第2课时 圆的一般方程
1.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，则圆心坐标为（ ）
A.（1，－1） B.
C.（－1，2） D.
2.已知圆C的圆心坐标为（2，－3），且点（－1，－1）在圆上，则圆C的方程为（ ）
A.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
C.x2＋y2－4x－6y＝0
D.x2＋y2－4x＋6y＝0
3.（2024·镇江月考）若a∈{－2，0，1，}，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
4.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝（k－1）x＋2的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）下列关于圆x2＋y2－4x－1＝0的说法正确的是（ ）
A.关于点（2，0）对称
B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称
D.关于直线x－y＋2＝0对称
6.（多选）（2024·淮安月考）已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A（0，－5），则（ ）
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 .
8.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则b＝ ，a的取值范围是 .
9.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为 .
10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一个圆.
（1）求t的取值范围；
（2）求该圆的圆心坐标和半径；
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
11.“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A. B.6
C.－1 D.＋1
13.若曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围是 .
14.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB与CD间的距离为3.求四边形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
15.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R，b＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，经过A，B，C三个点的圆记为☉M.
（1）当a＝4，b＝2时，求△ABC的面积；
（2）求☉M的方程；
（3）问☉M是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论.
第2课时 圆的一般方程
1.D 将圆的方程化为标准方程，得＋（y＋1）2＝，所以圆心坐标为.
2.D 易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.
3.B 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.∴当a∈{－2，0，1，}时，只有a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆.故选B.
4.C x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.
5.ABC x2＋y2－4x－1＝0化为标准形式为（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0）.对于A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；对于B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；对于C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；对于D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、B、C.
6.BCD 依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则AC＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则PA≤PC＋CA＝r＋CA＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则MA≥CA－MC＝CA－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D.
7.（－2，－4） 5 解析：∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，所得圆的圆心坐标为（－2，－4），半径为5；当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×＝－5＜0，方程不表示圆.
8.4 （－∞，5） 解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为（－1，2），代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，所以a＜5.
9.x2＋y2－4x－5＝0 解析：设圆C的圆心坐标为（a，0）（a＞0），由题意可得＝，解得a＝2（a＝－2舍去），所以圆C的半径为＝3，所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0.
10.解：（1）圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2.
由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1.
故t的取值范围是（－，1）.
（2）由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为.
（3）r＝
＝≤.
所以r的最大值为，此时t＝，
故此时圆的标准方程为（x－）2＋（y＋）2＝.
11.A 法一 方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆需满足（－2m）2－4（－m2－5m＋3）＞0，解得m＜－3或m＞，所以“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆”的充分不必要条件，故选A.
法二 将x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0化为（x－m）2＋y2＝2m2＋5m－3，令2m2＋5m－3＞0，得m＜－3或m＞，所以“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆”的充分不必要条件，故选A.
12.D 由x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0得（x＋1）2＋（y－m）2＝m2＋4m＋5，因此圆心C（－1，m），半径r＝＝≥1，当且仅当m＝－2时，半径最小，即圆C的面积也最小.此时圆心C（－1，－2），半径r＝1，则圆心到坐标原点的距离d＝＝＞r，即原点在圆C外.则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1.故选D.
13.（－∞，－4） 解析：曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0，即（x－a）2＋（y＋2a）2＝16表示圆的方程，可得圆心C（a，－2a），半径为4.由题意可得即解得a＜－4，则实数a的取值范围是（－∞，－4）.
14.解：法一 由题意可知A（－3，0），B（3，0），C.
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得故所求圆的方程为x2＋y2－y－9＝0，其圆心坐标为，半径长为＝.
法二 由题意，可得点B的坐标是（3，0），点C的坐标是.
线段BC的中点坐标是，直线BC的斜率kBC＝－2.
线段BC的垂直平分线的方程是y－＝，与方程x＝0联立，解得y＝.
所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是.
半径长EB＝＝.
所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2＋＝，
这个圆的圆心坐标是，半径长是.
15.解：（1）当a＝4，b＝2时，f（x）＝x2＋4x＋2，令f（x）＝x2＋4x＋2＝0，解得x＝－2±，不妨令A（－2＋，0），B（－2－，0），则AB＝2.
令x＝0，得C（0，2）.
