第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合检测试题 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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一元二次函数、方程和不等式 章末综合检测试题
2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．若不等式的解集为，则（　）
A． B． C． D．
2．已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．对于任意实数，，，，有以下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，则.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是 D．的最小值是3
11．下列说法正确的有　　
A．若，则的最大值是
B．若，则的最小值为2
C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D．已知，，且，则最小值是
12．若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
14．设，则的最小值为 .
15．若不等式的解集也满足关于x的不等式，则a的取值范围是 ．
16．设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
18．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
19．已知为正实数，且满足.
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
20．设实数，若满足，则称比更接近.
(1)设比更接近0，求的取值范围；
(2)判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由；
(3)设且，，试判断与哪一个更接近.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D B B B B ABD BC
题号 11 12
答案 AD BCD
1．D
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．
【详解】不等式的解集为，则方程根为、，
则，解得，，
故选：D
2．B
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】解：，，．
，．
．
故选：B．
3．D
【分析】由对一切实数都成立，分和两种结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】解：对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，则，解得，
综上可得，.
故选：D.
4．D
【分析】由不等式的解集为知：，，，然后可求得不等式的解集．
【详解】解：不等式的解集为，
方程的两根为和1，且，
，，
不等式，
解得或，
不等式的解集为.
故选：D.
5．B
【分析】
由不等式的性质可判断①②③，取特殊值可判断④．
【详解】
选项①，由不等式的性质可得，正确；
选项②若，，由不等式的可加性可得正确；
选项③若，，则错误；
选项④，则错误，比如，但．
故选：B
6．B
【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围．
【详解】依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，
所以，解得的取值范围为．
故选：B
7．B
【分析】令，，则，然后根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】解：令，，则，
则，
，
，
又，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，考查逻辑推理和计算能力，属于中档题．
8．B
【分析】两次应用基本不等式可得最值，注意等号成立的条件是一致的．
【详解】解：因为，则，
当且仅当且时取等号，即时取等号，
此时取得最小值3．
故选：B．
【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，本题两次应用了基本不等式，应强调两次应用基本不等式时等号成立的条件必须相同，即等号同时取到．
9．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D，消元、结合二次函数的性质判断C.
【详解】因为，且，
对于A：，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：，
当且仅当，即、时取等号，故B正确；
对于C：，当且仅当、时取等号，故C不正确；
对于D：，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
10．BC
【分析】根据基本不等式可求得，判断A，将变形为结合基本不等式，判断B，由整理得到结合基本不等式可判断CD.
【详解】对于A，因为，，
所以，当且仅当时取等号，
由，
即，解得，
即，A错误；
对于B， 由，,，
当且仅当时取等号，
得，
所以,
又，
所以，即，
故B正确；
对C选项，因为，,，
得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，C正确，
对于D, C选项知：，
则 ，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故D错误；
故选：BC.
11．AD
【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
【详解】对于，由可得，
由基本不等式可得，
当且仅当即时取等号，
所以的最大值为，故正确；
对于，，
当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故错误；
对于，由可得
，
当且仅当且，即，，时，等号成立，
由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；
对于，由可得，
代入到，
当且仅当即时，等号成立，故正确．
故选：．
12．BCD
【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解.
【详解】当时，由可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，此时不存在；
当时，由对任意恒成立，
可设，，作出的图象如下，
由题意可知，再由，是整数可得或或
所以的可能取值为或或
故选：BCD
13．
【分析】解不等式求出其对应的集合，根据是的必要不充分条件，可得集合间的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】解，其中，可得，
解，即，可得，
因为是的必要不充分条件，
又 ，则：或，，
则 或，
所以或，解得 或，
故实数的取值范围为，
故答案为：
14．6
【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
，
当且仅当取等号，即取等号，
所以的最小值为6.
故答案为：6
15．
【分析】解得不等式的解集，令，根据不等式的解集也满足关于x的不等式，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】解不等式可得，即不等式的解集为
因为不等式的解集也满足关于x的不等式，
故令，则，
解得，
即a的取值范围是，
故答案为：
16．
【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围.
【详解】解：根据题意，可知，
设，则，
因为不等式的解集为空集，
即在区间上的解集为空集，
即在区间上无解，
所以在区间上恒成立，
对于二次函数，开口向上，对称轴为，
，
当，即时，则，
所以在区间上恒成立，符合题意；
当，即时，
令，解得：或，
要使得在区间上恒成立，
只需满足且，
即且，解得：（舍去）或，
又因为，故解得：，
综上得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
17．（1）证明见解析（2）证明见解析.
【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则，．
［方法二］：消元法
由得，则，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知，又，故结论得证．
方式2：因为，
所以
．
即，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法四］：
因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设则.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：，令，
二次函数对应的图像开口向下，又，所以，
判别式，无根，
所以，即．
方式2：设，
则有a，b，c三个零点，若，
则为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设，因为，所以，
则．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设，因为，所以，且
则关于x的方程有两根，其判别式，即．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．
【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
18．(1) (2) 时，元
【详解】(1)根据题意，200≥3000，即5x－14－≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
(2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104，
故x＝6时，ymax＝457500元．
19．（1）；（2）证明见解析.
【解析】(1)利用基本不等式的变形形式（时取等号)求得的最大值，即得的最小值；
(2) 先利用“乘1法”转化，使用基本不等式证得，在利用基本不等式的变形形式证得.
【详解】解：（1）因为，，，
由基本不等式得，当且仅当时取等号.
因为恒成立，所以，的最小值为.
（2）因为，
所以
当且仅当时取等号，得证.
【点睛】关键点点睛：（1）基本不等式的变形形式要熟练掌握和运用；（2）先利用“乘1法”转化，使用基本不等式求最值更是已知和为定值求倒数和最值的有利方法.
20．(1)
(2)充分不必要条件，理由见解析
(3)更接近
【分析】（1）由题得，解不等式可得解；
（2）利于不等式的性质和充分条件，必要条件的应用即可求解；
（3）利于已知比较与的大小，即可求解.
【详解】（1）由题意，得，即
整理得，解得
所以的取值范围是
（2）“比更接近”，等价于
所以“”是“比更接近”的充分不必要条件
（3），
①当时，，
此时：
又在上是增函数，
，即，
即，此时更接近；
②当时，，
此时：，
又在上是增函数，
即，，
即，即更接近；
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