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空间向量与立体几何单元测试卷（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，，所以根据空间向量的加减法、数量积以及模值运算可判断：
A.，A错误；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查空间向量的加减法，空间向量的数量积，空间向量的模长.根据空间向量的加法运算进行计算可判断A选项；根据空间向量的减法运算进行计算可判断B选项；根据空间向量的数量积公式进行计算可判断C选项；利用空间向量的模长公式进行计算可判断D选项.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ， 且
∴1×x+1×y+(-3)×1=0
则x+y=3
故答案为：D
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】以点 为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系
，
由异面直线夹角的范围为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
故答案为：A
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出夹角的余弦值，结合角的取值范围即可求出异面直线所成的角。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
【分析】本题考查空间向量的模长公式.根据题意，利用空间向量模的计算公式计算可得：，再利用二次函数的性质可求出的最小值，据此可求出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】
.
故答案为：C.
【分析】本题考查空间向量的线性运算.结合图形利用空间向量的加法运算可得：，再将进行替换，进行计算可求出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】以 为 轴，以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正三棱柱 中，若 ，点 是 的中点，所以 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以点 到平面 的距离是 ，
故答案为：B．
【分析】建立空间直角坐标性，写出点的坐标，表示相应的斜率，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算即可求出点到平面的距离.
7．【答案】C
【解析】【解答】由题知，，
所以，
即，所以三点共线，且是的中点，
因为O是的外心，所以是圆的直径，
故是以A为直角顶点的直角三角形，
过向作垂线，垂足为，连接，如图所示：
因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为：
，
而，
则.
故答案为：C.
【分析】由题知，，再结合三角形法则得出，再利用三点共线判断方法，所以三点共线，且是的中点，再利用O是的外心，所以是圆的直径，故是以A为直角顶点的直角三角形，过向作垂线，垂足为，连接，再利用在上的投影向量为结合三角形法则和平面向量基本定理得出在上的投影向量，再结合和余弦函数的定义，进而得出的值。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设正方体边长为2，建立如图所示空间直角坐标系，
则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，
设P(a，2-a，2)(0≤a≤2)，则，
由于使，，
所以是平面A1BC1的法向量，
所以
∵0≤a≤2
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：B
【分析】先利用向量法求得直线OP与平面A1BC1所成的角的正弦值，再根据同角三角函数间的基本关系求解即可。
9．【答案】B,D
【解析】【解答】解：对于A：例如 ，， 两两垂直，则 ，则 ，故A错误；
对于B：根据 空间的基底向量可知， 若，，不共面，则，， 可以作为一组基底，故B正确；
对于C：例如，显然 ，， 但 不一定共线，故C错误；
对于D：由向量加法的三角形法则可知 ，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断.
10．【答案】A,B
【解析】【解答】对于A和D.，
，，A正确，D错误.
对于B.若，则，则，B正确，
对于C.点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，
故答案为：AB.
【分析】本题考查空间向量，空间向量的数量积，空间向量的模长.利用空间向量的定义求出，可判断A选项；利用空间向量的数量积公式进行计算，可判断B选项；根据空间坐标系求出对称点，可判断C选项；利用空间向量的模长公式进行计算可判断D选项.
11．【答案】A,C
【解析】【解答】解：对于A，在图1中，过作，如图所示：
因为，所以四边形是矩形，
因为，所以，
因为四边形是等腰梯形，，所以，
因为，所以，
连接，则，
因为，所以，得，则，
在图2中，因为，，平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，
若，又因为，平面，平面，，
所以平面，
过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误；
对于B，由，，得，
又因为，所以，
因为，又因为到平面的距离等于到平面的距离，
设点到平面的距离为，由，
得，即h＝，故B正确；
对于C，假设平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；
对于D，连接，如图所示：
因为，为直角三角形且为的中点，
所以，即为四面体的外接球的球心，
所以，四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球体积为：，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，则判断出选项A；设点到平面的距离为，根据求解，即可判断出选项B；假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，则判断出选项C；连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算出外接球体积，即可判断出选项D，从而找出结论不正确的选项.
12．【答案】
【解析】【解答】，，
，
，
在方向上的投影向量为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合向量的模的坐标表示得出的值，再结合数量积的运算法则和数量积的定义得出的值，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出在方向上的投影向量。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
设顶点在底面圆的射影为，连，，，
因为圆锥的母线是底面半径的倍，设，则，
因为母线SA，SB所成角的余弦值为，
，
的面积为，， 可得，
所以该圆锥的侧面积为.
故答案为：．
【分析】设顶点在底面圆的射影为，根据三角形面积公式和母线SA，SB所成角可以求出半径和母线，再利用圆锥侧面积公式即可得解．
14．【答案】；
【解析】【解答】解：在等腰梯形中，，，为的中点，
将沿折起，使点到达点的位置，所以为等边三角形，
OA=OB=OC=OD=1，所以三棱锥外接球的球心为O，半径为1，
所以三棱锥外接球的表面积为
连接BD与OC交于M，则
所以是二面角的平面角，
因为所以
所以到平面COD的距离为
在中，
所以
设球心O到平面的距离为，由得出：
所以所以
所以三棱锥外接球的球心到平面的距离为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合等腰梯形的结构特征和中点的性质，再结合等边三角形的结构特征和三棱锥与外接球的位置关系，进而由球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积；利用几何法结合二面角的求解方法得出点到平面的距离，再结合等体积法和三棱锥的体积公式，进而得出三棱锥外接球的球心到平面的距离。
15．【答案】（1）解：由 ，则存在实数 ，使 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
则 ，所以
（2）解：由 ，可得 ，即 ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
当 时， ， ，
所以 .
