21.1　一元二次方程 分层练习（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

21.1　一元二次方程
一元二次方程的定义及一般形式
1.在下列方程中,是关于x的一元二次方程的是 (　　)
A.ax2+bx+c=0(a,b,c为常数)
B.x2+x-2=0
C.+-2=0
D.x2+2x=x2-1
2.若(a-3)xb-2-5x-1=0是关于x的一元二次方程,则 (　　)
A.a≠0,b=4 B.a≠0,b=2
C.a≠-3,b=4 D.a≠3,b=4
3.(2025石家庄裕华区期中)一元二次方程3x2+1=6x的一次项系数为6,二次项系数和常数项分别为 (　　)
A.3,1 B.-3,-1
C.3,-1 D.-3x2,-1
4.把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-3x.
(2)5x(x-2)=4x2-3x.
一元二次方程的根
5.若一元二次方程x2-4x+a=0的一个根为x=1,则a的值为　　　　.
6.若x=2是关于x的一元二次方程x2-ax-4b=0的根,则2a+4b的值为　　　　.
根据实际问题列一元二次方程
7.为了改善居民生活环境,某小区对一块矩形空地进行绿化,这块空地的长比宽多6 m,面积为720 m2.设矩形空地的长为x m,根据题意,所列方程正确的是 (　　)
A.x(x-6)= 720 B.x(x+6)= 720
C.x(x-6)= 360 D.x(x+6)= 360
8.(数学文化)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.根据题意可列方程为3x(x-1)=6 210,其中x表示 (　　)
A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量　
C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱
9.甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度是1.5 m/s,乙的速度是1 m/s,乙一直向东走,甲先向南走10 m,后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇.若设两人走了x s,则可列方程为　　　　　.
1.下列说法正确的是 (　　)
A.方程8x2-7=0的一次项系数为-7　
B.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0
C.当a=3且b≠-1,c≠0时,方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程
D.当m取所有实数时,关于x的方程(m2+1)x2-mx-3=0为一元二次方程
2.已知m是方程3x2+2x-1=0的一个根,则代数式3m2+2m+2 024的值为 (　　)
A.2 025 B.2 024
C.2 023 D.2 022
3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+(m-1)(m-3)=0的常数项为0,则m的值为 (　　)
A.1 B.3
C.1或3 D.0
4.已知关于x的一元二次方程x2x-6=0,其中一次项系数被墨迹污染了.若这个方程的一个根为-2,则一次项系数为 (　　)
A.-2 B.-3
C.-1 D.-6
5.文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书.设该组共有x名同学,则可列出的方程是(　　)
A.x(x+1)=210
B.x(x-1)=210
C.x(x+1)=210
D.x(x-1)=210
6.已知关于x的方程(m-3)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程,则m的值为　　　　.
7.(2024南充中考)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为　　　　.
8.若关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0(a≠0)有一根为x=1,则一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)-1=0必有一根为　　　　.
9.若x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.下面是两位学生的解法:
甲:根据题意,得解得
乙:根据题意,得或解得或
你认为上述两位同学的解法是否正确 为什么 如果不正确,请给出正确答案.
10.(运算能力)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果a,b,c满足3a+2b+c=0,我们就称这个一元二次方程为波浪方程.
(1)判断方程2x2-x-4=0是否为波浪方程,并说明理由.
(2)已知关于x的波浪方程ax2-2x+c=0的一个根是x=-1,求这个波浪方程.
【详解答案】
基础达标
1.B　解析:A.若a=0,则该方程不是一元二次方程,A项错误;B.符合一元二次方程的定义,B项正确;C.属于分式方程,不符合一元二次方程的定义,C项错误;D.整理后方程为2x+1=0,不符合一元二次方程的定义,D项错误.故选B.
2.D　解析:由题意,得a-3≠0,b-2=2.解得a≠3,b=4.故选D.
3.B　解析:∵该方程的一次项系数是6,∴3x2+1=6x可化成-3x2+6x-1=0.∴二次项系数是-3,常数项是-1.故选B.
4.解:(1)方程2x2=1-3x化为一般形式为2x2+3x-1=0,二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-1.
(2)方程5x(x-2)=4x2-3x化为一般形式为x2-7x=0,二次项系数为1,一次项系数为-7,常数项为0.
5.3　解析:将x=1代入一元二次方程x2-4x+a=0,得1-4+a=0.解得a=3.
6.4　解析:把x=2代入一元二次方程x2-ax-4b=0,得4-2a-4b=0.∴2a+4b=4.
7.A　解析:∵矩形空地的长为x m,∴矩形空地的宽为(x-6)m.由题意,得x(x-6)=720.故选A.
8.B　解析:∵每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,∴所列方程中的x表示这批椽的数量,3(x-1)表示一株椽的价钱,所用的等量关系为单价×数量=总价.故选B.
9.(1.5x-10)2=102+x2　解析:设两人走了x s,则乙走的路程为x m,甲在北偏东某个方向走的路程为(1.5x-10)m.由题意,得(1.5x-10)2=102+x2.
能力提升
1.D　解析:A.方程8x2-7=0的一次项系数为0,故A选项不符合题意;B.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),故B选项不符合题意;C.当a=3且b≠-1,c≠0时,方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0可化为(b+1)x+c=0,不是一元二次方程,故C选项不符合题意;D.当m取所有实数时,∵m2+1≠0,∴关于x的方程(m2+1)·x2-mx-3=0为一元二次方程,故D选项符合题意.故选D.
2.A　解析:∵m是方程3x2+2x-1=0的一个根,∴3m2+2m-1=0,即3m2+2m=1.∴3m2+2m+2 024=1+2 024=2 025.故选A.
3. B　解析:根据题意,得解得m=3.故选B.
4.C　解析:设一次项系数为b,则方程为x2+bx-6=0.把x=-2代入方程,得4-2b-6=0.解得b=-1.∴一次项系数为-1.故选C.
5.B　解析:由题意可知,该组共有x名同学,每名同学送出(x-1)本图书,∴列出的方程是x(x-1)=210.故选B.
6.-1　解析:根据题意,得|m-1|=2,且m-3≠0.解得m=-1.
7.-4　解析:∵m是方程x2+4x-1=0的一个根,∴m2+4m=1.∴(m+5)(m-1)=m2-m+5m-5=m2+4m-5=1-5=-4.
8.x=2　解析:对于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)-1=0,设t=x-1,∴at2+bt-1=0.∵关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0(a≠0)有一根为x=1,∴at2+bt-1=0有一根为t=1.∴x-1=1.解得x=2.∴a(x-1)2+b(x-1)-1=0必有一根为x=2.
9.解:上述两位同学的解法都不正确,均考虑不全面.正确的解法如下:要使x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程,则或或或或解得或或或或
10.解:(1)2x2-x-4=0是波浪方程.理由如下:
∵a=2,b=-1,c=-4,
∴3a+2b+c=3×2+2×(-1)+(-4)=0.
∴此方程为波浪方程.
(2)将x=-1代入原方程,得
a+2+c=0.①
∵此方程为波浪方程,
∴3a+2b+c=0.
∵b=-2,
∴3a+2×(-2)+c=0.②
由①②,得
∴这个波浪方程为3x2-2x-5=0.