一、圆的方程
理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程，能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【例1】 （2022·全国乙卷15题）过四点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 .
反思感悟
求圆的方程的两种方法
【跟踪训练】
1.（2022·全国甲卷14题）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为 .
2.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足OP＝2，其中O为坐标原点，若M（，－），则PM的最小值为 .
二、直线与圆的位置关系
1.能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线与圆的方程解决与圆有关的切线、弦长问题，并能解决一些简单的实际问题.
【例2】 已知圆M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，直线l过点P（2，3）且与圆M交于A，B两点，且AB＝2，求直线l的方程.
反思感悟
1.直线被圆截得的弦长的两种求法
2.解决直线与圆相切问题的策略
【跟踪训练】
已知点A（2，a），圆C：（x－1）2＋y2＝5.
（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；
（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.
三、圆与圆的位置关系
能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.
【例3】 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
（1）证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
（2）求过点（2，3）且与两圆相切于（1）中切点的圆的方程.
反思感悟
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
【跟踪训练】
已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
（1）求证：两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程.
四、与圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的步骤：（1）建系设点；（2）列出动点满足的轨迹条件；（3）把轨迹条件坐标化；（4）化简整理；（5）检验.在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分.
【例4】 如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
反思感悟
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
【跟踪训练】
1.过圆C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（ ）
A.8x－6y－21＝0
B.8x＋6y－21＝0
C.6x＋8y－21＝0
D.6x－8y－21＝0
2.点A（3，0）为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹.
章末复习与总结
【例1】 （x－2）2＋（y－3）2＝13或（x－2）2＋（y－1）2＝5或＋＝或＋（y－1）2＝（答案不唯一） 解析：若圆过（0，0），（4，0），（－1，1）三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别将三点的坐标代入，可得解得易得D2＋E2－4F＞0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即（x－2）2＋（y－3）2＝13；
若圆过（0，0），（4，0），（4，2）三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别将三点的坐标代入，可得解得易得D2＋E2－4F＞0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即（x－2）2＋（y－1）2＝5；
若圆过（0，0），（－1，1），（4，2）三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别将三点的坐标代入，可得
解得易得D2＋E2－4F＞0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即＋＝；
若圆过（4，0），（－1，1），（4，2）三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别将三点的坐标代入，可得解得易得D2＋E2－4F＞0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即＋（y－1）2＝.
跟踪训练
1.（x－1）2＋（y＋1）2＝5 解析：法一 设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法二 设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则M，
∴
解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三 设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立解得M（1，－1），∴r2＝MA2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
2.1 解析：动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而OM＝＝1＜2，故点M（，－）在圆内，所以当O，M，P三点共线时，PM最小，即PMmin＝2－OM＝2－1＝1.
【例2】 解：（1）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k（x－2），
即kx－y＋3－2k＝0.
示意图如图所示，作MC⊥AB于点C.
在Rt△MBC中，BC＝AB＝，MB＝2，故MC＝＝1，
又M（1，1），
故由点到直线的距离公式得＝1，
解得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，
且AB＝2，所以符合题意.
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
跟踪训练
解：（1）因为过点A只能作一条圆C的切线，所以点A在圆C上，
所以1＋a2＝5，解得a＝±2.
当a＝2时，A（2，2），则切线方程为（2－1）（x－1）＋2y＝5，即x＋2y－6＝0；
当a＝－2时，A（2，－2），则切线方程为（2－1）（x－1）－2y＝5，即x－2y－6＝0.
（2）设直线l的方程为x＋y＝b（b≠0），
因为直线过A（2，a），则2＋a＝b，
所以直线l的方程为x＋y－a－2＝0，
所以圆C的圆心（1，0）到直线l的距离为d＝＝，
所以2＝2＝2，
解得a＝1或a＝－3.
【例3】 解：（1）证明：把圆C1与圆C2都化为标准方程，得（x＋2）2＋（y－2）2＝13，（x－4）2＋（y＋2）2＝13.
圆心与半径长分别为C1（－2，2），r1＝；
C2（4，－2），r2＝.
