课件23张PPT。第二章 一元二次方程
2.1.1
认识一元二次方程 幼儿园某教室矩形地面的墙长8m，宽5m现准备在地面中心铺设一块面积为１８m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度相同,你能求出这个宽度吗？你怎么解决这个问题?数学与生活解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：你能化简这个方程吗? （8－2x）（5－2x） (8 － 2x) (5 － 2x) = 18.5xxxx （8－2x）（5－2x）818m2做一做观察下面等式：１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２ 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：根据题意，可得方程： ， ， ， ． X＋1X＋2X＋3X＋4想一想如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.
如果设梯子底端滑动X m，那么滑动后梯子底端距墙 m;
根据题意，可得方程：你能化简这个方程吗?6x＋672＋(x＋6)2＝102xm8m10m7m6m1m做一做 上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．由上面两个问题，我们可以得到两个方程：把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．(8-2x)(５-２x)=18;即2x2 － 13x ＋11=0(x＋6)２＋7２=10２即x2 ＋12 x －15＝0上述两个方程有什么共同特点？一个未知数x整式方程ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)X２ ＋（X＋１）２＋（X＋２）２＝
即 x2 － 8x － 20＝0（X＋３）２＋（ X＋４）２判一判 下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2－6x＝0(2)2x2－5xy＋6y＝0(3)2x2－ －1 ＝0 (4) ＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2解: (1)、 (4) 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方 程一般形式二次项
系 数一次项
系 数常数项
3x2＝5x－1(x＋2)(x －1)＝64－7x2＝03x2－5x＋1＝0x2 ＋x－8＝0－7x2 ＋0 x＋4＝03
1
－7－51
0 1－8 4练一练1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k 时，是一元二次方程．≠32.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，是一元二次方程．,当k 时，是一元一次方程．≠±1＝－1想一想:3、写出方程
的二次项系数、一次相系数和常数项。4、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．5、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．4尺2尺xx－4x－2随堂练习： 练习6．根据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？ 解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m，宽为(x＋2) m，依题意得方程： (x＋5) (x＋2) ＝54解：设第一个数为X，则另两个数分别为X+1 ， X+2,依题意得方程：x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242即x2 ＋ 7x－44 ＝0即3x2 ＋6x－24 0＝0x2 ＋2x－8 0＝0在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0 ．
（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么?
（2）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 不正确，因为x=1不满足方程．不正确，因为x=2，3不满足方程．（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
（4）x的整数部分是几?十分位部分是几?
请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！下面是小亮的求解过程：由此，他猜测1＜x＜1.5．进一步计算：所以1.1＜x＜1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分位部分是1．你的结果是怎样的呢？用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据． 【规律方法】上述求解是利用了“两边夹”的思想五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？【跟踪训练】A同学的做法：
设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程：
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
即：x2-8x-20=0．所以x=-2或10.因此这五个连续整数依次为-2， -1，0，1，2；或10，11，12，13，14.B同学的做法：
设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数
依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
即：x2-12x=0．所以x=0或12.因此这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.7.一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(秒)和运动员距水面的高度h(米)满足关系：h=10+2.5t-5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作?
【解析】根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即 2t2-t-2=0列表：所以1＜t＜2,进一步列表计算：所以1.2＜t＜1.3,因此他完成动作的时间最多不超过1.3秒．3.学习了估算ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）近似解的方法：“两边夹”；
4.知道了估算的步骤；
（1）先确定大致范围
（2）再取值计算，逐步逼近
5.想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的解呢？
1．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
2．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系.
小结不要轻言放弃，否则对不起自己!
第二章
一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
【学习目标】
1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．
2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．
3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【学习重点】
一元二次方程的概念．
【学习难点】
如何把实际问题转化为数学方程．
情景导入 生成问题
1．单项式和多项式统称为整式．
2．含有未知数的等式叫做方程．
3．计算：(x＋2)2＝x2＋4x＋4；(x－3)2＝x2－6x＋9．
4．计算：(5－2x)(8－2x)＝4x2－26x＋40．
自学互研 生成能力
先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：
1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8－2x)m，宽可以表示为(5－2x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(8－2x)(5－2x)＝18．
2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢？
答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题意可列方程，得(x－2)2＋(x－1)2＋x2＝(x＋1)2＋(x＋2)2
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
2．问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？
你能设出未知数，列出相应的方程吗？
答：问题1由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600；问题2由题意可列出方程：(x＋6)2＋72＝102.
