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专题08 等腰三角形及其判定与性质
【知识点01】等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则△ABC叫等腰三角形.
其中AB、AC为腰，BC为底边,
∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
注意：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
角度关系式：∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．
（2）性质
①等边对等角：等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.
③等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）判定
等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
注意：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
【知识点02】等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
注意：等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
（2）性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
考点1 等腰三角形的定义
【典例1】等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（ ）
A．25 B．33 C．42 D．33或42
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17，
此时，满足三角形的三边关系，
所以它的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为42，
故选：C．
【典例2】若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ．
【答案】，
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答的关键．先判断出已知角为等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于，
∴是等腰三角形的顶角，
∴另外两个角相等，且度数为，
故答案为：，．
【变式1】已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，由题意得，；分类讨论若等腰三角形的三边长为：3，3，7，若等腰三角形的三边长为：3，7，7，利用三角形三边关系加以验证即可．
【详解】解：由题意得．
∴，；
若等腰三角形的三边长为：3，3，7，
∵，不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
若等腰三角形的三边长为：3，7，7，
则等腰三角形的周长为：，
故选：C．
【变式2】若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为 °．
【答案】40
【分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果．
本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系，熟练掌握等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系是解决问题的关键．
【详解】解：等腰三角形的一个外角为，
故其相邻的内角为，
故其只能做顶角，
故等腰三角形的底角为，
故答案为：40．
考点2 等腰三角形的性质——等边对等角
【典例1】如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由平行线的性质可得，由可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
【典例2】如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，
，
，
又 ∵平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式1】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
【变式2】把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查与三角板有关的计算，等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角求出的度数，进而求出的度数，再利用外角的性质，求出的度数即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
考点3 等腰三角形的性质——三线合一
【典例1】如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，
先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得．
【详解】解：如图所示，
根据题意可知垂直平分，点D是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴，选项正确，不符合题意；
B、∵，平分，
∴，选项正确，不符合题意；
C、根据题意得：，选项错误，符合题意；
D、平分，
，
∵，
，选项正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ．
【答案】110
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：在中，，D为的中点，
，即，
，，
，
；
故答案为：．
考点4 等腰三角形的判定
【典例1】如图，为的角平分线，交于E，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1】如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握所学的知识．
证明，得出，根据等腰三角形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【变式2】如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理：
（1）由平行线的性质可得，则，据此可证明结论；
（2）由平行线的性质求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
考点5 等边三角形的性质
【典例1】如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
【变式1】如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．
(1)若，求的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可；
（2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解．
【详解】（1）∵是等边三角形，
是中线，
，
∴，
∴；
（2）∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式2】如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由等边三角形的性质可得，，，再证明得出，结合即可得出．
【详解】解：∵，均为等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
考点6 等边三角形的判定
【典例1】已知，如图，等腰，，
(1)若______，则为等边三角形；
(2)若______°，则为等边三角形；
(3)若______°，则为等边三角形．
【答案】(1)(2)60(3)60
【分析】（1）根据等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形，即可完成；
（2）根据等边三角形的判定：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可完成；
（3）根据等边三角形的判定：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可完成．
【详解】（1）解：∵三边相等的三角形是等边三角形，
∴当时，有，
∴为等边三角形；
故答案为：；
（2）解：∵有一个角为的等腰三角形是等边三角形，
∴当，且时，为等边三角形；
故答案为：；
（3）解：∵有一个角为的等腰三角形是等边三角形，
∴当，且时，为等边三角形；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟悉并掌握等边三角形的判定是解题的关键．
【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
考点7 作图问题
【典例1】如图，已知，点在边上，且．
(1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）作线段的垂直平分线，交于点即可；
（2）由，且，，可得，再由垂直平分，可得，从而得出，再求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：∵，且，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【典例2】如图，在等边三角形中，是边上的中线，
(1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的方法作图即可；
（2）先利用等边三角形的性质和已知条件得到的长和的度数，再证明是等边三角形，即可得到．
【详解】（1）解；如图所示，点E即为所求；
（2）解：∵三角形是等边三角形，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【变式1】如图，在中，点为边上一点．
(1)尺规作图：请在上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定和性质．
（1）利用尺规作图作即可；
（2）先证明是等边三角形，求得，再得到，可求得，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）证明：∵，，
∴是等边三角形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
为等边三角形.
【变式2】如图，是等腰三角形，，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握角平分线的尺规作图是解题关键．
（1）根据角平分线的尺规作图画出图形即可；
（2）通过等腰三角形的性质结合角平分线的定义得，将、代入计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求．
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，，
∴的周长为．
1．为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边这一判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），判断三角形的边的关系，进而求出 的长度．
【详解】解：在中，
，
（等角对等边），
又，
．
故选：C．
2．若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质．
根据三线合一得到平分，根据角平分线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵是等腰底边上的中线，
∴平分，
∴点H到直线的距离=点H到直线的距离，
故选：A．
3．一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．8或6
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：若腰长为4时，若底边长为4时，分别求出对应的底边长和腰长，再利用三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，
分两种情况讨论：
若腰长为4时，则底边长为，
此时，不能构成三角形，不符合题意；
若底边长为4时，则腰长为，
此时，能构成三角形，符合题意；
即它的底边为4，
故选：A．
4．如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况．
【详解】解：当为顶角时：
和相等，由内角和定理得：；
当为底角时：另一底角也为，
当为顶角：；
当也为底角：；
综上，的度数不可能是，
故选：C．
5．如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：是等边三角形，
，，
A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意；
B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意；
C、由ASA判定≌，故C不符合题意；
D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意．
故选：D．
7． 、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为（ ）．
A．9 B．9或12 C．12 D．14
【答案】C
【分析】本题考了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，运用完全平方公式的非负性求出即可.解题关键在于熟练掌握各种知识点的综合运用.