所以△ABC的面积为S＝×2×2＝2.
（2）设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R，b＞0）的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐标轴的交点，
令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋ax＋b＝0是同一个方程，故D＝a，F＝b.
令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，
所以☉M的方程为x2＋y2＋ax－（b＋1）y＋b＝0.
（3）把☉M的方程改写为x2＋y2－y＋ax＋b（1－y）＝0，
令解得
故☉M过定点（0，1）.
2 / 2第2课时 圆的一般方程
在上一节，我们已经知道圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
【问题】 如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
1.概念：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（ ）叫作圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为 ，半径长为 .
提醒 圆的一般方程具有的特点：①x2，y2项的系数均为1；②没有xy项；③只有D2＋E2－4F＞0时才表示圆.
【想一想】
圆上的点组成的点集和它的方程的解集之间有怎样的关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.（ ）
（2）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.（ ）
（3）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.（ ）
（4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（ ）
2.圆x2＋y2－2x－6y＝0的圆心坐标为（ ）
A.（－1，－3） B.（－1，3）
C.（1，3） D.（1，－3）
3.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知方程x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示半径为1的圆，求实数k的值.
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】 （链接教科书第61页练习4题）判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径.
（1）x2＋y2－4y＝0；
（2）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
（3）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.
通性通法
二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
（1）计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形；
（2）将该方程配方为（x＋）2＋（y＋）2＝，根据圆的标准方程来判断.
【跟踪训练】
1.（2024·常州月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（ ）
A.（－∞，1） B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
2.（多选）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（ ）
A.m＝－1 B.m＝1
C.圆心为（－1，－2） D.圆心为（1，－2）
题型二 求圆的一般方程
【例2】 （链接教科书第58页例3）求满足下列条件的圆的方程：
（1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点；
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
通性通法
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
【跟踪训练】
（2024·南通月考）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆C的一般方程.
题型三 与圆有关的对称问题
【例3】 （链接教科书第62页习题11题）（1）与圆C：x2＋y2－6x＋12y－36＝0关于点A（－1，2）对称的圆的方程为（ ）
A.（x＋5）2＋（y－10）2＝81
B.（x－5）2＋（y＋10）2＝81
C.（x＋5）2＋（y＋10）2＝81
D.（x－5）2＋（y－10）2＝81
（2）已知圆x2＋y2＋ax＋by＋1＝0关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则a＋b＝ .
通性通法
与圆有关的对称问题的求解思路
（1）两圆关于一点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点；
（2）两圆关于直线对称：①求已知圆关于某直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【跟踪训练】
圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是 .
1.圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为（ ）
A.r＝1，（－2，1） B.r＝2，（－2，1）
C.r＝2，（2，－1） D.r＝1，（2，－1）
2.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，＋∞）
C.（－1，0） D.（－1，1）
3.若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝ .
4.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点（5，2）和（3，－2）的圆的一般方程.
第2课时 圆的一般方程
【基础知识·重落实】
知识点
1.D2＋E2－4F＞0 2.
想一想
提示：圆上的任一点的坐标都是其方程的解，反过来，以方程的任一解为坐标的点都在圆上.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.C 圆x2＋y2－2x－6y＝0即（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心为（1，3），故选C.
3.A 方程表示圆 1＋1－4k＞0 k＜.
4.解：由题设知（x－1）2＋y2＝－（1＋k）表示半径为1的圆，所以－（1＋k）＝1 k＝－2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）方程可变形为x2＋（y－2）2＝4，表示圆心坐标是（0，2），半径是2的圆.
（2）方程可变形为（x－2a）2＋（y－a）2＝a2.
当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a，a），半径是｜a｜的圆.
（3）方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0，
法一 由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×＝－1＜0，不表示任何图形.
法二 方程可变形为（x－）2＋（y＋）2＝－，故方程不表示任何图形.
跟踪训练
1.D 法一 因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.
法二 方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D.
2.BD 根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D.
【例2】 解：（1）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.
（2）法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－，－）.
因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，
所以解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
法二 因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点，
所以圆心在直线x＝1上.
又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）.
所以圆的半径为＝，
所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5.
跟踪训练
解：由题意得圆心C（－，－），
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半径r＝＝，
所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0.