当 时， ， ，
所以
【解析】【分析】(1)由已知条件IE共线向量的坐标公式代入整理得到关于m与n的方程组，求解出结果然后由向量模的公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先由向量垂直的数量积坐标公式代入数值计算出n的值，由此即可得出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出结果即可。
16．【答案】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又因为，
∴平面PDC，
∵平面PDC，
∴，
又∵，E是PC的中点，
∴，
∵，
∴DE⊥平面PBC，
∴，
又因为，，
∴PB⊥平面EFD.
（2）解：如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设
则，，，，，
∴，，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，
且．
设平面PBD的法向量为，
由得
则
取，得，
∴，解得，
则．
【解析】【分析】(1)要证PB⊥平面EFD，则要证PB⊥DE，则证DE⊥平面PBC，则证DE⊥BC，则证BC⊥平面PCD，从而证出线面垂直.
(2)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，得出平面PBC和平面PBD的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，从而得出t的值，则得出AD的长．
（1）∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又，∴平面PDC，
∵平面PDC，∴．
又∵，E是PC的中点，∴，
∵，∴DE⊥平面PBC，∴．
又，，∴PB⊥平面EFD；
（2）如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，
则，，，，，
∴，，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，且．
设平面PBD的法向量为，
由得即取，得，
∴，解得，即．
17．【答案】（1）证明：由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面，
平面，所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）解：因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】【分析】(1)以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合，进而证得平面；(2)由（1）中的空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面，
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
【解析】【分析】（1）连接，根据菱形性质得，线面垂直性质得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而由线面垂直性质证得；
（2）取中点，连接，以为原点，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，求得所需点坐标，假设点存在，设点，求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得，即可求解.
（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，取中点，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以，，
所以直线到平面的距离；
（3）解：棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，解得，故.
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标，利用空间向量法求解疾控科可；
（3）假设存在，设，根据面面夹角的余弦值列得等式，求出值即可.
（1）连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，
取中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以，，
所以直线到平面的距离；
（3）棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，
解得，
所以.
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空间向量与立体几何单元测试卷（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (63.2%)
2 容易 (15.8%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 直线与平面垂直的性质 14.0(9.3%) 18
2 用空间向量研究二面角 49.0(32.7%) 16,18,19
3 用空间向量求直线间的夹角、距离 5.0(3.3%) 3
4 空间向量的投影向量 16.0(10.7%) 7,10,12
5 平面向量数量积的坐标表示 14.0(9.3%) 15
6 用空间向量研究平面与平面的位置关系 14.0(9.3%) 17
7 同角三角函数间的基本关系 5.0(3.3%) 8
8 空间向量的加减法 11.0(7.3%) 5,9
9 点、线、面间的距离计算 21.0(14.0%) 6,11,13,14
10 向量的模 14.0(9.3%) 15
11 向量方法证明线、面的位置关系定理 21.0(14.0%) 19
12 向量的数量积判断向量的共线与垂直 10.0(6.7%) 1,2
13 空间向量的数量积运算 11.0(7.3%) 3,9
14 空间中的点的坐标 5.0(3.3%) 3
15 空间中直线与直线之间的位置关系 6.0(4.0%) 11
16 直线与平面平行的判定 27.0(18.0%) 11,19
17 共面向量定理 20.0(13.3%) 9,15
18 球的表面积与体积公式及应用 11.0(7.3%) 11,14
19 平面向量的数量积运算 5.0(3.3%) 12
20 直线与平面垂直的判定 28.0(18.7%) 16,18
21 任意角三角函数的定义 5.0(3.3%) 7
22 用空间向量研究直线与平面所成的角 19.0(12.7%) 8,17
23 平面向量的基本定理 5.0(3.3%) 7
24 空间向量的夹角与距离求解公式 21.0(14.0%) 19
25 空间向量的数量积运算的坐标表示 16.0(10.7%) 1,4,10
26 空间向量的线性运算的坐标表示 19.0(12.7%) 4,15
27 异面直线所成的角 5.0(3.3%) 3
28 扇形的弧长与面积 5.0(3.3%) 13
29 空间向量的概念 6.0(4.0%) 9
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空间向量与立体几何单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
3．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．在正三棱柱 中，若 ，点 是 的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知O是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体 中，O是AC的中点，点P在线段 上，若直线OP与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9． 下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量，，满足，则
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若空间向量，，则
D．对于任意空间向量，，必有
10．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．点A关于平面对称的点的坐标为
D．
11．已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球的体积为
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 .
13． 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
14．在等腰梯形中，，，为的中点.将沿折起，使点到达点的位置，则三棱锥外接球的表面积为 ；当时，三棱锥外接球的球心到平面的距离为 .
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知向量 ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）证明：PB⊥平面EFD；
（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度.
17．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
（1）证明：BDCC1；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
19．如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点．
（1）求证：直线平面；（2）求直线到平面的距离；
（3）试判断棱上是否存在一点G，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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