章末检测（一） 直线与方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为－，则MN＝（ ）
A.10 B.180 C.6 D.6
2.若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则（ ）
A.m＝－，n＝1 B.m＝－，n＝－3 C.m＝，n＝－3 D.m＝，n＝1
3.已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋（a＋1）y＋1＝0互相平行，则a的值是（ ）
A.－3 B.2 C.3 D.－2
4.将直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到原来位置，那么直线l的斜率为（ ）
A.－ B.－3 C. D.3
5.直线l过点A（3，4）且与点B（－3，2）的距离最远，那么l的方程为（ ）
A.3x－y－13＝0 B.3x－y＋13＝0 C.3x＋y－13＝0 D.3x＋y＋13＝0
6.直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是（ ）
A.－4 B.4 C.－ D.
7.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ）
A.2x＋y－4＝0 B.x＋2y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－4＝0
8.我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是A（x1，y1）与B（x2，y2）两点间的直线距离，即dAB＝.切比雪夫距离是A（x1，y1）与B（x2，y2）两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即d'AB＝max{｜x1－x2｜，｜y1－y2｜}.已知P是直线l：2x＋y－15＝0上的动点，当P与O（O为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为（ ）
A.1 B.3 C.6 D.12
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为（ ）
A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0 C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
10.直线y＝ax＋的图象可能是（ ）
11.定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（ ）
A.若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B.若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D.若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在题中横线上）
12.若过点P（1－a，1＋a）与点Q（3，2a）的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是 .
13.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为 .
14.在平面直角坐标系中，坐标原点O到过点A（cos 130°，sin 130°），B（cos 70°，sin 70°）的直线的距离为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P（1，1）.
（1）求直线l的方程；
（2）求点A（3，4）关于直线l的对称点A'的坐标.
16.（本小题满分15分）如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上.
（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
17.（本小题满分15分）已知直线l：（2＋m）x＋（1－2m）y＋4－3m＝0.
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；
（2）过点M（－1，－2）作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程.
18.（本小题满分17分）已知10条直线：
l1：x－y＋c1＝0，c1＝，
l2：x－y＋c2＝0，
l3：x－y＋c3＝0，
…
l10：x－y＋c10＝0，其中c1＜c2＜…＜c10.
这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，10.求：
（1）c10；
（2）x－y＋c10＝0与x轴、y轴围成的图形的面积.
19.（本小题满分17分）已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（－2，3）.
（1）求BC边所在直线的一般式方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程为2x－3y＋c＝0，且S△ABC＝7，求点A的坐标.
章末检测（一） 直线与方程
1.D 由kMN＝＝－，解得a＝10，即M（－2，10），N（10，4），所以MN＝＝6，故选D.
2.D 依题意得：直线x－y＝3的斜率为，∴其倾斜角为60°.∴－＝－3，－＝tan 120°＝－，得m＝，n＝1.
3.A 由直线l1与l2平行，可得解得a＝－3.
4.A 设直线l的方程为y＝kx＋b，根据平移规律平移后的直线方程为y＝k（x＋3）＋b＋1即y＝kx＋3k＋b＋1，由题意得kx＋b＝kx＋3k＋b＋1，解得k＝－.
5.C 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3（x－3），即3x＋y－13＝0.
6.C 设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝－.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k1＝－＝－＝.设直线l1的方程为y＝x＋b，直线l2与x轴的交点为（4，0）.将点（4，0）代入l1方程，得b＝－.
7.D 直线x－2y＋2＝0上的点（－2，0）关于直线x＝1对称的点为A（4，0），直线x－2y＋2＝0上的点（0，1）关于直线x＝1对称的点为B（2，1），故直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程，即直线AB的方程，为＝，即x＋2y－4＝0，故选D.
8.C 因为点P是直线l：2x＋y－15＝0上的动点，要使OP最小，则OP⊥l，此时kl＝－2，所以kPO＝.由方程组解得x＝6，y＝3.所以P，O两点之间的切比雪夫距离为6.