所以所以圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
【例3】 （1）A （2）－4 解析：（1）将圆C的一般方程化为标准方程为（x－3）2＋（y＋6）2＝81，即圆心为C（3，－6），半径为9.设圆C'与圆C关于点A（－1，2）对称，则点C'与点C关于点A（－1，2）对称.即C'（－5，10），半径不变.故圆C'的方程为（x＋5）2＋（y－10）2＝81.
（2）圆x2＋y2＝1的圆心是坐标原点O（0，0），半径为1，易得点O（0，0）关于直线x＋y＝1对称的点的坐标为（1，1），所以圆x2＋y2＝1关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，化为一般式为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，所以a＝b＝－2，即a＋b＝－4.
跟踪训练
（－∞，4） 解析：由题意可得圆的方程为（x－1）2＋（y＋3）2＝10－5a，故圆心为（1，－3），半径为，由题意可得，圆心（1，－3）在直线y＝x＋2b上，∴－3＝1＋2b，且10－5a＞0，∴b＝－2，a＜2，∴a－b＜4.
随堂检测
1.D x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，（2，－1）.
2.A 方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆.
3.－2 解析：由条件可知，直线2x－y＋3＝0经过圆的圆心（k，－1），则2k－（－1）＋3＝0，解得k＝－2.
4.解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为.
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴2×－－3＝0. ①
又∵点（5，2）和（3，－2）在圆上，
∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0. ②
32＋（－2）2＋3D－2E＋F＝0. ③
解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
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第2课时 圆的一般方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在上一节，我们已经知道圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）
2＝ r2.
【问题】 如果把圆的标准方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2中的括
号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程
都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
1. 概念：方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ ）叫
作圆的一般方程.
2. 圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）表示的
圆的圆心为 ，半径长为 .
提醒 圆的一般方程具有的特点：① x2， y2项的系数均为1；②没
有 xy 项；③只有 D2＋ E2－4 F ＞0时才表示圆.
D2＋ E2－4 F ＞0
【想一想】
圆上的点组成的点集和它的方程的解集之间有怎样的关系？
提示：圆上的任一点的坐标都是其方程的解，反过来，以方程的任一
解为坐标的点都在圆上.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程. （ √ ）
（2）方程 x2＋ y2＋ x ＋1＝0表示一个圆. （ × ）
（3）二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0一定是某个圆的方程.
（ × ）
（4）若方程 x2＋ y2－2 x ＋ Ey ＋1＝0表示圆，则 E ≠0. （ √ ）
√
×
×
√
2. 圆 x2＋ y2－2 x －6 y ＝0的圆心坐标为（ ）
A. （－1，－3） B. （－1，3）
C. （1，3） D. （1，－3）
解析： 圆 x2＋ y2－2 x －6 y ＝0即（ x －1）2＋（ y －3）2＝10，
则圆心为（1，3），故选C.
3. 方程 x2＋ y2－ x ＋ y ＋ k ＝0表示一个圆，则实数 k 的取值范围为
（ ）
解析： 方程表示圆 1＋1－4 k ＞0 k ＜ .
4. 已知方程 x2＋ y2－2 x ＋2＋ k ＝0表示半径为1的圆，求实数 k 的值.
解：由题设知（ x －1）2＋ y2＝－（1＋ k ）表示半径为1的圆，所以
－（1＋ k ）＝1 k ＝－2.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】 （链接教科书第61页练习4题）判断下列二元二次方程是否
表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径.
（1） x2＋ y2－4 y ＝0；
解：方程可变形为 x2＋（ y －2）2＝4，表示圆心坐标是
（0，2），半径是2的圆.
（2） x2＋ y2－4 ax －2 ay ＋6 a2＝0；
解：方程可变形为（ x －2 a ）2＋（ y － a ）2＝ a2.
当 a ＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
当 a ≠0时，方程表示圆心坐标是（2 a ， a ），半径是｜ a ｜
的圆.
法一 由 D2＋ E2－4 F ＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何
图形.
法二 方程可变形为（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝－ ，故方程不表示任
何图形.
（3）4 x2＋4 y2－4 x ＋12 y ＋11＝0.
