第五章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
第2课时 盈不足问题
1．用一元一次方程解决盈不足问题
方 法：盈不足问题中一般有两个未知量，它们在两种方案中是不变的，列方程解决时，往往设其中一个为x，分别在两种方案中用x来表示另一个量，然后以另一个量为相等关系列方程。
2．用一元一次方程解决和差倍分问题
和差问题：小数＋差＝大数(小数是未知数时)；
大数－差＝小数(大数是未知数时)。
倍数问题：小数×倍数＝大数(小数是未知数时)；
大数÷倍数＝小数(大数是未知数时)。
类型之一 盈不足问题
我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：林下牧童闹如簇，不知人数不知竹。每人六竿多十四，每人八竿恰齐足。其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿。每人6竿，还多14竿；每人8竿，恰好用完。请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数。
类型之二 总量调配问题
某车间有94名工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个。已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套；每天能生产多少套？
1．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，则x＝________。
2．在“垃圾分类”活动中，实践组有23人，宣传组有16人，应从宣传组调______人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍。
3．[2024·重庆秀山期末]某糕点厂春节前要制作一批盒装鲜花饼，每盒中装2块大鲜花饼和4块小鲜花饼，制作一块大鲜花饼要用0.05 kg面粉，一块小鲜花饼要用0.02kg面粉。
（1)现共有面粉4500kg，制作两种鲜花饼应各用多少千克面粉，才能生产最多的盒装鲜花饼？
（2)如果大鲜花饼的成本价为5元/块，小鲜花饼的成本价为3元/块，那么生产这批盒装鲜花饼总成本价为多少元
1．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送。若每个快递员派送100件，则还剩60件；若每个快递员派送120件，则还差60件，那么该快递分派站现有包裹( )
A．600件 B．660件
C．680件 D．720件
2．甲煤场有煤390 t，乙煤场有煤96 t，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ 若设从甲煤场运x t煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是( )
A．390－x＝2(96＋x)
B．390＋x＝2(96－x)
C．390－x＝2×96
D．390－2x＝96
3．[2023·自贡]某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位。则该客车的载客量为____________。
4．[2024·无锡模拟]我国古代数学名著《九章算术》中记载：粟率五十，粝米三十。今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？意思为：50斗谷子能出30斗米。今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少，向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗。原来有米__________斗。
5．中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发豪情逸致，文化价值极高。古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却少了20个字。两种诗各多少首？
6．某班级劳动时，将全班同学分成x个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人。按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？( )
A．4组 B．5组
C．6组 D．7组
7．七(1)班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人。某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个。
(1)七(1)班有男生、女生各多少人？
(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
8．(应用意识)为了增强身体素质，提高班级凝聚力，某校初一年级师生在11月中旬集体乘车去森林公园参加定向越野活动，学校租大巴若干辆，若按照每辆车载40名学生，则还有22名学生没有座位；若按照每辆车载43名学生，有一辆车只载23名学生，学校租大巴多少辆？
参考答案
【归类探究】
【例1】牧童人数为7。
【例2】分配46人生产甲种零件，48人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套。每天能生产552套。
【当堂测评】
1．39 2.3 3.(1)用2500kg面粉生产大鲜花饼，2000kg面粉生产小鲜花饼才能生产最多的盒装月饼。 (2)生产这批盒装鲜花饼总成本价为550000元。
【分层训练】
1．B 2.A 3.40人 4.2.5
5．七言绝句有35首，五言绝句有48首。
6．C
7．(1)男生21人，女生24人。(2)男生要支援女生3人，才能配套。
8．学校租大巴14辆。
。第五章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
第1课时 等积变形问题
1．体积计算公式
公 式：(1)长方体体积＝________________；
(2)正方体体积＝______________；
(3)柱体体积＝_______________；
(4)圆锥体积＝____________________。
2．分析变化过程，挖掘等量关系
归纳：(1)形状发生了变化，而体积没变，相等关系：___________________ ___________；
(2)形状、面积发生了变化，而周长没变，相等关系：____________________ __________。
类型之一 等体积变形问题
从一个底面半径是10 cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面半径是5 cm，高8 cm的圆柱形空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少(杯子厚度都忽略不计)
类型之二 平面图形的周长和面积问题
用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形。
(1)使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
(2)使长方形的宽比长少4 cm，求这个长方形的面积；
(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？
1．有一个底面半径为10 cm，高30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为(杯子厚度都忽略不计)( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
2．将一根长12 cm的铁丝围成一个长与宽之比为2∶1的长方形，则此长方形的面积为____________。
1．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为20 cm，容器内的水面高度为15 cm，如果把一根半径为10 cm的玻璃棒垂直插入水中，那么容器内的水面升高(水不会溢出)( )
A．10 cm B．5 cm
C．15 cm D．12 cm
2．一个长方体形状的游泳池，长50 m，宽25 m，池里原来的水深为1.2 m，如果用水泵向外排水，每分钟排水2.5 m3。设需x min排完，可列方程：___________________。
3．如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个正方形拼成，其中小长方形的宽是2 cm，求大长方形的面积。
4．有一玻璃密封器皿如图1所示，测得其底面直径为20 cm，高20 cm，现内装蓝色溶液若干。若按如图2放置时，测得液面高10 cm；若按如图3放置时，测得液面高16 cm，则该玻璃密封器皿的总容量为(结果保留π)( )
图1 图2 图3
A．1 250π cm3 B．1 300π cm3
C．1 350π cm3 D．1 400π cm3
5．如图，将一个正方形纸片先剪去一个宽为6 cm的长条①后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8 cm的长条②，若长条①和②的面积恰好相等，则这个正方形纸片的面积是__________cm2。
6．(模型观念)“乌鸦喝水”的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦就喝到了水。
根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入1个小球水面升高______cm，放入1个大球水面升高______cm；
(2)如果放入10个球且使水面恰好上升到52 cm，那么应放入大球、小球各多少个？
参考答案
【预习导航】
1．(1)长×宽×高 (2)棱长×棱长×棱长
(3)底面积×高 (4)×底面积×高
2．(1)变化前、后的体积相等 (2)变化前、后的周长相等
【归类探究】
【例1】凉水杯的水面将下降2 cm。
【例2】(1)这个长方形的长为18 cm，宽为12 cm。
(2)长方形的面积为221 cm2。
(3)还能围出面积更大的长方形，因为当宽与长相差越小时，长方形的面积越大。
【当堂测评】
1．C 2.8 cm2
【分层训练】
1．B 2.50×25×1.2＝2.5x
3．大长方形的面积是96 cm2.
