12.3一次函数与二元一次方程 教案(3个课时)2025-2026学年数学沪科版（2024）八年级上册

12.3一次函数与二元一次方程
课题1　一次函数与二元一次方程
【学习目标】
1．初步理解二元一次方程和一次函数的关系；
2．掌握二元一次方程和对应的直线之间的关系．
【学习重点】
一次函数与二元一次方程的关系的理解．
【学习难点】
一次函数与二元一次方程的关系的理解．
旧知回顾：
1．(1)什么叫二元一次方程的解？
(2)一次函数的图象是什么？
(3)如图，求一次函数的表达式．
解：(1)使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫作二元一次方程的解；
(2)一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象是一条直线；
(3)把点(0，2)，(3，0)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y＝－x＋2.
2．试一试．
问题：方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个解来．
解：无数个．　　
知识模块　一次函数与二元一次方程
阅读教材P49的内容，回答下列问题：
一次函数与二元一次方程有何联系？举例说明．
答：一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且b≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解；同样的，以这个二元一次方程的解为坐标的点也都在这条直线上．
例如：对于方程x＋y＝5，可将其变形为y＝－x＋5，成为直线y＝－x＋5，从一次函数y＝－x＋5图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5.
典例：已知二元一次方程2x－y＝2.
(1)请任意写出此方程的三组解；
(2)写出(1)中的三组解对应点的坐标，并将这三个点描在如图所示的平面直角坐标系中；
(3)观察这三个点的位置，你发现了什么？
解：(1)(答案不唯一)；
(2)(0，－2)，(1，0)，(2，2)描点如图；
(3)这三个点在一条直线上．
仿例1：方程4x－b＝5的解为x＝2，则直线y＝4x－b的图象一定经过点 (A)
A．(2，5) B．(0，3) C．(0，4) D．(－3，0)
仿例2：下列图象中，以方程－2x＋y－2＝0的解为坐标的点组成的图象是 (B)
变例：点P为直线3x＋y＝10上的任意点，满足横、纵坐标均为正整数的点P有 (B)
A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块　一次函数与二元一次方程
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题2　一次函数与二元一次方程组
【学习目标】
1．认识二元一次方程组的图象表示法，从图形的角度理解二元一次方程组的解．
2．理解二元一次方程组的解与系数的关系．
【学习重点】
一次函数与二元一次方程组关系的理解．
【学习难点】
从图形的角度理解二元一次方程组的解．
上节课我们学习了二元一次方程与一次函数的关系，现在共同回顾学过的知识点：
一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且b≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解；同样的，以这个二元一次方程的解为坐标的点也都在这条直线上．
那么二元一次方程组的解与以方程组中两个方程的图象上点的坐标有怎样的关系？
知识模块一　二元一次方程组的图象解法
阅读教材P50～P51的内容，回答下列问题：
1．一次函数与二元一次方程组有何联系？
答：二元一次方程组的两个方程可以转化为两个一次函数的形式．求解二元一次方程组实质就是求这两个一次函数图象交点的坐标．
2．用图象法解二元一次方程组步骤有哪些？
答：用图象法来解方程组的步骤如下：
(1)把二元一次方程化成一次函数的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点；
(3)交点坐标就是方程组的解；
(4)检验其交点是否是方程组的解．
范例：用作图象的方法解方程组
解：由x＋y＝3，得y＝3－x，由3x－y＝5，得y＝3x－5.此方程组的解如图所示，在同一坐标系内作出函数y＝3－x的图象l1和y＝3x－5的图象l2，观察图象，得l1，l2的交点为M(2，1).所以方程组的解是
仿例1：如图，用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，则所解的二元一次方程组是 (D)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．
C． D．
仿例2：求直线y＝－2x＋7与直线y＝x＋1的交点坐标，可以解方程组____，得到交点的坐标为__(2，3)__．
知识模块二　二元一次方程组的解与系数比的关系
阅读教材P50～P52的内容，回答下列问题：