9.AC 当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点（1，2），可得－＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选A、C.
10.AB ∵a≠0，∴C错误.当a＞0时，＞0，即直线的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距大于0，故A可能.当a＜0时，＜0，即直线的倾斜角为钝角，且在y轴上的截距小于0，故B可能，D不可能.
11.AD 设P1（x1，y1），P2（x2，y2），对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2＜0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l相交，正确.
12.（－2，1） 解析：k＝＝＜0，得－2＜a＜1.
13. 解析：由解得把（1，2）代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n，所以点（m，n）到原点的距离d＝＝＝≥，当n＝－2时等号成立，此时m＝－1.所以点（m，n）到原点的距离的最小值为.
14. 解析：kAB＝＝＝＝＝，根据诱导公式可知，B（sin 20°，cos 20°），所以经过A，B两点的直线方程为y－cos 20°＝（x－sin 20°），即sin 10°x－cos 10°y＋cos 10°cos 20°－sin 10°sin 20°＝0，即sin 10°x－cos 10°y＋＝0，所以原点O到直线的距离d＝＝.
15.解：（1）∵k＝tan 135°＝－1，
∴l：y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.
（2）设A'（a，b），
则解得
∴点A'的坐标为（－2，－1）.
16.解：（1）由题意可知，E为AB的中点，
∴E（3，2），且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
（2）由得C（4，3），
∴AC＝BC＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝AC·BC＝2.
17.解：（1）证明：因为直线方程可化为m（x－2y－3）＋2x＋y＋4＝0，
所以根据题意可知解得
所以直线l恒过定点（－1，－2）.
（2）设所求直线l1的方程为y＋2＝k（x＋1），直线l1与x轴，y轴分别交于点A，B，则A（－1，0），B（0，k－2），
因为AB的中点是M，所以解得k＝－2，
所以所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
18.解：（1）原点O到l1的距离为d1＝＝1，
原点O到l2的距离为d2＝1＋2，
原点O到l3的距离为d3＝1＋2＋3，
…
原点O到l10的距离为d10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.
因为d10＝，所以c10＝55.
（2）由（1）知，直线l10的方程为x－y＋55＝0，其与x轴交于点M（－55，0），与y轴交于点N（0，55），
则△OMN的面积为S△OMN＝OM×ON＝×（55）2＝3 025.
19.解：（1）因为B（2，1），C（－2，3），所以BC边所在直线的斜率为kBC＝＝－.
又因为直线过点B（2，1），
所以BC边所在直线的方程为y－1＝－（x－2），
化为一般式为x＋2y－4＝0.
（2）BC边上的中点D的坐标为（0，2），且点D在直线2x－3y＋c＝0上，则－6＋c＝0，解得c＝6.
即中线AD所在直线的方程为2x－3y＋6＝0.
因为点A在中线上，所以2m－3n＋6＝0.
因为BC＝＝＝＝2，点A到直线x＋2y－4＝0的距离d＝，S△ABC＝7，
所以S△ABC＝×2×＝7，
整理得｜m＋2n－4｜＝7，
所以m＋2n－4＝7或m＋2n－4＝－7，
即m＋2n－11＝0或m＋2n＋3＝0.
由得此时A（3，4）.
由得此时A（－3，0）.
综上，点A的坐标为（3，4）或（－3，0）.
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章末检测（一）
直线与方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知过点 M （－2， a ）， N （ a ，4）的直线的斜率为－ ，则 MN
＝（ ）
A. 10 B. 180
解析： 由 kMN ＝ ＝－ ，解得 a ＝10，即 M （－2，10），
N （10，4），所以 MN ＝ ＝6 ，故
选D.
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2. 若直线 mx ＋ ny ＋3＝0在 y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线
x － y ＝3 的倾斜角的2倍，则（ ）
解析： 依题意得：直线 x － y ＝3 的斜率为 ，∴其倾斜
角为60°.∴－ ＝－3，－ ＝tan 120°＝－ ，得 m ＝ ， n
＝1.
