12.2 一次函数 学案 （含6课时） 2025-2026学年数学沪科版（2024）八年级上册

12.2 一次函数
课题1　正比例函数的图象性质
【学习目标】
了解正比例函数的定义、图象、性质及画法．
【过程与方法】
经历描点法绘制图象的过程探究正比例函数图象及性质．
【学习重点】
理解正比例函数意义及表达式特点，掌握正比例函数图象的性质特点．
【学习难点】
正比例函数图象性质特点的掌握．
情景导入：
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
1．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
2．铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化．
3．每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随着练习本的本数n的变化而变化．
4．冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(min)的变化而变化．
答：1.L＝2πr；
2．m＝7.8V；
3．h＝0.5n；
4．T＝－2t；
上述问题都可以表示成y＝kx的形式．
知识模块一　一次函数与正比例函数的定义
阅读教材P35的内容，回答下列问题：
1．什么是一次函数？什么是正比例函数？
答：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，且k≠0).形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数叫作正比例函数．可见，正比例函数是一次函数的特殊情形．
典例：下列函数中，是一次函数的有 (B)
①y＝x；②y＝3x＋1；③y＝；④y＝kx－2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
仿例1：若函数y＝－2xm-2是正比例函数，则m＝__3__．
仿例2：我们知道，海拔高度每上升1 km，温度下降6 ℃.某时刻测量我市地面温度为20 ℃.设高出地面x km处的温度为y ℃，则y与x的函数关系式为__y＝－6x＋20__，y__是__x的一次函数(选填“是”或“不是”).
知识模块二　正比例函数的图象与性质
阅读教材P36～P37，完成下列问题：
1．正比例函数图象特征是什么？如何画正比例函数图象？
答：正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线．
画正比例函数图象，过点(0，0)，(1，k)画直线即可．
2．正比例函数图象性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的)；
当k＜0时，y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的)，|k|越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快．
典例：若正比例函数y＝(2m－1)x2－m2，y随x的增大而减小，求这个正比例函数的表达式．
解：根据题意，得由2－m2＝1得m＝±1.由2m－1＜0得m＜，所以m＝－1.将m＝－1代入原函数表达式得y＝－3x.因此，所求函数的表达式为y＝－3x.
仿例1：已知正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.则下列不等式恒成立的是 (C)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．y1＋y2＞0 B．y1＋y2＜0 C．y1－y2＞0 D．y1－y2＜0
仿例2：对于函数y＝k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是 (　C)
A．是一条直线 B．过点
C．经过第一、三象限或第二、四象限 D．y随x增大而增大
变例：已知正比例函数y＝x.
(1)画出此函数的图象；
(2)已知点A在此函数图象上，其横坐标为2，求出点A的坐标，并在图象上标出点A；
(3)在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点(0，0)，(1，1)可画出y＝x的图象；
(2)当x＝2时，y＝x＝2，∴A(2，2)；
(3)存在，如图，共两种情况：P1(2，0)，P2(4，0).
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　一次函数与正比例函数的定义
知识模块二　正比例函数的图象与性质
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题2　一次函数的图象
【学习目标】
1．进一步掌握一次函数图象的画法；
2．掌握一次函数系数k，b与图象位置的关系．
【学习重点】
一次函数的图象．
【学习难点】
一次函数的图象的掌握．
旧知回顾：
1．什么是一次函数？什么是正比例函数？
答：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，且k≠0)．形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数叫正比例函数．
2．正比例函数图象性质是什么？
答：当k＞0时，y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的)；
当k＜0时，y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的)；|k|越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快．
知识模块一　一次函数图象及画法
阅读教材P38～P39的内容，回答下列问题：
一次函数图象有何特征？
答：一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象与直线y＝kx平行或重合，因此，我们把一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象叫作直线y＝kx＋b.直线y＝kx＋b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距．
典例：已知一次函数y＝(3－k)x－2k2＋18，分别求k为何值时它的图象满足下列要求．
(1)经过原点；
(2)经过点(0，10)；
(3)平行于直线y＝－x.
解：(1)由题意，得解得∴k＝－3；
(2)由题意，得－2k2＋18＝10，∴k＝±2；
(3)由题意，得3－k＝－1，∴k＝4.