解：方程可变形为 x2＋ y2－ x ＋3 y ＋ ＝0，
通性通法
二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的形式，但
形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆
可以有以下两种方法：
（1）计算 D2＋ E2－4 F ，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表
示一个点；若其值为负，则不表示任何图形；
（2）将该方程配方为（ x ＋ ）2＋（ y ＋ ）2＝ ，根据圆
的标准方程来判断.
【跟踪训练】
1. （2024·常州月考）若方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0表示的图形是圆，则
实数 m 的取值范围为（ ）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞）
解析： 法一 因为方程表示的图形是圆，所以4＋4 m ＞0，解
得 m ＞－1.故实数 m 的取值范围为（－1，＋∞）.
法二 方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0可化为 x2＋（ y －1）2＝ m ＋1，因为方
程表示的图形是圆，所以 m ＋1＞0，解得 m ＞－1.故实数 m 的取值范
围为（－1，＋∞）.故选D.
2. （多选）已知圆 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0的直径为4，则
（ ）
A. m ＝－1 B. m ＝1
C. 圆心为（－1，－2） D. 圆心为（1，－2）
解析： 根据题意，圆 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0，即（ x －
1）2＋（ y ＋2）2＝5－ m ，其圆心为（1，－2），半径为
，若其直径为4，则 ＝2，解得 m ＝1.故选B、D.
题型二 求圆的一般方程
【例2】 （链接教科书第58页例3）求满足下列条件的圆的方程：
（1）过点 A （－4，0）， B （0，2）和原点；
解：设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，由已知条件
得解得
故所求圆的方程为 x2＋ y2＋4 x －2 y ＝0.
（2）圆心在直线 y ＝ x 上，与 x 轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
解：法一 设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，则圆
心为（－ ，－ ）.
因为圆心在直线 y ＝ x 上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，
所以解得
所以圆的方程为 x2＋ y2－2 x －2 y －3＝0.
法二 因为圆与 x 轴相交于（－1，0），（3，0）两点，
所以圆心在直线 x ＝1上.
又圆心在直线 y ＝ x 上，所以圆心坐标为（1，1）.
所以圆的半径为 ＝ ，
所以圆的方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝5.
通性通法
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0；
（2）根据已知条件，建立关于 D ， E ， F 的方程组；
（3）解此方程组，求出 D ， E ， F 的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般
方程.
【跟踪训练】
（2024·南通月考）已知圆 C ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋3＝0的圆心在直线 x
＋ y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆 C 的一般方程.
解：由题意得圆心 C （－ ，－ ），
因为圆心在直线 x ＋ y －1＝0上，
所以－ － －1＝0，即 D ＋ E ＝－2， ①
又半径 r ＝ ＝ ，
所以 D2＋ E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－ ＜0，即 D ＞0.
所以所以圆 C 的一般方程为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0.
题型三 与圆有关的对称问题
【例3】 （链接教科书第62页习题11题）（1）与圆 C ： x2＋ y2－6 x
＋12 y －36＝0关于点 A （－1，2）对称的圆的方程为（ A ）
A. （ x ＋5）2＋（ y －10）2＝81
B. （ x －5）2＋（ y ＋10）2＝81
C. （ x ＋5）2＋（ y ＋10）2＝81
D. （ x －5）2＋（ y －10）2＝81
解析：将圆 C 的一般方程化为标准方程为（ x －3）2＋（ y ＋6）2＝
81，即圆心为 C （3，－6），半径为9.设圆C'与圆 C 关于点 A （－1，
2）对称，则点C'与点 C 关于点 A （－1，2）对称.即C'（－5，10），
半径不变.故圆C'的方程为（ x ＋5）2＋（ y －10）2＝81.
（2）已知圆 x2＋ y2＋ ax ＋ by ＋1＝0关于直线 x ＋ y ＝1对称的圆的方
程为 x2＋ y2＝1，则 a ＋ b ＝ .
解析：圆 x2＋ y2＝1的圆心是坐标原点 O （0，0），半径为1，易
得点 O （0，0）关于直线 x ＋ y ＝1对称的点的坐标为（1，1），
所以圆 x2＋ y2＝1关于直线 x ＋ y ＝1对称的圆的方程为（ x －1）2
＋（ y －1）2＝1，化为一般式为 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0，所以 a
＝ b ＝－2，即 a ＋ b ＝－4.
