第一章 丰富的图形世界
2 从立体图形到平面图形
第2课时 常见几何体表面的展开图
常见几何体表面的展开图
名称 立体图形 常见表面展开图 底面形状 侧面展开图的形状
正方体 正方形 长方形
长方体 长方形 长方形
圆柱 圆 长方形
圆锥 圆 扇形
类型之一 常见几何体表面的展开图
如图是几何体表面的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？
类型之二 有关几何体表面积的计算
某包装盒的展开图尺寸如图所示(单位：cm)。
(1)这个几何体的名称是________；
(2)求这个包装盒的表面积(结果保留π)。
1．如图是某几何体表面的展开图，该几何体是( )
A．长方体 B．正方体
C．圆锥 D．圆柱
2．[2023·达州]下列图形中，是长方体表面展开图的是( )
3．图1是边长为9 cm的正方形纸片，将其四个角都切去边长为a cm的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示。下列说法错误的是( )
图1 图2
A．0＜a＜4.5
B．该无盖的长方体纸盒的表面积是(81－4a2) cm2
C．当a＝3时，图2为无盖的正方体纸盒
D．该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值
1．如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下半部分为立方体，且其中一个面涂有颜色，该几何体表面的展开图是( )
2．[2024·江西]走马灯，又称仙音烛，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日。在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样。则在A，B，C处依次写上的字可以是 ( )
A．吉 如 意 B．意 吉 如
C．吉 意 如 D．意 如 吉
3．已知一个棱长为5cm的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长为3cm的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长为1cm的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是 cm 。
4．已知某长方体表面的展开图如图所示，将其折叠成一个长方体。
(1)与点K重合的点是哪几个？
(2)若AE＝FH＝14 cm，FG＝2 cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
5．如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5 cm，侧棱长都是12 cm，回答下列问题。
(1)这个八棱柱一共有多少个面？它们分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？
(2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
(3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
6．(空间观念)图1是从大正方体中截去一个小正方体后得到的几何体。
(1)设原大正方体的表面积为a，图1中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是__________；
(2)设原大正方体的棱长之和为m，图1中几何体的各棱长之和为n，如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么n比m正好多出大正方体的______条棱的长度，图2是图1几何体的表面展开图吗？如果不是，请修正。
图1 图2
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)长方体 (2)圆锥 (3)五棱柱
(4)三棱柱
【例2】(1)圆柱 (2)250π cm2
【当堂测评】
1．C 2.C 3.D
【分层训练】
1．B 2.A 3.190
4．(1)与点K重合的点只有点M。
(2)该长方体的表面积为146 cm2，体积为90 cm3.
5．(1)这个八棱柱一共有10个面，其中有上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同。
(2)这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长都是12 cm，其他棱长都是5 cm。
(3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，该长方形的面积是40×12＝480(cm2)．
6．(1)a＝b (2)3 图2不是图1几何体的表面展开图。修正略。
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2 从立体图形到平面图形
第3课时 截一个几何体
1．截面的概念
定 义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作________。
形 状：截面的形状是平面图形，它可能是三角形、四边形、五边形、六边形或其他平面图形。
2．同一个几何体的截面形状
注 意：一般地，同一个几何体，用不同方向，从不同角度去截，截得的面也不尽相同。
归 纳：(1)截球，可以得到的截面形状只有一种，即______。
(2)截圆锥，可以得到的截面形状有______________等。
(3)截圆柱，可以得到的截面形状有______________等。
(4)截三棱柱，可以得到的截面形状有__________________等。
(5)截正方体，可以得到的截面形状有________________________________。
类型之一 截几何体
如图所示的图形的截面分别是什么图形？
类型之二 已知截面找几何体
如图，四个几何体分别为长方体、圆柱、球和三棱柱，这四个几何体中截面不可能是长方形的是( )
1．用一个平面去截正方体，下列关于截面(截出的面)的说法：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形。其中正确的序号是( )
A．①② B．①④
C．①②④ D．①②③④
2．如图，(a)(b)(c)是用同一个平面分别去截①②③中某个几何体得到的，请你填出它们之间的对应关系：
①对应__________；②对应__________；③对应__________。
3．截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得？( )
1．一块如图所示的长方体木头，用虚线所示方式截下去，所得到的截面图形是( )
A B
C D
2．用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为( )
①正方体；②圆柱；③圆锥；④三棱柱。
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．①②
3．如图所示的正方体被竖直截取了一部分，则被截取的那一部分的体积为______________(棱柱的体积等于底面积乘高)。
4．如图，用平面截左边的几何体，从右边找出相应的截面形状。
(1)
(2)
(3)
5．一个物体的外形是长方体(如图1)，其内部构造不详。用平面横向自上而下截这个物体时，得到了一组截面，截面形状如图2所示，这个长方体的内部构造是( )