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3. 已知直线 l1： ax ＋3 y ＋1＝0， l2：2 x ＋（ a ＋1） y ＋1＝0互相平
行，则 a 的值是（ ）
A. －3 B. 2
C. 3 D. －2
解析： 由直线 l1与 l2平行，可得解得 a ＝
－3.
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4. 将直线 l 沿 x 轴负方向平移3个单位长度，再沿 y 轴正方向平移1个单
位长度后，又回到原来位置，那么直线 l 的斜率为（ ）
B. －3
D. 3
解析： 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ b ，根据平移规律平移后的直
线方程为 y ＝ k （ x ＋3）＋ b ＋1即 y ＝ kx ＋3 k ＋ b ＋1，由题意得 kx
＋ b ＝ kx ＋3 k ＋ b ＋1，解得 k ＝－ .
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5. 直线 l 过点 A （3，4）且与点 B （－3，2）的距离最远，那么 l 的方
程为（ ）
A. 3 x － y －13＝0 B. 3 x － y ＋13＝0
C. 3 x ＋ y －13＝0 D. 3 x ＋ y ＋13＝0
解析： 由已知可知， l 是过 A 且与 AB 垂直的直线，∵ kAB ＝
＝ ，∴ kl ＝－3，由点斜式得， y －4＝－3（ x －3），即3 x ＋ y －
13＝0.
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6. 直线 l1与直线 l2：3 x ＋2 y －12＝0的交点在 x 轴上，且 l1⊥ l2，则直
线 l1在 y 轴上的截距是（ ）
A. －4 B. 4
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解析： 设直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2，则 k2＝－ .
∵ l1⊥ l2，∴ k1 k2＝－1，∴ k1＝－ ＝－ ＝ .设直线 l1的方程为
y ＝ x ＋ b ，直线 l2与 x 轴的交点为（4，0）.将点（4，0）代入 l1
方程，得 b ＝－ .
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7. 直线 x －2 y ＋2＝0关于直线 x ＝1对称的直线方程是（ ）
A. 2 x ＋ y －4＝0 B. x ＋2 y －1＝0
C. 2 x ＋ y －3＝0 D. x ＋2 y －4＝0
解析： 直线 x －2 y ＋2＝0上的点（－2，0）关于直线 x ＝1对称
的点为 A （4，0），直线 x －2 y ＋2＝0上的点（0，1）关于直线 x
＝1对称的点为 B （2，1），故直线 x －2 y ＋2＝0关于直线 x ＝1对
称的直线方程，即直线 AB 的方程，为 ＝ ，即 x ＋2 y －4＝
0，故选D.
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8. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据
不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是 A （ x1， y1）与 B
（ x2， y2）两点间的直线距离，即 dAB ＝ .切比雪夫距离是 A （ x1， y1）与 B
（ x2， y2）两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大
值，即d' AB ＝max{｜ x1－ x2｜，｜ y1－ y2｜}.已知 P 是直线 l ：2 x ＋
y －15＝0上的动点，当 P 与 O （ O 为坐标原点）两点之间的欧几里
得距离最小时，其切比雪夫距离为（ ）
A. 1 B. 3
C. 6 D. 12
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解析： 因为点 P 是直线 l ：2 x ＋ y －15＝0上的动点，要使 OP 最
小，则 OP ⊥ l ，此时 kl ＝－2，所以 kPO ＝ .由方程组
解得 x ＝6， y ＝3.所以 P ， O 两点之间的切比雪
夫距离为6.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 过点 A （1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方
程可能为（ ）
A. x － y ＋1＝0 B. x ＋ y －3＝0
C. 2 x － y ＝0 D. x － y －1＝0
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解析： 当直线过原点时，可得斜率为 ＝2，故直线方程
为 y ＝2 x ，即2 x － y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为
＋ ＝1，代入点（1，2），可得 － ＝1，解得 a ＝－1，直
线方程为 x － y ＋1＝0，故所求直线方程为2 x － y ＝0或 x － y
＋1＝0.故选A、C.
