第1课时 圆的标准方程
1.以（1，－1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（ ）
A.（x－1）2＋（y＋1）2＝4
B.（x－1）2＋（y＋1）2＝2
C.（x－1）2＋（y－1）2＝2
D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
2.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（ ）
A.－1 B.1 C.0 D.2
3.已知圆M过点O（0，0），A（2，0），B（2，－2），则圆M的标准方程是（ ）
A.（x－1）2＋（y＋1）2＝2
B.（x－1）2＋（y－1）2＝2
C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
D.（x＋1）2＋（y－1）2＝2
4.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为（ ）
A.15 m B.13 m
C.9 m D.6.5 m
5.（多选）以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（ ）
A.x2＋（y－4）2＝20 B.（x－4）2＋y2＝20
C.x2＋（y－2）2＝20 D.（x－2）2＋y2＝20
6.（多选）（2024·连云港月考）已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线y＝0上，则（ ）
A.点M1（2，3）在圆内 B.点M1（2，3）在圆外
C.点M2（2，4）在圆内 D.点M2（2，4）在圆外
7.写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程为 .
8.若点（a，2a＋1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，则实数a的取值范围是 .
9.圆（x－1）2＋（y－1）2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是 .
10.已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）.
（1）求周长最小的圆的方程；
（2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.
11.（2024·南通月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是（ ）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1
B.（x－2）2＋（y－1）2＝1
C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1
D.（x＋1）2＋（y－2）2＝1
12.（多选）（2024·扬州月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（ ）
A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D.所有圆Ck的面积均为4π
13.（2024·淮安质检）已知三点A（3，2），B（5，－3），C（－1，3），以点P（2，－1）为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程为 .
14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
15.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（0，－1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d＝PA2＋PB2，求d的最大值及最小值.
第1课时 圆的标准方程
1.A 由圆的标准方程知（x－1）2＋（y＋1）2＝4.
2.B 由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1.
3.A 由点O（0，0），A（2，0）在圆M上，故圆心在直线x＝1上，由点A（2，0），B（2，－2）在圆M上，故圆心在直线y＝－1上，即圆心M（1，－1），半径r＝＝，故方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2，故选A.
4.B 如图，设圆心为O，半径为r，则在Rt△OBD中，由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13 m.
5.AD 令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），AB＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20.
6.AD 因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为（2，3），故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C（－1，0），半径r＝＝，故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋y2＝20.点M1（2，3）到圆心的距离为＝＜r，所以点M1在圆内，点M2（2，4）到圆心的距离为＝＞r，所以点M2在圆外，故选A、D.
7.（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一） 解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4.
8.（－1，1） 解析：因为点（a，2a＋1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，则a2＋[（2a＋1）－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
9.＋1 解析：圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的圆心为（1，1），则圆心到直线x－y＝2的距离为d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为＋1.
10.解：（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝AB＝.
则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10.
（2）法一 直线AB的斜率k＝＝－3，
故线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是（3，2）.
∴r2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20.
∴所求圆的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20.
法二 设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
则
∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20.
11.A 由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
12.ABD 易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确.
13.（x－2）2＋（y＋1）2＝13 解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是PA，PB，PC的中间值.因为PA＝，PB＝，PC＝5，所以PA＜PB＜PC，所以圆的半径r＝PB＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13.
14.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T（－1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），
即3x＋y＋2＝0.
（2）由解得点A的坐标为（0，－2），
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0），
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又r＝AM＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8.
15.解：设P（x，y），
则d＝PA2＋PB2＝2（x2＋y2）＋2.
∵CO2＝32＋42＝25，
∴（5－1）2≤x2＋y2≤（5＋1）2，
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34，
最大值为2×36＋2＝74.
2 / 22.1 圆的方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程 直观想象、数学运算
第1课时 圆的标准方程
《墨子·经上》云：“圆，一中同长也.”这句朴素的定义用数学语言来描述就是：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合.这个定点即圆心，而定长就是半径.只要给定了圆心和半径，这个圆就确定了.
