高二数学选择性必修第一册 第01章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 高二数学选择性必修第一册 第01章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-07 12:30:47 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）
考试时间：100分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．（2020春 和平区期中）已知空间向量（3，1，3），（﹣1，λ，﹣1），且∥，则实数λ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．6
2．（2020春 点军区校级月考）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
3．（2020春 点军区校级月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（ ）
A． B． C．3 D．4
4．（2019秋 焦作期末）在△ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点，若，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019秋 榆树市期末）若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A． B． C．或 D．2
6．（2020 山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．90°
7．（2019秋 龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且，用表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020 茂名二模）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB．则下列命题中正确的有（ ）
①平面PAB⊥平面PAE；
②PB⊥AD；
③直线CD与PF所成角的余弦值为；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°；
⑤CD∥平面PAE．
①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤
评卷人 得 分
二．多选题（共4小题）
9．（2019秋 连云港期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若（﹣2，1，4），（1，﹣2，1），（4，2，0），则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC D．AP∥BC
10．（2019秋 南通期末）设，，是空间一个基底（ ）
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
11．（2019秋 建邺区校级期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
12．（2019秋 菏泽期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则（ ）
A．CD⊥AN
B．BD⊥PC
C．PB⊥平面ANMD
D．BD与平面ANMD所在的角为30°
评卷人 得 分
三．填空题（共4小题）
13．（2019秋 房山区期末）设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是 ．
14．（2019秋 温州期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴的对称点为A'（﹣1，﹣2），那么，在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为 ，若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝ ．
15．（2020 杨浦区一模）已知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为 ．
16．（2020春 和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 ．
评卷人 得 分
四．解答题（共5小题）
17．（2020 长春四模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
18．（2020 沙坪坝区校级模拟）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB＝2A1B1＝2，AA1＝2，．
（1）求证：DC⊥AA1；
（2）若二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，求AD的长．
19．（2019秋 清远期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD．
（1）证明：BC⊥平面PDB，
（2）若AB，PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离．
20．（2020 安徽模拟）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC∥PD，PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，将△ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点．
（1）若M为PD的中点，证明：平面PCD⊥平面ABM；
（2）若PC，试确定M的位置，使二面角M﹣AB﹣D的余弦值等于．
21．（2019秋 扬州期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，点O为AB中点，点D为AA1中点．
（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；
（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数λ的值．
第一章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）【答案版】
一．选择题（共8小题）
1．（2020春 和平区期中）已知空间向量（3，1，3），（﹣1，λ，﹣1），且∥，则实数λ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．6
【解答】解：∵∥，∴可设k，∴，解得λ＝k．故选：A．
2．（2020春 点军区校级月考）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【解答】解：如图，P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，E是棱AB中点，
所以，，所以 （）1﹣2＝﹣1，故选：A．
3．（2020春 点军区校级月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（ ）
A． B． C．3 D．4
【解答】解：设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），
且⊥，∥，∴，解得x＝1，y＝﹣2，
∴（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），∴||．故选：C．
4．（2019秋 焦作期末）在△ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点，若，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取AD的中点为G，连接GE．由已知得GE∥CD，所以DF∥EG，又因为D是GB的中点，所以F是BE的中点，所以．
∴a，b．故选：A．
5．（2019秋 榆树市期末）若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【解答】解：∵向量，与的夹角余弦为，
∴cos，解得λ．故选：A．
6．（2020 山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．90°
