一、直线方程的求法
掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式方程，熟悉各种形式的方程的适用条件，在具体问题中会选择适当的直线方程形式求出直线的方程.
【例1】 （1）（多选）过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是（ ）
A.x＋3y＝0
B.x＋y＋2＝0
C.x－y＋2＝0
D.x－3y＝0
（2）已知一条直线经过点A（2，－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 .
反思感悟
求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.
提醒 （1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；
（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；
（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
【跟踪训练】
若一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 .
二、两直线的平行与垂直
理解两直线平行与垂直的条件；能用斜率判定两直线的平行或垂直，并能利用两直线平行或垂直的条件解决相关问题.
【例2】 （1）若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：m2x－y＋＝0垂直，则实数m的值为（ ）
A.0 B.－或0
C.0或 D.
（2）“a＝－”是“直线ax＋（a＋1）y＝0和直线2ax＋（1－a）y＋1＝0平行”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
反思感悟
1.判定两条直线平行、垂直的方法
（1）若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1（注意斜率不存在时的特殊情形）；
（2）一般式方程下的平行与垂直：l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
【跟踪训练】
1.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P（－2，－1），Q（3，m）.若l1⊥l2，则实数m＝（ ）
A.6 B.－6
C.5 D.－5
2.若直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，则b＝ .
三、两直线的交点与距离问题
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【例3】 （1）若点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为（ ）
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
（2）若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，求直线l1与l2间的距离.
反思感悟
两种距离的求解思路
（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为对应相等的形式）.
【跟踪训练】
已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P（0，4）到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
章末复习与总结
【例1】 （1）AB （2）x－y－3＝0
解析：（1）当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点（－3，1）的坐标代入得k＝－，
此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点（－3，1）的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0.
（2）由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y－（－）＝（x－2），即x－y－3＝0.
跟踪训练
x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
解析：由题意设直线方程为y＝k（x＋2）＋2，直线与两坐标轴交点为（－2－，0），（0，2k＋2）.∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，∴｜－2－｜·｜2k＋2｜＝1，∴｜｜｜2k＋2｜＝1，∴＝1.①k＞0时，（2k＋2）2＝2k，整理得2k2＋3k＋2＝0，无解.②k＜0时，（2k＋2）2＝－2k，整理得2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－，则所求直线的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
【例2】 （1）C （2）C 解析：（1）由于l1⊥l2，所以2×m2＋m×（－1）＝2m2－m＝m（2m－1）＝0，解得m＝0或m＝.故选C.
（2）当a≠±1时，直线ax＋（a＋1）y＝0和直线2ax＋（1－a）y＋1＝0平行 －＝且≠ a＝0或a＝－，当a＝±1时，易知两直线不平行，所以“a＝－”是“直线ax＋（a＋1）y＝0和直线2ax＋（1－a）y＋1＝0平行”的充分不必要条件.故选C.
跟踪训练
1.B 因为＝tan 45°＝1，＝＝，且l1⊥l2，所以·＝1×＝－1，解得m＝－6，故选B.
2.± 解析：直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，∴1＝6b2，且2≠2b×（－5），∴b2＝，∴b＝±.
【例3】 （1）C ∵点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，∴＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.
（2）解：因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，
所以3－a（a－2）＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1.所以直线l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以直线l1与l2间的距离d＝＝.
跟踪训练
C 法一 由得即直线l过点（1，2）.设点Q（1，2），因为PQ＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条.
法二 依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ（x－2y＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ）x＋（3－2λ）y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l有2条.
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章末复习与总结
一、直线方程的求法
掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式方程，熟
悉各种形式的方程的适用条件，在具体问题中会选择适当的直线方程
形式求出直线的方程.
【例1】 （1）（多选）过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等
的直线的方程可能是（ AB ）
A. x ＋3 y ＝0 B. x ＋ y ＋2＝0
C. x － y ＋2＝0 D. x －3 y ＝0
解析：当截距均为0时，设直线的方程为 y ＝ kx ，将点（－3，1）的坐
标代入得 k ＝－ ，此时直线的方程为 x ＋3 y ＝0；当截距均不为0时，
设直线的方程为 ＋ ＝1，将点（－3，1）的坐标代入得 a ＝－2，此
时直线的方程为 x ＋ y ＋2＝0.
（2）已知一条直线经过点 A （2，－ ），且它的倾斜角等于直线 x
－ y ＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 x － y －3 ＝0 .
解析：由已知得直线 x － y ＝0的斜率为 ，则其倾斜角为30°，故
所求直线倾斜角为60°，斜率为 ，故所求直线的方程为 y －（－
）＝ （ x －2），即 x － y －3 ＝0.
x － y －3 ＝0
反思感悟
求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出
直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所
求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参
数的值代入所设直线方程.
提醒 （1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论
斜率是否存在；
（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否
为0；
（3）应用一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝0确定直线的斜率时注意讨论 B 是
否为0.
