第3课时 与圆有关的轨迹问题
1.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（ ）
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
2.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），则直角顶点C的轨迹方程为（ ）
A.（x－1）2＋y2＝4
B.x2＋（y－1）2＝4
C.（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）
D.x2＋（y－1）2＝4（x≠3，且x≠－1）
3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ（λ＞0，λ≠1）的点M的轨迹是圆.若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为（ ）
A.π B.2π
C.3π D.4π
4.已知线段AB的端点B的坐标为（4，3），端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A.4π B.π
C.π D.
5.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），则底边另一个端点C的轨迹方程是（ ）
A.（x－4）2＋（y－2）2＝10
B.（x＋4）2＋（y－2）2＝10
C.（x－4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5）
D.（x＋4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5）
6.（多选）如果点P的坐标（x，y）满足以下方程，则点P的轨迹是圆的有（ ）
A.x2＋y2＝0
B.x2＋y2－2x＋4y＋6＝0
C.x2＋y2＋2ax－b2＝0（ab≠0）
D.（θ为参数，r≠0）
7.（2024·连云港月考）已知圆O：x2＋y2＝4及一点P（－1，0），Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为 .
8.圆x2＋y2＝8内有一点P（2，－1），AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为 .
9.已知平面上到两直线y＝x与y＝kx的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数k＝ .
10.在定圆x2＋y2＝R2内，作长度为定值2l（l＜R）的弦，求弦中点的轨迹方程.
11.方程｜x｜－1＝所表示的曲线是（ ）
A.一个圆 B.两个圆
C.半个圆 D.两个半圆
12.（多选）已知A，B是平面内两个定点，且AB＝6，则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是（ ）
A.PA＋PB＝6 B.·＝－1
C.PA＝2PB D.PA2＋PB2＝18
13.存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中A（－2，0），B（2，0），动点P满足PA＝λPB（λ＞0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝ ；若λ＝2，则点P的轨迹方程为 .
14.已知点M（－2，0），N（1，0），点P（x，y）满足PM＝2PN.
（1）求点P（x，y）的轨迹方程；
（2）求PM＋PN的最大值.
15.已知点M在圆x2＋y2＋8x＝0上运动，N（4，0），A（1，6），点P为线段MN中点.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知B（－3，－3），C（3，－3），求PA2＋PB2＋PC2的最大值.
第3课时 与圆有关的轨迹问题
1.D 由圆C的方程知，圆心C的坐标为（a，b），半径r＝1，因为A（1，0）为圆C上一点，所以AC＝＝1，即（a－1）2＋b2＝1，所以圆心C的轨迹是以点A为圆心，以1为半径的圆.
2.C 设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）.由直角三角形的性质，知CD＝AB＝2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）.
3.D 以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（图略），则可取B（3，0）.设M（x，y），依题意有＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即（x－4）2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，该圆的面积为4π.
4.C 设线段AB的中点M（x，y），A（x0，y0），则即因为端点A在圆x2＋y2＝4上运动，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y－3）2＝4，整理得：（x－2）2＋（y－）2＝1，所以点M的轨迹是圆心为（2，），半径为r＝1的圆.所以该圆的面积为S＝πr2＝π.故选C.
5.C 设C（x，y），由AB＝＝，得（x－4）2＋（y－2）2＝10，又点A，B，C组成三角形，所以点C不能在直线AB上，易得直线AB的方程为y＝－3x＋14，若C点在直线AB上，则C（x，－3x＋14），由AC＝＝，得x＝3或x＝5，故x≠3且x≠5，故选C.
6.CD 对A，由圆的标准方程可知，r2≠0，所以方程x2＋y2＝0不表示圆，A错误；对B，由x2＋y2－2x＋4y＋6＝0，得（x－1）2＋（y＋2）2＝－1＜0，可知该方程不表示圆，B错误；对C，由x2＋y2＋2ax－b2＝0，得（x＋a）2＋y2＝a2＋b2，因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，所以a2＋b2＞0，由圆的标准方程可知，该方程表示圆心为（－a，0），半径为的圆，C正确；对D，由（θ为参数，r≠0），得（x－a）2＋（y－b）2＝r2cos2θ＋r2sin2θ＝r2，因为r≠0，所以r2＞0，该方程表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆，D正确.故选C、D.
