13.2 命题与证明 学案 2025-2026学年数学沪科版（2024）八年级上册
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| 名称 | 13.2 命题与证明 学案 2025-2026学年数学沪科版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 938.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-13 14:09:21 | ||
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文档简介
13.2 命题与证明
课题1 命题与证明
【学习目标】
1．了解命题的概念，会判定一个命题的真假；
2．经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵．
【学习重点】
认识命题的内涵和结构．
【学习难点】
区别命题的题设和结论．
问题引入：
如果有一根比地球赤道长1 m的铜线将地球赤道绕一圈．想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大(假设地球是球形的)？能放进一个苹果吗？
此例中，要想知道结论，必须计算验证．
解：设地球半径为r，铜线圈半径为R，赤道周长为a m，铜线圈周长为(a＋1)m.
∵2πr＝a，2πR＝a＋1，
∴r＝，R＝，R－r＝－＝，1÷2π≈0.16 m．∴能放进一个苹果．
知识模块一 命题、真命题与假命题
阅读教材P73～P74的内容，回答下列问题：
什么叫作命题，什么叫作真命题、假命题？命题结构是怎样的？
答：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题；命题经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题；命题经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题；命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式．
典例1：下列四个句子是命题的是 (B)
A．生活在水里的动物是鱼吗 B．正方形的四条边相等
C．利用三角形画60°的角 D．直线、射线、线段
典例2：命题“对顶角相等”的条件是__如果两个角是对顶角__，结论是__那么这两个角相等__．
典例3：将命题“两直线平行，内错角相等”写成“如果……那么……”的形式为__如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等__．
仿例1：命题“相等的角是对顶角”是__假__命题(选填“真”或“假”)．
仿例2：下列命题中，真命题是 (C)
A．同位角相等 B．6的平方根是3
C．若直线a∥b，b∥c，则a∥c D．三角形的两边之差大于第三边
变例1：已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是 (D)
A．－8 B．15 C．24 D．42
变例2：命题“等角的余角相等”的题设是__如果两个角是相等角的余角__，结论是__那么这两个角相等_．
知识模块二 互逆命题
阅读教材P74的内容，回答下列问题：
什么是互逆命题？
答：将命题中的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题．
典例1：写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果a＝0，那么ab＝0.
解：(1)逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题；
(2)逆命题是“如果ab＝0，那么a＝0”，是假命题．反例，当a＝1，b＝0时，ab＝0，此时，a≠0.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 命题、真命题与假命题
知识模块二 互逆命题
课题2 定理与证明
【学习目标】
1．了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理；
2．经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义．
【学习重点】
掌握推理方法．
【学习难点】
培养演绎推理意识．
旧知回顾：
1．什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？
答：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题；命题经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题；命题经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题．
2．什么叫互逆命题？什么是原命题和逆命题？
答：将命题的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题．
知识模块一 基本事实、定理
阅读教材P76的内容，回答下列问题：
什么是定理？它与基本事实有何区别？
答：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理．定理需要经过证明，而基本事实无需证明.
