2024-2025人教版（2019）高中数学必修一4.4 对数函数 题型总结（含解析）

4.4对数函数题型总结
题型一、对数函数的概念及应用
1．给出下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）
2．若函数的图象过点，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
题型二、与对数函数有关的定义域
3．求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）； （4）.
4．函数的定义域为_________.
题型三、对数函数模型的应用
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
题型四、对数函数的图象问题
6．如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
7．函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．C． D．
8．若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
9．已知函数的图象如图，则________．
10．已知函数.
(1)作出函数的图象； (2)由图象观察当时，函数的值域．
题型五、比较大小
11．比较下列各组中两个数的大小：
(1)，； (2)，； (3)，．
12．分别比较下列各组数的大小：
(1)，，； (2)，，；(3)与．
13．若，，，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型六、反函数
14．函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．函数的反函数是___________.
16．（多选）函数是（，且）的反函数，则对于任意正数x，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型七、解对数不等式
17．已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知集合，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．解关于的不等式：（，且）．
20．解下列不等式：
(1)； (2)；
题型八、对数型复合函数的单调性
21．已知函数.
(1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域.
22．已知函数.
(1)求的定义域和值域： (2)判断的奇偶性，并说明理由： (3)求的单调区间.
跟踪训练
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数是对数函数，则 .
3．下列函数的定义域：
（1）； （2）.
4．人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：)
A． B． C． D．
5．函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
6．函数与的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
7．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
8．函数（且）恒过定点，则______．
9．比较下列各组数的大小．
(1)log3.10.5与log3.10.2； (2)与； (3)log56与log65.
10．函数的反函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，它的反函数为，则_______．
12．若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
13．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
14．已知集合，则CRA=____________.
15．求函数的单调增区间．
16．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)讨论的单调性；
(3)求在区间[,2]上的值域.
4.4对数函数题型总结答案
题型一、对数函数的概念及应用
1．给出下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．
故答案为：（1）（2）（3）．
2．若函数的图象过点，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】A
【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【详解】解：由已知得，所以，解得：，
故选：A．
题型二、与对数函数有关的定义域
3．求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）； （2）；（3）；（4）.
【分析】根据解析式列出使函数有意义的不等式，即可解出定义域.
【详解】（1）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
（2）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
（3）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
（4）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
4．函数的定义域为_________.
【答案】
【分析】由对数函数的真数大于0列出不等式，由一元二次不等式的解法求出解集，即可求出答案.
【详解】由题可知，即，解得或.
故函数的定义域为.
故答案为: .
题型三、对数函数模型的应用
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
【答案】（1）；（2）2700个单位．
【分析】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；
（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.
【详解】解：（1）设V＝k·log3，
∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为;
（2）令V＝1.5，则，∴Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．
题型四、对数函数的图象问题
6．如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】根据对数函数的图象与性质判断．
【详解】∵当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴，故，，，对应的a值依次是，，，．
故选：B．
7．函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求解函数的零点，根据排除法判断即可
【详解】求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据函数解析式分析函数图像的问题，属于基础题
8．若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
【答案】D
【分析】根据对数运算的性质，，可得答案.
【详解】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点.
故选：D.
9．已知函数的图象如图，则________．
【答案】8
【分析】由图像可得：过点和，代入解得a、b．
【详解】由图像可得：过点和，则有：，解得．
∴．
故答案为：8．
10．已知函数.
(1)作出函数的图象；
(2)由图象观察当时，函数的值域．
【分析】（1）直接画出对数函数图象即可；
（2）根据函数图象直接写出时，函数的值域.
【详解】(1)函数的图象如下图：
(2)当时，，故当时，函数的值域为．
题型五、比较大小
11．比较下列各组中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，；
【分析】（1）利用函数是增函数可求解；
（2）利用函数是增函数可求解；
（3）分类讨论，及时，函数的单调性，进而求解.
【详解】(1)因为函数是增函数，且，所以
(2)因为函数是减函数，且，所以
(3)当时，函数是增函数，且，所以；
当时，函数是减函数，且，所以；
12．分别比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，；
(3)与．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对于同底数的对数，利用函数单调性，对于不同底数的对数，利用中间值法；
（2）对数与指数之间的比较，利用中间值法；
（3）对于真数相同的对数，利用函数图象.
【详解】（1）因为在上是增函数，所以．又在上是增函数，所以，所以．
（2）因为在R上是增函数，所以．因为在上是增函数，所以．因为在上是减函数，所以．所以．
（3）方法一：函数和的图象如图所示．
当时，的图象在的图象的上方，所以．
方法二：因为，，又，所以．
13．若，，，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合对数运算性质，，，，为增函数，即可比较
【详解】，，，
∵为增函数，∴.
故选：C
题型六、反函数
14．函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用反函数以及对数的运算性质求解.
【详解】因为的图像与函数的图像关于直线对称，
所以，所以，
故A，B，D错误.
故选：C.
15．函数的反函数是___________.
【答案】
【分析】根据函数，可得，即可得到函数的反函数.
【详解】因为，则，
有.
所以函数的反函数.
故答案为：.
16．（多选）函数是（，且）的反函数，则对于任意正数x，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，得到解析式，再根据对数运算法则，对选项逐一判断即可.
【详解】由题意，.
选项A，故A正确.
选项B，故B正确.
选项C，.故C正确
选项D，由B选项知，，所以当时，.故D错误.
故选: ABC.