7.（x＋）2＋y2＝1 解析：设M（x，y），则Q（2x＋1，2y），因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以（2x＋1）2＋4y2＝4，即（x＋）2＋y2＝1，所以轨迹C的方程是（x＋）2＋y2＝1.
8.x2＋y2－2x＋y＝0 解析：设AB的中点为Q（x，y），若AB的斜率不存在，则Q（2，0），若AB的斜率为0，则Q（0，－1），若AB的斜率存在且不为0，则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB，所以kOQ·k＝－1，即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0，点（2，0），（0，－1）也满足，所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0.
9.－1 解析：设此点的坐标为（x，y），则依题意有（）2＋（）2＝1，化简得（＋）x2＋（＋）·y2－（＋1）xy＝1，此方程要表示圆，则＋1＝0，且＝，解得k＝－1.
10.解：设坐标原点为O，长度为定值2l（l＜R）的弦的中点为A，A为动点，
则OA垂直于长度为定值2l（l＜R）的弦，故OA＝为定值，
故弦中点的轨迹是以O为圆心，以OA＝为半径的圆，
故弦中点的轨迹方程为x2＋y2＝R2－l2.
11.D 由题意，得
即
或故原方程表示两个半圆.
12.BC PA＋PB＝6＝AB，显然P的轨迹是线段AB，故A错误；以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A（－3，0），B（3，0），设P（x，y），则＝（－3－x，－y），＝（3－x，－y），已知·＝－1，则x2＋y2＝8，所以点P的轨迹是圆，故B正确；由两点间距离公式得PA＝，PB＝，代入PA＝2PB中化简得x2－10x＋y2＋9＝0，即（x－5）2＋y2＝16，故P的轨迹是圆，故C正确；代入PA2＋PB2＝18中化简得x2＋y2＝0，显然P的轨迹是一个点，故D错误.故选B、C.
13.1 x2＋y2－x＋4＝0
解析：设P（x，y），由PA＝λPB（λ＞0），可得＝λ，两边平方，整理得点P的轨迹方程为（1－λ2）x2＋（1－λ2）y2＋4（1＋λ2）x＋4－4λ2＝0.若点P的轨迹为一条直线，则解得λ＝1或λ＝－1（舍去）.若λ＝2，则点P的轨迹方程为3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－x＋4＝0.
14.解：（1）由PM＝2PN可知，
＝2，化简得（x－2）2＋y2＝4，
即点P（x，y）的轨迹为以C（2，0）为圆心，半径为2的圆，方程为（x－2）2＋y2＝4.
（2）由题意可知，PN＝PM，
所以PM＋PN＝PM，
点M（－2，0）在圆外，所以PM的最大值为MC＋r＝4＋2＝6，
所以PM＋PN的最大值为×6＝9.
15.解：（1）设点P（x，y），M（x0，y0），因为P为MN中点，
所以于是有
因为点M在圆x2＋y2＋8x＝0上运动，
所以＋＋8x0＝0，
代入得（2x－4）2＋（2y）2＋8（2x－4）＝0，
化简得x2＋y2＝4，
所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
（2）PA2＋PB2＋PC2＝（x－1）2＋（y－6）2＋（x＋3）2＋（y＋3）2＋（x－3）2＋（y＋3）2＝3x2＋3y2－2x＋73＝85－2x，
因为－2≤x≤2，所以81≤85－2x≤89，
所以PA2＋PB2＋PC2的最大值为89.
2 / 2第3课时 与圆有关的轨迹问题
题型一 定义法求轨迹方程
【例1】 由圆x2＋y2＝9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹.
通性通法
定义法求轨迹方程的策略
（1）当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程；
（2）注意轨迹与轨迹方程的区别.