因为C1C2＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切.
由两式相减得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程.
（2）法一 过圆心C1，C2的直线方程为＝，即2x＋3y－2＝0，
联立解得则切点坐标为（1，0）.
设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则解得
所以所求圆的方程为（x＋4）2＋（y－）2＝，
即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
法二 由圆系方程，可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋λ（3x－2y－3）＝0.
因为点（2，3）在此圆上，将点的坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋（3x－2y－3）＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
跟踪训练
解：（1）证明：圆C1的方程可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5，圆C2的方程可化为x2＋（y－1）2＝5，
∴C1（2，－1），C2（0，1），两圆的半径均为，
∵C1C2＝＝2＜2，∴两圆相交.
（2）将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，x2＋y2－4x＋2y－（x2＋y2－2y－4）＝0，即x－y－1＝0.
【例4】 解：如图所示，以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1（－2，0），O2（2，0），
设动点P的坐标为（x，y），连接MO1，NO2，
在Rt△PMO1中，PM2＝P－1，
在Rt△PNO2中，PN2＝P－1.
因为PM＝PN，所以PM2＝2PN2，
即P－1＝2（P－1），即P＋1＝2P，
所以（x＋2）2＋y2＋1＝2[（x－2）2＋y2]，
整理得x2＋y2－12x＋3＝0，
即为所求点P的轨迹方程.
跟踪训练
1.D 由题意得，圆心C的坐标为（3，－4），半径r＝2，如图.因为｜PQ｜＝｜PO｜，且PQ⊥CQ，所以｜PO｜2＋r2＝｜PC｜2，所以x2＋y2＋4＝（x－3）2＋（y＋4）2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.
2.解：设点M（x，y），因为M为线段AP的中点，点A（3，0），所以P（2x－3，2y），
因为P为圆x2＋y2＝1上任意一点，所以（2x－3）2＋（2y）2＝1，化简得（x－）2＋y2＝，
所以点M的轨迹方程为（x－）2＋y2＝.
故动点M的轨迹为圆心坐标为（，0），半径长为的圆.
3 / 3(共35张PPT)
章末复习与总结
一、圆的方程
理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程
与一般方程，能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【例1】 （2022·全国乙卷15题）过四点（0，0），（4，0），（－
1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 .
答案：（ x －2）2＋（ y －3）2＝13或（ x －2）2＋（ y －1）2＝5
或 ＋ ＝ 或 ＋（ y －1）2＝ （答案
不唯一）
解析：若圆过（0，0），（4，0），（－1，1）三点，设过这三点的
圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分别
将三点的坐标代入，可得解得易得 D2
＋ E2－4 F ＞0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋ y2－4 x －6 y ＝0，即
（ x －2）2＋（ y －3）2＝13；
若圆过（0，0），（4，0），（4，2）三点，设过这三点的圆的一般
方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分别将三点的
坐标代入，可得解得易得 D2＋ E2
－4 F ＞0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋ y2－4 x －2 y ＝0，即（ x －
2）2＋（ y －1）2＝5；
若圆过（0，0），（－1，1），（4，2）三点，设过这三点的圆的一
般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分别将三点
的坐标代入，可得解得易得 D2
＋ E2－4 F ＞0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋ y2－ x － y ＝0，即
＋ ＝ ；
若圆过（4，0），（－1，1），（4，2）三点，设过这三点的圆的一
般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分别将三点
的坐标代入，可得解得易得 D2
＋ E2－4 F ＞0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋ y2－ x －2 y － ＝
0，即 ＋（ y －1）2＝ .
反思感悟
求圆的方程的两种方法
【跟踪训练】
1. （2022·全国甲卷14题）设点 M 在直线2 x ＋ y －1＝0上，点（3，
0）和（0，1）均在☉ M 上，则☉ M 的方程为
.
解析：法一 设☉ M 的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，则
解得∴☉ M 的方程为（ x －1）2
＋（ y ＋1）2＝5.