范例1：“同角或等角的补角相等”是 (C)
A．定义 B．题设 C．定理 D．假命题
范例2：下列四个命题：①内错角相等，两直线平行；②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；③过两点有且只有一条直线；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中，是定理的是__①__(填序号)．
仿例1：下列说法中，错误的是 (A)
A．所有的命题都是定理 B．定理是真命题
C．公理是真命题 D．“画线段AB＝CD”不是命题
仿例2：“两条直线相交成直角，就叫两直线互相垂直”这个句子是 (A)
A．定义 B．假命题 C．公理 D．定理
知识模块二 证明与推理
阅读教材P76的内容，回答下列问题：
什么叫演绎推理？什么叫证明？
答：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明．
范例：下列推理中，错误的是 (D)
A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF
B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ
C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c
D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
仿例：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA的延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，(__在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行__)
∴__∠1__＝__∠4__，(两直线平行，内错角相等)
∠2＝∠3.(__两直线平行，同位角相等__)
∵∠1＝∠2，
∴__∠3__＝__∠4__，(__等量代换__)
∴AD平分∠BAC.(__角平分线定义__)
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 基本事实、定理
知识模块二 证明与推理
课题3 两条直线位置关系的证明
【学习目标】
1．应用几何推理，证明边角间的位置关系．
2．经历推理论证过程，熟悉正确的书写格式，发展演绎推理能力．
【学习重点】
证明在同一平面内两条直线的位置关系．
【学习难点】
对公理和定理的理解和应用．
旧知回顾：
1．什么是定理？
答：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理．
2．什么是演绎推理？什么是证明？
答：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明．
知识模块一 证明两条直线互相平行
阅读教材P76内容，回答下列问题．
平行线的判定方法有哪些？
答：1.同位角相等，两直线平行；2.内错角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行；4.平行于同一直线的两条直线互相平行．
典例：如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，试说明AB∥DE.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，(已知)
∴∠1＝∠__B__＝60°.(__两直线平行，同位角相等__)
∵∠1＝∠C，(已知)
∴∠C＝∠B＝60°.(等量代换)
∵AD∥BC，(已知)
∴∠C＋∠__ADC__＝180°.(__两直线平行，同旁内角互补__)
∴∠__ADC__＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.(等式的性质)
∵DE平分∠ADC，(已知)
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°.(__角平分线的定义__)
∴∠1＝∠ADE.(等量代换)
∴AB∥DE.(__内错角相等，两直线平行__)
知识模块二 证明两条直线互相垂直
阅读教材P77内容，回答问题：
如何证明OE与OF垂直？
答：计算出∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．
典例：已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC.(角平分线的定义)
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，(已知)
∴∠1＋∠2＝(∠AOB＋∠BOC)＝90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
说明：结合图形用数字符号表示证明的过程．
仿例：(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
(2)若把(1)中的条件“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
解：(1)∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CD∥FG.∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BFG＝∠BDC＝90°，∴FG⊥AB；
(2)所得命题为真命题．
理由：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴FG∥CD，∴∠2＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 证明两条直线互相平行
知识模块二 证明两条直线互相垂直
课题4 与三角形有关的证明
【学习目标】
1．应用几何推理、证明解决几何问题；
2．经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言．
【学习重点】
学会应用理性推理的方法．
【学习难点】
形成演绎推理的思路．
旧知回顾：
1．怎样证明命题？
答：在证明命题时，要分清命题的条件和结论．如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析题意，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程．
2．三角形的内角和等于180°条件和结论分别是什么？
答：条件是三角形的三个内角和，结论是三个内角的和是180°.
知识模块一 三角形内角和定理及推论1
阅读教材P78～P79的内容，回答下列问题：
1．三角形内角和定理是什么？如何证明？
答：三角形的内角和等于180°.
证明：如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2＝∠B，则CE∥AB.(同位角相等，两直线平行)
∴∠A＝∠1.(两直线平行，内错角相等)
∵点B，C，D在同一条直线上，(所作)
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(平角的定义)
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(等量代换)
2．三角形内角和定理的推论1是什么？
答：直角三角形的两锐角互余．
典例：如图，有一块含有60°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是多少？
解：如图，∵∠1＋∠3＝90°－60°＝30°，而∠1＝18°，
∴∠3＝30°－18°＝12°.
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝12°.
仿例1：如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为 (C)
A．17° B．34° C．56° D．124°
仿例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，若∠A＝40°，则∠1＝__40__度．
知识模块二 三角形内角和定理推论2
阅读教材P79的内容，回答下列问题：
什么是辅助线？什么是三角形内角和定理推论2
答：在证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线．
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．
典例：在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是 (B)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
范例1：
如图，∠A＝∠1＝∠ABC＝70°，∠C＝90°，求∠2的度数．
解：∵∠A＝∠1＝70°，
∴∠ABD＝180°－∠A－∠1＝180°－70°－70°＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠2＝90°－∠DBC＝90°－30°＝60°.
范例2：如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，若∠1＝∠A，试判断△ABC的形状．
解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠1＋∠B＝90°.