【跟踪训练】
（2024·连云港月考）线段AB长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A.2 B.4
C.2π D.4π
题型二 直接法求轨迹方程
【例2】 点B（1，1）是圆x2＋y2＝4内一点，P，Q为圆上的动点.若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
通性通法
直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（x，y），然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简.主要有以下两种常见类型：
（1）题目给出等量关系，求轨迹方程.可直接代入，得出方程；
（2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.
提醒 求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.
【跟踪训练】
已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则动点M的轨迹方程为 .
题型三 代入法求轨迹方程
【例3】 已知圆C：（x－3）2＋y2＝9，D是圆C上的动点，点E（2，4），若动点M满足＝2，则点M的轨迹方程为（ ）
A.2x＋y＋3＝0
B.xy＝9
C.（x－1）2＋（y－8）2＝9
D.（x－8）2＋（y－1）2＝9
通性通法
代入法求轨迹方程的步骤
（1）设动点P（x，y），相关动点M（x0，y0）；
（2）利用条件求出两动点坐标之间的关系
（3）代入相关动点的轨迹方程；
（4）化简、整理，得出所求轨迹方程.
【跟踪训练】
已知圆C：x2＋（y－1）2＝1，过原点作圆C的弦OP，则OP的中点Q的轨迹方程为 .
1.已知点A的坐标是（－1，0），点M满足MA＝2，那么点M的轨迹方程是（ ）
A.x2＋y2＋2x－3＝0
B.x2＋y2－2x－3＝0
C.x2＋y2＋2y－3＝0
D.x2＋y2－2y－3＝0
2.点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1
B.（x－2）2＋（y＋1）2＝4
C.（x＋4）2＋（y－2）2＝4
D.（x＋2）2＋（y－1）2＝1
3.已知动点M到点（8，0）的距离等于点M到点（2，0）的距离的2倍，则点M的轨迹方程是 .
第3课时 与圆有关的轨迹问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：如图，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴点M的轨迹是以OP为直径的圆，圆心为（，6），半径为＝.∴圆的方程为（x－）2＋（y－6）2＝（）2，化简得x2＋y2－5x－12y＝0.故点M的轨迹为圆x2＋y2－5x－12y＝0在圆x2＋y2＝9内的部分.
跟踪训练
D ∵OA⊥OB，设P为线段AB中点，∴OP＝AB＝2，设P（x，y），则＝2，即x2＋y2＝4.则线段AB中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆，故线段AB中点的轨迹所围成图形的面积为4π.故选D.
【例2】 解：设线段PQ的中点N（x，y），
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON（图略），则ON⊥PQ，
∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，
整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
∴线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
跟踪训练
x2＋y2＋2x－3＝0 解析：设动点M（x，y），∵动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，∴＝，化简得动点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x－3＝0.
【例3】 C 设M（x，y），D（a，b），由＝2，得所以又因为点D在圆C：（x－3）2＋y2＝9上，所以（4－x－3）2＋（8－y）2＝9，即（x－1）2＋（y－8）2＝9，故选C.
跟踪训练
x2＋（y－）2＝（y≠0）
解析：设Q（x，y）（y≠0），则P（2x，2y），代入圆C：x2＋（y－1）2＝1，可得（2x）2＋（2y－1）2＝1，即x2＋（y－）2＝，∴点Q的轨迹方程为x2＋＝（y≠0）.
随堂检测
1.A 由A（－1，0），点M满足MA＝2，由圆的定义知，点M的轨迹为圆，其圆心为A（－1，0），半径r＝2，故其方程为（x＋1）2＋（y－0）2＝4，即x2＋y2＋2x－3＝0，故选A.
2.A 设圆上任一点为Q（x0，y0），PQ的中点为M（x，y），则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，化简得（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
3.x2＋y2＝16 解析：设M（x，y），则＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
2 / 2(共48张PPT)
第3课时
与圆有关的轨迹问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 定义法求轨迹方程
【例1】 由圆 x2＋ y2＝9外一点 P （5，12）引圆的割线交圆于 A ， B
两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹.