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10. 直线 y ＝ ax ＋ 的图象可能是（ ）
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解析： ∵ a ≠0，∴C错误.当 a ＞0时， ＞0，即直线的倾斜
角为锐角，且在 y 轴上的截距大于0，故A可能.当 a ＜0时， ＜
0，即直线的倾斜角为钝角，且在 y 轴上的截距小于0，故B可能，
D不可能.
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11. 定义点 P （ x0， y0）到直线 l ： ax ＋ by ＋ c ＝0（ a2＋ b2≠0）的有
向距离为 d ＝ .已知点 P1， P2到直线 l 的有向距离分别
是 d1， d2.以下命题正确的是（ ）
A. 若 d1＝ d2＝1，则直线 P1 P2与直线 l 平行
B. 若 d1＝1， d2＝－1，则直线 P1 P2与直线 l 垂直
C. 若 d1＋ d2＝0，则直线 P1 P2与直线 l 垂直
D. 若 d1· d2＜0，则直线 P1 P2与直线 l 相交
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解析： 设 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），对于A，若 d1
＝ d2＝1，则 ax1＋ by1＋ c ＝ ax2＋ by2＋ c ＝ ，直线
P1 P2与直线 l 平行，正确；对于B，点 P1， P2在直线 l 的两侧
且到直线 l 的距离相等，直线 P1 P2不一定与 l 垂直，错误；对
于C，若 d1＝ d2＝0，满足 d1＋ d2＝0，即 ax1＋ by1＋ c ＝ ax2＋
by2＋ c ＝0，则点 P1， P2都在直线 l 上，所以此时直线 P1 P2与
直线 l 重合，错误；对于D，若 d1· d2＜0，即（ ax1＋ by1＋ c ）
（ ax2＋ by2＋ c ）＜0，所以点 P1， P2分别位于直线 l 的两
侧，所以直线 P1 P2与直线 l 相交，正确.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在题
中横线上）
12. 若过点 P （1－ a ，1＋ a ）与点 Q （3，2 a ）的直线的倾斜角是钝
角，则实数 a 的取值范围是 .
解析： k ＝ ＝ ＜0，得－2＜ a ＜1.
（－2，1）
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解析：由解得把（1，2）代入 mx ＋ ny ＋5＝
0可得 m ＋2 n ＋5＝0，所以 m ＝－5－2 n ，所以点（ m ， n ）到原
点的距离 d ＝ ＝ ＝
≥ ，当 n ＝－2时等号成立，此时 m ＝－1.所以点（ m ， n ）到
原点的距离的最小值为 .
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14. 在平面直角坐标系中，坐标原点 O 到过点 A （ cos 130°， sin
130°）， B （ cos 70°， sin 70°）的直线的距离为 .
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解析： kAB ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ，根据诱导公式可
知， B （ sin 20°， cos 20°），所以经过 A ， B 两点的直线方程
为 y － cos 20°＝ （ x － sin 20°），即 sin 10° x － cos
10° y ＋ cos 10° cos 20°－ sin 10° sin 20°＝0，即 sin 10° x －
cos 10° y ＋ ＝0，所以原点 O 到直线的距离 d ＝
＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知直线 l 的倾斜角为135°，且经过点 P
（1，1）.
（1）求直线 l 的方程；
解：∵ k ＝tan 135°＝－1，
∴ l ： y －1＝－（ x －1），即 x ＋ y －2＝0.
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（2）求点 A （3，4）关于直线 l 的对称点A'的坐标.
解：设A'（ a ， b ），
则解得
∴点A'的坐标为（－2，－1）.
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16. （本小题满分15分）如图，已知点 A （2，3）， B （4，1），
△ ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，点 C 在直线 l ： x －2 y
＋2＝0上.