【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面，
由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又∠OAO'为40°且OA⊥AH，
在Rt△OHA中，O'A⊥OH，∴∠OHA＝∠OAO'＝40°，故选：B．
7．（2019秋 龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且，用表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵M是D1D的中点，∴
．故选：D．
8．（2020 茂名二模）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB．则下列命题中正确的有（ ）
①平面PAB⊥平面PAE；
②PB⊥AD；
③直线CD与PF所成角的余弦值为；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°；
⑤CD∥平面PAE．
A．①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PA∩AE＝A，∴AB⊥平面PAE，且AB 面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故①成立；
∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴②不成立；
∵CD∥AF，直线CD与PF所成角为∠PFA，在Rt△PAF中，PA＝2AF，∴cos∠PFA，∴③成立．
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．
∵CD∥AF∥平面PAF，平面PAF∩平面PAE＝PA，∴直线CD∥平面PAE也不成立，即⑤不成立．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．（2019秋 连云港期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若（﹣2，1，4），（1，﹣2，1），（4，2，0），则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC D．AP∥BC
【解答】解；A. 2﹣2+4＝0，∴⊥．因此正确．
B.（2，﹣1，﹣4）+（1，﹣2，1）＝（3，﹣3，﹣3）， 3+6﹣3＝6≠0，∴AP与BP不垂直，因此不正确．
C．（4，2，0）﹣（﹣2，1，4）＝（6，1，﹣4），∴||，因此正确．
D．假设k，则，无解，因此假设不正确，因此AP与BC不可能平行，因此不正确．
故选：AC．
10．（2019秋 南通期末）设，，是空间一个基底（ ）
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
【解答】解：由，，是空间一个基底，知：在A中，若⊥，⊥，则与相交或平行，故A错误；在B中，，，两两共面，但，，不可能共面，故B正确；
在C中，对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使，故C正确；
在D中，，，一定能构成空间的一个基底，故D正确．故选：BCD．
11．（2019秋 建邺区校级期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
【解答】解：对于A， 2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B， （﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；
对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；
对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选：ABC．
12．（2019秋 菏泽期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则（ ）
A．CD⊥AN
B．BD⊥PC
C．PB⊥平面ANMD
D．BD与平面ANMD所在的角为30°
【解答】解：A显然错误；
若BD⊥PC，由BD⊥PA，则BD⊥平面PAC，则BD⊥AC，显然不成立；
C、PB⊥AN，又PB⊥NM，可得到C成立；
D、连接DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角在Rt△BDN中，，所以BD与平面ADMN所成的角为30°成立；故选：CD．
三．填空题（共4小题）
13．（2019秋 房山区期末）设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是 [0，] ．
【解答】解：θ是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，θ取最小值0，
当直线与平面垂直时，θ取最大值，∴角θ的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．
14．（2019秋 温州期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴的对称点为A'（﹣1，﹣2），那么，在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为 （﹣1，﹣2，﹣3） ，若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝ ．
【解答】解：在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），
若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则C′（1，﹣1，﹣2），
∴|B'C'|．故答案为：（﹣1，﹣2，﹣3），．
15．（2020 杨浦区一模）已知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为 ．
【解答】解：由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π 1 l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，则cosθ，
∴θ，故答案为：．
16．（2020春 和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 4 ．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DD1＝a，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），故，
设平面ACD1的一个法向量为，则，可取，
故，
又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，
∴，解得a＝4．故答案为：4．
四．解答题（共5小题）
17．（2020 长春四模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线，则，
又由题意有，，故，∴四边形DFEM为平行四边形，
∴EF∥DM，又EF 平面PAD，DM 平面PAD，∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，
由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD，
又AD⊥NH，
故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面PBF的一个法向量为，则，可取，
又，故，
∴直线PA与平面PBF所成角的正弦值为．
18．（2020 沙坪坝区校级模拟）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB＝2A1B1＝2，AA1＝2，．
（1）求证：DC⊥AA1；
（2）若二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，求AD的长．
【解答】解：（1）取AB中点E，连接B1EAE＝A1B1，且AE∥A1B1，
所以四边形AEB1A1为平行四边形，所以B1E＝AA1＝2，BE＝1，所以，则BE⊥B1E，