解：如图，∵点 M 是 AB 的中点，∴ OM ⊥ AB ，∴点 M
的轨迹是以 OP 为直径的圆，圆心为（ ，6），半径为
＝ .∴圆的方程为（ x － ）2＋（ y －6）2＝
（ ）2，化简得 x2＋ y2－5 x －12 y ＝0.故点 M 的轨迹
为圆 x2＋ y2－5 x －12 y ＝0在圆 x2＋ y2＝9内的部分.
通性通法
定义法求轨迹方程的策略
（1）当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆
的方程；
（2）注意轨迹与轨迹方程的区别.
【跟踪训练】
（2024·连云港月考）线段 AB 长度为4，其两个端点 A 和 B 分别在 x 轴
和 y 轴上滑动，则线段 AB 中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 2 B. 4
C. 2π D. 4π
解析： ∵ OA ⊥ OB ，设 P 为线段 AB 中点，∴ OP ＝ AB ＝2，设 P
（ x ， y ），则 ＝2，即 x2＋ y2＝4.则线段 AB 中点的轨迹是以
坐标原点为圆心，2为半径的圆，故线段 AB 中点的轨迹所围成图形的
面积为4π.故选D.
题型二 直接法求轨迹方程
【例2】 点 B （1，1）是圆 x2＋ y2＝4内一点， P ， Q 为圆上的动点.
若∠ PBQ ＝90°，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程.
解：设线段 PQ 的中点 N （ x ， y ），
在Rt△ PBQ 中， PN ＝ BN .
设 O 为坐标原点，连接 ON （图略），则 ON ⊥ PQ ，
∴ OP2＝ ON2＋ PN2＝ ON2＋ BN2，
∴ x2＋ y2＋（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，
整理得 x2＋ y2－ x － y －1＝0，
∴线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x2＋ y2－ x － y －1＝0.
通性通法
直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（ x ， y ），然后根
据题目中的等量关系列出 x ， y 之间的关系并化简.主要有以下两
种常见类型：
（1）题目给出等量关系，求轨迹方程.可直接代入，得出方程；
（2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等
量关系，得出方程.
提醒 求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.
【跟踪训练】
已知动点 M 与两个定点 O （0，0）， A （3，0）的距离之比为 ，则
动点 M 的轨迹方程为 .
解析：设动点 M （ x ， y ），∵动点 M 与两个定点 O （0，0）， A
（3，0）的距离之比为 ，∴ ＝ ，化简得动点 M 的轨
迹方程为 x2＋ y2＋2 x －3＝0.
x2＋ y2＋2 x －3＝0
题型三 代入法求轨迹方程
【例3】 已知圆 C ：（ x －3）2＋ y2＝9， D 是圆 C 上的动点，点 E
（2，4），若动点 M 满足 ＝2 ，则点 M 的轨迹方程为（ ）
A. 2 x ＋ y ＋3＝0
B. xy ＝9
C. （ x －1）2＋（ y －8）2＝9
D. （ x －8）2＋（ y －1）2＝9
解析： 设 M （ x ， y ）， D （ a ， b ），由 ＝2 ，得
所以又因为点 D 在圆 C ：（ x －3）2＋
y2＝9上，所以（4－ x －3）2＋（8－ y ）2＝9，即（ x －1）2＋（ y －
8）2＝9，故选C.
通性通法
代入法求轨迹方程的步骤
（1）设动点 P （ x ， y ），相关动点 M （ x0， y0）；
（2）利用条件求出两动点坐标之间的关系
（3）代入相关动点的轨迹方程；
（4）化简、整理，得出所求轨迹方程.