－4
通性通法
与圆有关的对称问题的求解思路
（1）两圆关于一点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定
所求圆的圆心位置；②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连
线的中点；
（2）两圆关于直线对称：①求已知圆关于某直线对称的圆，只需确
定所求圆的圆心位置；②两圆关于直线对称，则此直线为两圆
圆心连线的垂直平分线.
【跟踪训练】
圆 x2＋ y2－2 x ＋6 y ＋5 a ＝0关于直线 y ＝ x ＋2 b 成轴对称图形，则 a －
b 的取值范围是 .
解析：由题意可得圆的方程为（ x －1）2＋（ y ＋3）2＝10－5 a ，故圆
心为（1，－3），半径为 ，由题意可得，圆心（1，－3）在
直线 y ＝ x ＋2 b 上，∴－3＝1＋2 b ，且10－5 a ＞0，∴ b ＝－2， a ＜
2，∴ a － b ＜4.
（－∞，4）
1. 圆 x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋4＝0的半径和圆心坐标分别为（ ）
A. r ＝1，（－2，1） B. r ＝2，（－2，1）
C. r ＝2，（2，－1） D. r ＝1，（2，－1）
解析： x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋4＝0可化为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝
1，所以半径和圆心分别为 r ＝1，（2，－1）.
2. 已知方程 x2＋ y2－2 x ＋2 k ＋3＝0表示圆，则 k 的取值范围是
（ ）
A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （－1，0） D. （－1，1）
解析： 方程可化为（ x －1）2＋ y2＝－2 k －2，只有－2 k －2＞
0，即 k ＜－1时才能表示圆.
3. 若圆 x2＋ y2－2 kx ＋2 y －4＝0关于直线2 x － y ＋3＝0对称，则实数 k
＝ .
解析：由条件可知，直线2 x － y ＋3＝0经过圆的圆心（ k ，－1），
则2 k －（－1）＋3＝0，解得 k ＝－2.
－2
4. 求圆心在直线2 x － y －3＝0上，且过点（5，2）和（3，－2）的圆
的一般方程.
解：设所求圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
则圆心为 .
∵圆心在直线2 x － y －3＝0上，
∴2× － －3＝0. ①
又∵点（5，2）和（3，－2）在圆上，
∴52＋22＋5 D ＋2 E ＋ F ＝0. ②
32＋（－2）2＋3 D －2 E ＋ F ＝0. ③
解①②③组成的方程组，得 D ＝－4， E ＝－2， F ＝－5.
∴所求圆的一般方程为 x2＋ y2－4 x －2 y －5＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 圆的方程为（ x －1）（ x ＋2）＋（ y －2）（ y ＋4）＝0，则圆心
坐标为（ ）
A. （1，－1）
C. （－1，2）
解析： 将圆的方程化为标准方程，得 ＋（ y ＋1）2＝
，所以圆心坐标为 .
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2. 已知圆 C 的圆心坐标为（2，－3），且点（－1，－1）在圆上，则
圆 C 的方程为（ ）
A. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋8＝0
B. x2＋ y2－4 x ＋6 y －8＝0
C. x2＋ y2－4 x －6 y ＝0
D. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0
解析： 易知圆 C 的半径为 ，所以圆 C 的标准方程为（ x －
2）2＋（ y ＋3）2＝13，展开得一般方程为 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0.
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3. （2024·镇江月考）若 a ∈{－2，0，1， }，则方程 x2＋ y2＋ ax ＋2
ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示的圆的个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 若方程 x2＋ y2＋ ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆，则 a2
＋（2 a ）2－4（2 a2＋ a －1）＞0，即3 a2＋4 a －4＜0，解得－2＜ a
＜ .∴当 a ∈{－2，0，1， }时，只有 a ＝0时，方程 x2＋ y2＋ ax
＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆.故选B.
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4. 若当方程 x2＋ y2＋ kx ＋2 y ＋ k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则
直线 y ＝（ k －1） x ＋2的倾斜角为（ ）
解析： x2＋ y2＋ kx ＋2 y ＋ k2＝0化为标准方程为（ x ＋ ）2＋
（ y ＋1）2＝1－ k2，所以当 k ＝0时圆的半径最大，面积也最大，
此时直线的斜率为－1，故倾斜角为 .