（1）求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程；
解：由题意可知， E 为 AB 的中点，
∴ E （3，2），且 kCE ＝－ ＝1，
∴ CE 所在直线方程为 y －2＝ x －3，即 x
－ y －1＝0.
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（2）求△ ABC 的面积.
解：由得 C （4，3），
∴ AC ＝ BC ＝2， AC ⊥ BC ，
∴ S△ ABC ＝ AC · BC ＝2.
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17. （本小题满分15分）已知直线 l ：（2＋ m ） x ＋（1－2 m ） y ＋4
－3 m ＝0.
（1）求证：不论 m 为何实数，直线 l 恒过一定点；
解：证明：因为直线方程可化为 m （ x －2 y －3）＋2 x
＋ y ＋4＝0，
所以根据题意可知解得
所以直线 l 恒过定点（－1，－2）.
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（2）过点 M （－1，－2）作一条直线 l1，使 l1夹在两坐标轴之间
的线段被 M 点平分，求直线 l1的方程.
解：设所求直线 l1的方程为 y ＋2＝ k （ x ＋1），直线 l1
与 x 轴， y 轴分别交于点 A ， B ，则 A （ －1，0）， B （0，
k －2），
因为 AB 的中点是 M ，所以解得 k ＝－2，
所以所求直线 l1的方程为2 x ＋ y ＋4＝0.
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18. （本小题满分17分）已知10条直线：
l1： x － y ＋ c1＝0， c1＝ ，
l2： x － y ＋ c2＝0，
l3： x － y ＋ c3＝0，
…
l10： x － y ＋ c10＝0，其中 c1＜ c2＜…＜ c10.
这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，
10.求：
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（1） c10；
解：原点 O 到 l1的距离为 d1＝ ＝1，
原点 O 到 l2的距离为 d2＝1＋2，
原点 O 到 l3的距离为 d3＝1＋2＋3，
…
原点 O 到 l10的距离为 d10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.
因为 d10＝ ，所以 c10＝55 .
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（2） x － y ＋ c10＝0与 x 轴、 y 轴围成的图形的面积.
解：由（1）知，直线 l10的方程为 x － y ＋55 ＝0，
其与 x 轴交于点 M （－55 ，0），与 y 轴交于点 N （0，55
），
则△ OMN 的面积为 S△ OMN ＝ OM × ON ＝ ×（55 ）2＝3
025.
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19. （本小题满分17分）已知△ ABC 的三个顶点 A （ m ， n ）， B
（2，1）， C （－2，3）.
（1）求 BC 边所在直线的一般式方程；
解：因为 B （2，1）， C （－2，3），所以 BC 边所在
直线的斜率为 kBC ＝ ＝－ .
又因为直线过点 B （2，1），
所以 BC 边所在直线的方程为 y －1＝－ （ x －2），
化为一般式为 x ＋2 y －4＝0.
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（2） BC 边上的中线 AD 所在直线的方程为2 x －3 y ＋ c ＝0，且 S△
ABC ＝7，求点 A 的坐标.
解：BC 边上的中点 D 的坐标为（0，2），且点 D 在直
线2 x －3 y ＋ c ＝0上，则－6＋ c ＝0，解得 c ＝6.
即中线 AD 所在直线的方程为2 x －3 y ＋6＝0.
因为点 A 在中线上，所以2 m －3 n ＋6＝0.
因为 BC ＝ ＝ ＝ ＝2
，点 A 到直线 x ＋2 y －4＝0的距离 d ＝ ， S△
ABC ＝7，
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所以 S△ ABC ＝ ×2 × ＝7，
整理得｜ m ＋2 n －4｜＝7，
所以 m ＋2 n －4＝7或 m ＋2 n －4＝－7，
即 m ＋2 n －11＝0或 m ＋2 n ＋3＝0.
由得此时 A （3，4）.
由得此时 A （－3，0）.
综上，点 A 的坐标为（3，4）或（－3，0）.
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谢 谢 观 看！
