2.3 二次函数与一元二次方程、不等式易错点 提升练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式易错点 提升练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是（ ）．
A． B．
C． D．
4．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　）
A．１００台 B．１２０台 C．１５０台 D．１８０台
5．与不等式同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
6．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}
7．使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（多选）若命题“存在实数，使得成立”是假命题，则实数可以是（ ）
A． B．
C．1 D．2
9．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．R
三、填空题
10．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______．
11．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .
12．已知集合，，则 .
13．已知不等式的解集为，则 ，的最小值为 .
14．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．设函数.
(1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值；
(2)若，解关于的不等式.
16．已知二次函数．
(1)若的解集为，求ab的值；
(2)解关于x的不等式．
17．已知关于x的二次方程.
（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围；
（2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围.
18．设．若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，求实数a的取值范围．
19．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D B C B A D BCD AB
1．B
【分析】因式分解求解即可.
【详解】即，解得或
故选：B
2．D
【分析】根据一元二次不等式定义可得，由条件结合二次函数性质列不等式求结论.
【详解】因为是一元二次不等式，所以．
因为对一切实数都成立，
所以，解得．
故选：D.
3．B
【分析】根据题意列出不等式即可.
【详解】∵汽车的刹车距离大于10 m,
∴
∴
故选：B
4．C
【详解】主要考查二次函数模型的应用．
解：依题意
利润0，整理得，解得
，又因为X∈（0，240），所以最低产量是150台．
5．B
【分析】由一元二次不等式的解法逐项求解即可；
【详解】解不等式，即，得.
A，解不等式，得，故A不正确；
B，解不等式，得，故B正确；
C，不等式等价于，得，故C不正确；
D，解不等式，得，故D不正确；
故选：B.
6．A
【分析】由已知可得只需不等式x2＋ax＋4<0有解，即，计算即可得解.
【详解】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，
所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
故选:A.
7．D
【分析】解出不等式，求出解集，根据充分不要条件与集合之间的对应关系，判断各选项正误.
【详解】已知，化简得或，
解得，
则使不等式成立的一个充分不必要条件是的真子集，
则只有符合题意.
故选：D.
8．BCD
【分析】根据条件得到原命题的否定“任意实数，使得成立”为真命题，再分类讨论二次项系数为和不为，结合二次函数的图象与性质即可求解.
【详解】命题“存在实数，使得”是假命题，
则其否定为“任意实数，使得成立”是真命题，
当时，原不等式化为恒成立；
当时，则，解得：.
综上，实数的取值范围是．
故选：BCD．
9．AB
【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误．
【详解】由，分类讨论a如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或．
故选：AB．
10．（0,8）
【详解】因为不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立．
∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8，
故答案为（0，8）
考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题
11．
【分析】判断出二次函数开口的方向，根据函数的图象与的交点即可得结果.
【详解】二次函数的开口向下，
由于二次函数的图象与轴的两个交点为和，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
12．
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由，即，
即，解得，即，
由，即，解得，
即，
所以.
故答案为：.
13． 8
【分析】结合一元二次不等式、一元二次方程以及根与系数关系列方程，由此求得，，进而求得.利用基本不等式求得的最小值.
【详解】由题知，，，
则，，，
，
当且仅当，即时取等号.
故的最小值为8.
故答案为：；
【点睛】本小题主要考查根据一元二次不等式的解集求参数，考查利用基本表达式求最值，属于中档题.
14．
【分析】分和两种情况讨论，结合题可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，可得或.
①当时，可得，合乎题意；
②当时，可得，解得，不合乎题意；
当时，由题意可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.
15．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由根的性质列方程求参数值即可；
（2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集.
【详解】（1）由已知得，解得.
（2）由已知得，
由整理得：，
的两根为.
当时，，解得；
当时，不等式为，的解集为；
当时，，解得.
综上，
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为
16．(1)3
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案.
（2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案.
【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根，
由，解得：，由解得：，
所以；
（2）由二次函数知，
不等式整理得，即，
由得
①当时，不等式等价于：，
若，即时，解集为；
若，即时，解集为：；
若，即时，解集为；
②当时，不等式等价于：，解集为
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
17．（1）；（2）.
【分析】(1)把方程根的问题转化为抛物线与轴的交点问题，根据题意画出图像，判断函数值得符号即可；
（2）和第一问的方法一样，数形结合，但要考虑对称轴在区间的情况，避免漏解.
【详解】解：（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得
，故.
（2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组
，
于是有.
18．
【分析】把不等式因式分解，转化为函数问题，求出可能的零点，对进行分类讨论，找到符合要求的条件，求出a的取值范围.
【详解】原不等式转化为，令，
①当且时，开口向上，结合不等式解集形式，不能保证解集中的整数解恰有3个，不符合题意，舍去；
②当时，为一次函数，故不能保证解集中的整数解恰有3个，舍去；
②当时，此时，由题意知：，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需．整理，得．结合题意，有．所以，从而有．综上可得．
19．(1)最多150人
(2)存在，
【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.
（2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，
，，
，解得，
∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人；
（2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得.
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.
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