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5. （多选）下列关于圆 x2＋ y2－4 x －1＝0的说法正确的是（ ）
A. 关于点（2，0）对称
B. 关于直线 y ＝0对称
C. 关于直线 x ＋3 y －2＝0对称
D. 关于直线 x － y ＋2＝0对称
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解析： x2＋ y2－4 x －1＝0化为标准形式为（ x －2）2＋ y2＝
5，所以圆心的坐标为（2，0）.对于A，圆是关于圆心对称的中心
对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；对于B，圆是
关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 y ＝0过圆心，所以本
选项正确；对于C，直线 x ＋3 y －2＝0过圆心，所以本选项正确；
对于D，直线 x － y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、
B、C.
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6. （多选）（2024·淮安月考）已知圆心为 C 的圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋
11＝0与点 A （0，－5），则（ ）
A. 圆 C 的半径为2
B. 点 A 在圆 C 外
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解析： 依题意，圆 C ：（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2，则圆心
C （2，－3），半径 r ＝ ，A不正确；因点 A （0，－5），则 AC
＝2 ＞ r ，点 A 在圆 C 外，B正确；因点 A 在圆 C 外，在圆 C 上任
取点 P ，则 PA ≤ PC ＋ CA ＝ r ＋ CA ＝3 ，当且仅当点 P ， C ， A
共线，且 P 在线段 AC 延长线上时取“＝”，C正确；在圆 C 上任取
点 M ，则 MA ≥ CA － MC ＝ CA － r ＝ ，当且仅当点 C ， M ， A
共线，且 M 在线段 CA 上时取“＝”，D正确.故选B、C、D.
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7. 已知 a ∈R，方程 a2 x2＋（ a ＋2） y2＋4 x ＋8 y ＋5 a ＝0表示圆，则
圆心坐标是 ，半径是 .
解析：∵方程 a2 x2＋（ a ＋2） y2＋4 x ＋8 y ＋5 a ＝0表示圆，∴ a2＝
a ＋2≠0，解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a ＝－1时，方程化为 x2＋ y2＋4 x
＋8 y －5＝0，配方得（ x ＋2）2＋（ y ＋4）2＝25，所得圆的圆心
坐标为（－2，－4），半径为5；当 a ＝2时，方程化为 x2＋ y2＋ x
＋2 y ＋ ＝0，此时 D2＋ E2－4 F ＝1＋4－4× ＝－5＜0，方程不表
示圆.
（－2，－4）
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8. 已知圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋ a ＝0关于直线 y ＝2 x ＋ b 成轴对称图形，
则 b ＝ ， a 的取值范围是 .
解析：由题意知，直线 y ＝2 x ＋ b 过圆心，而圆心坐标为（－1，
2），代入直线方程，得 b ＝4，圆的方程化为标准方程为（ x ＋1）
2＋（ y －2）2＝5－ a ，所以 a ＜5.
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（－∞，5）
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9. 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M （0， ）在圆 C 上，且
圆心到直线2 x － y ＝0的距离为 ，则圆 C 的一般方程为
.
解析：设圆 C 的圆心坐标为（ a ，0）（ a ＞0），由题意可得
＝ ，解得 a ＝2（ a ＝－2舍去），所以圆 C 的半径为
＝3，所以圆 C 的一般方程为 x2＋ y2－4 x －5＝0.
x2＋ y2－
4 x －5＝0
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10. 已知方程 x2＋ y2－2（ t ＋3） x ＋2（1－4 t2） y ＋16 t4＋9＝0表示
一个圆.
（1）求 t 的取值范围；
解：圆的方程可化为[ x －（ t ＋3）]2＋[ y ＋（1－4
t2）]2＝1＋6 t －7 t2.
由1＋6 t －7 t2＞0，即7 t2－6 t －1＜0，得－ ＜ t ＜1.
故 t 的取值范围是（－ ，1）.
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（2）求该圆的圆心坐标和半径；
解：由（1）知，圆的圆心坐标为（ t ＋3，4 t2－1），
半径为 .
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（3）求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程.
解：r ＝ ＝ ≤ .
所以 r 的最大值为 ，此时 t ＝ ，
故此时圆的标准方程为（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝ .
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11. “ m ＞ ”是“方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圆”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 法一 方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圆需满
足（－2 m ）2－4（－ m2－5 m ＋3）＞0，解得 m ＜－3或 m ＞ ，
所以“ m ＞ ”是“方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圆”
的充分不必要条件，故选A.
