第二章 有理数及其运算
1 认识有理数
第2课时 相反数与绝对值
1．相反数的概念
定 义：如果两个数符号不同，数量相等，那么称其中一个数为另一个数的__________，也称这两个数______________。特别地，0的相反数是______。
表示方法：一般地，数a的相反数表示为－a，其中a代表任何有理数。
2．绝对值的概念
定 义：一个数的数量大小叫作这个数的__________。
表示方法：如果a表示一个有理数，那么有理数a的绝对值用|a|表示。
意 义：正数的绝对值是它________；负数的绝对值是它的__________；0的绝对值是______。
即a表示一个数，有|a|＝
3．比较有理数的大小
法 则：(1)正数______于0，负数______于0，正数______于负数；
(2)两个负数，绝对值大的反而______。
类型之一 相反数的概念
求下列各数的相反数：
－9，6.8，3，－(＋5.1)。
类型之二 绝对值的概念
求下列各数的绝对值：
(1)－38； (2)＋0.15；
(3)a(a＜0)； (4)3b(b＞0)。
类型之三 利用绝对值比较大小
比较下列每组数的大小：
(1)－，－； (2)－，－；
(3)－，－； (4)－，－。
1．[2023·苏州]有理数的相反数是( )
A．－ B．
C．－ D．±
2．[2023·扬州]－3的绝对值是( )
A．－3 B．3
C． D．±3
3．[2023·泸州]下列各数中，最大的是( )
A．－3 B．0
C．2 D．|－1|
4．比较下列每组数的大小：
(1)－6，－8； (2)－，－。
1．下列各组数中，互为相反数的是( )
A. －（＋5）与＋（－5）
B.－与－（＋0.5）
C.－与0.3
D.与
2．一个数的相反数是正数，那么这个数一定是( )
A．正数 B．负数
C．零或正数 D．零
3．[2023·金华]某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是－20 ℃，－10 ℃，0 ℃，2 ℃，其中最低气温是( )
A．－20 ℃ B．－10 ℃
C．0 ℃ D．2 ℃
4．[2024·焦作期中]如图是一个正方体的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次为( )
A．0，5，－3 B．5，0，－3
C．0，－3，5 D．0，5，3
5．化简：
(1)－[－(＋3)]＝______；
(2)－[－(－9)]＝________；
(3)|π－3|＝__________。
6．比较－2.2，－1，|－3|，－5的大小，并用“＜”连接起来：________________________________。
7．已知|a|＝4，|b|＝2，且a＞b，则a＋b的值为__________。
8．(1)已知－{＋[－(－a)]}＝5，求a的相反数；
(2)已知|x＋2|与|y－5|互为相反数，求x，y的值。
9．(运算能力)请根据图示的对话解答下列问题。
(1)分别求出a和b的值；
(2)已知|m－a|＋|b＋n|＝0，求m，n的值。
参考答案
【预习导航】
1．相反数 互为相反数 0 2.绝对值 本身 相反数 0 3.(1)大 小 大 (2)小
【归类探究】
【例1】－9的相反数是9；6.8的相反数是－6.8；3的相反数是－3；－(＋5.1)的相反数是5.1。
【例2】(1)38 (2)0.15 (3)－a (4)3b
【例3】(1)－<－ (2)－<－ (3)－<－ (4)－<－
【当堂测评】
1．A 2.B 3.C
4．(1)－6>－8 (2)－>－
【分层训练】
1．D 2.B 3.A 4.A
5．(1)3 (2)－9 (3)π－3
6．－5＜－2.2＜－1＜|－3|
7．6或2
8．(1)a的相反数为5。
(2)x＝－2，y＝5。
9．(1)a＝－2，b＝－5。
(2)m＝－2，n＝5。
。第二章 有理数及其运算
1 认识有理数
第1课时 有理数
1．负数的概念
定 义：(1)像5，1.2，，…这样的数叫作________，它们都比0大；
(2)在正数前面加上“－”的数叫作________，如－10，－3，…
负数的意义：如果把一个量规定为正的，用正数表示，那么把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数表示。
2．有理数的概念
定 义：整数与分数统称为__________。
分 类：(1)按定义分：
(2)按性质分：
规 定：(1)正有理数和0统称为______________；
(2)负有理数和0统称为______________。
类型之一 正负数的意义
(1)在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
(2)一个月内，小明体重增加2 kg，可表示为＋2 kg。如果小华体重减少1 kg，那么小华的体重可以怎样表示？
(3)某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在什么温度范围内保存才合适？
类型之二 有理数的分类
请把下列各数填入相应的集合中：－9.6，5，－2，0，－3，－0.0，＋2.01，11%，，－，2 024，＋31.31，－8。
正整数集合：{ …}；
负整数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}。
1．[2023·云南]中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家。若向东走60 m记作＋60 m，则向西走80 m可记作( )
A．－80 m B．0 m
C．80 m D．140 m
2．下列四组数：①－3，2.3，；②，0，2；③，0.3，7；④，，2。其中三个数都不是负数的是( )
A．①② B．②④
C．③④ D．②③④
3．下列说法中，正确的是( )
A．正数和负数统称为有理数
B．有理数分为整数、分数、正有理数、负有理数和0五类
C．一个有理数不是整数，就是分数
D．整数包括正整数和负整数
1．[2024秋·沈阳期末]某校七（2)班学生的平均体重是55kg，若以此体重为基准，将57 kg记为+2 kg,则52.5 kg记为( )
A．－2.5kg B．－2kg
C．＋2.5kg D．＋50kg
2．[2023·江西]下列各数中，正整数是( )
A．3 B．2.1
C．0 D．－2
3．规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(←3)表示向左移动3，记作( )
A．＋3 B．－3
C．－ D．＋
4．[2024·沈阳月考]把下列各数填在相应的大括号里：＋，－6，0.54，7，0，3.14，20%，－，3.436 5，－，－2.543。