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况．当把二元一次方程组化为(其中a1，a2，b1，b2，c1，c2为常数)的形式后，比较每个例题里两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，你发现了怎样的规律？
【归纳】对于方程组(1)当≠时，方程组有唯一一组解；
(2)当＝＝时，方程组有无数组解；
(3)当＝≠时，方程组无解．
范例：不解方程组，判断下列方程组的解的情况：
(1)　　(2)　　(3)
解：(1)把方程②化为一般形式为y＝2x＋，与方程①对比：k相等，b不等，两直线平行，所以原方程组无解；
(2)由≠可知，原方程组有唯一解；
(3)将②变形为4x＋6y＝8.由＝＝知，原方程组有无数组解．
仿例：两直线y＝x－1和y＝x＋3的位置关系为__互相平行__，由此可知，二元一次方程组的解的情况是__无解__．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　二元一次方程组的图象解法
知识模块二　二元一次方程组的解与系数比的关系
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题3　一次函数模型的应用
【学习目标】
1．学会运用函数这种数学模型来解决生产和生活中的实际问题，增强数学应用意识；
2．能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测．
【学习重点】
建立一次函数模型，结合对函数关系的分析，对变量的变化规律作初步预测．
【学习难点】
建立函数模型．
问题导入：
1．下列数据是弹簧挂重物后的长度记录，测出弹簧长度y与重物质量x之间的函数关系式为__y＝0.5x＋12__，挂重30 kg时，弹簧长度为__27_cm__．
重物质量/kg 0 1 2 3 4 … 30 …
弹簧长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 … …
　　2.如何从表格中观察出两个变量间是否为一次函数？
答：每两个相邻的函数值的差与对应两个自变量值的差比值总相等，即可判定为一次函数．
知识模块　一次函数模型的应用
阅读教材P52～P53的内容，回答下列问题：
建立两个变量之间的函数模型，需要哪几个步骤？
答：1.将实验得到的数据在平面直角坐标系中描出；2.观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式；3.进行检验；4.应用这个函数模型解决问题．
范例：已知部分鞋子的型号“码”数与鞋子长度“cm”之间存在一种换算关系如下：
长度/cm 15 20 25
型号/码 20 30 40
　　(1)通过画图、观察，猜想这种换算规律可能用哪种函数关系去模拟；
(2)设鞋子的长度为x cm，“码”数为y，试写出y与x之间的函数表达式；
(3)小刚平时穿39码的鞋子，那么他鞋长多少厘米？
(4)据说篮球巨人姚明的鞋长31 cm，那么他穿多大码的鞋？
解：(1)一次函数；
(2)设y＝kx＋b(k≠0)，代入x＝15，y＝20；x＝20，y＝30，可求得函数表达式为y＝2x－10；
(3)当y＝39时，2x－10＝39，解得x＝24.5，即鞋长为24.5 cm；
(4)当x＝31时，y＝2x－10＝52，即他穿52码的鞋．
仿例1：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2 025个图形共有多少枚棋子？
解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：(1，4)，(2，7)，(3，10)，(4，13)，依次连接以上各点，所有的点在一条直线上．设直线表达式为y＝kx＋b，把(1，4)，(2，7)两点坐标代入得解得所以y＝3x＋1.验证：当x＝3时，y＝10.所以，另外一点也在这条直线上．当x＝2 025时，y＝3×2 025＋1＝6 076.即第2 025个图形有6 076枚棋子．
仿例2：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：
x/元 15 20 25 30 35 …
y/件 25 20 15 10 5 …
　　(1)在直角坐标系中描出相应的点；
(2)猜测y(件)与x(元)之间的函数关系；
(3)当销售价定为28元时，求每日的销售利润．
解：(1)描点如图所示；
(2)猜测y与x之间的函数关系为一次函数关系．设一次函数表达式为y＝kx＋b，则
解得
∴一次函数表达式为y＝－x＋40，将其余各点代入验证均适合．所以，所求一次函数的表达式为y＝－x＋40；
(3)当x＝28时，y＝－28＋40＝12.
∴所获销售利润为(28－10)×12＝216(元).
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块　一次函数模型的应用
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________