法二 将 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0化为（ x － m ）2＋ y2＝2 m2＋
5 m －3，令2 m2＋5 m －3＞0，得 m ＜－3或 m ＞ ，所以“ m ＞ ”是
“方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圆”的充分不必要条件，故
选A.
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12. 已知圆 C ： x2＋ y2＋2 x －2 my －4－4 m ＝0（ m ∈R），则当圆 C
的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
B. 6
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解析： 由 x2＋ y2＋2 x －2 my －4－4 m ＝0得（ x ＋1）2＋（ y －
m ）2＝ m2＋4 m ＋5，因此圆心 C （－1， m ），半径 r ＝
＝ ≥1，当且仅当 m ＝－2时，半
径最小，即圆 C 的面积也最小.此时圆心 C （－1，－2），半径 r
＝1，则圆心到坐标原点的距离 d ＝ ＝ ＞
r ，即原点在圆 C 外.则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 d
＋ r ＝ ＋1.故选D.
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13. 若曲线 C ： x2＋ y2－2 ax ＋4 ay ＋5 a2－16＝0上所有的点均在第二
象限内，则实数 a 的取值范围是 .
解析：曲线 C ： x2＋ y2－2 ax ＋4 ay ＋5 a2－16＝0，即（ x － a ）2
＋（ y ＋2 a ）2＝16表示圆的方程，可得圆心 C （ a ，－2 a ），半
径为4.由题意可得即解得 a ＜
－4，则实数 a 的取值范围是（－∞，－4）.
（－∞，－4）
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14. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝6， CD ＝3，且 AB ∥ CD ， AD
＝ BC ， AB 与 CD 间的距离为3.求四边形 ABCD 的外接圆的方程，
并求这个圆的圆心坐标和半径.
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解：法一 由题意可知 A （－3，0）， B （3，0）， C .
设所求圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
则解得故所求圆的方程为
x2＋ y2－ y －9＝0，其圆心坐标为 ，半径长为
＝ .
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法二 由题意，可得点 B 的坐标是（3，0），点 C 的坐标是 .
线段 BC 的中点坐标是 ，直线 BC 的斜率 kBC ＝－2.
线段 BC 的垂直平分线的方程是 y － ＝ ，与方程 x ＝0联立，
解得 y ＝ .
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所以四边形 ABCD 的外接圆的方程是 x2＋ ＝ ，
这个圆的圆心坐标是 ，半径长是 .
所以四边形 ABCD 外接圆的圆心 E 的坐标是 .
半径长 EB ＝ ＝ .
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15. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b （ a ， b
∈R， b ＞0）的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于 C 点，经
过 A ， B ， C 三个点的圆记为☉ M .
（1）当 a ＝4， b ＝2时，求△ ABC 的面积；
解：当 a ＝4， b ＝2时， f （ x ）＝ x2＋4 x ＋2，令 f
（ x ）＝ x2＋4 x ＋2＝0，解得 x ＝－2± ，不妨令 A （－2
＋ ，0）， B （－2－ ，0），则 AB ＝2 .
令 x ＝0，得 C （0，2）.
所以△ ABC 的面积为 S ＝ ×2 ×2＝2 .
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（2）求☉ M 的方程；
解：设所求圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
由题意得 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b （ a ， b ∈R， b ＞0）的
图象与两坐标轴的三个交点即为圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F
＝0和坐标轴的交点，
令 y ＝0得， x2＋ Dx ＋ F ＝0，由题意可得，这与 x2＋ ax
＋ b ＝0是同一个方程，故 D ＝ a ， F ＝ b .
令 x ＝0得， y2＋ Ey ＋ F ＝0，由题意可得，此方程有一
个根为 b ，代入得 E ＝－ b －1，
所以☉ M 的方程为 x2＋ y2＋ ax －（ b ＋1） y ＋ b ＝0.
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（3）问☉ M 是否经过定点（其坐标与 a ， b 的值无关）？请证明
你的结论.
解：把☉ M 的方程改写为 x2＋ y2－ y ＋ ax ＋ b （1－ y ）
＝0，令解得
故☉ M 过定点（0，1）.
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谢 谢 观 看！
