1： x － y ＋2＝0， l2： x － y －3＝0， l3：
x ＋ y －5＝0可围成正方形，则 l 的方程为（ ）
A. x － y ＝0 B. x ＋ y ＝0
C. x ＋ y －10＝0 D. x － y ＋10＝0
解析： 易知 l1∥ l2，且它们之间的距离 d ＝ ＝ .
则 l ∥ l3，所以可设 l ： x ＋ y ＋ c ＝0，则 ＝ ，解得 c ＝
0或－10，所以所求直线方程为 x ＋ y ＝0或 x ＋ y －10＝0.
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12. （多选）若直线 l 被两平行直线 l1： x ＋ y ＋2＝0与直线 l2： x
＋ y －2＝0所截的线段的长为2 ，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A. 165° B. 85°
C. 150° D. 75°
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解析： 依题意，作出图形，则 AC ＝2 ，因为直线 l1： x
＋ y ＋2＝0与直线 l2： x ＋ y －2＝0平行，所以 l1， l2间的距离为
＝2，即 AB ＝2，因为 AB ⊥ BC ，所以∠ ACB ＝
45°，即直线 l 与直线 l2的夹角为45°，因为直线 l2的
斜率为－ ，则倾斜角为120°，所以直线 l 的倾斜
角为165°或75°.故选A、D.
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13. （2024·南京质检）设两条直线的方程分别为 x ＋ y ＋ a ＝0， x ＋ y
＋ b ＝0，已知 a ， b 是方程 x2＋ x ＋ c ＝0的两个实根，且0≤ c ≤
，则这两条直线之间的距离的最大值为 .
解析：由已知得两条直线间的距离是 d ＝ ，因为 a ， b 是
方程 x2＋ x ＋ c ＝0的两个根，所以 a ＋ b ＝－1， ab ＝ c ，则｜ a －
b ｜＝ ＝ ，因为0≤ c ≤ ，所以 ≤
≤ ，即 ≤ d ≤ .
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14. 如图，已知直线 l1： x ＋ y －1＝0，现将直线 l1向上平移到直线 l2的
位置，若 l2， l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求 l2的方程.
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解：设 l2的方程为 x ＋ y － b ＝0（ b ＞1），
则 A （1，0）， D （0，1）， B （ b ，0）， C （0， b ）.
∴｜ AD ｜＝ ，｜ BC ｜＝ b .
梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2的距离，
故 h ＝ ＝ ＝ ，
由梯形的面积公式得 × ＝4，
∴ b2＝9， b ＝±3.又 b ＞1，∴ b ＝3.
从而得直线 l2的方程是 x ＋ y －3＝0.
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15. 已知三条直线： l1：2 x － y ＋ a ＝0（ a ＞0）， l2：－4 x ＋2 y ＋1
＝0， l3： x ＋ y －1＝0，且 l1与 l2之间的距离是 .
（1）求 a 的值；
解：l2可化为2 x － y － ＝0，
∴ l1与 l2的距离 d ＝ ＝ ，
∴｜ a －（－ ）｜＝ .∵ a ＞0，∴ a ＝3.
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（2）能否找到一点 P ，使得 P 点同时满足下列三个条件：① P 是
第一象限的点；② P 点到 l1的距离是 P 点到 l2的距离的 ；③
P 点到 l1的距离与 P 点到 l3的距离之比是 ∶ ？若能，求
P 点坐标；若不能，请说明理由.
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解：设点 P （ x0， y0），若点 P 满足条件②，则点 P 在
与 l1， l2平行的直线l'：2 x － y ＋ C ＝0上，且 ＝ ×
，即 C ＝ 或 C ＝ .
∴2 x0－ y0＋ ＝0或2 x0－ y0＋ ＝0.
若点 P 满足条件③，由点到直线的距离公式有
＝ · ，即｜2 x0－ y0＋3｜＝｜ x0
＋ y0－1｜.∴ x0－2 y0＋4＝0或3 x0＋2＝0.
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∵点 P 在第一象限，∴3 x0＋2＝0不合题意，舍去.
由解得不合题意，舍去.
由解得
即点 P （ ， ）同时满足三个条件.
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谢 谢 观 看！