仿例1：在平面直角坐标系中，一次函数y＝x－1的图象是 (B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
变例：在用描点法画一次函数图象时，某同学所列的如下表格中有一组数据是错误的，这组错误的数据是 (B)
x －2 －1 1 2
y 12 10 8 4
　　A．(2，4) B．(1，8) C．(－1，10) D．(－2，12)
仿例2：画出一次函数y＝－x＋3的图象，写出图象与x轴、y轴的交点坐标．
解：图略．当x＝0时，y＝3，与y轴的交点是(0，3)，
当y＝0时，－x＋3＝0，x＝3，与x轴的交点是(3，0).
变例：已知y－2与x成正比例，且当x＝1时，y＝－6.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求当x＝－2时，y的值；
(3)若点(m，2)在这个函数图象上，求m值．
解：(1)设y－2＝kx(k≠0)，
∴y＝kx＋2，将x＝1，y＝－6代入，得k＋2＝－6，解得k＝－8，∴y＝－8x＋2；
(2)当x＝－2时，y＝18；
(3)将点(m，2)代入，得－8m＋2＝2，解得m＝0.
知识模块二　一次函数图象的平移
阅读教材P38～P39，回答下列问题：
1．直线y＝kx＋b怎样由直线y＝kx平移得到的？
答：y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到的(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).
2．什么是截距？
答：直线y＝kx＋b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距．
典例：直线y＝－x＋2，y＝－x－3分别是由直线y＝－x经过怎样的平移得到的？
解：直线y＝－x＋2是由直线y＝－x向上平移2个单位长度得到的；而直线y＝－x－3是由直线y＝－x向下平移3个单位长度得到的．
仿例1：直线y＝3(x－1)在y轴上的截距是 (D)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 B．－1 C．3 D．－3
仿例2：将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为 (A)
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　一次函数图象及画法
知识模块二　一次函数图象的平移
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题3　一次函数的性质
【学习目标】
1．进一步巩固一次函数的图象，熟练作出一次函数的图象；
2．掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质，能根据k与b的符号说出函数的性质．
【学习重点】
一次函数的性质．
【学习难点】
一次函数性质的掌握．
问题引入：
已知一次函数y＝3x＋1，y＝2x－3，y＝x＋4.
(1)分别列出x，y的对应值表，观察自变量x的值逐渐增大时，函数值y的变化情况？
(2)画出相应图象，直线从左到右是上升还是下降？
解：(1)表略，y随x的增大而增大；
(2)图略，图象从左到右上升．
知识模块一　一次函数的性质
阅读教材P40的内容，回答下列问题：
一次函数图象的性质是什么？
一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)有下列性质：
当k＞0时，y随x的增大而__增大__(图象是自左向右__上升__的)；
当k＜0时，y随x的增大而__减小__(图象是自左向右__下降__的)；|k|越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快．
典例：已知一次函数y＝(2m＋1)x＋m＋2，y随x增大而减小，且它的图象在y轴上的截距在x轴的上方，求整数m的值．
解：由题意，得解得－2＜m＜－.∴整数m＝－1.
仿例1：对于一次函数y＝x＋3，下列说法错误的是 (B)
A．函数的值随自变量的增大而增大
B．函数的图象与x轴交点的坐标是(0，3)
C．函数图象在y轴上的截距是3
D．函数的图象不经过第四象限
仿例2：已知一次函数 y＝(6＋2m)x＋(n－2).