【问题】 直线可在直角坐标系内用方程表示，那么圆是否也可在直角坐标系内用方程表示呢？
知识点一 圆的标准方程
提醒 （1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2.
知识点二 点与圆的位置关系
点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 CM＝r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2
点M在圆外 CM＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2
点M在圆内 CM＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（ ）
（2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.（ ）
（3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（ ）
2.圆心为（－2，3），半径为2的圆的方程是（ ）
A.（x－2）2＋（y＋3）2＝2
B.（x＋2）2＋（y－3）2＝4
C.（x＋2）2＋（y－3）2＝2
D.（x－2）2＋（y＋3）2＝4
3.点P（1，3）与以A（2，－1）为圆心，半径为5的圆的位置关系为（ ）
A.点P在圆上 B.点P在圆内
C.点P在圆外 D.无法确定
题型一 求圆的标准方程
【例1】 （链接教科书第56页例1）（1）与y轴相切，且圆心坐标为（－5，－3）的圆的标准方程为 ；
（2）求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
通性通法
求圆的标准方程的两种方法
（1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
（2）几何法：即利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.
【跟踪训练】
1.圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4），则圆的标准方程为 .
2.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程.
题型二 点与圆的位置关系
【例2】 （链接教科书第61页练习5题）写出圆心为A（2，－3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，－7），M2（－2，－1）是否在这个圆上.若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？
通性通法
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断.
【跟踪训练】
已知点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，1） B.（1，＋∞）
C.（0，1） D.（，＋∞）
题型三 圆的标准方程的实际应用
【例3】 （链接教科书第56页例2）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
通性通法
求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤
【跟踪训练】
某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
1.圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝3的圆心坐标为（ ）
A.（2，1） B.（2，－1）
C.（－2，1） D.（－2，－1）
2.点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A.点P在圆内 B.点P在圆外
C.点P在圆上 D.不确定
3.（2024·盐城月考）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是 .
4.如图是一个圆曲隧道的截面，点O为截面圆的圆心，若路面AB宽为10 m，净高CD为7 m，则此隧道圆的半径是 m.
第1课时 圆的标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
定长 圆心 半径 圆心 半径
（x－a）2＋（y－b）2＝r2
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.B 因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝4.故选B.
3.B ∵AP＝＝＜5，∴点P在圆A的内部.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）（x＋5）2＋（y＋3）2＝25
解析：∵圆心坐标为（－5，－3），又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为（x＋5）2＋（y＋3）2＝25.
（2）解：法一（待定系数法） 设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
法二（几何法） 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线的方程为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为（4，－3），半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
跟踪训练
1.x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25
解析：设圆心为C（0，b），则（3－0）2＋（－4－b）2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为（0，0）或（0，－8），又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
2.解：法一 设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
法二 因为A（0，5），B（1，－2），所以线段AB的中点的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.
同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为（－3，1），
又圆的半径长r＝＝5，
故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
【例2】 解：圆心为A（2，－3），半径为5的圆的标准方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝25.
把点M1（5，－7）的坐标代入方程（x－2）2＋（y＋3）2＝25的左边，得（5－2）2＋（－7＋3）2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
点M2到圆心A的距离d＝M2A＝＝2＜5.
故点M2不在圆上，在圆内.
跟踪训练
B 圆x2＋（y－a）2＝a2＋4的圆心为（0，a），半径r＝，因为点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，所以点（a＋1，a－1）到圆心（0，a）的距离大于半径，即＞，解得a＞1，故a的取值范围为（1，＋∞）.
【例3】 解：作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高.以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有B，C（0，b）.
可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴上，因此可设圆心的坐标为（0，t），半径为r，
因为点B，C都在圆上，
所以
由此可解得r＝.
跟踪训练
解：建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有A（－10，0），B（10，0），P（0，4），D（－5，0），E（5，0）.
设这座圆拱桥的拱圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
于是有解得
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋（y＋10.5）2＝14.52（0≤y≤4）.把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过.
随堂检测
1.B 结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为（2，－1）.
