2.2 基本不等式教学设计 教学设计

2.2 基本不等式教学设计
一、教学内容解析
1.课标要求：掌握基本不等式《（a>0,b>0）结合具体实例，能 用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
2.教材分析：基本不等式属于预备知识，不仅填补了初高中知识的衔接问题 也是在知识技能、语言表达和思想方法三个方面的补充和加强， 从而让学生更好 的适应后续的高中数学学习.
3.基本不等式具有深刻的数学内涵、丰富的几何背景. 从数与式的角度是
两个正数的“算术平均数”，是两个正数的“几何平均数”，因此基本不等式 涉及的是代数中的“基本量”与最基本的运算. 从几何图形的角度，“等圆的弦弦 长不大于弦径长”“直角三角形中斜边上的高的长度不大于斜边上的中线的长度”
等都是基本不等式的几何解释. 因此基本不等式既是代数研究的对象又有丰富 的几何内涵，是沟通几何和代数的桥梁.
结合基本不等式的代数结构和几何解释，借助分析法，从数量关系的角度， 利用不等式的性质推导出基本不等式；从几何解释的角度，借助几何直观，通过 数形结合探究基本不等式；后面在学习函数知识后，也可以从函数的角度构造函 数，利用函数的性质来证明基本不等式等，这也是代数证明和几何解释的典范.
因此，本节课的教学重点为：掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释， 能利用基本不等式解决简单的最值问题，体会数学结合、转化与化归的数学思想.
二、教学目标解析
1.掌握重要不等式 ，经历代数变换 ，推导出基本不等式 《（a>0,b
>0）的过程；
2.结合不等式的性质，运用分析法对基本不等式进行证明，体会分析法和综 合法的联系和区别，提升逻辑推理素养；
3.了解基本不等式的几何解释，从数形结合的角度对基本不等式进行再认识， 体会数与形的和谐统一，促进直观想象素养的发展；
4.会用基本不等式解决简单的最值问题，初步了解不等式的应用价值，体会 数学模型思想，发展数学运算素养.
三、学情分析
1.知识储备：初中已经认识不等式，上节课学习了不等式的性质，能够进行 简单的数与式的比较，会用作差法证明简单的不等式；
2.能力储备：平时的课堂教学中，已经培养学生具备了一定的小组讨论和探 究合作学习的能力；
3.有待发展：学生的代数思维尚未建立起来，缺乏运用结构化的眼光看待研 究对象的意识，对于不等式的理解存在畏难情绪，不愿意主动去探究，学生对于 出现的最值问题，一般习惯转化为初中学过的函数图象和性质求解，对于根据不 等式求最值接触较少；
4.能力突破：充分发挥 Geogebra 动图的演示功能，学生能够运用数学结合的 思想，理解基本不等式.
因此，本节课的教学难点为：基本不等式的证明和几何解释，用基本不等式 解决简单的最值问题.
四、教学过程
1.复习引入，温故知新
导入语：在本章前面的课程中，我们类比等式的性质从其自身特点与运算两 个角度学习了不等式的性质，不等式证明等相关内容，这节课我们继续探究一类 非常重要的不等式--基本不等式.
复习：上节课，我们借助“赵爽弦图”得到了重要不等式，还记得它的形式 吗
追问 1 ：重要不等式中 a ，b 的取值范围是什么
追问 2 ：等号成立的条件是什么
师生活动：回顾总结重要不等式的定义：对 a, b ∈ R，必有+》当且仅当 a=b 时，等号成立.
设计意图：回顾重要不等式的形式和特征，通过类比重要不等式的研究思路 为发现基本不等式奠定基础.
2.公式代换，发现新知
问题：我们用√a ，√b分别替换重要不等式中 a ，b，可以得到怎样的式子
师生活动：学生得到a+b》教师将其变形为 《
追问 1 ：上述不等式中 a ，b 的取值范围是什么
追问 2 ：等号成立的条件是什么
师生活动：a>0，b>0，当且仅当 a=b 时，等号成立，总结得出基本不等式的 定义：对于 a, b > 0，必有 《 当且仅当 a=b 时，等号成立. 其中， 叫做两个正数的算术平均数， 叫做两个正数的几何平均数.
