21.2.3　因式分解法 分层练习（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

21.2.3　因式分解法
用因式分解法解一元二次方程
1.(2024贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是 (　　)
A.x1=3,x2=1
B.x1=2,x2=0　
C.x1=3,x2=-2
D.x1=-2,x2=-1
2.已知一元二次方程的两根分别为x1=3,x2=-4,则这个方程为 (　　)
A.(x-3)(x+4)=0
B.(x+3)(x-4)=0
C.(x+3)(x+4)=0
D.(x-3)(x-4)=0
3.(2025成都武侯区月考)用因式分解法解方程,下列方法正确的是 (　　)
A.∵(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0　
B.∵(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1
C.∵(x-2)(x-3)=2×3,∴x-2=2或x-3=3　
D.∵x(x+2)=0,∴x+2=0
4.小华在解一元二次方程x2=4x时,只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是　　　　.
5.用因式分解法解方程:
(1)x2=6x.
(2)4x2-49=0.
(3)4x2-8x+4=0.
(4)(2x-1)2=(3-x)2.
用适当的方法解一元二次方程
6.解下列方程:①3x2-27=0;②x2-3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1)2=3x-1.较简便的方法是 (　　)
A.依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C.①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
D.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法
7.用适当的方法解下列方程:
(1)3x(x+3)=2(x+3).
(2)x2+4x+2=0.
(3)x(x-3)=-x+3.
(4)x2-11x+24=0.
1.用因式分解法解方程x2+px-6=0,若将左边分解后有一个因式是x-6,则p的值是(　　)
A.-1 B.1 C.-5 D.5
2.若实数x,y满足(x2+y2+2)(x2+y2-2)=0,则x2+y2的值为 (　　)
A.1 B.2 C.2或-2 D.-2
3.若三角形的一边长是6,另外两边长分别是方程x2-9x+20=0的两根,则该三角形的周长为 (　　)
A.12 B.15　 C.18 D.20
4.阅读材料:
　　为了解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,则原方程可化为y2-5y+4=0.解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2-1=1,x2=2,∴x=±.
当y=4时,x2-1=4,x2=5,∴x=±.
∴原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.
解答问题:
仿照上述方法解方程:x4-6x2+8=0.
微专题2　利用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程
　　 用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解,我们把这种方法叫做十字相乘法,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
例:试用十字相乘法解一元二次方程:(1)x2+5x+6=0.(2)2x2-5x+2=0.
分析:分解因式x2+5x+6时,a+b=5,ab=6;我们把6可以分解为6=1×6,6=-1×(-6),6=2×3,6=-2×(-3);发现当a=2,b=3时,a+b正好是5,这样我们就可以把x2+5x+6分解为(x+2)(x+3).分解因式2x2-5x+2时,→(-4x)+(-x)=-5x.
解:(1)x2+5x+6=0,∴(x+2)(x+3)=0.∴x1=-2,x2=-3.
(2)2x2-5x+2=0.∴(x-2)(2x-1)=0.∴x1=2,x2=.
1.已知y≠0,x2-15xy+50y2=0,则的值是　　　　.
2.用十字相乘法解下列一元二次方程:
(1)x2+2x-24=0.
(2)6x2+19x-36=0.
【详解答案】
基础达标
1.B　解析:∵x2-2x=0,∴x(x-2)=0.∴x-2=0或x=0.解得x1=2,x2=0.故选B.
2.A　解析:∵一元二次方程的两根分别为x1=3,x2=-4,∴这个方程为(x-3)(x+4)=0.故选A.
3.A　解析:A.∵(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0.故选项正确,符合题意;BC.方程右边不为0,不能直接分解,故选项错误;D.∵x(x+2)=0,∴x+2=0或x=0.故选项错误.故选A.
4.x=0　解析:x2=4x,移项,得x2-4x=0.∴x(x-4)=0.∴x=0或x-4=0.∴x1=0,x2=4.∴被他漏掉的一个根是x=0.
5.解:(1)整理,得x2-6x=0.
因式分解,得x(x-6)=0.
∴x=0或x-6=0.
∴x1=0,x2=6.
(2)因式分解,得(2x+7)(2x-7)=0.
∴2x+7=0或2x-7=0.
∴x1=-,x2=.
(3)整理,得x2-2x+1=0.
因式分解,得(x-1)2=0.
∴x1=x2=1.
(4)移项,得(2x-1)2-(3-x)2=0.
因式分解,得(2x-1+3-x)(2x-1-3+x)=0,
即(x+2)(3x-4)=0.
∴x+2=0或3x-4=0.
∴x1=-2,x2=.
6.D　解析:①3x2-27=0用直接开平方法;②x2-3x-1=0用公式法;③(x+2)(x+4)=x+2用因式分解法;④2(3x-1)2=3x-1用因式分解法.故选D.
7.解:(1)移项,得3x(x+3)-2(x+3)=0.
因式分解,得(x+3)(3x-2)=0.
∴x+3=0或3x-2=0.
∴x1=-3,x2=.
(2)原方程可化为x2+4x+4=2.
配方,得(x+2)2=2.
∴x+2=±.
∴x1=-2,x2=--2.
(3)原方程可化为x(x-3)+x-3=0.
因式分解,得(x-3)(x+1)=0.
∴x-3=0或x+1=0.
∴x1=3,x2=-1.
(4)原方程可化为(x-3)(x-8)=0.
∴x-3=0或x-8=0.
∴x1=3,x2=8.
能力提升
1.C　解析:根据题意,得x2+px-6=(x-6)·(x-a)=x2-(a+6)x+6a=0.∴p=-a-6,6a=-6.解得a=-1.∴p=-5.故选C.
2.B　解析:∵(x2+y2+2)(x2+y2-2)=0,∴x2+y2+2=0或x2+y2-2=0.∴x2+y2=-2(不符合题意,舍去)或x2+y2=2.∴x2+y2的值为2.故选B.
3.B　解析:∵x2-9x+20=0,∴(x-4)(x-5)=0.∴x-4=0或x-5=0.解得x=4或5.∴三角形的三边长分别为4,5,6,能组成三角形.∴该三角形的周长为4+5+6=15.故选B.
4.解:设x2=y,则x4=y2,则原方程可化为y2-6y+8=0.
解得y1=2,y2=4.
当y=2时,x2=2,∴x=±.
当y=4时,x2=4,∴x=±2.
∴原方程的解为x1=,x2=-,x3=2,x4=-2.
微专题2
1.5或10　解析:因式分解,得(x-5y)(x-10y)=0.∴x-5y=0或x-10y=0.∴x1=5y,x2=10y.∵y≠0,∴的值为5或10.
2.解:(1)x2+2x-24=0,
∴(x+6)(x-4)=0.
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-6,x2=4.
(2)6x2+19x-36=0,
∴(2x+9)(3x-4)=0.
∴2x+9=0或3x-4=0.
∴x1=-,x2=.