4．D 5.576
6．(1)2 3 (2)应放入大球6个，小球4个。
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第3课时 行程问题
1．行程问题中常用的数量关系
基本关系：路程＝______________。
相遇问题：甲、乙相向而行，则甲走的路程＋乙走的路程＝__________。
追及问题：甲、乙同向不同地，则后者走的路程＝前者走的路程＋________________。
2．环形跑道问题
数量关系：(1)甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，则快的必须多跑________才能追上慢的；
(2)甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，则两人首次相遇时所走的路程之和等于环形跑道________的长度。
3．航行问题
数量关系：(1)顺水速度＝________＋____；
(2)逆水速度＝________－____；
(3)顺水速度－________＝2×____。
类型之一 行程问题
已知甲、乙两地相距160 km，A，B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为85 km/h，B车速度为65 km/h。
(1)A，B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？
(2)A，B两车同时相向而行，经过几小时两车相距20 km
类型之二 航行问题
如图，甲船逆水行驶，乙船顺水行驶，两船的静水速度都为12 km/h，开始时两船相距60 km。已知水流速度为3 km/h，两船同时相向而行。
(1)两船同时航行1 h，求此时两船之间的距离；
(2)在(1)的情况下，两船再继续航行2 h，求此时两船之间的距离；
(3)两船从开始航行到两船相距12 km，需要多长时间？
1．甲列车从A地开往B地，速度是60 km/h，乙列车从B地开往A地，速度是40 km/h，两车同时出发。已知A，B两地相距200 km，______h后两车相遇。
2．一天，小明从家以60 m/min的速度出发上学，6 min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书。于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在中途追上了他，爸爸追上小明用了______min。
1．我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔。如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1 km时，以101 m/min的速度奋起直追，而乌龟仍然以1 m/min的速度爬行，那么小白兔大概需要________min就能追上乌龟。
2．小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用时34 min，已知上坡速度是400 m/min，下坡速度是450 m/min，则甲地到乙地的路程是______________m.
3．运动场的跑道一圈长400 m，小健和小康练习跑步，两人平均每分钟分别跑210 m,190 m。两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？首次相遇后两人转为同向出发，又经过多少时间再次相遇？
4．甲、乙两站相距480 km，一列慢车从甲站开出，每小时行90 km，一列快车从乙站开出，每小时行140 km。
(1)若慢车先开出1 h，快车再开出，两车相向而行，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，反向而行，多少小时后两车相距600 km
(3)若两车同时开出，同向而行，慢车在快车后面，多少小时后快车与慢车相距600 km
(4)若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
(5)若慢车开出1 h后，两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
5．(应用意识)已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10。动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，当运动时间为__________s时，点P与点Q之间的距离为8个单位长度。
参考答案
【预习导航】
1．速度×时间 总路程 两地间的距离
2．(1)一圈 (2)一圈 3.(1)静水速度 水速
(2)静水速度 水速 (3)逆水速度 水速
【归类探究】
【例1】(1)经过8 h A车追上B车。
(2)经过h或h两车相距20 km。
【例2】(1)两船同时航行1 h，此时两船之间的距离是36 km。
(2)在(1)的情况下，两船再继续航行2 h，此时两船之间的距离是12 km。
(3)两船从开始航行到两船相距12 km，需要2 h或3 h。
【当堂测评】
1．2 2.3
【分层训练】
1．10 2.7 200
3．两人经过1 min后首次相遇；又经过20 min再次相遇。
4．(1)快车开出 h后两车相遇。
(2)反向而行 h后两车相距600 km。
(3)2.4 h后快车与慢车相距600 km。
(4)9.6 h后快车追上慢车。
(5)快车开出后11.4 h追上慢车。
5．1或9
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