解析：设 Q （ x ， y ）（ y ≠0），则 P （2 x ，2 y ），代入圆 C ： x2＋
（ y －1）2＝1，可得（2 x ）2＋（2 y －1）2＝1，即 x2＋（ y － ）2＝
，∴点 Q 的轨迹方程为 x2＋ ＝ （ y ≠0）.
x2＋（ y － ）2＝ （ y ≠0）
1. 已知点 A 的坐标是（－1，0），点 M 满足 MA ＝2，那么点 M 的轨
迹方程是（ ）
A. x2＋ y2＋2 x －3＝0 B. x2＋ y2－2 x －3＝0
C. x2＋ y2＋2 y －3＝0 D. x2＋ y2－2 y －3＝0
解析： 由 A （－1，0），点 M 满足 MA ＝2，由圆的定义知，点
M 的轨迹为圆，其圆心为 A （－1，0），半径 r ＝2，故其方程为
（ x ＋1）2＋（ y －0）2＝4，即 x2＋ y2＋2 x －3＝0，故选A.
2. 点 P （4，－2）与圆 x2＋ y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是
（ ）
A. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1
B. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝4
C. （ x ＋4）2＋（ y －2）2＝4
D. （ x ＋2）2＋（ y －1）2＝1
解析： 设圆上任一点为 Q （ x0， y0）， PQ 的中点为 M （ x ，
y ），则解得因为点 Q 在圆 x2＋ y2＝4
上，所以 ＋ ＝4，即（2 x －4）2＋（2 y ＋2）2＝4，化简得
（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1.
3. 已知动点 M 到点（8，0）的距离等于点 M 到点（2，0）的距离的2
倍，则点 M 的轨迹方程是 .
解析：设 M （ x ， y ），则 ＝2
，整理可得点 M 的轨迹方程为 x2＋ y2＝16.
x2＋ y2＝16
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝1过点 A （1，0），则圆 C 的
圆心的轨迹是（ ）
A. 点 B. 直线
C. 线段 D. 圆
解析： 由圆 C 的方程知，圆心 C 的坐标为（ a ， b ），半径 r ＝
1，因为 A （1，0）为圆 C 上一点，所以 AC ＝ ＝
1，即（ a －1）2＋ b2＝1，所以圆心 C 的轨迹是以点 A 为圆心，以1
为半径的圆.
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2. 已知Rt△ ABC 的斜边为 AB ，且 A （－1，0）， B （3，0），则直角
顶点 C 的轨迹方程为（ ）
A. （ x －1）2＋ y2＝4
B. x2＋（ y －1）2＝4
C. （ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）
D. x2＋（ y －1）2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）
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解析： 设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式，得 D （1，0）.由
直角三角形的性质，知 CD ＝ AB ＝2.由圆的定义，知动点 C 的轨
迹是以 D （1，0）为圆心，以2为半径长的圆（因为 A ， B ， C 三点
不共线，所以应除去与 x 轴的交点）.设 C （ x ， y ），则直角顶点
C 的轨迹方程为（ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）.
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3. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另
一种定义：平面内，到两个定点 A ， B 的距离之比是常数λ（λ＞
0，λ≠1）的点 M 的轨迹是圆.若两定点 A ， B 的距离为3，动点 M
满足 MA ＝2 MB ，则点 M 的轨迹围成区域的面积为（ ）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
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解析： 以点 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系（图
略），则可取 B （3，0）.设 M （ x ， y ），依题意有
＝2，化简整理得， x2＋ y2－8 x ＋12＝0，即（ x －
4）2＋ y2＝4，故点 M 的轨迹为圆，该圆的面积为4π.
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4. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为（4，3），端点 A 在圆 x2＋ y2＝4上
运动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 4π
C. π
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解析： 设线段 AB 的中点 M （ x ， y ）， A （ x0， y0），则
即因为端点 A 在圆 x2＋ y2＝4上运动，所
以 ＋ ＝4，即（2 x －4）2＋（2 y －3）2＝4，整理得：（ x －
2）2＋（ y － ）2＝1，所以点 M 的轨迹是圆心为（2， ），半径
为 r ＝1的圆.所以该圆的面积为 S ＝π r2＝π.故选C.