3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？
(1)(100－2x)(50－2x)＝3600
(2)(x＋6)2＋72＝102
归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
解答下列各题：
1．下列方程中，是一元二次方程的是( C )
A．x2＋2y－1＝0 B．x＋2y2＝5 C．2x2＝2x－1 D．x2＋－2＝0
2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为x2－2x＋9＝0，其二次项系数为__1__，一次项系数是__－2__，常数项是__9__．
典例讲解：关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足什么条件？
分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可．
解：由mx2－3x＝x2－mx＋2得到(m－1)x2＋(m－3)x－2＝0，所以m－1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足m≠1.
对应练习：
1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是a≠1．
2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足m＝－2时，它是一元一次方程；当m满足m≠－2时，它是一元二次方程．
3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二次方程，那么m的值是( C )
A．2 B．±2 C．－2 D．1
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探索一元二次方程
知识模块二 一元二次方程有关概念的应用
检测反馈 达成目标
1．在下列方程中，是一元二次方程的有( A )
①2x2－1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－3)＝x2－3；④2x2－＝0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．把方程(x－)(x＋)＋(2x－1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( A )
A．5x2－4x－4＝0 B．x2－5＝0 C．5x2－2x＋1＝0 D．5x2－4x＋6＝0
3．阅读材料，解答问题：
有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：
(1)如果设小正方形的边长为xcm，那么盒子底面的长为(80－2x)cm；宽为(60－2x)cm，根据题意，所列方程为(80－2x)(60－2x)＝1500．
(2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数．
一般形式为x2－70x＋825＝0，是一元二次方程．二次项系数为1，一次项系数为－70，常数项为825
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
第2课时 一元二次方程的根及近似解
【学习目标】
1．会进行简单的一元二次方程的试解．
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．
3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．
【学习重点】
判定一个数是否是方程的根．
【学习难点】
会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．
情景导入 生成问题
1．使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是2x2－x－7＝0．
3．近似数2.36≈2.4(精确到十分位)．
自学互研 生成能力
1．先阅读教材P33“做一做”前面的内容，并完成所设计的四个小问题．
答：(1)x的值不能小于0，不能大于4，不能大于2.5，因为x表示四周未铺地毯部分的宽度，所以x的值不能为负，又因为(8－2x)和(5－2x)分别表示地毯的长和宽，所以有8－2x＞0，5－2x＞0，即x＜2.5.
(2)x的取值范围是0＜x＜2.5.
(3)表格中的对应值分别为：28、18、10、4.
(4)所求宽度为x＝1m.
2．学生活动：请同学独立完成下列问题．
问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为xm，那么，
根据题意，可得方程为x2＋82＝102．
整理，得x2－36＝0．
列表：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x2－36
－36
－35
－32
－27
－20
－11
0
13
28
问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120．整理，得x2＋2x－120＝0．
列表：
x
5
6
7
8
9
10
11
x2＋2x－120
－85
－72
－57
－40
－21
0
23
提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？
教师点评：(1)问题1中x＝6是x2－36＝0的解；问题2中，x＝10是x2＋2x－120＝0的解．
(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x＝－6的解；问题2中还有x＝－12的解．
为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2－36＝0有两个根，一个是6，另一个是－6，但－6不满足题意；同理，问题2中的x＝－12的根也不满足题意．
解答下列各题：
1．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( A )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足该等式方程，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
典例讲解：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b＋c)的值．
分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们要深刻理解．
解：将x＝1代入得a＋b＋c＝1，故2016(a＋b＋c)＝2016.
对应练习：
1．若x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，则a＋b＋c＝__0__；若x＝－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，则a－b＋c＝__0__．
2．若x＝－1是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的根，则a－b＝__2__．
3．如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4ab的值．
解：由已知，得a＋b＝－3，原式＝(a＋b)2＝(－3)2＝9
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探索一元二次方程的近似解
知识模块二 一元二次方程根的判定及应用
检测反馈 达成目标
1．已知长方形宽为xcm，长为3xcm，面积为24cm2，则x最大不超过( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
x2＋px＋q
－15
－8.75
－2
－0.59
0.84
2.29
则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( D )
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.1 D．1.1＜x＜1.2
3．根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈－4.3．(精确到0.1)
x
－4.2
－4.3
－4.4
－4.5
－4.6
x2＋2x－10
－0.76
－0.11
0.56
1.25
1.96
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
