第三章 整式及其加减
1 代数式
第2课时 代数式的应用
1．表示一些常见的数
表示方法：(1)正整数表示为1，2，3，…，n；
(2)偶数表示为2n(n为整数)；
(3)奇数表示为2n＋1或2n－1(n为整数)。
2．表示常见图形的周长和面积
公 式：(1)长方形的周长表示为2(a＋b)，其面积表示为ab；
(2)三角形的面积表示为ah；
(3)梯形的面积表示为；
(4)圆的周长表示为2πr，面积表示为πr2。
类型之一 代数式的应用
如图，已知长方形的长为(a＋b)，宽为a。
(1)写出图中阴影部分的面积；
(2)当a＝3，b＝2时，计算图中阴影部分的面积。
类型之二 求代数式的值的应用
把a＝－2，b＝5分别输入两台“数值转换机”：
(1)分别写出两台数值转换机的输出结果：＝______，＝______；
(2)观察结果，用含a，b的代数式写出你的猜想: 。
1．下列说法中，正确的是( )
A．当x＝2时，代数式x2＋1的值是5
B．当a＝3时，代数式a2－的值是12
C．当a＝0时，代数式＋1的值是1
D．代数式a2＋b2的值恒为整数
2．某快递公司的收费标准如下：5 kg以内收费a元，超过5 kg的部分每千克按3元收费。小天寄8 kg的包裹，需要支付( )
A．(a＋24)元 B．(15＋a)元
C．(9＋a)元 D．(5a＋3)元
3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行如图所示的程序框图，如果第一次输入的数是80，那么最后输出的结果为__________。
1．买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买3个足球和2个篮球共需( )
A．5mn元 B．6mn元
C．(3m＋2n)元 D．(2m＋3n)元
2．[2023·宁夏]如图是某种杆秤。在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点。当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡。秤盘放入x g物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y mm时秤杆处于平衡。测得x与y的几组对应数据如下表：
x/g 0 2 4 6 10
y/mm 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，y＝__________________mm(用x表示)；当x＝20 g时，y＝________mm。
3．[2024·沈阳期中]某校准备买一些羽毛球和羽毛球拍，现了解情况：甲、乙两家商店出售同样品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球拍每副200元，羽毛球每盒40元，经商谈后，甲商店每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球，乙商店全部按定价的九折优惠，学校需要球拍10副，羽毛球x盒(x>10)。
(1)分别求在甲、乙两家商店购买这些商品所需的费用。（用含x的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，若学校需要20盒羽毛球，且只能在甲、乙两家商店中选择一家进行购买，则去哪家商店更合算？请通过计算说明理由。
(3)除了上述方案，在学校购买20盒羽毛球的条件下，你能设计一种更省钱的方案么？写出你的购买方法，并计算出所需费用。
4．如图，在长为32 m，宽为20 m的长方形地面上修筑宽度均为a m的两条互相垂直的小路(图中阴影部分)，其余部分种花，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/m2。
(1)买地砖至少需要_______________________元(用含a的式子表示)；
(2)当a＝3时，计算地砖的费用；
(3)在(2)的基础上计算，若种花的价格是24元/m2，则种花需要花费多少钱？
5．（应用意识）[2024·沈阳期中]请你认真阅读下列材料，并完成相应的任务。
很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示！
一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数。
例如，在三位正整数234中，，所以234是“半和数”；在三位正整数369中，，所以369也是“半和数”。
任务：
(1)三位正整数159 “半和数”（填“是”或“不是”），三位正整数268 “半和数”（填“是”或“不是”）。
(2)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 ，若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 ，这个数为 （用含b的代数式表示）。
(3)请从A，B两题中任选一题作答。
A．小颖发现：任意一个“半和数”都能被3整除！请你按下面的思路说明这一结论成立。
解：设一个“半和数”的百位数字为a，个位数字为b(a，b均为整数，且0
B．小颖发现：任意一个“半和数”的个位数字和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由。
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)S阴影＝a2＋ab－πa2－πb2.