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5. 已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 对应的顶点是 A （4，2），底边的
一个端点是 B （3，5），则底边另一个端点 C 的轨迹方程是
（ ）
A. （ x －4）2＋（ y －2）2＝10
B. （ x ＋4）2＋（ y －2）2＝10
C. （ x －4）2＋（ y －2）2＝10（ x ≠3， x ≠5）
D. （ x ＋4）2＋（ y －2）2＝10（ x ≠3， x ≠5）
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解析： 设 C （ x ， y ），由 AB ＝ ＝
，得（ x －4）2＋（ y －2）2＝10，又点 A ， B ， C 组成三角
形，所以点 C 不能在直线 AB 上，易得直线 AB 的方程为 y ＝－3 x ＋
14，若 C 点在直线 AB 上，则 C （ x ，－3 x ＋14），由 AC ＝
＝ ，得 x ＝3或 x ＝5，故 x ≠3
且 x ≠5，故选C.
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6. （多选）如果点 P 的坐标（ x ， y ）满足以下方程，则点 P 的轨迹是
圆的有（ ）
A. x2＋ y2＝0
B. x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋6＝0
C. x2＋ y2＋2 ax － b2＝0（ ab ≠0）
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解析： 对A，由圆的标准方程可知， r2≠0，所以方程 x2＋ y2
＝0不表示圆，A错误；对B，由 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋6＝0，得（ x －
1）2＋（ y ＋2）2＝－1＜0，可知该方程不表示圆，B错误；对C，
由 x2＋ y2＋2 ax － b2＝0，得（ x ＋ a ）2＋ y2＝ a2＋ b2，因为 ab
≠0，所以 a ≠0， b ≠0，所以 a2＋ b2＞0，由圆的标准方程可知，
该方程表示圆心为（－ a ，0），半径为 的圆，C正确；对
D，由（θ为参数， r ≠0），得（ x － a ）2＋（ y
－ b ）2＝ r2 cos 2θ＋ r2 sin 2θ＝ r2，因为 r ≠0，所以 r2＞0，该方
程表示圆心为（ a ， b ），半径为｜ r ｜的圆，D正确.故选C、D.
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（ x ＋ ）2＋ y2＝1
解析：设 M （ x ， y ），则 Q （2 x ＋1，2 y ），因为 Q 在圆 x2＋ y2＝4上，所以（2 x ＋1）2＋4 y2＝4，即（ x ＋ ）2＋ y2＝1，所以轨迹 C 的方程是（ x ＋ ）2＋ y2＝1.
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8. 圆 x2＋ y2＝8内有一点 P （2，－1）， AB 为过点 P 的弦，则 AB 的中
点 Q 的轨迹方程为 .
解析：设 AB 的中点为 Q （ x ， y ），若 AB 的斜率不存在，则 Q
（2，0），若 AB 的斜率为0，则 Q （0，－1），若 AB 的斜率存在
且不为0，则 AB 的斜率为 k ＝ ，又 OQ ⊥ AB ，所以 kOQ · k ＝－
1，即 · ＝－1，整理得 x2＋ y2－2 x ＋ y ＝0，点（2，0），
（0，－1）也满足，所以点 Q 的轨迹方程为 x2＋ y2－2 x ＋ y ＝0.
x2＋ y2－2 x ＋ y ＝0
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9. 已知平面上到两直线 y ＝ x 与 y ＝ kx 的距离平方和为1的点的轨迹是
一个圆，则实数 k ＝ .
解析：设此点的坐标为（ x ， y ），则依题意有（ ）2＋
（ ）2＝1，化简得（ ＋ ） x2＋（ ＋ ） y2－
（ ＋1） xy ＝1，此方程要表示圆，则 ＋1＝0，且 ＝
，解得 k ＝－1.
－1
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10. 在定圆 x2＋ y2＝ R2内，作长度为定值2 l （ l ＜ R ）的弦，求弦中点
的轨迹方程.
解：设坐标原点为 O ，长度为定值2 l （ l ＜ R ）的弦的中点为
A ， A 为动点，
则 OA 垂直于长度为定值2 l （ l ＜ R ）的弦，故 OA ＝
为定值，
故弦中点的轨迹是以 O 为圆心，以 OA ＝ 为半径的
圆，故弦中点的轨迹方程为 x2＋ y2＝ R2－ l2.