问题：从平均数的角度出发，你能用文字语言表述一下基本不等式所反映的 几何意义吗
设计意图：通过引导学生将重要不等式中 a，b 分别用，替换，发现基 本不等式，学生体会转化与化归思想，由学生自主完成了公式代换，发展了学生 的逻辑推理的核心素养. 接着通过进一步解释两种平均数的概念，让学生从平均 数的角度表述基本不等式的代数意义，既锻炼了学生运用数学语言的能力，也开 拓了学生的代数思维.
3.课堂探究，公式证明
问题：前面，我们通过代换法获得了基本不等式，也已经学习了不等式的性 质，那么能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢
师生活动：学生大多数用作差法证明上式，教师肯定学生做法后，给出分析 法的证明过程，同时指出，只要把上述过程倒过来就能用不等式的性质直接推导 出基本不等式了.
追问 1 ：上述证明中，每一步推理的基本依据是什么
追问 2：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思 路吗
设计意图：直接利用不等式的性质，用分析法也可以推导出基本不等式，让 学生体会分析法的思路实际上是寻找结论成立的一个充分条件，明确推理的逻辑 顺序，同时引导学生认识分析法的证明思路和证明过程，为学生高中阶段的推理 和证明提供了更丰富的策略.
4.几何解释，加深理解
如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是 AB 上一点，AC=a ，BC=b. 过点 C 作 CD丄AB ，CD 交圆 O 于点 D，连接 AD 、BD 、OD.
问题：你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗
追问 1 ：能从图中找到长度为 与的线段吗
追问 2 ：移动 C 点，CD 和 OD 之间的大小关系有什么变化吗
追问 3 ：结合我们给出的图形，你能从几何角度给出基本不等式的几何解释 吗
师生活动：教师利用 Geogebra 进行动图演示，展示由不等到相等再到不等 的转化过程，帮助学生直观理解. 学生进行小组探究，代表回答，根据相似得出
CD=,由于 CD 小于等于圆的弦径，所以 CD≤OD，当 C 点与圆心 O 重合
时，CD=OD，从代数角度反映了《（a>0,b>0） 当且仅当 a=b 时，等号成 立. 共同总结出基本不等式的几何解释：圆中直径不小于任何一条弦，当且仅当 弦过圆心时，二者相等.
设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里 直接给出了几何图形，并引导学生将、与图中的几何元素建立起来联系， 在通过 Geogebra 的动图演示功能，让学生观察这些几何元素在变化过程中表现 的大小关系规律，从而得出基本不等式的几何解释，帮助学生加深对基本不等式 的理解，进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性，促使直观想象素养的 进一步发展.
5.学以致用，迁移内化
例 1 已知 x>0 ，求x+的最小值.
追问：当 y0<2 时 ，x+》y0成立吗？这时能说 y0 是x + (x>0)的最小值吗 思考：你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式来求最值吗
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1)如果积y 等于定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值
(2)如果和 x+y 等于定值 S，那么当 x=y 时，积 xy 有最大值
师生活动：学生口述，教师板书. 教师总结：如果两个数（式）的和为定值 那么它们的积有最大值（和定积最大）；如果两个数（式）的积为定值，那么它 们的和有最小值（积定和最小）.
设计意图：通过两个简单的例子让学生初步体验基本不等式求最值的方法让 学生意识到基本不等式最重要的结构特点就是和积转化. 明确基本不等式求最 值的条件：“一正、二定、三相等”. 掌握用基本不等式能够解决的两类问题，为 用基本不等式解决实际问题创造了条件.
6.巩固运用，深化理解
判断下列命题是否正确
①x+的最小值是 2；
②x + （x>2)的最小值是 4；
已知 1 ≤ x ≤ 1，求1 x2 的最大值
已知 x<0 ，求x+的最大值.
设计意图：在明确基本不等式求最值条件：“一正、二定、三相等” 的基础 上， 通过练习辨析深化学生对知识的理解.
7.回顾反思，提高升华
回顾本节课的学习，回答一下问题：
(1)本节课主要学习了哪些知识
(2)运用基本不等式求最值时，需要注意什么
(3)在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法
设计意图：分别引导学生从知识、方法和思想三个方面归纳本节课的学习收 获.