图1 图2
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．圆柱或球
6．[2025·沈河区期末]如图，往一个密闭的正方体容器中持续的注入一些水，在注水的过程中，可将该容器倾斜放置，则该水平面形状不可能是( )
A．三角形 B．正方形
C．六边形 D．七边形
7．(空间观念)如图1，有一个立方体，它的表面涂满了红色，从三个不同的方向在每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色。问：
(1)小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的呢？
(2)如图2，如果每面切三刀，情况又是怎样呢？
(3)每面切n刀(n≥3)呢？
图1 图2
参考答案
【预习导航】
1．截面 2.(1)圆 (2)三角形、圆 (3)四边形、圆 (4)三角形、四边形 (5)三角形、四边形、五边形、六边形
【归类探究】
【例1】(1)截面是长方形 (2)截面是长方形 (3)截面是长方形
【例2】C
【当堂测评】
1．B 2.(b) (c) (a) 3．B
【分层训练】
1．B 2.B 3.5 cm3 4.(1)B (2)C (3)A 5.C 6.D
7．(1)小立方体中三面红的有8块，两面红的有12块，一面红的有6块，没有红色的只有1块。
(2)如果每面切三刀，小立方体中三面红的有8块，两面红的有24块，一面红的有24块，没有红色的有8块。
(3)每面切n刀，小立方体中三面红的有8块，两面红的有12(n－1)块，一面红的有6(n－1)2块，没有红色的有(n－1)3块。
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2 从立体图形到平面图形
第4课时 从三个方向看物体的形状
1．从不同的方向看立体图形
约 定：立体图形的正面、后面、左面、右面、上面、下面，如图所示。
2．看由小立方块所搭成几何体的规律
规 律：(1)从正面和上面看到的形状图的列数相同，从正面和左面看到的形状图的行数相同，从左面和上面看到的形状图的行数相同；
(2)由从上面看到的形状图，可以看出最底层小立方块的个数及形状；由从正面和左面看到的形状图，可以看出小立方块的层数和每层可能的个数。
类型之一 从不同的方向观察几何体
如图，从不同方向看一个茶壶，从上面看到的是( )
A B C D
类型之二 画出从正面、左面或上面看到的几何体的形状图
如图是从上面看由几个小立方体所搭几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数。请分别画出从这个几何体正面、左面所看到的形状图。
类型之三 根据从正面、左面或上面看到的形状图，计算小正方体的个数
一个几何体是由几个相同的小立方体组成的，从正面和左面看这个几何体，看到的图形如图所示，小立方体的个数最多有______个，最少有______个。
1．[2023·台州]如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，从正面看到的图形是( )
2．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体从左面看到的形状图的面积为( )
A．3 B．4
C．6 D．9
1．6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看到的形状图是( )
2．[2023·温州]截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，从它的正面看到的图形是( )
3．如图是由4个相同的小正方体拼成的一个几何体，该几何体从正面、左面、上面三个不同方向看到的形状图中，完全相同的是( )
A．从正面看和从左面看
B．从正面看和从上面看
C．从左面看和从上面看
D．三个方向均相同
4．[2024秋·贵州期末]如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，从左面看到的几何体形状图发生改变，则移走的小正方体是( )
A．① B．②
C．③ D．④
5．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体从正面看到的形状图的是( )
6．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体从左面和上面看到的形状图，则所需的小正方体的个数最多是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
7．(空间观念)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
参考答案
【归类探究】
【例1】A
【例2】如答图所示。
答图
【例3】5 3
【当堂测评】
1．C 2.B
【分层训练】
1．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.B 7.C
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2 从立体图形到平面图形
第1课时 正方体表面的展开图
1．正方体表面的展开图一(记忆口诀“141”)
特 征：正方体表面的展开图中有四个面在同一层。因为正方体有两个面必须作底面，所以平面展开图中最多只能有四个面处在同一层，如，作为底面的两个面只能处在此图的两侧，不妨固定一个面，如，那么另一个面的位置有以下四种情况：
同理，在不重复的情况下就有了如下结果：
2．正方体表面的展开图二(记忆口诀“231”)
特 征：正方体表面的展开图中有三个面在同一层。如，那么剩余的三个面有以下三种情况：
3．正方体表面的展开图三(记忆口诀“222”和“33”)
特 征：正方体表面的展开图中有二面三层(像楼梯)、三面二层。
类型 由表面的展开图判断正方体各个面的位置
将下图折叠起来围成一个正方体，得到的图形是( )
A B C D
1．下列展开图中，是正方体表面的展开图的是( )
2．[2024·沈阳铁西区期末]如图是一个正方体表面的展开图，则原图中与“学”字相对的是( )
A．核 B．心
C．数 D．养
3．[2024·江西]如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
1．下列不是正方体表面的展开图的是( )
2．一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图所示，下列判断正确的是( )
A．A代表 B．B代表
C．C代表 D．B代表
3．请根据图1、图2所示的数字，确定在图3的空格中应填入哪些数字(相对面上的数字之和相等)。
图1 图2
图3
4．[2024·沈阳月考]如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标数字的和相等，则这6个数的和为________。
5．如图是正方体表面的一种展开图，各面都标有数字，那么在正方体的六个面中，相对两个面上两个数字的积分别是多少？其中积最大是多少？
6．(空间观念)如图是由若干个棱长为a的正方体摆放而成的。
(1)该图由几个正方体组成？
(2)按如图摆放后，表面积是多少？
(3)当正方体的棱长为2时，它的表面积是多少？
参考答案
【归类探究】
【例】D
【当堂测评】
1．C 2.B 3.B
【分层训练】
1．D 2.A 3.略 4.81
5．相对两个面上两个数字的积分别是1×4＝4，2×5＝10,3×6＝18，其中积最大是18。
6．(1)7个 (2)30a2 (3)120
。