所以AA1⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABB1A1，所以AA1⊥平面ABCD，所以DC⊥AA1；
（2）由（1）知AA1⊥AD，设AD＝2a（a＞0），建系如图，
则A（0，0，0），B（0，0，2），C（2a，0，2），D（2a，0，0），C1（a，2，1），
故，
设平面CC1D的法向量，则，可取，
设平面BCC1的法向量，则，可取，
所以，
由二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，得，
解得a＝2，所以AD＝4．
19．（2019秋 清远期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD．
（1）证明：BC⊥平面PDB，
（2）若AB，PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离．
【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC在平面ABCD内，BD在平面ABCD内，
∴PD⊥BC，PD⊥BD，又AP⊥BD，AP∩PD＝P，且AP，PD均在平面APD内，
∴BD⊥平面APD，又AD在平面APD内，∴BD⊥AD，又底面ABCD为平行四边形，
∴BC⊥BD，又PD∩BD＝D，且都在平面PBD内，∴BC⊥平面PDB；
（2）由（1）知，PB与平面APD所成角即为∠BPD，故∠BPD＝45°，
又AB，∠DAB＝45°，
∴，，
∴AP2+PC2＝AC2，即AP⊥CP，∴，，
又VP﹣ABC＝VB﹣PAC，
∴，即，解得，即点B到平面APC的距离为．
20．（2020 安徽模拟）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC∥PD，PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，将△ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点．
（1）若M为PD的中点，证明：平面PCD⊥平面ABM；
（2）若PC，试确定M的位置，使二面角M﹣AB﹣D的余弦值等于．
【解答】解：（1）证明：由题意，AD＝BC，且AD∥BC，故四边形ABCD是平行四边形，
又PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，∴△PBA是正三角形，四边形ABCD是菱形，
取AB的中点E，连接PE，CE，易知△ABC是正三角形，则AB⊥PE，AB⊥EC，
又PE∩EC＝E，∴AB⊥平面PEC，∴AB⊥PC，
取PC的中点N，连接MN，BN，则MN∥CD∥AB，即A，B，N，M四点共面，
又PB＝BC＝2，则BN⊥PC，又AB∩BN＝B，∴PC⊥平面ABM，又PC在平面PCD内，
∴平面PCD⊥平面ABM；
（2）∵，∴PE⊥EC，
又AB⊥PE且AB⊥EC，则可以EB，EC，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
易知平面ABD的一个法向量为，
设平面MAB的一个法向量为，又，
∴，则可取，
由题意，，解得λ＝2，故DM＝2MP．
21．（2019秋 扬州期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，点O为AB中点，点D为AA1中点．
（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；
（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数λ的值．
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA，取A1B1的中点O1，连接OO1，则OO1∥AA1，AB⊥OC，
又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，而AB，OC 平面ABC，故AA1⊥OC，AA1⊥AB，所以OO1⊥OC，OO1⊥AB，
以{OA，OO1，OC}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，
所以，
（1）∵AA1⊥平面ABC，
∴平面ABC的一个法向量为，
设平面B1CD的一个法向量为，则，故可取，
∴，
∴平面ABC与平面B1CD所成锐二面角为；
（2）∵，
∴，则，
设异面直线DE与CB1所成角为θ，则，
令t＝λ+1∈[1，2]，则，
当时，cosθ取得最大值，∵y＝cosθ在上递减，∴θ取得最小值，此时．
考试时间：100分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．（2020春 和平区期中）已知空间向量（3，1，3），（﹣1，λ，﹣1），且∥，则实数λ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．6
2．（2020春 点军区校级月考）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
3．（2020春 点军区校级月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（ ）
A． B． C．3 D．4
4．（2019秋 焦作期末）在△ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点，若，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019秋 榆树市期末）若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A． B． C．或 D．2
6．（2020 山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．90°
7．（2019秋 龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且，用表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020 茂名二模）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB．则下列命题中正确的有（ ）
①平面PAB⊥平面PAE；
②PB⊥AD；
③直线CD与PF所成角的余弦值为；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°；
⑤CD∥平面PAE．
①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤
评卷人 得 分
二．多选题（共4小题）
9．（2019秋 连云港期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若（﹣2，1，4），（1，﹣2，1），（4，2，0），则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC D．AP∥BC
10．（2019秋 南通期末）设，，是空间一个基底（ ）
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
11．（2019秋 建邺区校级期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
12．（2019秋 菏泽期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则（ ）
A．CD⊥AN
B．BD⊥PC
C．PB⊥平面ANMD
D．BD与平面ANMD所在的角为30°
评卷人 得 分
三．填空题（共4小题）
13．（2019秋 房山区期末）设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是 ．
14．（2019秋 温州期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴的对称点为A'（﹣1，﹣2），那么，在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为 ，若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝ ．
15．（2020 杨浦区一模）已知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为 ．
16．（2020春 和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 ．
