2.2 基本不等式易错点 提升练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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2.2 基本不等式易错点 提升练 2025--2026学年
上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
3．已知，则有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值
4．已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
6．若（，），则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．49
7．设，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（多选）有下列式子，正确的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．若，且，则的最小值为 ．
10．函数在上的值域为 .
11．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ．
12．已知,若恒成立，则实数的最大值为.
13．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
14．求下列各题的最值．
(1)已知，求的最小值；
(2)设，求函数的最大值．
15．已知，求的最大值；
16．利用基本不等式求以下最值：
(1)若，求的最大值；
(2)已知，且，求的最小值；
(3)求在时的最小值．
17．设，证明：
（1）；
（2）.
18．某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元.
（1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数.
（2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
19．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求的最小值．
解：利用基本不等式 (，，)，得到，
于是，
当且仅当时，取到最小值．
(1)老师请你模仿例题，研究的最小值，
[提示：(，，，)]；
(2)研究的最小值；
(3)当时，求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A A B D BD
1．B
【分析】根据基本不等式化简可得最值.
【详解】由，得，
所以
，
当且仅当，即，时取得等号．
故选：B.
2．D
【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值.
【详解】由题意，，
在中，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为，
故选：D.
3．C
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】已知，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以已知，则有最大值.
故选：C.
4．A
【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值.
【详解】由，可得，
又因为，，所以，
当且仅当时取等号，
故选：A.
5．A
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】由于，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为.
故选：A.
6．B
【分析】根据已知有且，再应用基本不等式“1”的代换求最小值.
【详解】由题设且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故选：B
7．D
【分析】对变形后，利用基本不等式求解.
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
故选：D.
8．BD
【分析】通过作差，基本不等式等证明A，B，D正确，通过举反例说明C错误即可．
【详解】对于A，　故A错误；
对于B，当时，（当且仅当x＝1时取“＝”）；
当时，（当且仅当x＝－1时取“＝”），故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，（当且仅当x＝0时取“＝”），故D正确．
故选：BD．
9．3
【分析】化简式子，然后利用基本不等式计算.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
则，当且仅当，即时，等号成立，
则，即的最小值为3．
故答案为：3
10．
【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域.
【详解】当时，；
当时，令，，则，
，当且仅当，即时取等号，此时，
所以所求值域为.
故答案为：
11．
【分析】求得关于的表达式，结合基本不等式比较出两者的大小.
【详解】依题意，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：
12．10
【详解】试题分析：，最大值为10
考点：不等式性质
13．
【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再利用不等式恒成立进行求解.
【详解】因为，，且，
所以
（当且仅当，即时取“=”），
因为恒成立，所以.
故答案为：.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案；
（2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
（2）解：由，可得，
则 ，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.
15．
【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件.
【详解】∵，∴，
∴，
∴当且仅当，
即时，．
16．(1)12；
(2)6；
(3)．
【分析】（1）（2）（3）根据题设前提条件，应用基本不等式求积、和及分式型目标式的最值.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立，
的最大值为12．
（2），则
即，解得或（舍），
当且仅当且，即时等号成立，
的最小值为6．
（3），
令，则，
所以，化为，
而，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用基本不等式可得，即得证；
（2）由（1）结论可得，，，三式相加即得证.
【详解】（1）
，当且仅当时等号成立，
；
（2）由（1）可得：，
同理可得：，，
三式相加，得：，
.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
18．（1）；（2）台.
【分析】（1）若每批购入台，则需要进购批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出的值，若每批购入台，则需要进购批，进而可得出关于的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解.
【详解】（1）若每批购入台，则需要进购批，总运费为元，
每批购入电脑的总价值为元，由题意可得，
解得，
若每批购入台，则需要进购批，
所以，；
（2）由基本不等式可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，当每批购入台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少.
【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）模仿例题，结合提示证明，由此可求结论；
（2）先证明，由此可求的最小值；
（3）先证明，由此可求的最小值.
【详解】（1）由，结合提示可得，当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，取最小值，最小值为；
（2）由，，
当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取最小值，最小值为．
（3）由，知，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取到最小值，最小值为．
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