题型七、解对数不等式
17．已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据对数与二次不等式的运算求解命题中的解集，再判断充分与必要条件即可.
【详解】由题意得p：，即1故选：C.
18．已知集合，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，即，
则实数a的取值范围是，
故选:C.
19．解关于的不等式：（，且）．
【答案】当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为
【分析】分成进行讨论，结合对数函数的单调性及定义域即可列出关于的不等式，进而即得.
【详解】当时，原不等式等价于，即，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式等价于，即，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
20．解下列不等式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.
【详解】（1）由题且，且，得且，
，则，由，
，
化简得，
则或，解得或，
故不等式解集为.
（2）由题，
则或，解得.
故不等式解集为.
题型八、对数型复合函数的单调性
21．已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【答案】(1)；(2)单调递增区间为；单调递减区间为；值域为
【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.
【详解】（1）由得：，的定义域为.
（2）令，在上单调递增；在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递增区间为；单调递减区间为，
，，
的值域为.
22．已知函数.
(1)求的定义域和值域：
(2)判断的奇偶性，并说明理由：
(3)求的单调区间.
【答案】(1)定义域为(-2,2)，值域为；
(2)偶函数，理由见解析；
(3)单调增区间为(-2,0)，减区间为(0,2).
【分析】(1)根据对数函数的定义即可求出函数的定义域，利用复合函数的性质“同增异减”，求出的单调性，进而求得函数的值域；
(2)利用奇偶函数的定义即可证明；
(3)利用复合函数的性质“同增异减”即可求出的单调区间.
【详解】(1)由，解得，所以的定义域为；
，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且为增函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
即的值域为；
(2)由(1)知，的定义域为，关于原点对称，
∵，
∴为偶函数；
(3)由(1)知，的定义域为，
，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且为增函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即的单调增区间为，减区间为.
跟踪训练答案
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
2．若函数是对数函数，则 .
【答案】5
【分析】根据对数函数的定义即可求解.
【详解】解：根据对数函数的定义有，解得，
故答案为：5．
3．下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
【答案】（1）且；（2）.
【分析】（1）根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域；
（2）根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零，列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域.
【详解】（1）由题意可得，解得，
因此，函数的定义域为且；
（2）由题意可得，即，解得.
因此，函数的定义域为.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉几种常见的求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题.
4．人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得．
【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和，
两式作差可以得到，
即，所以，
故选：C．
5．函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
6．函数与的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】解：因为在定义域上单调递减，
又，所以在定义域上单调递减，
故符合条件的只有A；
故选：A
7．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对四个选项一一验证：
对于A：利用幂函数的图像，直接判断；
对于B：利用指数函数的图像，直接判断；
对于C、D：利用对数函数的图像，进行判断；
【详解】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；
故选：C
8．函数（且）恒过定点，则______．
【答案】
【分析】根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，函数恒过定点，
可得，解得，所以.
故答案为：.
9．比较下列各组数的大小．
(1)log3.10.5与log3.10.2；
(2)与；
(3)log56与log65.
【答案】(1)log3.10.5>log3.10.2； (2)； (3)log56>log65
【分析】（1）由在(0,＋∞)上是增函数，即可求得结果.
（2）由在(0,＋∞)上是减函数，即可求得结果.
（3）利用中间变量及对数的单调性，即可求得结果.
【详解】(1)因为在(0,＋∞)上是增函数，所以log3.10.5>log3.10.2.
(2)法一：因为在(0,＋∞)上是减函数，所以.
法二：＝－3，＝－2，由－3<－2知.
(3)因为log56>log55＝1，log65log65.
10．函数的反函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求函数的值域，再根据反函数的性质求解即可.
【详解】解：∵，∴，
∴函数的值域为，
∵的定义域即函数的值域，
∴的定义域为．
故选：C
11．已知函数，它的反函数为，则_______．
【答案】
【分析】令，求函数的自变量即为对应反函数的函数值.
【详解】因为，
所以令，解得，
根据互为反函数之间的关系，可得.
故答案为：.
12．若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
【答案】2
【分析】根据指数函数与对数函数的关系求出的反函数，再代入计算可得；
【详解】解：因为函数的反函数为，，
所以，即，所以或（舍去）；
故答案为：
13．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合，进而利用交集的定义求得.
【详解】A，则.
故选：B
14．已知集合，则____________.
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性解不等式可得集合，进而可得其补集.
【详解】由，解不等式，且，所以，
故，，
故答案为：.
15．求函数的单调增区间．
【答案】．
【分析】利用复合函数的单调性原理和对数函数的性质求解
【详解】解：由得或．
又，知时，t关于x为增函数，时，t关于x为减函数．
又为减函数，
∴时，原函数单调递减；时，原函数单调递增．
故函数的单调增区间为．
16．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)讨论的单调性；
(3)求在区间[,2]上的值域.
【答案】(1)；(2)函数在上为减函数；(3)
【分析】（1）直接令真数大于0即可得解；
（2）由和，结合同增异减即可得解；
（3）直接利用（2）的单调性可直接得值域.
【详解】(1)由，得，解得.
所以定义域为；
(2)由在上为增函数，且为减函数，
所以在上为减函数；
(3)由（2）知函数单调递减，因为 ，，
所以在区间上的值域为.
则，解得；
②当时，要使函数在区间上是增函数，
则在上单调递增，且，
即，解得，符合题意，所以.
综上①②所述：实数的取值范围为