评卷人 得 分
四．解答题（共5小题）
17．（2020 长春四模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
18．（2020 沙坪坝区校级模拟）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB＝2A1B1＝2，AA1＝2，．
（1）求证：DC⊥AA1；
（2）若二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，求AD的长．
19．（2019秋 清远期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD．
（1）证明：BC⊥平面PDB，
（2）若AB，PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离．
20．（2020 安徽模拟）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC∥PD，PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，将△ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点．
（1）若M为PD的中点，证明：平面PCD⊥平面ABM；
（2）若PC，试确定M的位置，使二面角M﹣AB﹣D的余弦值等于．
21．（2019秋 扬州期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，点O为AB中点，点D为AA1中点．
（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；
（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数λ的值．
第一章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）【答案版】
一．选择题（共8小题）
1．（2020春 和平区期中）已知空间向量（3，1，3），（﹣1，λ，﹣1），且∥，则实数λ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．6
【解答】解：∵∥，∴可设k，∴，解得λ＝k．故选：A．
2．（2020春 点军区校级月考）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【解答】解：如图，P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，E是棱AB中点，
所以，，所以 （）1﹣2＝﹣1，故选：A．
3．（2020春 点军区校级月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（ ）
A． B． C．3 D．4
【解答】解：设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），
且⊥，∥，∴，解得x＝1，y＝﹣2，
∴（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），∴||．故选：C．
4．（2019秋 焦作期末）在△ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点，若，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取AD的中点为G，连接GE．由已知得GE∥CD，所以DF∥EG，又因为D是GB的中点，所以F是BE的中点，所以．
∴a，b．故选：A．
5．（2019秋 榆树市期末）若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【解答】解：∵向量，与的夹角余弦为，
∴cos，解得λ．故选：A．
6．（2020 山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．90°
【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面，
由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又∠OAO'为40°且OA⊥AH，
在Rt△OHA中，O'A⊥OH，∴∠OHA＝∠OAO'＝40°，故选：B．
7．（2019秋 龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且，用表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵M是D1D的中点，∴
．故选：D．
8．（2020 茂名二模）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB．则下列命题中正确的有（ ）
①平面PAB⊥平面PAE；
②PB⊥AD；
③直线CD与PF所成角的余弦值为；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°；
⑤CD∥平面PAE．
A．①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PA∩AE＝A，∴AB⊥平面PAE，且AB 面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故①成立；
∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴②不成立；
∵CD∥AF，直线CD与PF所成角为∠PFA，在Rt△PAF中，PA＝2AF，∴cos∠PFA，∴③成立．
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．
∵CD∥AF∥平面PAF，平面PAF∩平面PAE＝PA，∴直线CD∥平面PAE也不成立，即⑤不成立．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．（2019秋 连云港期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若（﹣2，1，4），（1，﹣2，1），（4，2，0），则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC D．AP∥BC
【解答】解；A. 2﹣2+4＝0，∴⊥．因此正确．
B.（2，﹣1，﹣4）+（1，﹣2，1）＝（3，﹣3，﹣3）， 3+6﹣3＝6≠0，∴AP与BP不垂直，因此不正确．
C．（4，2，0）﹣（﹣2，1，4）＝（6，1，﹣4），∴||，因此正确．
D．假设k，则，无解，因此假设不正确，因此AP与BC不可能平行，因此不正确．
故选：AC．
10．（2019秋 南通期末）设，，是空间一个基底（ ）
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
【解答】解：由，，是空间一个基底，知：在A中，若⊥，⊥，则与相交或平行，故A错误；在B中，，，两两共面，但，，不可能共面，故B正确；
在C中，对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使，故C正确；
在D中，，，一定能构成空间的一个基底，故D正确．故选：BCD．
11．（2019秋 建邺区校级期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
【解答】解：对于A， 2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B， （﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；
对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；
对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选：ABC．
12．（2019秋 菏泽期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则（ ）
A．CD⊥AN
B．BD⊥PC
C．PB⊥平面ANMD
D．BD与平面ANMD所在的角为30°
【解答】解：A显然错误；
若BD⊥PC，由BD⊥PA，则BD⊥平面PAC，则BD⊥AC，显然不成立；
C、PB⊥AN，又PB⊥NM，可得到C成立；