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11. 方程｜ x ｜－1＝ 所表示的曲线是（ ）
A. 一个圆 B. 两个圆
C. 半个圆 D. 两个半圆
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解析： 由题意，得即
或
故原方程表示两个半圆.
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12. （多选）已知 A ， B 是平面内两个定点，且 AB ＝6，则满足下列
条件的动点 P 的轨迹为圆的是（ ）
A. PA ＋ PB ＝6
C. PA ＝2 PB D. PA2＋ PB2＝18
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解析： PA ＋ PB ＝6＝ AB ，显然 P 的轨迹是线段 AB ，故A错
误；以 AB 中点 O 为原点，建立平面直角坐标系，设 A （－3，
0）， B （3，0），设 P （ x ， y ），则 ＝（－3－ x ，－ y ），
＝（3－ x ，－ y ），已知 · ＝－1，则 x2＋ y2＝8，所以点
P 的轨迹是圆，故B正确；由两点间距离公式得 PA ＝
， PB ＝ ，代入 PA ＝2 PB 中化
简得 x2－10 x ＋ y2＋9＝0，即（ x －5）2＋ y2＝16，故 P 的轨迹是
圆，故C正确；代入 PA2＋ PB2＝18中化简得 x2＋ y2＝0，显然 P 的
轨迹是一个点，故D错误.故选B、C.
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13. 存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹
为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中 A （－2，0）， B （2，
0），动点 P 满足 PA ＝λ PB （λ＞0），若点 P 的轨迹为一条直
线，则λ＝ ；若λ＝2，则点 P 的轨迹方程为
.
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x2＋ y2－ x ＋4
＝0
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解析：设 P （ x ， y ），由 PA ＝λ PB （λ＞0），可得
＝λ ，两边平方，整理得点 P
的轨迹方程为（1－λ2） x2＋（1－λ2） y2＋4（1＋λ2） x ＋4－
4λ2＝0.若点 P 的轨迹为一条直线，则解得λ＝1或
λ＝－1（舍去）.若λ＝2，则点 P 的轨迹方程为3 x2＋3 y2－20 x
＋12＝0，即 x2＋ y2－ x ＋4＝0.
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14. 已知点 M （－2，0）， N （1，0），点 P （ x ， y ）满足 PM ＝2
PN .
（1）求点 P （ x ， y ）的轨迹方程；
解：由 PM ＝2 PN 可知，
＝2 ，化简得（ x －2）2
＋ y2＝4，
即点 P （ x ， y ）的轨迹为以 C （2，0）为圆心，半径为2的
圆，方程为（ x －2）2＋ y2＝4.
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（2）求 PM ＋ PN 的最大值.
解：由题意可知， PN ＝ PM ，
所以 PM ＋ PN ＝ PM ，
点 M （－2，0）在圆外，所以 PM 的最大值为 MC ＋ r ＝4＋
2＝6，
所以 PM ＋ PN 的最大值为 ×6＝9.
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15. 已知点 M 在圆 x2＋ y2＋8 x ＝0上运动， N （4，0）， A （1，6），
点 P 为线段 MN 中点.
（1）求点 P 的轨迹方程；
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解：设点 P （ x ， y ）， M （ x0， y0），因为 P 为 MN中点，
所以于是有
因为点 M 在圆 x2＋ y2＋8 x ＝0上运动，
所以 ＋ ＋8 x0＝0，
代入得（2 x －4）2＋（2 y ）2＋8（2 x －4）＝0，
化简得 x2＋ y2＝4，
所以点 P 的轨迹方程为 x2＋ y2＝4.
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（2）已知 B （－3，－3）， C （3，－3），求 PA2＋ PB2＋ PC2的
最大值.
解：PA2＋ PB2＋ PC2＝（ x －1）2＋（ y －6）2＋（ x ＋3）2＋（ y ＋3）2＋（ x －3）2＋（ y ＋3）2＝3 x2＋3 y2－2 x ＋73＝85－2 x ，因为－2≤ x ≤2，所以81≤85－2 x ≤89，
所以 PA2＋ PB2＋ PC2的最大值为89.
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