2.B 由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
3.（x－1）2＋（y－2）2＝25 解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，AB＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.
4. 解析：∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×10＝5（m），在Rt△OAD中，设半径OA＝R m，则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝（7－R）2＋52，解得R＝.∴此隧道圆的半径是 m.
3 / 3(共59张PPT)
2.1 圆的方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并
掌握圆的标准方程与一般方程 直观想象、
数学运算
第1课时 圆的标准方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
《墨子·经上》云：“圆，一中同长也.”这句朴素的定义用数学
语言来描述就是：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组
成的集合.这个定点即圆心，而定长就是半径.只要给定了圆心和半
径，这个圆就确定了.
【问题】 直线可在直角坐标系内用方程表示，那么圆是否也可在直
角坐标系内用方程表示呢？
知识点一 圆的标准方程
提醒 （1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意
义：圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为 x2＋ y2
＝ r2.
知识点二 点与圆的位置关系
点 M （ x0， y0）与圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2的位置关系及判
断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点 M 在圆上 CM ＝ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＝ r2
点 M 在圆外 CM ＞ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＞ r2
点 M 在圆内 CM ＜ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＜ r2
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ m2一定表示圆. （ × ）
（2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径. （ √ ）
（3）圆（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是
4. （ × ）
×
√
×
2. 圆心为（－2，3），半径为2的圆的方程是（ ）
A. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2
B. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4
C. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝2
D. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝4
解析： 因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程
为（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4.故选B.
3. 点 P （1，3）与以 A （2，－1）为圆心，半径为5的圆的位置关系
为（ ）
A. 点 P 在圆上 B. 点 P 在圆内
C. 点 P 在圆外 D. 无法确定
解析： ∵ AP ＝ ＝ ＜5，∴点 P 在
圆 A 的内部.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求圆的标准方程
【例1】 （链接教科书第56页例1）（1）与 y 轴相切，且圆心坐标为
（－5，－3）的圆的标准方程为 ；
解析：∵圆心坐标为（－5，－3），又与 y 轴相切，∴该圆的半径为
5，∴该圆的标准方程为（ x ＋5）2＋（ y ＋3）2＝25.
（ x ＋5）2＋（ y ＋3）2＝25
（2）求经过点 P （1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2 x ＋3 y ＋1＝
0上的圆的标准方程.
解：法一（待定系数法） 设圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y
－ b ）2＝ r2，
则有解得
∴圆的标准方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25.
法二（几何法） 由题意知 OP 是圆的弦，其垂直平分线的方程
为 x ＋ y －1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为（4，－3），半径 r ＝ ＝5.
∴圆的标准方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25.
通性通法
求圆的标准方程的两种方法
（1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
（2）几何法：即利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆
的标准方程.
【跟踪训练】
1. 圆心在 y 轴上，半径为5，且过点（3，－4），则圆的标准方程
为 .
解析：设圆心为 C （0， b ），则（3－0）2＋（－4－ b ）2＝52，
∴ b ＝0或 b ＝－8，∴圆心为（0，0）或（0，－8），又 r ＝5，∴
圆的标准方程为 x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25.
x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25
2. 已知△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A （0，5）， B （1，－2）， C
（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程.
解：法一 设所求圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2.
因为 A （0，5）， B （1，－2）， C （－3，－4）都在圆上，所以
它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25.
法二 因为 A （0，5）， B （1，－2），所以线段 AB 的中点的坐标为
，
直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝－7，因此线段 AB 的垂直平分线的方程是
y － ＝ ，即 x －7 y ＋10＝0.
同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是2 x ＋ y ＋5＝0.
由得圆心的坐标为（－3，1），
又圆的半径长 r ＝ ＝5，
故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25.
题型二 点与圆的位置关系
【例2】 （链接教科书第61页练习5题）写出圆心为 A （2，－3），
半径为5的圆的标准方程，并判断点 M1（5，－7）， M2（－2，－1）
是否在这个圆上.若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？
解：圆心为 A （2，－3），半径为5的圆的标准方程
是（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝25.