D、连接DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角在Rt△BDN中，，所以BD与平面ADMN所成的角为30°成立；故选：CD．
三．填空题（共4小题）
13．（2019秋 房山区期末）设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是 [0，] ．
【解答】解：θ是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，θ取最小值0，
当直线与平面垂直时，θ取最大值，∴角θ的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．
14．（2019秋 温州期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴的对称点为A'（﹣1，﹣2），那么，在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为 （﹣1，﹣2，﹣3） ，若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝ ．
【解答】解：在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），
若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则C′（1，﹣1，﹣2），
∴|B'C'|．故答案为：（﹣1，﹣2，﹣3），．
15．（2020 杨浦区一模）已知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为 ．
【解答】解：由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π 1 l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，则cosθ，
∴θ，故答案为：．
16．（2020春 和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 4 ．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DD1＝a，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），故，
设平面ACD1的一个法向量为，则，可取，
故，
又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，
∴，解得a＝4．故答案为：4．
四．解答题（共5小题）
17．（2020 长春四模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线，则，
又由题意有，，故，∴四边形DFEM为平行四边形，
∴EF∥DM，又EF 平面PAD，DM 平面PAD，∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，
由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD，
又AD⊥NH，
故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面PBF的一个法向量为，则，可取，
又，故，
∴直线PA与平面PBF所成角的正弦值为．
18．（2020 沙坪坝区校级模拟）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB＝2A1B1＝2，AA1＝2，．
（1）求证：DC⊥AA1；
（2）若二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，求AD的长．
【解答】解：（1）取AB中点E，连接B1EAE＝A1B1，且AE∥A1B1，
所以四边形AEB1A1为平行四边形，所以B1E＝AA1＝2，BE＝1，所以，则BE⊥B1E，
所以AA1⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABB1A1，所以AA1⊥平面ABCD，所以DC⊥AA1；
（2）由（1）知AA1⊥AD，设AD＝2a（a＞0），建系如图，
则A（0，0，0），B（0，0，2），C（2a，0，2），D（2a，0，0），C1（a，2，1），
故，
设平面CC1D的法向量，则，可取，
设平面BCC1的法向量，则，可取，
所以，
由二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，得，
解得a＝2，所以AD＝4．
19．（2019秋 清远期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD．
（1）证明：BC⊥平面PDB，
（2）若AB，PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离．
【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC在平面ABCD内，BD在平面ABCD内，
∴PD⊥BC，PD⊥BD，又AP⊥BD，AP∩PD＝P，且AP，PD均在平面APD内，
∴BD⊥平面APD，又AD在平面APD内，∴BD⊥AD，又底面ABCD为平行四边形，
∴BC⊥BD，又PD∩BD＝D，且都在平面PBD内，∴BC⊥平面PDB；
（2）由（1）知，PB与平面APD所成角即为∠BPD，故∠BPD＝45°，
又AB，∠DAB＝45°，
∴，，
∴AP2+PC2＝AC2，即AP⊥CP，∴，，
又VP﹣ABC＝VB﹣PAC，
∴，即，解得，即点B到平面APC的距离为．
20．（2020 安徽模拟）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC∥PD，PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，将△ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点．
（1）若M为PD的中点，证明：平面PCD⊥平面ABM；
（2）若PC，试确定M的位置，使二面角M﹣AB﹣D的余弦值等于．
【解答】解：（1）证明：由题意，AD＝BC，且AD∥BC，故四边形ABCD是平行四边形，
又PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，∴△PBA是正三角形，四边形ABCD是菱形，
取AB的中点E，连接PE，CE，易知△ABC是正三角形，则AB⊥PE，AB⊥EC，
又PE∩EC＝E，∴AB⊥平面PEC，∴AB⊥PC，
取PC的中点N，连接MN，BN，则MN∥CD∥AB，即A，B，N，M四点共面，
又PB＝BC＝2，则BN⊥PC，又AB∩BN＝B，∴PC⊥平面ABM，又PC在平面PCD内，
∴平面PCD⊥平面ABM；
（2）∵，∴PE⊥EC，
又AB⊥PE且AB⊥EC，则可以EB，EC，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
易知平面ABD的一个法向量为，
设平面MAB的一个法向量为，又，
∴，则可取，
由题意，，解得λ＝2，故DM＝2MP．
21．（2019秋 扬州期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，点O为AB中点，点D为AA1中点．
（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；
（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数λ的值．
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA，取A1B1的中点O1，连接OO1，则OO1∥AA1，AB⊥OC，
又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，而AB，OC 平面ABC，故AA1⊥OC，AA1⊥AB，所以OO1⊥OC，OO1⊥AB，
以{OA，OO1，OC}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，
所以，
（1）∵AA1⊥平面ABC，
∴平面ABC的一个法向量为，
设平面B1CD的一个法向量为，则，故可取，
∴，
∴平面ABC与平面B1CD所成锐二面角为；
（2）∵，
∴，则，
设异面直线DE与CB1所成角为θ，则，
令t＝λ+1∈[1，2]，则，
当时，cosθ取得最大值，∵y＝cosθ在上递减，∴θ取得最小值，此时．