【跟踪训练】
若一条直线经过点 A （－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积
为1，则此直线的方程为 .
x ＋2 y －2＝0或2 x ＋ y ＋2＝0
解析：由题意设直线方程为 y ＝ k （ x ＋2）＋2，直线与两坐标轴交点
为（－2－ ，0），（0，2 k ＋2）.∵与两坐标轴围成的三角形的面
积为1，∴ ｜－2－ ｜·｜2 k ＋2｜＝1，∴ ｜ ｜｜2 k ＋2｜＝
1，∴ ＝1.① k ＞0时，（2 k ＋2）2＝2 k ，整理得2 k2＋3 k ＋
2＝0，无解.② k ＜0时，（2 k ＋2）2＝－2 k ，整理得2 k2＋5 k ＋2＝
0，∴ k ＝－2或 k ＝－ ，则所求直线的方程为2 x ＋ y ＋2＝0或 x ＋2 y
－2＝0.
二、两直线的平行与垂直
理解两直线平行与垂直的条件；能用斜率判定两直线的平行或垂
直，并能利用两直线平行或垂直的条件解决相关问题.
【例2】 （1）若直线 l1：2 x ＋ my ＋1＝0与直线 l2： m2 x － y ＋ ＝0
垂直，则实数 m 的值为（ C ）
A. 0 B. － 或0 C. 0或 D.
解析：由于 l1⊥ l2，所以2× m2＋ m ×（－1）＝2 m2－ m ＝ m （2 m －
1）＝0，解得 m ＝0或 m ＝ .故选C.
（2）“ a ＝－ ”是“直线 ax ＋（ a ＋1） y ＝0和直线2 ax ＋（1－
a ） y ＋1＝0平行”的（ C ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：当 a ≠±1时，直线 ax ＋（ a ＋1） y ＝0和直线2 ax ＋（1
－ a ） y ＋1＝0平行 － ＝ 且 ≠ a ＝0或 a ＝－
，当 a ＝±1时，易知两直线不平行，所以“ a ＝－ ”是“直
线 ax ＋（ a ＋1） y ＝0和直线2 ax ＋（1－ a ） y ＋1＝0平行”的
充分不必要条件.故选C.
反思感悟
1. 判定两条直线平行、垂直的方法
（1）若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1∥ l2 k1
＝ k2， l1⊥ l2 k1 k2＝－1（注意斜率不存在时的特殊情
形）；
（2）一般式方程下的平行与垂直： l1∥ l2 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2
－ B2 C1≠0， l1⊥ l2 A1 A2＋ B1 B2＝0.
2. 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
【跟踪训练】
1. 已知 l1的倾斜角为45°， l2经过点 P （－2，－1）， Q （3， m ）.
若 l1⊥ l2，则实数 m ＝（ ）
A. 6 B. －6
C. 5 D. －5
解析： 因为 ＝tan 45°＝1， ＝ ＝ ，且 l1⊥
l2，所以 · ＝1× ＝－1，解得 m ＝－6，故选B.
2. 若直线 m1： x ＋3 by －5＝0与直线 m2：2 bx ＋ y ＋2＝0平行，则 b
＝ .
解析：直线 m1： x ＋3 by －5＝0与直线 m2：2 bx ＋ y ＋2＝0平行，
∴1＝6 b2，且2≠2 b ×（－5），∴ b2＝ ，∴ b ＝± .
±
三、两直线的交点与距离问题
1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2. 掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直
线间的距离.
【例3】 （1）若点（1， a ）到直线 y ＝ x ＋1的距离是 ，则实
数 a 的值为（ ）
A. －1 B. 5
C. －1或5 D. －3或3
解析： ∵点（1， a ）到直线 y ＝ x ＋1的距离是 ，
∴ ＝ ，即｜ a －2｜＝3，解得 a ＝－1或 a ＝5，∴实
数 a 的值为－1或5.
（2）若直线 l1： x ＋ ay ＋6＝0与 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a ＝0平行，
求直线 l1与 l2间的距离.
解：因为直线 l1： x ＋ ay ＋6＝0与 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a ＝0
平行，
所以3－ a （ a －2）＝0且2 a2－18≠0，解得 a ＝－1.
所以直线 l1： x － y ＋6＝0， l2： x － y ＋ ＝0，
所以直线 l1与 l2间的距离 d ＝ ＝ .
反思感悟
两种距离的求解思路
（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要
注意此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距
离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两
平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中 x ， y 的
系数化为对应相等的形式）.
【跟踪训练】
已知直线 l 过直线 l1： x －2 y ＋3＝0与直线 l2：2 x ＋3 y －8＝0的交
点，且点 P （0，4）到直线 l 的距离为2，则这样的直线 l 的条数为
（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 法一 由得即直线 l 过点（1，
2）.设点 Q （1，2），因为 PQ ＝ ＝ ＞
2，所以满足条件的直线 l 有2条.
法二 依题意，设经过直线 l1与 l2交点的直线 l 的方程为2 x ＋3 y －8＋
λ（ x －2 y ＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ） x ＋（3－2λ） y ＋3λ
－8＝0.由题意得 ＝2，化简得5λ2－8λ－36＝
0，解得λ＝－2或λ＝ ，代入得直线 l 的方程为 y ＝2或4 x －3 y ＋2
＝0，所以直线 l 有2条.
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