把点 M1（5，－7）的坐标代入方程（ x －2）2＋（ y
＋3）2＝25的左边，得（5－2）2＋（－7＋3）2＝
25，左右两边相等，点 M1的坐标满足圆的方程，所
以点 M1在这个圆上.
点 M2到圆心 A 的距离 d ＝ M2 A ＝
＝2 ＜5.
故点 M2不在圆上，在圆内.
通性通法
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大
小，并作出判断.
【跟踪训练】
已知点（ a ＋1， a －1）在圆 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4外，则实数 a 的取
值范围为（ ）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （0，1）
解析： 圆 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4的圆心为（0， a ），半径 r ＝
，因为点（ a ＋1， a －1）在圆 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4外，所
以点（ a ＋1， a －1）到圆心（0， a ）的距离大于半径，即
＞ ，解得 a ＞1，故 a 的取值范围为
（1，＋∞）.
题型三 圆的标准方程的实际应用
【例3】 （链接教科书第56页例2）赵州桥位于我国河北省，是我国
现存最早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式
的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度 a 和圆拱高 b
表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
解：作出示意图如图所示，其中 AB 表示跨度， O 为 AB 中点， OC 为
圆拱高.以 O 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，根据
已知条件有 B ， C （0， b ）.
可以看出，圆弧所在圆的圆心在 y 轴上，因此可设圆心的坐标为（0，
t ），半径为 r ，
因为点 B ， C 都在圆上，
所以
由此可解得 r ＝ .
通性通法
求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤
【跟踪训练】
某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高
3 m，这条船能否从桥下通过？
解：建立如图所示的坐标系，使圆心 C 在 y 轴上.依题意，有 A （－
10，0）， B （10，0）， P （0，4）， D （－5，0）， E （5，0）.
设这座圆拱桥的拱圆的方程是（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，
于是有解得
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋（ y ＋10.5）2＝14.52（0≤ y
≤4）.把点 D 的横坐标 x ＝－5代入上式，得 y ≈3.1.由于船在水面以
上高3 m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过.
1. 圆 C ：（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝3的圆心坐标为（ ）
A. （2，1） B. （2，－1）
C. （－2，1） D. （－2，－1）
解析： 结合圆的标准方程可知，圆 C 的圆心坐标为（2，－1）.
2. 点 P （ m2，5）与圆 x2＋ y2＝24的位置关系是（ ）
A. 点 P 在圆内 B. 点 P 在圆外
C. 点 P 在圆上 D. 不确定
解析： 由（ m2）2＋52＝ m4＋25＞24，得点 P 在圆外.
3. （2024·盐城月考）以两点 A （－3，－1）和 B （5，5）为直径端点
的圆的标准方程是 .
解析：∵ AB 为直径，∴ AB 的中点（1，2）为圆心， AB ＝
＝5为半径，∴该圆的标准方程为（ x －
1）2＋（ y －2）2＝25.
（ x －1）2＋（ y －2）2＝25
解析：∵ OD ⊥ AB ，∴ AD ＝ DB ＝ AB ＝ ×10＝5（m），在Rt△ OAD 中，设半径 OA ＝ R m，则 OD ＝ CD － R ＝7－ R ，∴ OA2＝ OD2＋ AD2，即 R2＝（7－ R ）2＋52，解得 R ＝ .∴此隧道圆的半径是 m.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 以（1，－1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（ ）
A. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝4
B. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝2
C. （ x －1）2＋（ y －1）2＝2
D. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝4
解析： 由圆的标准方程知（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝4.
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2. 若直线 x ＋ y ＋ a ＝0过圆（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝2的圆心，则实
数 a 的值为（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
解析： 由圆的标准方程（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝2，可得圆心
坐标为（1，－2），因为直线 x ＋ y ＋ a ＝0过圆心（1，－2），所
以1－2＋ a ＝0，解得 a ＝1.
