2.1 等式与不等式易错点 提升练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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2.1 等式与不等式易错点 提升练
2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．下列说法正确的是（　　）
A．在等式两边同除以，可得
B．在等式两边同除以2，可得
C．在等式两边同除以，可得
D．在等式两边同除以，可得
2．已知，下列不等式中一定成立是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若R，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．设，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知 ，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．
三、填空题
11．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .
12．比较大小： 填”或“
13．比较大小： （用“”或“”符号填空）．
四、解答题
14．已知，求的取值范围．
15．比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与；
16．（1）设，比较与的大小；
（2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小．
17．某种商品计划提价，现有四种方案：
方案（1）先提价，再提价；
方案（2）先提价，再提价；
方案（3）分两次提价，每次提价；
方案（4）一次性提价.
已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B C B C D ACD BD
1．D
【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误；
对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误；
对于C，若，则不一定相等，故C错误；
对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断；
【详解】对A：当时不成立，故A错误；
对B：当时不成立，故B错误；
对C：当时不成立，故C错误；
对D：因为，所以，则，即成立，故D正确.
故选：D.
3．A
【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可.
【详解】设，
则，解得，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
所以的取值范围是.
故选：A.
4．B
【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立
【详解】对于A，当时，不成立，A错误
对于B，，，
， ，，即，B正确
对于C，，，，C错误
对于D，当时，，D错误
故选：B
5．C
【分析】根据等式的性质即可判断ABD，举例即可判断C.
【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题；
对于B，，
所以，故B为真命题；
对于C，当时，无意义，故C为假命题；
对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题.
故选：C.
6．B
【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
综上，，因此选项A错误，选项B正确；
因为，所以，
因为，所以，
综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误.
故选：B.
7．C
【分析】先利用待定系数法将用、加以表示，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，其中、，
则，
所以，，解得，
所以，，
因为，，
所以，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是.
故选：C.
8．D
【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，则，
所以，，解得，即，
，则，
因此，.
故选：D.
9．ACD
【分析】可根据已知条件，根据、的范围，分别表示出、的范围，然后再表示出、、、的范围，验证即可判断.
【详解】选项A，由，可得，故选项A正确；
选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；
选项C，由，可得，故选项C正确；
选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
10．BD
【分析】根据不等式的性质可逐项判断.
【详解】对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正，
例如：，故A错误；
对于B，，，则，即，故B正确；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，则，所以，故D正确；
故选：BD.
11．
【分析】根据题意列式即可.
【详解】由题意得，即.
故答案为：.
12．
【分析】由于，所以比较两分母的大小即可
【详解】因为，且，
所以
所以
故答案：
13．
【详解】∵（+）2=3+5+2 =8+2 ，（+）2=2+6+2 =8+2 ，
又∵＜，+＞0，+＞0，
∴＜+，
故答案为＞．
14．
【分析】由即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以
15．(1)
(2)
【分析】（1）由根式的运算比较可得；
（2）平方后比较可得.
【详解】（1）解：．
而，
；
（2）解：，，
而，
．
16．（1）；（2）.
【分析】利用作差法比较数的大小可得结论；
【详解】（1）
因为，所以，
又因为，
当且仅当，即时取等号，
又，所以，所以，所以，
（2），
因为，所以，，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即.
17．方案（3）
【分析】设单价为，计算四种提价方案后的价格，比较大小后可得出结论.
【详解】依题意，设单价为，那么方案（1）提价后的价格是，
方案（2）提价后的价格是，
方案（3）提价后的价格是，
方案（4）提价后的价格是，
所以，提价最少的是方案（4），方案（1）和方案（2）提价后的价格是一样的，
只需比较与的大小即可，
因为，则，
所以，，
所以， ，
因此，方案（3）提价最多.
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