（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5
法二 设☉ M 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞
0），则 M ，
∴解得
∴☉ M 的方程为 x2＋ y2－2 x ＋2 y －3＝0，即（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5.
法三 设 A （3，0）， B （0，1），☉ M 的半径为 r ，则 kAB ＝ ＝
－ ， AB 的中点坐标为 ，∴ AB 的垂直平分线方程为 y － ＝3
，即3 x － y －4＝0.联立解得 M （1，－
1），∴ r2＝ MA2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉ M 的方程为
（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5.
2. 大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，
意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希
腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点 P 满足
OP ＝2，其中 O 为坐标原点，若 M （ ，－ ），则 PM 的最小值
为 .
1
解析：动点 P 的轨迹是以 O 为圆心，2为半径的圆，即 x2＋ y2＝4，
而 OM ＝ ＝1＜2，故点 M （ ，－ ）在圆
内，所以当 O ， M ， P 三点共线时， PM 最小，即 PMmin＝2－ OM
＝2－1＝1.
二、直线与圆的位置关系
1. 能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2. 能用直线与圆的方程解决与圆有关的切线、弦长问题，并能解决一
些简单的实际问题.
【例2】 已知圆 M ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，直线 l 过点
P （2，3）且与圆 M 交于 A ， B 两点，且 AB ＝2 ，求直线 l
的方程.
解：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为
y －3＝ k （ x －2），
即 kx － y ＋3－2 k ＝0.
示意图如图所示，作 MC ⊥ AB 于点 C .
在Rt△ MBC 中， BC ＝ AB ＝ ， MB ＝2，故 MC
＝ ＝1，
又 M （1，1），
故由点到直线的距离公式得 ＝1，
解得 k ＝ .故直线 l 的方程为3 x －4 y ＋6＝0.
（2）当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x ＝2，
且 AB ＝2 ，所以符合题意.
综上所述，直线 l 的方程为3 x －4 y ＋6＝0或 x ＝2.
反思感悟
1. 直线被圆截得的弦长的两种求法
2. 解决直线与圆相切问题的策略
【跟踪训练】
已知点 A （2， a ），圆 C ：（ x －1）2＋ y2＝5.
（1）若过点 A 只能作一条圆 C 的切线，求实数 a 的值及切线方程；
解：因为过点 A 只能作一条圆 C 的切线，所以点 A 在圆 C
上，所以1＋ a2＝5，解得 a ＝±2.
当 a ＝2时， A （2，2），则切线方程为（2－1）（ x －1）＋2 y
＝5，即 x ＋2 y －6＝0；
当 a ＝－2时， A （2，－2），则切线方程为（2－1）（ x －1）
－2 y ＝5，即 x －2 y －6＝0.
（2）设直线 l 过点 A 但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直
线 l 被圆 C 截得的弦长为2 ，求实数 a 的值.
解：设直线 l 的方程为 x ＋ y ＝ b （ b ≠0），
因为直线过 A （2， a ），则2＋ a ＝ b ，
所以直线 l 的方程为 x ＋ y － a －2＝0，
所以圆 C 的圆心（1，0）到直线 l 的距离为 d ＝ ＝
，所以2 ＝2 ＝2 ，
解得 a ＝1或 a ＝－3.
三、圆与圆的位置关系
能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相
交、内切、内含）.
【例3】 已知圆 C1： x2＋ y2＋4 x －4 y －5＝0与圆 C2： x2＋ y2－8 x ＋
4 y ＋7＝0.
（1）证明圆 C1与圆 C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
解：证明：把圆 C1与圆 C2都化为标准方程，得（ x ＋2）2
＋（ y －2）2＝13，（ x －4）2＋（ y ＋2）2＝13.
圆心与半径长分别为 C1（－2，2）， r1＝ ；
C2（4，－2）， r2＝ .
因为 C1 C2＝ ＝2 ＝ r1＋ r2，
所以圆 C1与圆 C2相切.
由两式相减得12 x －8 y －12＝0，
即3 x －2 y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程.
（2）求过点（2，3）且与两圆相切于（1）中切点的圆的方程.