(2)当a＝3，b＝2时，S阴影＝15－π。
【例2】(1)9 9 (2)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
【当堂测评】
1．A 2.C 3.320
【分层训练】
1．C 2.(10＋2x) 50
3．（1)甲商店的费用为（40x+1 600)元，乙商的费用为（36x+1 800)元。
（2)去甲商店更合算，理由略。
（3）到甲商店购买球拍10副，到乙商店购买10盒羽毛球更省钱，所需费用为2 360元。
4．(1)(3 120a－60a2)
(2)当a＝3时，地砖的费用为8 820元。
(3)种花需要花费11 832元。
5．(1)是 不是 (2)741 105a (3)略
。第三章 整式及其加减
1 代数式
第3课时 整式的概念
1．单项式的概念
单项式：数与字母的________，这样的代数式叫作单项式。
注 意：单独一个数或一个字母也是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的__________叫作这个单项式的次数。
2．多项式的概念
多项式：几个单项式的______叫作多项式。
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项。
多项式的次数：一个多项式中，次数最高的______的次数，叫作这个多项式的次数。
3．整式的概念
整 式：__________和多项式统称整式。
类型之一 单项式的概念
找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数。
ab2，－y，，＋3，25x7，－3x2y3z。
类型之二 多项式的概念
下列代数式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式。
(1)x4＋25x2－1；
(2)2xy＋；
(3)a3＋2ab3＋b3－a3b2；
(4)。
一个花坛的形状如图所示，它的两端是半径相等的半圆。
(1)求花坛的周长l。
(2)求花坛的面积S。
(3)以上两式分别是几次多项式？分别由哪些项组成？每项的系数是什么？
1．下列说法中，正确的是( )
A．单项式 的系数是－2，次数为3
B．单项式a的系数为0，次数是0
C．－3x2y＋4x－1是二次三项式
D．单项式－的次数是2，系数为－
2．已知代数式：，，－2xy2，－2x＋y2，，，3a，π。
整式有：__________________________________________；
单项式有：____________________________；
多项式有：________________。
1．填表：
多项式 3a－1 －x＋5x2＋7 －2x2y＋6xy4－3
各项
次数
最高次项
几次几项式
2.写出满足条件的单项式：
(1)所有系数是2，且只含字母x和y的五次单项式为__________________ ____________________________；
(2)系数是－5，含a，b两个字母，且a的指数是2，单项式的次数是6的单项式为________________；
(3)系数是－，次数是3，含x，y两个字母，且y的指数是2的单项式为______________。
3．(1)按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…则第n个单项式是____________________；
(2)按一定规律排列的单项式：x，－x3，x5，－x7，x9，…则第20个单项式是____________；
(3)[2023·西藏]按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…则按此规律排列的第n个单项式为____________________(用含有n的代数式表示)。
4．图1是一种可折叠圆桌，图2是其桌面的简化示意图及折叠示意图(图中阴影表示可折叠部分)。已知折叠前圆桌的直径为b m，折叠成正方形后其边长为a m。
(1)请你用关于a，b的代数式表示圆桌由圆形折叠成正方形时，面积(即表示阴影部分面积)减少了____________。
(2)在(1)中所列代数式是整式吗？如果是，请写出它所有的项，并指出其次数。
(3)当a＝1，b＝1.2时，阴影部分的面积是多少(π取3)
图1
图2
5．(应用意识)小明、小天和小兰的房间窗户是大小、形状完全相同的长方形(宽为2m，高为n)，窗户的装饰物如图所示。小明和小天的房间窗户的装饰物，分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径分别相同)，小兰的房间窗户装饰物由两个直角三角形组成(窗框面积忽略不计)。
(1)小明的房间窗户(图1)中能射进阳光的部分的面积S1＝______________；小天的房间窗户(图2)中能射进阳光的部分的面积S2＝______________；小兰的房间窗户(图3)中能射进阳光的部分的面积S3＝________________。
(2)哪个房间采光最好？请说明理由。
图1 图2 图3
参考答案
【预习导航】
1．乘积 指数和 2.和 项 3.单项式
【归类探究】
【例1】ab2，－y,25x7，－3x2y3z是单项式，其中ab2的系数是，次数是3；－y的系数是－1，次数是1；25x7的系数是25，次数是7；－3x2y3z的系数是－3，次数是6。
【例2】x4＋25x2－1，a3＋2ab3＋b3－a3b2是多项式，其中x4＋25x2－1是四次三项式；a3＋2ab3＋b3－a3b2是五次四项式。
【例3】(1)l＝2a＋2πr。
(2)S＝2ar＋πr2。
(3)2a＋2πr是一次多项式，由2a,2πr组成，系数分别是2,2π；2ar＋πr2是二次多项式，由2ar，πr2组成，系数分别是2，π。
【当堂测评】
1．D
2．，－2xy2，－2x＋y2,3a，π ，－2xy2,3a，π －2x＋y2
【分层训练】
1．3a，－1 －x,5x2,7 －2x2y,6xy4，－3 1 2 5 3a 5x2 6xy4 一次二项式 二次三项式 五次三项式
2．(1)2x2y3,2x3y2,2x4y,2xy4 (2)－5a2b4 (3)－xy2
3．(1)(2n－1)xn (2)－x39 (3)(3n＋2)an
4．(1) m2 (2)b2－a2是整式，它有两项，分别为b2和－a2，每项次数都是二次。
(3)阴影部分的面积是0.08 m2。
5．(1)2mn－ 2mn－ 2mn－m2
(2)小天的房间采光最好。理由略。
。第三章 整式及其加减
1 代数式
第1课时 代数式
1．代数式的概念
定 义：用____________把数和字母连接而成的式子叫作代数式。单独一个数或一个________也是代数式。
注 意：代数式与等式不同，代数式不含等号。
2．列代数式
注 意：(1)“÷”号用__________表示；
(2)乘积中，数写在字母因式的________，数与字母相乘或字母与字母相乘时，“×”号可以省略，但数与数相乘时不能省略“×”号；
(3)带分数与字母相乘时应写成__________。
类型之一 代数式的定义
下列式子：0，4x，－2－3，，5abc，3>2，8－y＝3中，代数式的个数是( )
A．3 B．5
C．6 D．7
类型之二 用代数式表示数
用代数式表示数：
(1)比8小x的数是__________；
(2)m个学生数学考试的总分是n分，这些学生数学考试的平均分是______分；
(3)菜市场黄瓜每千克a元，白菜每千克b元，某食堂要买30 kg黄瓜，50 kg白菜，需支付的钱数是______________________元；
(4)长方形的长为a cm，宽为b cm，该长方形的周长和面积分别是____________cm，________cm2.