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3. 已知圆 M 过点 O （0，0）， A （2，0）， B （2，－2），则圆 M 的
标准方程是（ ）
A. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝2
B. （ x －1）2＋（ y －1）2＝2
C. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝2
D. （ x ＋1）2＋（ y －1）2＝2
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解析： 由点 O （0，0）， A （2，0）在圆 M 上，故圆心在直线
x ＝1上，由点 A （2，0）， B （2，－2）在圆 M 上，故圆心在直线
y ＝－1上，即圆心 M （1，－1），半径 r ＝ ＝ ，故方
程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝2，故选A.
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4. 如图，圆弧形拱桥的跨度 AB ＝12 m，拱高 CD ＝4 m，则拱桥的直
径为（ ）
A. 15 m B. 13 m
C. 9 m D. 6.5 m
解析： 如图，设圆心为 O ，半径为 r ，则在
Rt△ OBD 中，由勾股定理得 OB2＝ OD2＋ BD2，
即 r2＝（ r －4）2＋62，解得 r ＝ ，所以拱桥的
直径为13 m.
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5. （多选）以直线2 x ＋ y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另
一个交点的圆的标准方程可能为（ ）
A. x2＋（ y －4）2＝20
B. （ x －4）2＋ y2＝20
C. x2＋（ y －2）2＝20
D. （ x －2）2＋ y2＝20
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解析： 令 x ＝0，则 y ＝4；令 y ＝0，则 x ＝2.所以直线2 x ＋ y
－4＝0与两坐标轴的交点分别为 A （0，4）， B （2，0）， AB ＝
＝2 ，以 A 为圆心，过 B 点的圆的标准方程为 x2＋（ y －
4）2＝20.以 B 为圆心，过 A 点的圆的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝
20.
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6. （多选）（2024·连云港月考）已知圆 C 过点 A （1，4）， B （3，
2），且圆心 C 在直线 y ＝0上，则（ ）
A. 点 M1（2，3）在圆内
B. 点 M1（2，3）在圆外
C. 点 M2（2，4）在圆内
D. 点 M2（2，4）在圆外
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解析： 因为圆过 A ， B 两点，所以圆心在线段 AB 的垂直平分
线上，直线 AB 的斜率为－1，线段 AB 的中点坐标为（2，3），故
线段 AB 的垂直平分线的方程为 y －3＝ x －2，即 x － y ＋1＝0，又
圆心在直线 y ＝0上，因此圆心坐标是方程组的
解，即圆心坐标为 C （－1，0），半径 r ＝
＝ ，故所求圆的标准方程为（ x ＋
1）2＋ y2＝20.点 M1（2，3）到圆心的距离为
＝ ＜ r ，所以点 M1在圆内，点 M2
（2，4）到圆心的距离为 ＝ ＞ r ，所
以点 M2在圆外，故选A、D.
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7. 写出符合条件：圆心在直线 y ＝ x ＋1上，且与 x 轴相切的一个圆的
标准方程为 .
解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线 y ＝ x ＋1上，半径为
2，满足圆心（1，2）到 x 轴的距离等于半径，所以圆的标准方程
为（ x －1）2＋（ y －2）2＝4.
（ x －1）2＋（ y －2）2＝4（答案不唯一）
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8. 若点（ a ，2 a ＋1）在圆 x2＋（ y －1）2＝5的内部，则实数 a 的取
值范围是 .
解析：因为点（ a ，2 a ＋1）在圆 x2＋（ y －1）2＝5的内部，则 a2
＋[（2 a ＋1）－1]2＜5，解得－1＜ a ＜1.
（－1，1）
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9. 圆（ x －1）2＋（ y －1）2＝1上的点到直线 x － y ＝2的距离的最大
值是 .
解析：圆（ x －1）2＋（ y －1）2＝1的圆心为（1，1），则圆心到
直线 x － y ＝2的距离为 d ＝ ＝ ，故圆上的点到直线 x
－ y ＝2的距离的最大值为 ＋1.
＋1
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10. 已知圆过点 A （1，－2）， B （－1，4）.