解：法一 过圆心 C1， C2的直线方程为 ＝ ，即2 x
＋3 y －2＝0，
联立解得则切点坐标为（1，0）.
设所求圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，
则解得
所以所求圆的方程为（ x ＋4）2＋（ y － ）2＝ ，
即 x2＋ y2＋8 x － y －9＝0.
法二 由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋ y2＋4 x －4 y －5＋λ（3
x －2 y －3）＝0.
因为点（2，3）在此圆上，将点的坐标代入方程解得λ＝ .
所以所求圆的方程为 x2＋ y2＋4 x －4 y －5＋ （3 x －2 y －3）＝0，即
x2＋ y2＋8 x － y －9＝0.
反思感悟
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距
离与两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作
差消去 x2， y2项得到.
【跟踪训练】
已知圆 C1： x2＋ y2－4 x ＋2 y ＝0与圆 C2： x2＋ y2－2 y －4＝0.
（1）求证：两圆相交；
解：证明：圆 C1的方程可化为（ x －2）2＋（ y ＋1）2
＝5，圆 C2的方程可化为 x2＋（ y －1）2＝5，
∴ C1（2，－1）， C2（0，1），两圆的半径均为 ，
∵ C1 C2＝ ＝2 ＜2 ，∴两圆
相交.
（2）求两圆公共弦所在直线的方程.
解：将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， x2＋ y2－4 x ＋2 y －（ x2＋ y2－2 y －4）＝0，即 x － y －1＝0.
四、与圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的步骤：（1）建系设点；（2）列出动点满足的轨迹
条件；（3）把轨迹条件坐标化；（4）化简整理；（5）检验.在检验
中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分.
【例4】 如图所示，圆 O1与圆 O2的半径都是1， O1 O2＝4，过动点 P
分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM ， PN （ M ， N 分别为切点），使得 PM
＝ PN ，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.
解：如图所示，以 O1 O2所在直线为 x 轴，线段 O1
O2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则
O1（－2，0）， O2（2，0），
设动点 P 的坐标为（ x ， y ），连接 MO1， NO2，
在Rt△ PMO1中， PM2＝ P －1，
在Rt△ PNO2中， PN2＝ P －1.
因为 PM ＝ PN ，所以 PM2＝2 PN2，
即 P －1＝2（ P －1），即 P ＋1＝2 P ，
所以（ x ＋2）2＋ y2＋1＝2[（ x －2）2＋ y2]，
整理得 x2＋ y2－12 x ＋3＝0，
即为所求点 P 的轨迹方程.
反思感悟
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
【跟踪训练】
1. 过圆 C ：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝4外一点 P （ x ， y ）引该圆的一
条切线，切点为 Q ， PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P
的轨迹方程为（ ）
A. 8 x －6 y －21＝0 B. 8 x ＋6 y －21＝0
C. 6 x ＋8 y －21＝0 D. 6 x －8 y －21＝0
解析： 由题意得，圆心 C 的坐标为（3，－4），半径 r ＝2，如图.因为｜ PQ ｜＝｜ PO ｜，且 PQ ⊥ CQ ，所以｜ PO ｜2＋ r2＝｜ PC ｜2，所以 x2＋ y2＋4＝（ x －3）2＋（ y ＋4）2，即6 x －8 y －21＝0，所以点 P 的轨迹方程为6 x －8 y －21＝0.
2. 点 A （3，0）为圆 x2＋ y2＝1外一点， P 为圆上任意一点，若 AP 的
中点为 M ，当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹.
解：设点 M （ x ， y ），因为 M 为线段 AP 的中点，点 A （3，0），
所以 P （2 x －3，2 y ），
因为 P 为圆 x2＋ y2＝1上任意一点，所以（2 x －3）2＋（2 y ）2＝
1，化简得（ x － ）2＋ y2＝ ，
所以点 M 的轨迹方程为（ x － ）2＋ y2＝ .故动点 M 的轨迹为圆心
坐标为（ ，0），半径长为 的圆.
谢 谢 观 看！