类型之三 求代数式的值
当a＝－3，b＝－5，c＝4时，求下列各代数式的值：
(1)(a＋b)2；
(2)a2－b2＋c2；
(3)(－a＋b－c)2。
1．下列判断，错误的是( )
A．0是代数式
B．式子2－5是代数式
C．3>2是代数式
D．x＝2不是代数式
2．下列各式中，符合代数式书写规则的是( )
A．－2p B．a×
C．x2 D．2y÷z
3．下列说法中，错误的是( )
A．x，y两数的平方差是x2－y2
B．x加上y的和除以x的商是x＋
C．x减去y的2倍所得的差是x－2y
D．x与y和的平方的2倍是2(x＋y)2
4．用代数式表示“x的2倍与y的差的平方”是__________________。
5．若a＝－1，b＝2，则2a＋b＋3的值为______。
1．[2023·河北]式子－7x的意义可以是( )
A．－7与x的和 B．－7与x的差
C．－7与x的积 D．－7与x的商
2．[2024·广州]如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U,则U＝IR1＋IR2＋IR3。当R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8,I=2.2时，U的值为 。
3．[2024·雅安]如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母)，请选用适当的字母表示H= 。
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D;③杯底直径d;④杯沿高a。
4．(1)三个连续整数，中间的数是n，其余两个数分别是______________，______________；
(2)三个连续奇数，中间的数是2n＋1，其余两个数分别是________________，________________；
(3)一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，用代数式表示这个两位数是__________________；
(4)一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，用代数式表示这个三位数是____________________________。
5．如图(图中长度单位：cm)，用式子表示三角尺中阴影部分的面积是______cm2。
6．[2023·常州]若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是__________(用含a的代数式表示)。
7．请根据对话，解答下列问题。
(1)求a，b，c的值；
(2)求9－a＋b－c的值。
8．(应用意识)现代营养学家用身体质量指数来判断人体的健康状况，这个指数等于人体体重(单位：kg)除以人体身高(单位：m)的平方所得的商。一个健康的人的身体质量指数在20～25之间。身体质量指数不大于18，属于不健康的瘦；身体质量指数高于30，属于不健康的胖。
(1)一个人的体重为w(kg)，身高为h(m)，试写出他的身体质量指数p(用字母表示)；
(2)王林的身高为1.75 m，体重是65 kg，请计算他的身体质量指数，并判断他的健康状况(精确到个位)；
(3)若李红的身高为1.6 m，她的身体健康状况属于不健康的瘦，她的体重最多为多少千克(精确到个位)
参考答案
【预习导航】
1．运算符号 字母 2.分数线 前面 假分数
【归类探究】
【例1】B
【例2】(1)8－x (2) (3)(30a＋50b)
(4)2(a＋b) ab
【例3】(1)64 (2)0 (3)36
【当堂测评】
1．C 2.C 3.B 4.(2x－y)2 5.3
【分层训练】
1．C 2.220 3.h＋an 4.(1)(n－1) (n＋1) (2)(2n－1) (2n＋3)
(3)(10b＋a)
(4)(100a＋10b＋c) 5. 6.πa3
7．(1)a＝－3，b＝－7，c＝－1。
(2)6
8．(1)p＝
(2)王林的身体属于健康。
(3)她的体重最多为46 kg。
。