第二章 一元二次函数、方程和不等式 利用基本不等式求最值常见方法 专题练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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一元二次函数、方程和不等式 利用基本不等式求最值常见方法
专题练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．若，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．已知，则和的最小值分别是（ ）
A．16 ，32 B．16 ，64 C．18，32 D．18，64
3．当时，（ ）
A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值
4．若，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
6．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
8．已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
9．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，且，则（ ）
A．为定值 B．的最小值为
C．为定值 D．的最小值为6
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，，，则的最小值为5
C．若，，，则xy的最小值为1
D．若，，，则的最小值为
12．若，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
13．若，则的最小值是 ．
14．已知，，且，则的最小值为 .
15．已知正数x，y满足，则的最大值为 .
16．若，且，则的最小值为 ．
17．对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 .
三、解答题
18．已知x，y都是正数．
(1)若，求的最大值；
(2)若，且，求的最小值．
19．若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C D C C C C B
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】直接利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，且，所以，当且仅当时取等号；
故选：A
2．D
【分析】运用基本不等式，已知等式进行求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，即
当时取等号，
因为，
所以，因此的最小值为；
因为，
所以，
，当且仅当时取等号，也就是当时等号，即时取等号，因此的最小值为，
故选：D
3．A
【分析】根据已知条件可得，将已知转化为，再利用基本不等式即可求最值.
【详解】当时，，，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以有最大值1，没有最小值，
故选：A.
4．C
【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故，的最小值为6．
故选：C．
5．D
【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故选：D.
6．C
【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
7．C
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；
故选：C
8．C
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，所以，，
所以
，当且仅当，即时等号成立.
故选：C
9．C
【分析】由题意可得，利用基本不等式可整理得，即可求解
【详解】由可得，
因为，，所以，
所以，解得，
当且仅当时，取等号，
故的最小值是12，
故选：C
10．B
【分析】根据基本不等式即可根据选项逐一求解.
【详解】由，，且得，当且仅当时取等号，故A不正确，
，当且仅当时取等号，故B正确,
，当且仅当时取等号，故C错误，
，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：B
11．D
【分析】选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，
选项B：由基本不等式进行判断即可，
选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，
选项D：对式子进行变形得到，再利用基本不等式进行判断即可．
【详解】解：选项A：，当且仅当时可以取等号，
但题设条件中，故函数最小值取不到3，故A错误；
选项B：若，，，
则，当且仅当时不等式可取等号，故B错误；
选项C：当且仅当时取等号，
令，，解得，即，故xy的最大值为1，故C错误；
选项D：，，
，
当且仅当时取等号，
又因为，故时等号成立，
即最小值可取到， 故D正确．
故选：D．
12．D
【分析】先把转化为，再将，根据基本不等式即可求出．
【详解】，且，
，
，
，
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为，
故选：D．
13．
【分析】根据“乘1法”，即可由基本不等式求解最值.
【详解】因为，所以
．
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，则．
故答案为：
14．4
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】由，，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
15．
【分析】根据乘“1”法，即可利用基本不等式求解.
【详解】∵正数x，y满足，∴.当且仅当，即时取等号，则，其最大值为.
故答案为：
16．5
【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，且，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：5.
17．
【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为
，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果.
18．(1)
(2)
【分析】(1)直接利用基本不等式即可求得最值；
(2)利用，展开后直接利用基本不等式求出结果.
【详解】（1）因为x，y都是正数，则，即，
解得：，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
（2）由x，y都是正数，且，由可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.
【详解】（1）由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
（2）由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立.
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