(1)m为何值时，y随x的增大而减小？
(2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m，n为何值时，函数图象过原点？
解：(1)依题意，得6＋2m<0，即 m<－3，故当m<－3时，y随x的增大而减小；
(2)依题意，得解得n＜2且m≠－3.故当m≠－3且n<2时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(3)依题意，得解得n＝2且m≠－3.故当m≠－3且n＝2时，函数图象过原点．
知识模块二　一次函数y＝kx＋b中k，b符号的确定
一次函数中k与b的正负与它的图象，经过的象限是怎样的？
归纳：一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限：
①k＞0，b＞0 y＝kx＋b的图象经过__一__、__二__、__三__象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx＋b的图象经过__一__、__三__、__四__象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx＋b的图象经过__一__、__二__、__四__象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx＋b的图象经过__二__、__三__、__四__象限．
典例：一次函数y＝kx＋6(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图，则k和b的取值范围分别是 (D)
A.k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b<0
D．k<0，b>0
仿例：已知一次函数y＝(1＋k)x＋k，若y随着x的增大而减小，且它的图象与y轴交于负半轴，则一次函数y＝kx－k的大致图象是 (D)
　　　　　　　　　
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　一次函数的性质
知识模块二　一次函数y＝kx＋b中k，b符号的确定
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题4　用待定系数法求函数表达式
【学习目标】
1．能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式；
2．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力．
【学习重点】
能根据两个条件确定一个一次函数．
【学习难点】
从各种问题情境中寻找条件，确定一次函数的表达式．
旧知回顾：
1．直线y＝kx与直线y＝kx＋b有何关系？
答：直线y＝kx＋b是平行于y＝kx的一条直线．直线y＝kx＋b可以看作是由y＝kx平移|b|个长度单位得到的(当b＞0时，向上平移，当b＜0时，向下平移).
2．直线y＝kx＋b(k≠0)经过象限是怎样的？
答：当k＞0，b＞0时，经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，经过二、三、四象限．
3．已知一次函数y＝kx＋3的图象与y＝2x平行，则此一次函数表达式为__y＝2x＋3__．
知识模块　用待定系数法求一次函数表达式
阅读教材P41的内容，回答下列问题：
什么是待定系数法？求一次函数表达式需要怎样的条件？
答：先设所求的一次函数表达式为y＝kx＋b(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b的方程组，求得k，b的值．这种确定表达式中系数的方法，叫作待定系数法．
求一次函数表达式一般先设出一次函数表达式y＝kx＋b，再代入两组x，y的对应值(或两个点的坐标)，解出k，b即可．
范例：已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，1)和点(1，－5)，求当x＝5时，函数y的值．
解：由题意，得解方程组得
∴一次函数表达式为y＝－3x－2，将x＝5代入，得y＝－3×5－2＝－17.
仿例1：若直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋1平行，且过点(3，4)，则直线表达式为__y＝－2x＋10__．已知一次函数在y轴上的截距为－4，且图象过点A(－6，－1)，则一次函数表达式为__y＝－x－4__．
仿例2：如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是 (D)
A.y＝2x＋3
B．y＝x－3
C．y＝2x－3
D．y＝－x＋3
解析：把x＝1代入y＝2x，求得点B坐标为(1，2)，再由A(0，3)，B(1，2)，求得一次函数表达式为y＝－x＋3.
仿例3：直线y＝(m＋1)x＋m2＋1与y轴的交点坐标是(0，5)，且直线经过第一、二、四象限，则直线的表达式为__y＝－x＋5__．
解析：由题意，得m2＋1＝5，m2＝4，m＝±2.∵直线过一、二、四象限，∴m＋1＜0，m＜－1，故m＝－2，直线表达式为y＝－x＋5.
变例：已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的表达式为__y＝－x＋2或y＝x＋2__．
解析：如图，A(0，2)，一次函数为AB或AC，由S△AOB＝×2×OB＝2，得OB＝2，∴B(－2，0)，C(2，0)，再求一次函数表达式为y＝－x＋2或y＝x＋2.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块　用待定系数法求一次函数表达式
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题5　一次函数的应用
【学习目标】
1．巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题；
2．把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力；
3．让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
【学习重点】
建立函数模型．
【学习难点】
灵活运用数学模型解决实际问题．
问题引入：
某市出租车的计价方式是：开始3 km内收费6元，以后每增加1 km(不足1 km，以1 km计)加收1元．
(1)写出乘车路程x(x>3)km与收费y元的关系式；
(2)小明乘车5.6 km，应付多少钱？
(3)小飞乘车付了15元，他最多乘车走了多少千米？
解：(1)y＝x＋3(x>3)；(2)9元；(3)12 km.
知识模块　分段函数的应用
阅读教材P42～P43的内容，回答下列问题：
如何利用题目条件解决分段函数问题？
答：分段函数的自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式．在画每段函数图象时，也要注意自变量的取值范围．
范例：为了节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8 m3时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8 m3时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费．设一户每月用水量为x m3，应缴水费y元．
(1)给出y关于x的函数关系式；
(2)画出上述函数的函数图象；
(3)某两户某月用水量分别为5 m3、10 m3时，求这两户该月应缴的水费；
(4)某一户某月缴水费26.6元，求该户这月的用水量．
解：(1)y＝
(2)图略；
(3)当x＝5时，y＝1.3×5＝6.5，
当x＝10时，y＝2.7×10－11.2＝15.8.即这两户该月应缴的水费分别为6.5元、15.8元；
(4)因为26.6>1.3×8，所以该户这个月用水超过8 m3.