∵∠1＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 三角形内角和定理及推论1
知识模块二 三角形内角和定理推论2
课题5 三角形的外角
【学习目标】
1．学会应用三角形外角及推论解决实际问题，培养符号意识；
2．经历探究三角形外角概念以及有关推论的过程，掌握几何证明方法和几何语言表达．
【学习重点】
领悟有关三角形外角的推论，掌握几何推理方式．
【学习难点】
对逻辑推理思想的理解和运用．
旧知回顾：
1．三角形内角和定理是什么？推论有哪些？
答：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两锐角互余；推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．把一块直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2＝__150°__．
知识模块一 三角形的外角及推论3
阅读教材P80～P81的内容，回答下列问题：
什么叫三角形的外角？三角形外角的推论3是什么？
答：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
典例：
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 (A)
A．85° B．80° C．75° D．70°
仿例1：如图，∠α与∠β的度数和为__270°__．
仿例2：如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于__115°__．
仿例3：如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__80°__．
仿例4：如图，∠3＝120°，则∠1－∠2＝__60°__．
变例：如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.求：
(1)∠BDC的度数；
(2)∠BFC的度数．
解：(1)∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°；
(2)∵∠BFC是△BDF的外角，
∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°.
知识模块二 三角形外角的推论4
阅读教材P81的内容，回答下列问题：
三角形外角的推论4是什么？三角形的外角和是多少度？
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
三角形的外角和为360°.
范例：
如图，∠A，∠DBC，∠DEC的大小关系是 (C)
A．∠A>∠DBC>∠DEC
B．∠DEC>∠A>∠DBC
C．∠DEC>∠DBC>∠A
D．∠DBC>∠A>∠DEC
仿例：
如图，点D是△ABC的外角平分线CD与BA的延长线的交点，求证：∠BAC>∠B.
证明：∵∠BAC是△ACD的一个外角，∴∠BAC>∠1，
又∵CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2，∴∠BAC>∠2.
又∵∠2是△BCD的一个外角，
∴∠2>∠B，∴∠BAC>∠B.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 三角形的外角及推论3
知识模块二 三角形外角的推论4
课题1 命题与证明
【学习目标】
1．了解命题的概念，会判定一个命题的真假；
2．经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵．
【学习重点】
认识命题的内涵和结构．
【学习难点】
区别命题的题设和结论．
问题引入：
如果有一根比地球赤道长1 m的铜线将地球赤道绕一圈．想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大(假设地球是球形的)？能放进一个苹果吗？
此例中，要想知道结论，必须计算验证．
解：设地球半径为r，铜线圈半径为R，赤道周长为a m，铜线圈周长为(a＋1)m.
∵2πr＝a，2πR＝a＋1，
∴r＝，R＝，R－r＝－＝，1÷2π≈0.16 m．∴能放进一个苹果．
知识模块一 命题、真命题与假命题
阅读教材P73～P74的内容，回答下列问题：
什么叫作命题，什么叫作真命题、假命题？命题结构是怎样的？
答：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题；命题经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题；命题经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题；命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式．
典例1：下列四个句子是命题的是 (B)
A．生活在水里的动物是鱼吗 B．正方形的四条边相等
C．利用三角形画60°的角 D．直线、射线、线段
典例2：命题“对顶角相等”的条件是__如果两个角是对顶角__，结论是__那么这两个角相等__．
典例3：将命题“两直线平行，内错角相等”写成“如果……那么……”的形式为__如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等__．
仿例1：命题“相等的角是对顶角”是__假__命题(选填“真”或“假”)．
仿例2：下列命题中，真命题是 (C)
A．同位角相等 B．6的平方根是3
C．若直线a∥b，b∥c，则a∥c D．三角形的两边之差大于第三边
变例1：已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是 (D)
A．－8 B．15 C．24 D．42
变例2：命题“等角的余角相等”的题设是__如果两个角是相等角的余角__，结论是__那么这两个角相等_．
知识模块二 互逆命题
阅读教材P74的内容，回答下列问题：
什么是互逆命题？
答：将命题中的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题．
典例1：写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果a＝0，那么ab＝0.