（1）求周长最小的圆的方程；
解：当线段 AB 为圆的直径时，过点 A ， B 的圆的半径
最小，从而周长最小，即圆心为线段 AB 的中点（0，1），
半径 r ＝ AB ＝ .
则所求圆的方程为 x2＋（ y －1）2＝10.
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（2）求圆心在直线2 x － y －4＝0上的圆的方程.
解：法一 直线 AB 的斜率 k ＝ ＝－3，
故线段 AB 的垂直平分线的方程是 y －1＝ x ，
即 x －3 y ＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是（3，2）.
∴ r2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20.
∴所求圆的方程是（ x －3）2＋（ y －2）2＝20.
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法二 设圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2.
则
∴所求圆的方程为（ x －3）2＋（ y －2）2＝20.
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11. （2024·南通月考）若圆 C 与圆（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝1关于原
点对称，则圆 C 的方程是（ ）
A. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1
B. （ x －2）2＋（ y －1）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y ＋2）2＝1
D. （ x ＋1）2＋（ y －2）2＝1
解析： 由两圆关于原点对称可知圆 C 的圆心坐标为（2，－
1），半径为1，所以圆 C 的方程为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1.
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12. （多选）（2024·扬州月考）设圆 Ck ：（ x － k ）2＋（ y － k ）2＝4
（ k ∈R），则下列说法正确的是（ ）
A. 无论 k 如何变化，圆心 Ck 都在一条直线上
B. 所有圆 Ck 均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆 Ck 有且只有一个
D. 所有圆 Ck 的面积均为4π
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解析： 易知圆心 Ck （ k ， k ）在直线 y ＝ x 上，∴A中说法
正确；令（3－ k ）2＋（0－ k ）2＝4，化简得2 k2－6 k ＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2 k2－6 k ＋5＝0无解，∴B中说法
正确；令（2－ k ）2＋（2－ k ）2＝4，化简得 k2－4 k ＋2＝0，∵Δ
＝16－8＝8＞0，∴ k2－4 k ＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过
点（2，2）的圆 Ck 有两个，∴C中说法错误；易知圆 Ck 的半径为
2，∴圆 Ck 的面积为4π，∴D中说法正确.
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13. （2024·淮安质检）已知三点 A （3，2）， B （5，－3）， C （－
1，3），以点 P （2，－1）为圆心作一个圆，使 A ， B ， C 三点中
一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程
为 .
解析：要使 A ， B ， C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆
内，则圆的半径是 PA ， PB ， PC 的中间值.因为 PA ＝ ， PB
＝ ， PC ＝5，所以 PA ＜ PB ＜ PC ，所以圆的半径 r ＝ PB ＝
.故所求圆的标准方程为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝13.
（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝13
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14. 已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M （2，0）， AB 边所
在直线的方程为 x －3 y －6＝0，点 T （－1，1）在 AD 边所在
的直线上.
（1）求 AD 边所在直线的方程；
解：因为 AB 边所在直线的方程为 x －3 y －6＝0，且
AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为－3.
又点 T （－1，1）在直线 AD 上，
所以 AD 边所在直线的方程为 y －1＝－3（ x ＋1），
即3 x ＋ y ＋2＝0.
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（2）求矩形 ABCD 外接圆的标准方程.
解：由解得点 A 的坐标为（0，－2），
因为矩形 ABCD 的两条对角线的交点为点 M （2，0），
所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.
又 r ＝ AM ＝ ＝2 ，
所以矩形 ABCD 外接圆的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝8.
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15. 已知圆 C ：（ x －3）2＋（ y －4）2＝1，点 A （0，－1）， B
（0，1），设 P 是圆 C 上的动点，令 d ＝ PA2＋ PB2，求 d 的最大值
及最小值.
解：设 P （ x ， y ），则 d ＝ PA2＋ PB2＝2（ x2＋ y2）＋2.
∵ CO2＝32＋42＝25，∴（5－1）2≤ x2＋ y2≤（5＋1）2，
即16≤ x2＋ y2≤36.
∴ d 的最小值为2×16＋2＝34，
最大值为2×36＋2＝74.
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谢 谢 观 看！