正整数集合：{ }；
负整数集合：{ }；
分数集合：{ }；
自然数集合：{ }；
负有理数集合：{ }；
正有理数集合：{ }。
5．某零件的设计图纸上标注着这样一个数据：20 mm±1 mm。实际生产时，测得这个零件的实际长度是19.9 mm，这个零件合格吗？
6．(推理能力、规律探索)将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题。
(1)在A处的数是正数，还是负数？
(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？
(3)第2 025个数是正数，还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
参考答案
【预习导航】
1．(1)正数 (2)负数 2.有理数 (1)非负有理数 (2)非正有理数
【归类探究】
【例1】(1)扣20分用－20分表示。
(2)小华体重减少1 kg，则小华的体重可以表示为－1 kg。
(3)温度是(20±2)℃，表示最低温度是20－2＝18(℃)，最高温度是20＋2＝22(℃)，即该药品在18℃～22 ℃之间保存才合适。
【例2】略
【当堂测评】
1．A 2.D 3.C
【分层训练】
1．A 2.A 3.B 4.略
5．合格。∵20 mm±1 mm表示长度在19 mm到21 mm之间的零件均合格，故实际长度为19.9 mm的零件是合格的。
6．(1)在A处的数是正数。
(2)负数排在B和D的位置。
(3)第2 025个数是负数。
∵2 025÷4＝506……1，
∴第2 025个数排在对应于B的位置。
。第二章 有理数及其运算
1 认识有理数
第3课时 数轴
1．数轴
定 义：在一条水平直线上取一点(称为原点)表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，像这样，规定了________、____________和__________的直线称为数轴，如图所示。
2．数轴上的点与有理数的关系
关 系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
注 意：(1)一个正有理数可以用原点右边的点来表示，0用原点来表示，一个负有理数可以用原点左边的点来表示。
(2)在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。
3．用数轴比较有理数的大小
比 较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的______。
类型之一 数轴上的点与有理数的关系
(1)在数轴上表示出下列各有理数：－2，－3，0，－4，。
(2)指出如图所示的数轴上A，B，C，D，E各点分别表示的有理数。
类型之二 有理数大小的比较
比较下列每组数的大小：
(1)3，－7；(2)－5.3，－5.4；
(3)－，－。
1．下列数轴表示正确的是( )
2．如图，数轴上蝴蝶所在的点表示的数可能为 ( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
3．指出如图所示的数轴上点A，B，C，D分别表示什么数。
点A表示________，点B表示____________，点C表示__________，点D表示______。
4．用“＞”或“＜”符号填空：
(1)－7______－9；
(2)－|5|______－(－5.4)。
1．[2023·温州]如图，比数轴上点A表示的数大3的数是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．[2023·自贡]如图，数轴上点A表示的数是2 023，OA＝OB，则点B表示的数是( )
A．2 023 B．－2 023
C． D．－
3．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上(如图)，根据图中的数据，判断墨迹盖住的整数有________个。
4．若点A为数轴上表示－3的点，将点A沿数轴向右平移5个单位长度到点B，则点B所表示的数为______。
5．[2024·沈阳月考](1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－5，0，－，－(－3)，2.5，－(＋1)。
(2)将上面各数用“＜”连接起来。
6．[2024·沈阳期中]综合与实践：一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向西走了2 km到达小明家，然后又向东走了4 km到达小红家，继续向东走了3.5 km到达小刚家，最后回到饭店。以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，点O，A，B，C分别表示饭店、小红家、小刚家和小明家。
(1)请你在数轴上表示出点O，A，B，C的位置。
(2)小刚家距小明家多远？
(3)小红步行到小刚家，每小时走5 km；小明骑自行车到小刚家，每小时骑15 km。若两人同时分别从自己家出发，问两人能否同时到达小刚家？若不能，谁先到达？
7．(模型观念)如图，在数轴上有三个点A，B，C。
回答下列问题：
(1)将点B向右移动6个单位长度后，三个点所表示的数哪一个最小？
(2)将点C向左移动6个单位长度后，三个点所表示的数哪一个最大？
(3)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点所表示的数相同？有几种移动的方法？
参考答案
【预习导航】
1．原点 单位长度 正方向 3.大
【归类探究】
【例1】(1)略
(2)点A表示－4，点B表示－1.5，点C表示0.5，点D表示3，点E表示4.5。
【例2】(1)3>－7 (2)－5.3>－5.4
(3)－<－
【当堂测评】
1．D 2.D 3.－5 －1.5 2.5 6
4．(1)＞ (2)<
【分层训练】
1．D 2.B 3.10 4.2
5．(1)略 (2)－5＜－＜－(＋1)＜0＜2.5＜－(－3)
6．(1)略
(2)小刚家距小明家有7.5 km。
(3)两人不能同时到达，小明先到达。
7．(1)点A表示的数最小。
(2)点B表示的数最大。
(3)点A不动，移动另外两个点B，C，将点B向左移动1个单位长度，将点C向左移动4个单位长度。点B不动，移动另外两个点A，C，将点A向右移动1个单位长度，将点C向左移动3个单位长度；点C不动，移动另外两个点A，B，将点A向右移动4个单位长度，将点B向右移动3个单位长度。共有3种移动的方法。
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