将已知方程配方成两个完全平方的和，利用非负性求出和的值，再根据等腰三角形的性质及三角形三边关系确定边长，计算周长.
【详解】解：配方求值： 可变形为：，
即；
根据非负性，得 且 ，
解得 ，；
等腰三角形分类讨论：
情况一：若 为腰，则另一腰为2，底边为5；此时 ，不满足三角形三边关系，舍去；
情况二：若 为腰，则另一腰为5，底边为2；此时 ，满足三边关系；
计算周长：
三边为，周长为 ，
综上，的周长为12，
故选：C .
8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
故选：D．
9．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（ ）
A．5 B．5或8 C． D．4或
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论．
根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
根据题意得，，
①当时，，
②当时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
③若时，点P在延长线上，不符合题意．
综上所述，t的值是5或8．
故选：B．
10．若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理；
设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为，然后根据三角形内角和定理列方程求出底角的度数，进而可得顶角的度数．
【详解】解：设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为，
由题意得：，
解得：，
∴这个等腰三角形顶角的度数为，
故答案为：．
11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得，从而得，然后根据角平分线即得答案．
【详解】解：∵，，
，
∵垂直平分，
，
，
，
∵平分，
∴，
故答案为：．
12．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①底是腰的2倍，②腰是底的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
【详解】解：当等腰三角形的底边长是腰长的2倍时，
，
底边的长为．
长为6，6，12的线段不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长是底边长的2倍时，
，
底边的长为3，满足三角形的三边关系．
综上所述，底边的长为3，
故答案为3．
13．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，延长至，使得，连接，再延长至，使得，连接．求证：．
【答案】见详解
【分析】先证明再根据判定证明即可．
【详解】解：∵在中，，
，
，，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
14．在中，．
(1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟记角平分线的作法，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
（）根据角平分线的作法作出图形即可；
（）由（）知，是的角平分线，，然后证明，所以，则有，从而求证．
【详解】（1）解：如图所示，角平分线即为所求；
（2）证明：由（）知，是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形．
15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
【答案】(1)(2)与，或与
【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可；
【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为，
由题意得：，
解得：
∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，，
即各边长分别是；
（2）当腰为时，底边长为： ，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
当底为时，腰长为：，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
综上所述：其余两边分别为与，或与．
16．如图，AB∥CD，AE＝DC，AB＝DE，EF⊥BC于点F．
求证：（1）△AEB≌△DCE；
（2）EF平分∠BEC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由SAS即可得出△AEB≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质得出BE=CE，由等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AEB和△DCE中，
，
∴△AEB≌△DCE（SAS）；
（2）∵△AEB≌△DCE，
∴BE=CE，△EBC是等腰三角形，
∵EF⊥BC，
∴EF平分∠BEC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定证全等．
17．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）根据即可证明；
（2）由角平分线的定义得，由全等三角形的性质得，，从而，进而可求出．
【详解】（1）证明：
（2）解：平分
，
18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图是等腰直角三角形，，O是内部的一个动点，是等腰直角三角形，．
(1)求证：；
(2)若是等腰三角形，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)或或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
（1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）设的度数为x，分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
设的度数为x，则，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
①当时，，解得：，
②当时，，解得：，
③当时，，解得：，
故的度数为或或．中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 等腰三角形及其判定与性质
【知识点01】等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则△ABC叫等腰三角形.
其中AB、AC为腰，BC为底边,
∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
注意：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
角度关系式：∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．
（2）性质
①等边对等角：等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.
③等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）判定
等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
注意：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
【知识点02】等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
注意：等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
（2）性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
考点1 等腰三角形的定义
【典例1】等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（ ）
A．25 B．33 C．42 D．33或42
【典例2】若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ．
【变式1】已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对
【变式2】若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为 °．
考点2 等腰三角形的性质——等边对等角
【典例1】如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点3 等腰三角形的性质——三线合一
【典例1】如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ．
考点4 等腰三角形的判定
【典例1】如图，为的角平分线，交于E，若，则 ．
【变式1】如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证．
【变式2】如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
考点5 等边三角形的性质
【典例1】如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式1】如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．
(1)若，求的长；
(2)求的度数．
【变式2】如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ．
考点6 等边三角形的判定
【典例1】已知，如图，等腰，，
(1)若______，则为等边三角形；
(2)若______°，则为等边三角形；
(3)若______°，则为等边三角形．
【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形．
考点7 作图问题
【典例1】如图，已知，点在边上，且．
(1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，且，求的度数．
【典例2】如图，在等边三角形中，是边上的中线，
(1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求．
【变式1】如图，在中，点为边上一点．
(1)尺规作图：请在上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形．
【变式2】如图，是等腰三角形，，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）
(2)若，，求的周长．
1．为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．8或6
4．如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（ ）
A． B． C． D．
7． 、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为（ ）．
A．9 B．9或12 C．12 D．14
8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（ ）
A．5 B．5或8 C． D．4或
10．若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ．
12．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ．
13．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，延长至，使得，连接，再延长至，使得，连接．求证：．
14．在中，．
(1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形．
15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
16．如图，AB∥CD，AE＝DC，AB＝DE，EF⊥BC于点F．
求证：（1）△AEB≌△DCE；
（2）EF平分∠BEC．
17．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图是等腰直角三角形，，O是内部的一个动点，是等腰直角三角形，．
(1)求证：；
(2)若是等腰三角形，，求的度数．