因此，2.7x－11.2＝26.6.
解得x＝14.该户这月的用水量为14 m3.
仿例1：如图中的直线ABC，为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式的图象．
当t≥2时，该图象的表达式为__y＝t－0.6__；从图象中可知，通话2 min需付电话费__1.4__元；通话7 min需付电话费__6.4__元．
仿例2：为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．
(1)根据图象，请分别求出当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数关系式__y＝__
(2)当每月用电量不超过50度时，收费标准是__0.5__元/度；当每月用电量超过50度时，超过的部分的收费标准是__0.9__元/度．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块　分段函数的应用
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题6　一次函数与一次方程、一次不等式
【学习目标】
1．理解一次函数与一元一次方程、一次不等式之间的关系；
2．会利用一次函数图象解决相关的一元一次方程、一次不等式．
【学习重点】
掌握用图象求解一元一次方程、一次不等式的方法．
【学习难点】
图象法求解不等式中自变量的取值范围．
已知一次函数y＝2x＋6.
(1)画出函数图象，并求它与x轴交点的坐标．
(2)观察图象，判断x取什么值时，函数y的值等于零？
(3)函数y＝2x＋6的图象与x轴交点的横坐标与一次方程2x＋6＝0的解有何关系？
解：(1)如图，与x轴交点坐标为(－3，0)；
(2)x取－3时，函数y的值等于零；
(3)一次函数y＝2x＋6的图象与x轴交点的横坐标x＝－3就是方程2x＋6＝0的解．
知识模块一　一次函数与一元一次方程的关系
阅读教材P44的内容，回答下列问题：
一次函数与一元一次方程有何联系？
答：任何一个一元一次方程都可以转化为kx＋b＝0(k，b为常数，且k≠0)的形式，因此解一元一次方程都可以转化为求一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)中y＝0时x的值，从图象上看，就是求直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
范例：利用函数图象解方程：3x－2＝x＋4.
分析：先将方程化为kx＋b＝0的形式，再在平面直角坐标系中画出函数y＝kx＋b的图象，然后观察出直线y＝kx＋b与x轴的交点坐标，从而确定所求x的值．
解：由3x－2＝x＋4得2x－6＝0.令y＝2x－6，画出函数y＝2x－6的图象(如右图).
由图象可以看出直线y＝2x－6与x轴的交点坐标为(3，0)，所以原方程的解就是该交点的横坐标，即x＝3.
仿例1：方程3x－9＝0的解为x＝3，此函数y＝3x－9与x轴的交点坐标为__(3，0)__．
仿例2：如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则方程kx＋b＝0的解为__x＝－1__．
　　　
仿例3：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝3的解为__x＝2__．
知识模块二　一次函数与一元一次不等式的关系
阅读教材P45的内容，回答下列问题：
一次函数与一元一次不等式有何联系？
答：任何一个一元一次不等式都可以转化为kx＋b>0或kx＋b<0(k，b为常数，且k≠0)的形式，因此解一元一次不等式kx＋b>0或kx＋b<0(k，b为常数，且k≠0)就是求使一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)取正值或负值时x的取值范围．
范例1：已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x<－4时，y的取值范围是 (B)
A．y>0 B．y<0
C．－2范例2：若函数y＝ax＋b(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是 (B)
A．x≥3 B．x≤3
C．x＝3 D．x≥－
仿例1：已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx＋b<0的解集是__x>1__．
x －2 －1 0 1 2 3
y 3 2 1 0 －1 －2
仿例2：如图，直线y＝kx＋b分别交x轴和y轴于点A，B.
(1)关于x的方程kx＋b＝0的解是什么？
(2)当x为何值时，0解：(1)x＝－2；
(2)由图可知，当y>0时，x>－2；当y<3时，x<0.
∴－21．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　一次函数与一元一次方程的关系
知识模块二　一次函数与一元一次不等式的关系
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________