21.2.1　配方法　第1课时　直接开平方法 分层练习（含答案）2025-2026学年数学人教版九年级上册

21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程
1.方程x2=4的根是 (　　)
A.x=2 B.x=-2
C.x1=1,x2=4 D.x1=2,x2=-2
2.若9×□2=1,则□的值为 (　　)
A.3 B.3或-3
C.或- D.
3.一元二次方程x2=7的根是　　　　　　.
4.用直接开平方法解方程:
(1)x2-169=0.
(2)3x2=75.
解形如(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程
5.方程(x-1)2=16的根是 (　　)
A.x1=5,x2=2 B.x1=-5,x2=3
C.x1=-3,x2=5 D.x1=-4,x2=4
6.若关于x的方程(x-a)2-4=b有实数根,则b的取值范围是 (　　)
A.b>4 B.b>-4
C.b≥4 D.b≥-4
7.(2025烟台期末)一元二次方程(x+1)2=16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+1=4,则另一个一元一次方程是 (　　)
A.x-1=-4 B.x-1=4
C.x+1=-4 D.x+1=4
8.方程(2x+1)2=49的根是　　　　　　.
9.若关于x的一元二次方程x2=a的两个根分别是2m-1与m-5,则m的值为　　　　.
10.用直接开平方法解方程:
(1)2(x-1)2=8.
(2)(2x-1)2-25=0.
1.在下列解方程的过程中,正确的是 (　　)
A.x2=-2,解方程,得x=±
B.(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,则x=4
C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)=±3,则x1=,x2=
D.(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5,则x1=1,x2=-4
2.若关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的根是x1=-3,x2=2,则方程m(x+h-3)2+k=0的根是 (　　)
A.x1=-6,x2=-1
B.x1=0,x2=5
C.x1=-3,x2=5
D.x1=-6,x2=2
3.已知三角形的两边长是4和6,第三边的长度是方程(x-3)2=4的根,则此三角形的周长为 (　　)
A.17 B.11
C.15 D.11或15
4.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个不相等的根分别是2m+1与m-7,则的值为　　　　.
5.若(x2+y2-1)2=4,则x2+y2的值为　　　　.
6.解方程:
(1)4(1-x)2-9=0.
(2)(x+3)2=4(x-2)2.
7.已知关于x的方程(x-1)2=4m-1有两个实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若方程有一个根为x=2,求方程的另外一个根.
8.(新定义试题)在实数范围内定义一种新的运算“*”,其运算规则为a*b=a2-b2.
(1)根据这个运算规则,计算3*(-5)的值.
(2)求关于x的方程(x+2)*5=0的根.
9.(运算能力)在解关于x的一元二次方程x(x+8)=4时,发现有这样一种解法:
解:将原方程变形,得[(x+4)-4][(x+4)+4]=4.
∴(x+4)2-42=4.
∴(x+4)2=20.
直接开平方,得x1=-4+2,x2=-4-2.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)(x+8)=40时写的解题过程:
解:将原方程变形,得[(x+a)-b][(x+a)+b]=40.
∴(x+a)2-b2=40.
∴(x+a)2=40+b2.
直接开平方,得x1=c,x2=d.
上述解题过程中的a,b,c,d所表示的数分别是　　　　,　　　　,　　　　,　　　　.
(2)请用“平均数法”解方程:(x-2)(x+6)=4.
【详解答案】
基础达标
1.D　解析:∵x2=4,∴x1=2,x2=-2.故选D.
2.C　解析:∵9×□2=1,∴□2=.∴□=±.故选C.
3.x1=,x2=-　解析:根据平方根的意义,得x=±,即x1=,x2=-.
4.解:(1)∵x2-169=0,
∴x2=169,即x1=13,x2=-13.
(2)二次项系数化为1,得x2=25.
∴x=±5,即x1=5,x2=-5.
5.C　解析:∵(x-1)2=16,∴x-1=±4,即x-1=-4或x-1=4.解得x1=-3,x2=5.故选C.
6.D　解析:∵(x-a)2-4=b,∴(x-a)2=b+4.∵方程(x-a)2=b+4有实数根,∴b+4≥0.∴b≥-4.故选D.
7.C　解析:∵(x+1)2=16,∴x+1=±4.∴x+1=4或x+1=-4.故选C.
8.x1=3,x2=-4　解析:∵(2x+1)2=49,∴2x+1=7或2x+1=-7.解得x1=3,x2=-4.
9.2　解析:根据题意,得2m-1+m-5=0.解得m=2.
10.解:(1)2(x-1)2=8,
二次项系数化为1,得(x-1)2=4.
开方,得x-1=±2.
解得x1=3,x2=-1.
(2)(2x-1)2-25=0,
移项,得(2x-1)2=25.
开方,得2x-1=±5.
解得x1=3,x2=-2.
能力提升
1.D　解析:A.在方程x2=-2中,-2<0,则方程无解,故错误;B.解方程(x-2)2=4,得x-2=±2.∴x1=4或x2=0.故错误;C.解方程4(x-1)2=9,得x-1=±.∴x1=,x2=-.故错误;D.解方程(2x+3)2=25,得2x+3=±5.∴x1=1,x2=-4.故正确.故选D.
2.B　解析:把方程 m(x+h-3)2+k=0看作关于(x-3)的一元二次方程.∵关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的根是x1=-3,x2=2,∴x-3=-3或x-3=2.∴x1=0,x2=5.故选B.
3.C　解析:∵(x-3)2=4,∴x-3=±2.解得x1=5,x2=1.若x=5,则三角形的三边长分别为4,5,6,其周长为4+5+6=15;若x=1,∵6-4=2,∴这三条边不能构成三角形.综上所述,此三角形的周长是15.故选C.
4.　解析:由题意,得2m+1+m-7=0.∴m=2.∴2m+1=5.∵ax2=b(ab>0),∴x2=.∴=(2m+1)2=25.∴=.
5.3　解析:两边开平方,得x2+y2-1=±2.∴x2+y2=3或x2+y2=-1.∵x2+y2≥0,∴x2+y2=3.
6.解:(1)方程变形,得(1-x)2=.
开平方,得1-x=±.
解得x1=-,x2=.
(2)两边开平方,得x+3=±2(x-2).
∴x+3=2(x-2)或x+3=-2(x-2).
∴x+3=2x-4或x+3=-2x+4.
∴x1=7,x2=.
7.解:(1)根据题意,得4m-1≥0.
解得m≥.
(2)把x=2代入方程(x-1)2=4m-1,得(2-1)2=4m-1.解得m=.
∴原方程可化为(x-1)2=1.
两边开平方,得x-1=±1.解得x1=2,x2=0.
∴方程的另外一个根为x=0.
8.解:(1)由题意,得3*(-5)=32-(-5)2=9-25=-16.
∴3*(-5)的值为-16.
(2)∵(x+2)*5=0,
∴(x+2)2-52=0.
∴(x+2)2=25.
∴x+2=±5.
∴x+2=5或x+2=-5.
∴x1=3,x2=-7.
9.解:(1)5　3　2　-12
(2)将原方程变形,得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4.
∴(x+2)2-42=4.
∴(x+2)2=20.
两边开平方,得x+2=±2.
∴x1=-2+2,x2=-2-2.