解：(1)逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题；
(2)逆命题是“如果ab＝0，那么a＝0”，是假命题．反例，当a＝1，b＝0时，ab＝0，此时，a≠0.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 命题、真命题与假命题
知识模块二 互逆命题
课题2 定理与证明
【学习目标】
1．了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理；
2．经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义．
【学习重点】
掌握推理方法．
【学习难点】
培养演绎推理意识．
旧知回顾：
1．什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？
答：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题；命题经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题；命题经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题．
2．什么叫互逆命题？什么是原命题和逆命题？
答：将命题的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题．
知识模块一 基本事实、定理
阅读教材P76的内容，回答下列问题：
什么是定理？它与基本事实有何区别？
答：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理．定理需要经过证明，而基本事实无需证明.
范例1：“同角或等角的补角相等”是 (C)
A．定义 B．题设 C．定理 D．假命题
范例2：下列四个命题：①内错角相等，两直线平行；②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；③过两点有且只有一条直线；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中，是定理的是__①__(填序号)．
仿例1：下列说法中，错误的是 (A)
A．所有的命题都是定理 B．定理是真命题
C．公理是真命题 D．“画线段AB＝CD”不是命题
仿例2：“两条直线相交成直角，就叫两直线互相垂直”这个句子是 (A)
A．定义 B．假命题 C．公理 D．定理
知识模块二 证明与推理
阅读教材P76的内容，回答下列问题：
什么叫演绎推理？什么叫证明？
答：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明．
范例：下列推理中，错误的是 (D)
A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF
B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ
C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c
D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
仿例：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA的延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，(__在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行__)
∴__∠1__＝__∠4__，(两直线平行，内错角相等)
∠2＝∠3.(__两直线平行，同位角相等__)
∵∠1＝∠2，
∴__∠3__＝__∠4__，(__等量代换__)
∴AD平分∠BAC.(__角平分线定义__)
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 基本事实、定理
知识模块二 证明与推理
课题3 两条直线位置关系的证明
【学习目标】
1．应用几何推理，证明边角间的位置关系．
2．经历推理论证过程，熟悉正确的书写格式，发展演绎推理能力．
【学习重点】
证明在同一平面内两条直线的位置关系．
【学习难点】
对公理和定理的理解和应用．
旧知回顾：
1．什么是定理？
答：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理．
2．什么是演绎推理？什么是证明？
答：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明．
知识模块一 证明两条直线互相平行
阅读教材P76内容，回答下列问题．
平行线的判定方法有哪些？
答：1.同位角相等，两直线平行；2.内错角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行；4.平行于同一直线的两条直线互相平行．
典例：如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，试说明AB∥DE.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，(已知)
∴∠1＝∠__B__＝60°.(__两直线平行，同位角相等__)
∵∠1＝∠C，(已知)
∴∠C＝∠B＝60°.(等量代换)
∵AD∥BC，(已知)
∴∠C＋∠__ADC__＝180°.(__两直线平行，同旁内角互补__)
∴∠__ADC__＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.(等式的性质)
∵DE平分∠ADC，(已知)
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°.(__角平分线的定义__)
∴∠1＝∠ADE.(等量代换)
∴AB∥DE.(__内错角相等，两直线平行__)
知识模块二 证明两条直线互相垂直
阅读教材P77内容，回答问题：
如何证明OE与OF垂直？
答：计算出∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．
典例：已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC.(角平分线的定义)
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，(已知)
∴∠1＋∠2＝(∠AOB＋∠BOC)＝90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
说明：结合图形用数字符号表示证明的过程．
仿例：(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
(2)若把(1)中的条件“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
解：(1)∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CD∥FG.∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BFG＝∠BDC＝90°，∴FG⊥AB；
(2)所得命题为真命题．
理由：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴FG∥CD，∴∠2＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 证明两条直线互相平行
知识模块二 证明两条直线互相垂直
课题4 与三角形有关的证明
【学习目标】
1．应用几何推理、证明解决几何问题；
2．经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言．
【学习重点】
学会应用理性推理的方法．
【学习难点】
形成演绎推理的思路．
旧知回顾：
1．怎样证明命题？
答：在证明命题时，要分清命题的条件和结论．如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析题意，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程．
2．三角形的内角和等于180°条件和结论分别是什么？
答：条件是三角形的三个内角和，结论是三个内角的和是180°.
