21.2.2　公式法 分层练习（含答案）2025-2026学年数学人教版九年级上册

21.2.2　公式法
一元二次方程根的判别式
1.用公式法解一元二次方程2x2-3x-1=0时,计算b2-4ac的结果为 (　　)
A.17 B.14 C.11 D.8
2.方程x2-x-=0的根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
3.(2024北京中考)若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 (　　)
A.-16 B.-4 C.4 D.16
4.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)16y2+9=24y.
(2)5(x2+1)-7x=0.
(3)3(x2-1)=5x.
用公式法解一元二次方程
5.用求根公式解一元二次方程3x2-2=4x时,a,b,c的值分别是 (　　)
A.3,-2,4
B.3,-4,2
C.3,-4,-2
D.3,4,-2
6.下列方程中,以x=为根的是 (　　)
A.x2-5x-c=0 B.x2+5x-c=0
C.x2-5x+4c=0 D.x2+5x+c=0
7.若一元二次方程x2+bx+4=0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b+的值为 (　　)
A.m B.-m
C.2m D.-2m
8.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下:
∵a=1,b=-4,c=-2,(第一步)
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24.(第二步)
∴x=.(第三步)
∴x1=-2+,x2=-2-.(第四步)
小明解答过程开始出错的步骤是 (　　)
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
9.(2025保定高碑店月考)用公式法解关于x的一元二次方程,得,则该一元二次方程是　　　　　　　　.
10.利用公式法解下列方程:
(1)2x2-2x-1=0.
(2)3y2+1=2y.
(3)(x+2)(2x-3)=3x+2.
1.小马在解方程x2-4x+c=0时,把常数项c的值抄成了c的相反数,解出两个相等的实数根,那么原方程的根的情况是 (　　)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有一个根是x=2
2.(新定义试题)我们规定一种新运算“★”,其规则为a★b=a2-ab.若(x-2)★(1-x)=28,则x的值为(　　)
A.-26 B.-4或11
C.2或- D.-2或
3.嘉淇准备完成题目:解一元二次方程x2-6x+□=0.若“□”表示一个数,且一元二次方程x2-6x+□=0有实数根,则“□”的最大值为　　　　,此时方程的解为　　　　　.
4.小颖解一元二次方程3x2□x-1=0时,一次项系数印刷不清楚,查看答案为x=,则“□”代表的数为　　　　.
5.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x+1=0没有实数根,则k的取值范围是　　　　.若该方程有实数根,则k的取值范围是　　　　　　.
6.已知A=2x2+7x-1,B=4x+1,若2A的值比3B的值大1,求满足条件的x的值.
7.已知关于x的一元二次方程kx2+4x+1=0.
(1)若x=-1是该方程的一个根,求k的值.
(2)若该方程有两个实数根,求k的取值范围.
8.(推理能力)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【详解答案】
基础达标
1.A　解析:∵a=2,b=-3,c=-1,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17.故选A.
2.A　解析:∵a=1,b=-1,c=-,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×-=2>0.∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
3.C　解析:∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4c=0.解得c=4.故选C.
4.解:(1)16y2+9=24y化为一般形式为16y2-24y+9=0.
Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,
∴方程有两个相等的实数根.
(2)5(x2+1)-7x=0化为一般形式为5x2-7x+5=0.
Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0,
∴方程没有实数根.
(3)3(x2-1)=5x化为一般形式为3x2-5x-3=0.
Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×(-3)=61>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
5.C　解析:∵3x2-2=4x,∴3x2-4x-2=0.∴a=3,b=-4,c=-2.故选C.
6.B　解析:A.此方程的根为x=,不符合题意;B.此方程的根为x=,符合题意;C.此方程的根为x=,不符合题意;D.此方程的根为x=,不符合题意.故选B.
7.D　解析:∵x2+bx+4=0的两个实数根中较小的一个根是m,∴=m.∴b+=-2m.故选D.
8.C　解析:x2-4x=2化为一般形式为x2-4x-2=0.
∵a=1,b=-4,c=-2,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24.
∴x=.
∴x1=2+,x2=2-.
∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步,求根公式用错.故选C.
9.3x2+7x+1=0　解析:根据x=与,可得a=3,b=7,c=1,从而得到一元二次方程为3x2+7x+1=0.
10.解:(1)2x2-2x-1=0,
∵a=2,b=-2,c=-1,
∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12>0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x===.
∴x1=,x2=.
(2)方程整理,得3y2-2y+1=0.
∵a=3,b=-2,c=1,
∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×1=12-12=0.
∴方程有两个相等的实数根.
∴y===.
∴y1=y2=.
(3)方程整理,得x2-x-4=0.
∵a=1,b=-1,c=-4,
∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-4)=17>0.
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x==.
∴x1=,x2=.
能力提升
1.C　解析:∵方程x2-4x-c=0有两个相等的实数根,∴Δ=16+4c=0.∴c=-4.∴原方程为x2-4x-4=0.∵Δ=(-4)2-4×1×(-4)=32>0,∴原方程有两个不相等的实数根.故选C.
2.D　解析:∵(x-2)★(1-x)=28,∴(x-2)2-(x-2)(1-x)=28,即2x2-7x-22=0.∵Δ=(-7)2-4×2×(-22)=49+176=225>0,∴x==.∴x1==,x2==-2.故选D.
3.9　x1=x2=3　解析:设“□”表示的数为m,则x2-6x+m=0.由题意,得Δ=b2-4ac=(-6)2-4m≥0.解得m≤9.∴“□”的最大值为9.此时方程为x2-6x+9=0,即(x-3)2=0,∴x1=x2=3.
4.-6　解析:设“□”代表的数为b,则一元二次方程为3x2+bx-1=0.∴x=.∵答案为x=,∴x=.∴b=-6.∴“□”代表的数为-6.
5.k>2　k≤2且k≠1　解析:∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x+1=0没有实数根,∴Δ=b2-4ac=4-4(k-1)<0且k-1≠0.解得k>2.若该方程有实数根,则Δ=b2-4ac=4-4(k-1)≥0且k-1≠0.解得k≤2且k≠1.
6.解:根据题意,得2(2x2+7x-1)=3(4x+1)+1.
整理,得2x2+x-3=0.
∵a=2,b=1,c=-3,
∴Δ=b2-4ac=12-4×2×(-3)=25>0.
∴x==.
∴x1=1,x2=-.
∴满足条件的x的值为1或-.
7.解:(1)把x=-1代入方程kx2+4x+1=0,得k×(-1)2+4×(-1)+1=0.
解得k=3.
(2)∵方程kx2+4x+1=0有两个实数根,
∴Δ=42-4k≥0且k≠0.
解得k≤4且k≠0.
∴k的取值范围是k≤4且k≠0.
8.解:(1)△ABC是等腰三角形.理由如下:
把x=-1代入方程,得a+c-2b+a-c=0.∴a=b.
∴△ABC为等腰三角形.
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:
根据题意,得Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2.
∴△ABC为直角三角形.
(3)∵△ABC为等边三角形,
∴a=b=c.
∴原方程可化为x2+x=0.
解得x1=0,x2=-1.