知识模块一 三角形内角和定理及推论1
阅读教材P78～P79的内容，回答下列问题：
1．三角形内角和定理是什么？如何证明？
答：三角形的内角和等于180°.
证明：如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2＝∠B，则CE∥AB.(同位角相等，两直线平行)
∴∠A＝∠1.(两直线平行，内错角相等)
∵点B，C，D在同一条直线上，(所作)
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(平角的定义)
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(等量代换)
2．三角形内角和定理的推论1是什么？
答：直角三角形的两锐角互余．
典例：如图，有一块含有60°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是多少？
解：如图，∵∠1＋∠3＝90°－60°＝30°，而∠1＝18°，
∴∠3＝30°－18°＝12°.
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝12°.
仿例1：如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为 (C)
A．17° B．34° C．56° D．124°
仿例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，若∠A＝40°，则∠1＝__40__度．
知识模块二 三角形内角和定理推论2
阅读教材P79的内容，回答下列问题：
什么是辅助线？什么是三角形内角和定理推论2
答：在证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线．
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．
典例：在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是 (B)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
范例1：
如图，∠A＝∠1＝∠ABC＝70°，∠C＝90°，求∠2的度数．
解：∵∠A＝∠1＝70°，
∴∠ABD＝180°－∠A－∠1＝180°－70°－70°＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠2＝90°－∠DBC＝90°－30°＝60°.
范例2：如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，若∠1＝∠A，试判断△ABC的形状．
解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠1＋∠B＝90°.
∵∠1＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 三角形内角和定理及推论1
知识模块二 三角形内角和定理推论2
课题5 三角形的外角
【学习目标】
1．学会应用三角形外角及推论解决实际问题，培养符号意识；
2．经历探究三角形外角概念以及有关推论的过程，掌握几何证明方法和几何语言表达．
【学习重点】
领悟有关三角形外角的推论，掌握几何推理方式．
【学习难点】
对逻辑推理思想的理解和运用．
旧知回顾：
1．三角形内角和定理是什么？推论有哪些？
答：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两锐角互余；推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．把一块直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2＝__150°__．
知识模块一 三角形的外角及推论3
阅读教材P80～P81的内容，回答下列问题：
什么叫三角形的外角？三角形外角的推论3是什么？
答：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
典例：
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 (A)
A．85° B．80° C．75° D．70°
仿例1：如图，∠α与∠β的度数和为__270°__．
仿例2：如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于__115°__．
仿例3：如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__80°__．
仿例4：如图，∠3＝120°，则∠1－∠2＝__60°__．
变例：如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.求：
(1)∠BDC的度数；
(2)∠BFC的度数．
解：(1)∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°；
(2)∵∠BFC是△BDF的外角，
∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°.
知识模块二 三角形外角的推论4
阅读教材P81的内容，回答下列问题：
三角形外角的推论4是什么？三角形的外角和是多少度？
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
三角形的外角和为360°.
范例：
如图，∠A，∠DBC，∠DEC的大小关系是 (C)
A．∠A>∠DBC>∠DEC
B．∠DEC>∠A>∠DBC
C．∠DEC>∠DBC>∠A
D．∠DBC>∠A>∠DEC
仿例：
如图，点D是△ABC的外角平分线CD与BA的延长线的交点，求证：∠BAC>∠B.
证明：∵∠BAC是△ACD的一个外角，∴∠BAC>∠1，
又∵CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2，∴∠BAC>∠2.
又∵∠2是△BCD的一个外角，
∴∠2>∠B，∴∠BAC>∠B.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 三角形的外角及推论3
知识模块二 三角形外角的推论4